פונקציית ln נקודות קיצון ותחומי עליה וירידה

לדף זה שני חלקים:

  1. דוגמאות.
  2. תרגילים.

1.דוגמאות

נזכיר כי כאשר מבקשים מאיתנו קיצון קודם כל עלינו למצוא את תחום ההגדרה.
ולאחר שמצאנו את הקיצון עלינו לבדוק שהקיצון נמצא בתחום ההגדרה.

לשם הקיצור ותרגול נושא הלן בדוגמאות הללו נגיע רק לנקודה חשודה כקיצון ולא נפתור את התרגיל במלואו.

נזכיר את נוסחאות הגזירה של פונקציית לן.

 נגזרת הפונקציה lnx:

נגזרת פונקציית ln מורכבת:

נגזרת מורכבת LN

 

1.לפונקציה f(x) = ln x  אין נקודות קיצון.

כי הנגזרת שלה היא:

שבר שווה ל 0 כאשר המונה שווה ל 0.
מונה השבר הוא 1 ואף פעם לא שווה ל 0.

לכן לפונקציה אין נקודות קיצון.

2.ניתן לקבל נקודות קיצון כאשר בתוך הלן יש משוואה ריבועית מכפלה או מנה של פונקציות.

בחלק זה 5 דוגמאות.

1.דוגמה לקיצון בפונקציית לן עם פונקציה ריבועית בתוכה

f(x) = ln (x² + 6)

תחום הגדרה
x² + 6 > 0

x² חיובי או שווה ל 0.
6 חיובי תמיד.
לכן הסכום של שניהם חיובי לכל x.

הפונקציה מוגדרת לכל x.

מציאת קיצון
נגזור את הפונקציה

הנגזרת שווה ל 0 כאשר המונה שווה ל 0.
2x = 0
x = 0

הנקודה x = 0 החשודה כקיצון נמצאת בתחום ההגדרה.

 

2.דוגמה לפונקציה שנקודת הקיצון שלה נפסלת בגלל תחום ההגדרה.

(f(x) = ln (x² – 9

נמצא את תחום ההגדרה
x² – 9 = (x + 3)(x – 3) > 0

x > 3  או x < -3.

נגזור את הפונקציה על פי נגזרת מורכבת

נגזרת מורכבת LN

הנגזרת שווה ל 0 כאשר
2x = 0
x = 0

אבל:
x = 0 לא נמצא בתחום ההגדרה לכן אין לפונקציה קיצון פנימי.

 

3.דוגמה לפונקציה הכוללת לן ופולינום

f(x) = ln (6 – 2x) + x²

נמצא את תחום ההגדרה
6 – 2x > 0
3 > x

נמצא את הקיצון

נגזור את הפונקציה

נשווה את הנגזרת ל 0.

6 – 2x
הוא ביטוי שונה מ 0 בתחום ההגדרה של הפונקציה.
לכן ניתן להכפיל בו.

-2 + 2x(6 – 2x) = 0
-2 + 12x – 4x² = 0

4x² – 12x + 2 = 0
2x² – 6x + 1 = 0

הפתרונות של המשוואה הן:
x1 = 0.38    x2 = 2.62
שתי הנקודות נמצאות בתחום ההגדרה x < 3 ולכן שתיהן חשודות כקיצון.

 

4.דוגמה לפונקציית מכפלה
f(x) = x ln x

תחום הגדרה
x > 0.

מציאת נקודות קיצון
נגזור את הפונקציה

f ' (x) = x * (1/x) + 1*ln x
f ' (x) = 1 + ln x

נשווה את הנגזרת ל 0
1 + ln x = 0
ln x = -1

x = e-1 = 0.367

הנקודה x = 0.367 נמצאת בתחום ההגדרה x > 0.
לכן זו נקודה חשודה כקיצון.

5.דוגמה לפונקציית מנה

נמצא את תחום ההגדרה

נגזור את הפונקציה

נשווה את הנגזרת ל 0.

הנגזרת שווה ל 0 כאשר מונה אני שווה ל 0.
לכן נוכל לפתור את המשוואה:

-ln x = 0
ln x = 0
x = e0 = 1

x = 1 נמצא בתוך תחום ההגדרה x > 0.
לכן זו נקודה חשודה כקיצון.

2.תרגילים

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציות הבאות:

תרגיל 1
f(x) = ln x

פתרון

תחום ההגדרה
x > 0

מציאת קיצון
על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון , נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל -0.

על מנת ששבר יהיה שווה ל 0 מונה השבר צריך להיות שווה ל 0.
במקרה זה מונה השבר הוא 1 ואף פעם לא שווה ל 0.

לכן הנגזרת אף פעם לא שווה ל 0 ולפונקציה אין נקודות קיצון פנימיות.

תחומי עלייה וירידה
1 הוא מונה הנגזרת – חיובי תמיד.

x הוא מכנה הנגזרת – חיובי בכל תחום ההגדרה.

חיובי חלקי חיובי שווה חיובי.

לכן הנגזרת חיובית תמיד והפונקציה
f(x) = ln x
עולה בכל תחום הגדרתה.

תרגיל 2
f(x) = ln (x) – 2x

פתרון

תחום הגדרה
x > 0

מציאת קיצון
על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון, נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל 0.

1 = 2x
0.5 = x

לכן x = 0.5 היא נקודה חשודה לקיצון.

בדיקה האם x = 0.5 זה קיצון

נבדוק בעזרת נגזרת שנייה

מצאנו שהנגזרת השנייה שלילית ב x = 0.5 ולכן זו נקודת מקסימום.

נמצא את ערך ה y של הקיצון

f(x) = ln (x) – 2x
f(0.5) = ln (0.5) – 2*0.5 = -1.693

תרגיל 3

פתרון

תחום הגדרה

x > 0

מציאת קיצון

על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון , נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל – 0.

הביטוי הנ"ל שווה ל – 0 רק אם המונה שווה ל -0.
נעביר אגף ונקבל :
ln x = 1
x = e

לכן הנקודה x = e היא חשודה לקיצון.

בדיקה האם זה קיצון וסוג הקיצון
נבדוק את ערכי נגזרת הפונקציה בסביבת הנקודה החשודה כקיצון.
נבחר את הערכים
x = 2,  x = 3.

מצאנו שמשמאל ל x = e הפונקציה עולה ומימין הפונקציה יורדת.
לכן זו נקודת מקסימום.

כך זה יראה בטבלה:

x 3 e 2
f ' (x) 0 +
f(x) יורדת מקסימום עולה

נמצא את ערך ה y בנקודת הקיצון

נציב x = e בפונקציה.

תשובה:    (e, 1/e)  נקודת מקסימום.

תחומי עליה וירידה

תרגיל 1
(ln (x -2

פתרון
נפתור בעזרת מציאת נקודות קיצון .
על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון , נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל – 0.
f ' (x) = 1/ (x-2) = 0
הנגזרת שונה מ – 0 לכל x. (המונה אינו מתאפס – הוא מספר קבוע).
לכן אין לפונקציה נקודות קיצון.
הפונקציה מוגדרת עבור x > 2.
עבור כל x בתחום ההגדרה הנגזרת חיובית.

לכן הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה שלה.

תרגיל 2
(ln (x² -9

פתרון
**ראשית נשים לב כי תחום ההגדרה של הפונקציה הוא:
x² – 9 > 0
כלומר:  x > 3  או  x < – 3

נפתור בעזרת מציאת נקודות קיצון .
על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון , נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל – 0.

הנגזרת מתאפסת רק עבור x = 0.
אבל, הפונקציה אינה מוגדרת עבור x = 0.
לכן אין לפונקציה נקודות קיצון.

לכן נחלק לשני תחומים לפי תחום ההגדרה :
1. x > 3
2. x < -3

נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום)
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.

עבור x< -3: הנגזרת שלילית => הפונקציה יורדת.

תשובה : *עלייה:  x > 3
             *ירידה:  x < -3עבור x > 3 : הנגזרת חיובית  => הפונקציה עולה.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

4 מחשבות על “פונקציית ln נקודות קיצון ותחומי עליה וירידה”

להגיב על הודיה ביטול התגובה

האימייל לא יוצג באתר.