אינטגרל פולינום

בדף זה נתחיל ללמוד לחשב אינטגרלים.

חלקים 2,3  בדף הם החלקים החשובים ושם בעיקר עליכם להשקיע את הזמן.

החלקים של דף זה הם:

  1. סיכום וידאו.
  2. כיצד לחשב אינטגרל (שתי שיטות)
    א.חישוב בעזרת נוסחה.
    ב.חישוב בעזרת היגיון.
  3. שישה סוגי אינטגרל פולינום.
  4. אינטגרל למספר ואינטגרל ל x ללא חזקה.
  5. מה זה c ומה זה dx.
  6. נוסחת אינטגרל של פולינום.
  7. 13 תרגילים.

הדף מיועד לתלמידי 3,4,5 יחידות לימוד אשר הם בתחילת לימוד נושא האינטגרל.

באתר זה נלמד אינטגרל של פולינום ב 3 שלבים:

  1. יסודות, הנוסחה לחישוב אינטגרל (בדף זה).
  2. אינטגרל מסוים.
  3. חישוב שטחים בעזרת אינטגרל.

לכל דף יש סרטונים המסבירים אותו.
הסרטון הראשון שבדף כולל את כל הסרטונים ביחד.

1.סיכום וידאו

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

2.כיצד לחשב אינטגרל (שתי שיטות)

יש שתי דרכים לחשב אינטגרל:

1.בעזרת נוסחה.

2.בעזרת התכונה שאינטגרל הוא הפעולה ההפוכה לנגזרת.

נעבור כאן על שתי הדרכים.
אני ממליץ לדעת את שתיהן.

א.חישוב אינטגרל בעזרת נוסחה

זו הנוסחה לאינטגרל של פולינום:

כלומר בתשובה:

  • מעריך החזקה עולה ב 1.
  • וגם מחלקים במעריך החזקה.
  • c הוא מספר ונסביר את המשמעות שלו בהמשך הדף.

דוגמאות

מצורפות 3 דוגמאות.
מעריך החזקה בתרגיל ובפתרון מסומנים באדום על מנת להדגיש את הקשר בניהם.

דוגמה 1

דוגמה 2

 

דוגמה 3 (חזקה שלילית)

ב.חישוב אינטגרל כפעולה הפוכה לנגזרת

הבנה של חישוב אינטגרל בצורה הזו טובה לכולם והכרחית לתלמידים הרוצים להגיע לרמות גבוהות.

1.הקשר בין אינטגרל לנגזרת

אינטגרל הוא הפעולה ההפוכה לנגזרת.

אם נגזור את תוצאת האינטגרל אנו צריכים לקבל את הפונקציה שחישבנו לה אינטגרל.

כלומר בחלק הקודם חישבנו:

אז כדי שהתשובה תהיה נכונה אז כאשר נגזור את:

עלינו לקבל את:

x3

נחזור על הכלל הבסיסי של גזירת פונקציית פולינום:

f(x) = xn.

אז הנגזרת היא:
f ' (x) = nxn-1.

למשל:

(4x7) ' = 7 * 4x6

2.לכן חישוב האינטגרל יעשה כך:

כאשר אנו מחשבים אינטגרל עלינו לחשוב:
"איזו פונקציה עלינו לגזור על מנת להגיע לפונקציה שבתוך האינטגרל?".

למשל כאשר נקבל את התרגיל:

x10 dx ∫

נפתור את התרגיל הזה על ידי מחשבה "איזו פונקציה נגזור ונקבל x10?"

על מנת לענות על השאלה הזו נפעל בשני שלבים:

  1. נקבע את המספר בחזקה של התוצאה.
  2. נקבע את המספר שנמצא לפני המשתנה.

המפתח להצלחה הוא שקודם כל קובעים את החזקה של התוצאה ולאחר מיכן "מסדרים" את התשובה על מנת שתהיה נכונה.

בחזקה אנו צריכים 11 על מנת שכאשר נגזור נקבל בחזקה 10.
ועל מנת שלא יהיה לנו 11 במונה החזקה עלינו לחלק ב 11.
לכן התשובה היא:

(c הוא מספר כלשהוא ונסביר אותו בהמשך).

דוגמה 2
x4 dx ∫

פתרון
אינטגרל היא הפעולה ההפוכה לנגזרת.
על מנת לקבל x4 כאשר נגזור אנו צריכים x5
לכן אנו כבר יודעים:
x4 dx ⇒ x5

אבל אם נגזור את x5 נקבל 5x4.
יש לנו כאן מקדם 5 שהוא מיותר.
לכן נחלק את האינטגרל ב 5 ונקבל את התשובה.

דוגמה 3
x7 dx ∫

פתרון
אנו רוצים שיהיה x8 בתשובה על מנת שכאשר נגזור את התשובה נקבל x7.
x7 dx ⇒ x8

אבל אם נגזור את x8 נקבל 8x7 ולכן נחלק ב 8 את התשובה.

דוגמאות 4-5 יכתבו בקצרה:

דוגמה 4

דוגמה 5

 

3.שישה סוגי תרגילי אינטגרל פולינום

1.כאשר יש מספר בתוך האינטגרל

6x³ dx ∫

במקרה זה אנו יכולים להוציא את המספר מחוץ לאינטגרל כך:

6x³ dx = 6* ∫x³ dx∫

עכשיו אנו יכולים לחשב את האינטגרל כמו שלמדנו ולהכפיל אותו פי 6.
הוצאת ה 6 מחוץ לאינטגרל:

חישוב האינטגרל והכפלה פי 6:

דוגמה 2: כאשר המספר שבתוך האינטגרל הוא שבר

לפעולה של הוצאת מספר מחוץ לאינטגרל יש כלל המנוסח כך:

k *xn dx = k * ∫ xn dx∫

2. כאשר באינטגרל יש מספר איברים

המכשול השני הוא כאשר האינטגרל כולל מספר איברים. למשל:

במקרה זה נפצל את האינטגרל ל 3 אינטגרלים שונים

נחשב כל אחד מיהם בנפרד ונחבר:

**חשוב: איברים שניתן לפצל הם רק איברים המופרדים בחיבור או חיסור.

הכלל של פיצול האינטגרלים נכתב בשפה מתמטית כך:

f (x) + g (x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g (x) dx∫

3.כאשר ניתן לכנס איברים לפני האינטגרל

∫x²  + 3x + 2x² – 5x dx

במקרה זה אנחנו לא נבצע אינטגרל לכל אחד מהביטויים בנפרד.

אלא נבצע כינו איברים ורק לאחר מיכן אינטגרל:

∫3x² – 2x dx = x³ – x² + c

3.כפל בין פונקציות (או חזקת 2)

x + 1)² dx)∫

אם נקבל תרגיל כזה אנו נפתח סוגריים ורק לאחר מיכן נחשב את האינטגרל.
x + 1)² dx = ∫x² + 2x + 1 dx)∫
0.333x³ + x² + x + c

4.אינטגרל לחזקה שלילית

חזקה שלילית יכולה  לבלבל אותנו ולגרום לנו לרשום במעריך החזקה מספר לא נכון.

הפתרון שלמטה לא נכון, כי הקטנו את מעריך החזקה במקום להגדיל אותו.

כך נראה הפתרון הנכון, בו מגדילים את מעריך החזקה:

*5.אינטגרל הכולל מכנה מספרי

כאשר האינטגרל כולל מכנה שהוא מספר ניתן לכתוב את האינטגרל בעזרת שברים, ואז לחשב את האינטגרל.

קיצורי דרך

למעלה למדנו להשתמש בכללים:
k *xn dx = k * ∫ xn dx∫
f (x) + g (x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g (x) dx∫

אבל השימוש בכללים הללו לוקח זמן.
לכן כאשר צוברים מיומנות וידע רבים מפסיקים לכתוב את הכתיבה המלאה של הכללים ומחשבים את האינטגרל כך:

לא מוצאים החוצה מספר הנמצא בתוך האינטגרל:

וגם לא מפצלים אינטגרל לכמה חלקים:

4.אינטגרל למספר ואינטגרל ל x ללא חזקה

יחד עם הפולינום (חזקה) תצטרכו לעשות אינטגרל למספר וגם ל x בחזקת אחד.

אינטגרל למספר
4dx∫

אינטגרל למספר שווה למספר כפול x.
4dx = 4x + c∫

הסיבה לכך היא שכאשר נגזור את 4x נקבל 4.
f (x ) = 4x
f ' (x) = 4

דוגמה נוספת:
2dx = -2x + c-∫

אינטגרל ל x
ניתן לכתוב את השוויון:
x = x¹
ואז לחשב את האינטגרל של x כאלו היה פולינום ועל פי הנוסחה

התשובה תהיה:

דוגמה נוספת הכוללת גם הוצאת מספר מחוץ לאינטגרל:

פתרון
נוציא את המספר 4- מחוץ לאינטגרל ונחשב כמו שלמדנו.

5.מה זה dx ומה זה c+ ?

במהלך חישוב האינטגרל אנו רושמים את הביטויים dx, c מה המשמעות של הביטויים הללו?

dx
הסימון dx נועד לסמן לנו מהוא המשתנה שעל פיו עלינו לחשב את האינטגרל.
אנחנו עוד נתקלנו בהם אבל יש אינטגרלים הכוללים משתנה ופרמטר. למשל:

a² *x³ dx∫
איך נדע אם המשתנה הוא x או a?
ה dx מסמן לנו את זה ואומר שהמשתנה הוא x.

ובמילים: dx אומר שעושים אינטגרל על פי המשתנה x.

מה זה c ולמה מוסיפים אותו?
c הוא פרמטר המייצג מספר כלשהו.

למה מוסיפים אותו?
את האינטגרל הזה אנו יודעים לחשב:

ומכוון שאינטגרל הוא הפעולה ההפוכה לנגזרת אם נגזור את x³ נקבל 3x².

אבל גם גזירה של כל הפונקציות הבאות תיתן 3x²:

f (x) = x³ + 1
f (x) = x³ – 4
f (x) = x³ + 3
f (x) = x³ + k

וזה בדיוק מה שה c בה לסמן:
שאנו יכולים להוסיף לפונקציה כל מספר שנרצה והאינטגרל יישאר נכון.
מבחינה מתמטית הדבר נובע מכך שנגזרת של מספר היא 0.

6.תרגילים

אינטגרל שניתן לחשב מיד

אינטגרל עם מספר ומשתנה

פיצול של האינטגרל למספר אינטגרלים

f (x) + g (x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g (x) dx∫

כולל כפל, חילוק ופרמטרים בתוך האינטגרל

פתרונות

תרגיל 1
x5dx∫

פתרון התרגיל

תרגיל 2
x dx∫

פתרון התרגיל

נשתמש בעובדה ש:
x = x¹

תרגיל 3
x-4dx∫

פתרון התרגיל

בתשובה מונה החזקה צריך לגדול ב- 1.

3- = 1 + 4 –
ולכן:

תרגילים עם הוצאת מספר

תרגיל 4

פתרון התרגיל

נוציא את המספר 5 מחוץ לאינטגרל

נחשב את האינטגרל:

תרגיל 5

פתרון התרגיל

נוציא את המספר 6 מחוץ לאינטגרל

נחשב את האינטגרל:

תרגיל 6 (הוצאת שבר)

פתרון התרגיל

נוציא את השבר 2/3 מחוץ לאינטגרל.

נחשב את האינטגרל:

תרגיל 7 (חזקה שלילית)

פתרון התרגיל

נוציא את המספר 2 מחוץ לאינטגרל:

נחשב את האינטגרל:

 

תרגילים עם מספר איברים באינטגרל

בתרגילים הללו נוסיף גם את הנוסחה:
אינטגרל של חיבור פונקציות
f (x) + g (x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g (x) dx∫

תרגיל 8 

פתרון התרגיל

נפצל את האינטגרל לשניים:

נחשב כל אינטגרל בנפרד ונחבר את התוצאה

(הערה: במקרה כזה, אין צורך להוסיף קבוע (c) לכל אינטגרל בנפרד, מוסיפים קבוע אחד בסוף הביטוי)

תרגיל 9

פתרון התרגיל

נפצל את התרגיל ל- 3 אינטגרלים:

נחשב כל אינטגרל בנפרד ונחבר:

אינטגרלים עם כפל / חילוק / פרמטר

תרגיל 10

פתרון התרגיל

נבצע את הכפל ונכנס איברים:

נפצל את האינטגרל ל- 3 אינטגרלים:

נחשב את האינטגרל:

תרגיל 11

פתרון התרגיל

לביטוי כזה אנו לא יודעים לבצע אינטגרציה.
לכן,ראשית נפתח סוגריים כדי לקבל פולינום:

נפצל את האינטגרל ל 3 אינטגרלים:

נחשב את האינטגרל:

תרגיל 12

פתרון התרגיל

על מנת להפוך את הביטוי לפולינום מהצורה שאנו יודעים לפתור,
נחלק את הביטוי ל-2 גורמים:

כעת אנו יודעים לבצע אינטגרציה, נחלק את האינטגרל לשני חלקים.
:

נחשב את האינטגרל:

תרגיל 13

פתרון התרגיל

נפצל את האינטגרל ל 3 אינטגרלים.

נחשב את האינטגרל:

עוד באתר:

מנויים באתר יכולים לשאול שאלות גם:
1.וואטסאפ: 0527-586-585
2.דרך המייל: help@m-math.co.il

מי שאינו מנוי יכול להשאיר שאלה על ידי השארת תגובה באתר.

36 מחשבות על “אינטגרל פולינום”

להגיב על לומדים מתמטיקה ביטול התגובה

האימייל לא יוצג באתר.

  1. אנונימית

    תודה רבה על האתר, אני משתמשת בו מלא והוא מסביר בצורה מאוד ברורה את החומר. מאוד עוזר כשיש לי חורים ופערים, ומפרט את כל מה שצריך לדעת. וגם זה בחינם.

  2. לא הבנתי למה בתרגיל מספר 2 עם השלשה איברים האינטגרל של 4X^2= -5- זה אמור לצאת 3- כי מוסיפים אחד וזה מינוס, לא ?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לא ראיתי תרגיל עם 4X^2.
      אם אנחנו מדברים על החלק השלישי תרגיל שני אז באינטגרל מוסיפים אחד למספר שנמצא בחזקה.
      לא מוסיפים אחד למספר שנמצא לפני ה x.

  3. שלום:-)
    הסברת כי כאשר האינטגרל כולל מספר איברים, נפצל את האינטגרל לאינטגרלים נפרדים, ונחבר.
    ב"מכשולים"- במכשול השני 2 נתת את הדוגמא של אינטגרל על x^4-x^2-x^5.
    בפתרון, עשית אינטגרל על כל אחד נפרד ואז הוספת c לכולם. אבל לפי ההיגיון, אמור להיות c נפרד לכל אחד, לא? הרי אם נגזור, c יעלם, וידוע כי איטגרל הוא הפעולה ההפוכה של הגזירה.
    תודה רבה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום מוריה
      c הוא מספר כלשהו.
      אם מוסיפים 3 פעמים c או פעם אחת c אין לזה משמעות.
      כי c יכול להיות כל מספר שנבחר.
      ככלל בתשובה הסופית רושמים c פעם אחת.

      1. מדוע אם מוסיפים 3 פעמים c או פעם אחת c אין לזה משמעות? אם בסופו של דבר נצטרך לגלות מה הפונקציה המקורית, ויש לכל אחד מהחלקים גרף שונה, התוצאה תהיה שונה, לא?
        נאמר לרגע ש גילינו את c של הפונקציות הקודמות:
        x^4 סי =-5
        x^2 סי =9
        x^5 סי =12
        (סתם המצאתי מספרים)
        אם לכל אחד יש c שונה, אז הפונקציה המקורית משתנה….. אשמח לעזרה,
        תודה רבה:-)

        1. לומדים מתמטיקה

          התרגיל שאת כתבת זה לא התרגיל שנתנו.
          אם היו מבקשים למצוא את הערך של כל פונקציה בנפרד והיו גם נותנים נתונים מתאימים בשביל זה – זה היה משהו אחר.
          מה שביקשו זה למצוא את האינטגרל של הפונקציה כולה – וכאן אין משמעות.
          הפיצול של הפונקציה היה מלאכותי ונועד לצרכי חישוב.

  4. ענבר אטיאס

    תודה רבה! אני נעזרת מאוד באתר כהכנה לבגרות 4 יח', הכל מקצועי ומדויק ומוסבר נהדר!

  5. שלום רציתי הסבר יותר מורחב על +C, שבאינטגרל..
    שיהיה דף, אשמח לקישור..
    תודה, עין עלכם!!!!!
    אתר מטורף!!!!
    (חסכם לי קורס בכמה מאות, ואני בטוחה שעשיתם את זה יותר טוב!!)

    1. בסוף לא משנה..
      לא ראיתי שיש הסבר כאן בעמוד, הבנתי משם..
      תודה רבה רבה רבה רבה, מה הייתי עושה בלעדכם????

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום. זה אינטגרל מורכב. אינטגרל קשה לרמת 5 יחידות (ואוליי גם מחוץ לתחום עבורם). צריך להשתמש בו בהצבה.
      לא משהו שניתן לענות עליו כתגובה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      הבעיה בתרגיל שלך היא לא החזקה, אלא שמדובר בפונקציה מורכבת.
      אם המקדם של x היה אחד אז האינטגרל היה:
      x + 2) ^5 ] / 5)]

      אבל מכוון שזו פונקציה מורכבת זה יותר מסובך, לא תמיד אפשר לעשות זאת ובמקרים שכן זה נלמד רק ב 5 יחידות וניתן לראות זאת כאן
      https://www.m-math.co.il/mathematics-function/integrals/integral-complex-functions/

  6. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    שמעו באמת שאין עליכם!
    אתר מושלם! ישר כוח גדול! סןף סוף הבנתי את מה שהציגו בשיעור כמשהוא קשה בקלי קלות! יישר כוח גדול!

  7. תודה רבה. אוהבת את האתר שלך ואת הדרך , יש לי עוד שיטה ומלא דוגמאות בדפים ושאלון דיגיטלי. אשמח למסור

  8. איזה מלך ככ עזרת לי! מה שהמורה לא הצליחה ללמד אותי בשנתיים הצלחתי להבין מה הדברים שלך ולהצליח גם בתרגילים תוך עשרים דקות!

    1. לומדים מתמטיקה

      איזה כיף לשמוע! עשית לי את היום.
      כנראה שזו את ולא אני : ).
      המשיכי כך