אינטגרל פולינום

בדף זה נתחיל ללמוד לחשב אינטגרלים.

חלקים 2,3  בדף הם החלקים החשובים ושם בעיקר עליכם להשקיע את הזמן.

החלקים של דף זה הם:

1. סיכום וידאו.
2. כיצד לחשב אינטגרל (שתי שיטות)
   א.חישוב בעזרת נוסחה.
   ב.חישוב בעזרת היגיון.
3. שישה סוגי אינטגרל פולינום.
4. אינטגרל למספר ואינטגרל ל x ללא חזקה.
5. מה זה c ומה זה dx.
6. נוסחת אינטגרל של פולינום.
7. 13 תרגילים.

הדף מיועד לתלמידי 3,4,5 יחידות לימוד אשר הם בתחילת לימוד נושא האינטגרל.

באתר זה נלמד אינטגרל של פולינום ב 3 שלבים:

1. יסודות, הנוסחה לחישוב אינטגרל (בדף זה).
2. אינטגרל מסוים.
3. חישוב שטחים בעזרת אינטגרל.

לכל דף יש סרטונים המסבירים אותו.
הסרטון הראשון שבדף כולל את כל הסרטונים ביחד.

1.סיכום וידאו

2.כיצד לחשב אינטגרל (שתי שיטות)

יש שתי דרכים לחשב אינטגרל:

1.בעזרת נוסחה.

2.בעזרת התכונה שאינטגרל הוא הפעולה ההפוכה לנגזרת.

נעבור כאן על שתי הדרכים.
אני ממליץ לדעת את שתיהן.

א.חישוב אינטגרל בעזרת נוסחה

זו הנוסחה לאינטגרל של פולינום:

כלומר בתשובה:

• מעריך החזקה עולה ב 1.
• וגם מחלקים במעריך החזקה.
• c הוא מספר ונסביר את המשמעות שלו בהמשך הדף.

דוגמאות

מצורפות 3 דוגמאות.
מעריך החזקה בתרגיל ובפתרון מסומנים באדום על מנת להדגיש את הקשר בניהם.

דוגמה 1

דוגמה 2

 

דוגמה 3 (חזקה שלילית)

ב.חישוב אינטגרל כפעולה הפוכה לנגזרת

הבנה של חישוב אינטגרל בצורה הזו טובה לכולם והכרחית לתלמידים הרוצים להגיע לרמות גבוהות.

1.הקשר בין אינטגרל לנגזרת

אינטגרל הוא הפעולה ההפוכה לנגזרת.

אם נגזור את תוצאת האינטגרל אנו צריכים לקבל את הפונקציה שחישבנו לה אינטגרל.

כלומר בחלק הקודם חישבנו:

אז כדי שהתשובה תהיה נכונה אז כאשר נגזור את:

עלינו לקבל את:

x³

נחזור על הכלל הבסיסי של גזירת פונקציית פולינום:

f(x) = xⁿ.

אז הנגזרת היא:
f ' (x) = nx^n-1.

למשל:

(4x⁷) ' = 7 * 4x⁶

2.לכן חישוב האינטגרל יעשה כך:

כאשר אנו מחשבים אינטגרל עלינו לחשוב:
"איזו פונקציה עלינו לגזור על מנת להגיע לפונקציה שבתוך האינטגרל?".

למשל כאשר נקבל את התרגיל:

x¹⁰ dx ∫

נפתור את התרגיל הזה על ידי מחשבה "איזו פונקציה נגזור ונקבל x¹⁰?"

על מנת לענות על השאלה הזו נפעל בשני שלבים:

1. נקבע את המספר בחזקה של התוצאה.
2. נקבע את המספר שנמצא לפני המשתנה.

המפתח להצלחה הוא שקודם כל קובעים את החזקה של התוצאה ולאחר מיכן "מסדרים" את התשובה על מנת שתהיה נכונה.

בחזקה אנו צריכים 11 על מנת שכאשר נגזור נקבל בחזקה 10.
ועל מנת שלא יהיה לנו 11 במונה החזקה עלינו לחלק ב 11.
לכן התשובה היא:

(c הוא מספר כלשהוא ונסביר אותו בהמשך).

דוגמה 2
x⁴ dx ∫

פתרון
אינטגרל היא הפעולה ההפוכה לנגזרת.
על מנת לקבל x⁴ כאשר נגזור אנו צריכים x⁵
לכן אנו כבר יודעים:
x⁴ dx ⇒ x⁵∫

אבל אם נגזור את x⁵ נקבל 5x⁴.
יש לנו כאן מקדם 5 שהוא מיותר.
לכן נחלק את האינטגרל ב 5 ונקבל את התשובה.

דוגמה 3
x⁷ dx ∫

פתרון
אנו רוצים שיהיה x⁸ בתשובה על מנת שכאשר נגזור את התשובה נקבל x⁷.
x⁷ dx ⇒ x⁸∫

אבל אם נגזור את x⁸ נקבל 8x⁷ ולכן נחלק ב 8 את התשובה.

דוגמאות 4-5 יכתבו בקצרה:

דוגמה 4

דוגמה 5

 

3.שישה סוגי תרגילי אינטגרל פולינום

1.כאשר יש מספר בתוך האינטגרל

6x³ dx ∫

במקרה זה אנו יכולים להוציא את המספר מחוץ לאינטגרל כך:

6x³ dx = 6* ∫x³ dx∫

עכשיו אנו יכולים לחשב את האינטגרל כמו שלמדנו ולהכפיל אותו פי 6.
הוצאת ה 6 מחוץ לאינטגרל:

חישוב האינטגרל והכפלה פי 6:

דוגמה 2: כאשר המספר שבתוך האינטגרל הוא שבר

לפעולה של הוצאת מספר מחוץ לאינטגרל יש כלל המנוסח כך:

k *xⁿ dx = k * ∫ xⁿ dx∫

2. כאשר באינטגרל יש מספר איברים

המכשול השני הוא כאשר האינטגרל כולל מספר איברים. למשל:

במקרה זה נפצל את האינטגרל ל 3 אינטגרלים שונים

נחשב כל אחד מיהם בנפרד ונחבר:

**חשוב: איברים שניתן לפצל הם רק איברים המופרדים בחיבור או חיסור.

הכלל של פיצול האינטגרלים נכתב בשפה מתמטית כך:

f (x) + g (x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g (x) dx∫

3.כאשר ניתן לכנס איברים לפני האינטגרל

∫x²  + 3x + 2x² – 5x dx

במקרה זה אנחנו לא נבצע אינטגרל לכל אחד מהביטויים בנפרד.

אלא נבצע כינו איברים ורק לאחר מיכן אינטגרל:

∫3x² – 2x dx = x³ – x² + c

3.כפל בין פונקציות (או חזקת 2)

x + 1)² dx)∫

אם נקבל תרגיל כזה אנו נפתח סוגריים ורק לאחר מיכן נחשב את האינטגרל.
x + 1)² dx = ∫x² + 2x + 1 dx)∫
0.333x³ + x² + x + c

4.אינטגרל לחזקה שלילית

חזקה שלילית יכולה  לבלבל אותנו ולגרום לנו לרשום במעריך החזקה מספר לא נכון.

הפתרון שלמטה לא נכון, כי הקטנו את מעריך החזקה במקום להגדיל אותו.

כך נראה הפתרון הנכון, בו מגדילים את מעריך החזקה:

*5.אינטגרל הכולל מכנה מספרי

כאשר האינטגרל כולל מכנה שהוא מספר ניתן לכתוב את האינטגרל בעזרת שברים, ואז לחשב את האינטגרל.

קיצורי דרך

למעלה למדנו להשתמש בכללים:
k *xⁿ dx = k * ∫ xⁿ dx∫
f (x) + g (x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g (x) dx∫

אבל השימוש בכללים הללו לוקח זמן.
לכן כאשר צוברים מיומנות וידע רבים מפסיקים לכתוב את הכתיבה המלאה של הכללים ומחשבים את האינטגרל כך:

לא מוצאים החוצה מספר הנמצא בתוך האינטגרל:

וגם לא מפצלים אינטגרל לכמה חלקים:

4.אינטגרל למספר ואינטגרל ל x ללא חזקה

יחד עם הפולינום (חזקה) תצטרכו לעשות אינטגרל למספר וגם ל x בחזקת אחד.

אינטגרל למספר
4dx∫

אינטגרל למספר שווה למספר כפול x.
4dx = 4x + c∫

הסיבה לכך היא שכאשר נגזור את 4x נקבל 4.
f (x ) = 4x
f ' (x) = 4

דוגמה נוספת:
2dx = -2x + c-∫

אינטגרל ל x
ניתן לכתוב את השוויון:
x = x¹
ואז לחשב את האינטגרל של x כאלו היה פולינום ועל פי הנוסחה

התשובה תהיה:

דוגמה נוספת הכוללת גם הוצאת מספר מחוץ לאינטגרל:

פתרון
נוציא את המספר 4- מחוץ לאינטגרל ונחשב כמו שלמדנו.

5.מה זה dx ומה זה c+ ?

במהלך חישוב האינטגרל אנו רושמים את הביטויים dx, c מה המשמעות של הביטויים הללו?

dx
הסימון dx נועד לסמן לנו מהוא המשתנה שעל פיו עלינו לחשב את האינטגרל.
אנחנו עוד נתקלנו בהם אבל יש אינטגרלים הכוללים משתנה ופרמטר. למשל:

a² *x³ dx∫
איך נדע אם המשתנה הוא x או a?
ה dx מסמן לנו את זה ואומר שהמשתנה הוא x.

ובמילים: dx אומר שעושים אינטגרל על פי המשתנה x.

מה זה c ולמה מוסיפים אותו?
c הוא פרמטר המייצג מספר כלשהו.

למה מוסיפים אותו?
את האינטגרל הזה אנו יודעים לחשב:

ומכוון שאינטגרל הוא הפעולה ההפוכה לנגזרת אם נגזור את x³ נקבל 3x².

אבל גם גזירה של כל הפונקציות הבאות תיתן 3x²:

f (x) = x³ + 1
f (x) = x³ – 4
f (x) = x³ + 3
f (x) = x³ + k

וזה בדיוק מה שה c בה לסמן:
שאנו יכולים להוסיף לפונקציה כל מספר שנרצה והאינטגרל יישאר נכון.
מבחינה מתמטית הדבר נובע מכך שנגזרת של מספר היא 0.

6.תרגילים

אינטגרל שניתן לחשב מיד

אינטגרל עם מספר ומשתנה

פיצול של האינטגרל למספר אינטגרלים

f (x) + g (x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g (x) dx∫

כולל כפל, חילוק ופרמטרים בתוך האינטגרל

פתרונות

תרגיל 1
x⁵dx∫

תרגיל 2
x dx∫

תרגיל 3
x^-4dx∫

תרגילים עם הוצאת מספר

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6 (הוצאת שבר)

תרגיל 7 (חזקה שלילית)

 

תרגילים עם מספר איברים באינטגרל

בתרגילים הללו נוסיף גם את הנוסחה:
אינטגרל של חיבור פונקציות
f (x) + g (x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g (x) dx∫

תרגיל 8 

תרגיל 9

אינטגרלים עם כפל / חילוק / פרמטר

תרגיל 10

תרגיל 11

תרגיל 12

תרגיל 13

עוד באתר:

• אינטגרל מסוים – הנושא הבא שאתם צריכים ללמוד, קשור באופן ישיר למה שלמדתם כאן.
• אינטגרלים – מדריך לנושא אינטגרל מסוגים שונים.
• בגרות במתמטיקה 3 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.