אינטגרל פולינום

אינטגרל הוא הפעולה ההפוכה לנגזרת.

אם נגזור את תוצאת האינטגרל אנו צריכים לקבל את הפונקציה שנתנו לנו לגזור.

עובדה זו צריכה לעזור לנו לחשב את האינטגרל ולבדוק שהגענו לתשובה הנכונה.

החלקים של דף זה הם:

  1. כיצד לחשב אינטגרל של פולינום בעזרת ההיגיון.
  2. אינטגרל למספר ואינטגרל ל x ללא חזקה.
  3. מה זה c ומה זה dx.
  4. נוסחת אינטגרל של פולינום.
  5. 13 תרגילים.

הדף מיועד לתלמידי 3,4,5 יחידות לימוד אשר הם בתחילת לימוד נושא האינטגרל.

לאחר דף זה:

  1. אינטגרל מסוים.

נחזור על הכלל הבסיסי של גזירת פונקציית פולינום:

f(x)=xn.
אז הנגזרת היא:
f ' (x)=nxn-1.

למשל:

(4x7) ' = 7 * 4x6

1.כיצד לחשב אינטגרל של פולינום בעזרת ההיגיון ובקלות

אינטגרל זו הפעולה ההפוכה לנגזרת.

לכן כאשר אנו מחשבים אינטגרל עלינו לחשוב "איזו פונקציה עלינו לגזור על מנת להגיע לפונקציה שבתוך האינטגרל?".

כאשר נחשב אינטגרל נפעל על פי הסדר הבא:

  1. נקבע את המספר בחזקה של התוצאה.
  2. נקבע את המספר שנמצא לפני המשתנה.

המפתח להצלחה הוא שקודם כל קובעים את החזקה של התוצאה ולאחר מיכן "מסדרים" את התשובה על מנת שתהיה נכונה.

לדוגמה:
x4 dx ∫

פתרון
אינטגרל היא הפעולה ההפוכה לנגזרת.
על מנת לקבל x4 כאשר נגזור אנו צריכים x5
לכן אנו כבר יודעים:
x4 dx ⇒ x5

אבל אם נגזור את x5 נקבל 5x4.
יש לנו כאן מקדם 5 שהוא מיותר.
לכן נחלק את האינטגרל ב 5 ונקבל את התשובה.

דוגמה 2
x7 dx ∫

פתרון
אנו רוצים שיהיה x8 בתשובה על מנת שכאשר נגזור את התשובה נקבל x7.
x7 dx ⇒ x8

אבל אם נגזור את x8 נקבל 8x7 ולכן נחלק ב 8 את התשובה.

4 שישה סוגי תרגילי אינטגרל פולינום

1.כאשר יש מספר בתוך האינטגרל.
6x³ dx ∫

במקרה זה אנו יכולים להוציא את המספר מחוץ לאינטגרל כך:
6x³ dx = 6* ∫x³ dx∫

עכשיו אנו יכולים לחשב את האינטגרל כמו שלמדנו ולהכפיל אותו פי 6.
הוצאת ה 6 מחוץ לאינטגרל:

חישוב האינטגרל והכפלה פי 6:

דוגמה 2: כאשר המספר שבתוך האינטגרל הוא שבר

לפעולה של הוצאת מספר מחוץ לאינטגרל יש כלל המנוסח כך:
k *xn dx = k * ∫ xn dx∫

2. כאשר באינטגרל יש מספר איברים
המכשול השני הוא כאשר האינטגרל כולל מספר איברים. למשל:

במקרה זה נפצל את האינטגרל ל 3 אינטגרלים שונים

נחשב כל אחד מיהם בנפרד ונחבר:

**חשוב: איברים שניתן לפצל הם רק איברים המופרדים בחיבור או חיסור.

הכלל של פיצול האינטגרלים נכתב בשפה מתמטית כך:

f (x) + g (x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g (x) dx∫

3.כאשר ניתן לכנס איברים לפני האינטגרל

∫x²  + 3x + 2x² – 5x dx

במקרה זה אנחנו לא נבצע אינטגרל לכל אחד מהביטויים בנפרד.

אלא נבצע כינו איברים ורק לאחר מיכן אינטגרל:

∫3x² – 2x dx = x³ – x² + c

3.כפל בין פונקציות (או חזקת 2).
x + 1)² dx)∫

אם נקבל תרגיל כזה אנו נפתח סוגריים ורק לאחר מיכן נחשב את האינטגרל.
x + 1)² dx = ∫x² + 2x + 1 dx)∫
0.333x³ + x² + x + c

4.אינטגרל לחזקה שלילית.

חזקה שלילית יכולה  לבלבל אותנו ולגרום לנו לרשום במעריך החזקה מספר לא נכון.

זה פתרון לא נכון, כי הקטנו את מעריך החזקה במקום להגדיל אותו.

כך נראה הפתרון הנכון, בו מגדילים את מעריך החזקה:

*5.אינטגרל הכולל מכנה מספרי
כאשר האינטגרל כולל מכנה שהוא מספר ניתן לכתוב את האינטגרל בעזרת שברים, ואז לחשב את האינטגרל.

קיצורי דרך

למעלה למדנו להשתמש בכללים:
k *xn dx = k * ∫ xn dx∫
f (x) + g (x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g (x) dx∫

אבל השימוש בכללים הללו לוקח זמן.
לכן כאשר צוברים מיומנות וידע רבים מפסיקים לכתוב את הכתיבה המלאה של הכללים ומחשבים את האינטגרל כך:

לא מוצאים החוצה מספר הנמצא בתוך האינטגרל:

לא מפצלים אינטגרל לכמה חלקים:

2.אינטגרל למספר ואינטגרל ל x ללא חזקה

יחד עם הפולינום (חזקה) תצטרכו לעשות אינטגרל למספר וגם ל x בחזקת אחד.

אינטגרל למספר
4dx∫

אינטגרל למספר שווה למספר כפול x.
4dx = 4x + c∫

הסיבה לכך היא שכאשר נגזור את 4x נקבל 4.
f (x ) = 4x
f ' (x) = 4

דוגמה נוספת:
2dx = -2x + c-∫

אינטגרל ל x
ניתן לכתוב את השוויון:
x = x¹
ואז לחשב את האינטגרל של x כאלו היה פולינום ועל פי הנוסחה

התשובה תהיה:

דוגמה נוספת הכוללת גם הוצאת מספר מחוץ לאינטגרל:

פתרון
נוציא את המספר 4- מחוץ לאינטגרל ונחשב כמו שלמדנו.

3.מה זה dx ומה זה c+ ?

במהלך חישוב האינטגרל אנו רושמים את הביטויים dx, c מה המשמעות של הביטויים הללו?

dx
הסימון dx נועד לסמן לנו מהוא המשתנה שעל פיו עלינו לחשב את האינטגרל.
אנחנו עוד נתקלנו בהם אבל יש אינטגרלים הכוללים משתנה ופרמטר. למשל:

a² *x³ dx∫
איך נדע אם המשתנה הוא x או a?
ה dx מסמן לנו את זה ואומר שהמשתנה הוא x.

ובמילים: dx אומר שעושים אינטגרל על פי המשתנה x.

מה זה c ולמה מוסיפים אותו?
c הוא פרמטר המייצג מספר כלשהו.

למה מוסיפים אותו?
את האינטגרל הזה אנו יודעים לחשב:

ומכוון שאינטגרל הוא הפעולה ההפוכה לנגזרת אם נגזור את x³ נקבל 3x².
אבל גם גזירה של כל הפונקציות הבאות תתן 3x²:
f (x) = x³ + 1
f (x) = x³ – 4
f (x) = x³ + 3
f (x) = x³ + k

וזה בדיוק מה שה c בה לסמן:
שאנו יכולים להוסיף לפונקציה כל מספר שנרצה והאינטגרל יישאר נכון.
מבחינה מתמטית הדבר נובע מכך שנגזרת של מספר היא 0.

4.נוסחת אינטגרל של פולינום

הדרך שהוסברה למעלה היא דרך של הגיון.

אבל לאינטגרל של פולינום יש גם נוסחה ומי שרוצה יכול לחשב אינטגרל בעזרת נוסחה.

צורת הכתיבה של פתרון בעזרת נוסחה או ההיגיון היא צורת כתיבה זהה.

דוגמאות:

 

 

5.תרגילים

אינטגרל שניתן לחשב מיד

אינטגרל עם מספר ומשתנה

פיצול של האינטגרל למספר אינטגרלים

f (x) + g (x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g (x) dx∫

כולל כפל, חילוק ופרמטרים בתוך האינטגרל

פתרונות

תרגיל 1
x5dx∫

פתרון

תרגיל 2
x dx∫

פתרון
נשתמש בעובדה ש:
x = x¹

תרגיל 3
x-4dx∫

פתרון
3- = 1 + 4 –
ולכן:

תרגילים עם הוצאת מספר

תרגיל 4

פתרון
נוציא את המספר 5 מחוץ לאינטגרל

נחשב את האינטגרל:

תרגיל 5

פתרון
נוציא את המספר 6 מחוץ לאינטגרל

נחשב את האינטגרל:

תרגיל 6 (הוצאת שבר)

פתרון
נוציא את השבר 2/3 מחוץ לאינטגרל.

נחשב את האינטגרל:

תרגיל 7 (חזקה שלילית)

פתרון
נוציא את המספר 2 מחוץ לאינטגרל:

נחשב את האינטגרל:

תרגילים עם מספר איברים באינטגרל

בתרגילים הללו נוסיף גם את הנוסחה:
אינטגרל של חיבור פונקציות
f (x) + g (x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g (x) dx∫

תרגיל 8 

פתרון
נפצל את האינטגרל לשניים:

נחשב כל אינטגרל בנפרד ונחבר את התוצאה

(הערה: במקרה כזה, אין צורך להוסיף קבוע (c) לכל אינטגרל בנפרד, מוסיפים קבוע אחד בסוף הביטוי)

תרגיל 9

פתרון
נפצל את התרגיל ל- 3 אינטגרלים:

נחשב כל אינטגרל בנפרד ונחבר:

אינטגרלים עם כפל / חילוק / פרמטר

תרגיל 10

פתרון
נבצע את הכפל ונכנס איברים:

נפצל את האינטגרל ל- 3 אינטגרלים:

נחשב את האינטגרל:

תרגיל 11

פתרון
לביטוי כזה אנו לא יודעים לבצע אינטגרציה.
לכן,ראשית נפתח סוגריים כדי לקבל פולינום:

נפצל את האינטגרל ל 3 אינטגרלים:

נחשב את האינטגרל:

תרגיל 12

פתרון
על מנת להפוך את הביטוי לפולינום מהצורה שאנו יודעים לפתור,
נחלק את הביטוי ל-2 גורמים:

כעת אנו יודעים לבצע אינטגרציה, נחלק את האינטגרל לשני חלקים.
:

נחשב את האינטגרל:

תרגיל 13

פתרון
נפצל את האינטגרל ל 3 אינטגרלים.

נחשב את האינטגרל:

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

28 מחשבות על “אינטגרל פולינום”

  1. שלום:-)
    הסברת כי כאשר האינטגרל כולל מספר איברים, נפצל את האינטגרל לאינטגרלים נפרדים, ונחבר.
    ב"מכשולים"- במכשול השני 2 נתת את הדוגמא של אינטגרל על x^4-x^2-x^5.
    בפתרון, עשית אינטגרל על כל אחד נפרד ואז הוספת c לכולם. אבל לפי ההיגיון, אמור להיות c נפרד לכל אחד, לא? הרי אם נגזור, c יעלם, וידוע כי איטגרל הוא הפעולה ההפוכה של הגזירה.
    תודה רבה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום מוריה
      c הוא מספר כלשהו.
      אם מוסיפים 3 פעמים c או פעם אחת c אין לזה משמעות.
      כי c יכול להיות כל מספר שנבחר.
      ככלל בתשובה הסופית רושמים c פעם אחת.

      1. מדוע אם מוסיפים 3 פעמים c או פעם אחת c אין לזה משמעות? אם בסופו של דבר נצטרך לגלות מה הפונקציה המקורית, ויש לכל אחד מהחלקים גרף שונה, התוצאה תהיה שונה, לא?
        נאמר לרגע ש גילינו את c של הפונקציות הקודמות:
        x^4 סי =-5
        x^2 סי =9
        x^5 סי =12
        (סתם המצאתי מספרים)
        אם לכל אחד יש c שונה, אז הפונקציה המקורית משתנה….. אשמח לעזרה,
        תודה רבה:-)

        1. לומדים מתמטיקה

          התרגיל שאת כתבת זה לא התרגיל שנתנו.
          אם היו מבקשים למצוא את הערך של כל פונקציה בנפרד והיו גם נותנים נתונים מתאימים בשביל זה – זה היה משהו אחר.
          מה שביקשו זה למצוא את האינטגרל של הפונקציה כולה – וכאן אין משמעות.
          הפיצול של הפונקציה היה מלאכותי ונועד לצרכי חישוב.

  2. ענבר אטיאס

    תודה רבה! אני נעזרת מאוד באתר כהכנה לבגרות 4 יח', הכל מקצועי ומדויק ומוסבר נהדר!

  3. שלום רציתי הסבר יותר מורחב על +C, שבאינטגרל..
    שיהיה דף, אשמח לקישור..
    תודה, עין עלכם!!!!!
    אתר מטורף!!!!
    (חסכם לי קורס בכמה מאות, ואני בטוחה שעשיתם את זה יותר טוב!!)

    1. בסוף לא משנה..
      לא ראיתי שיש הסבר כאן בעמוד, הבנתי משם..
      תודה רבה רבה רבה רבה, מה הייתי עושה בלעדכם????

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום. זה אינטגרל מורכב. אינטגרל קשה לרמת 5 יחידות (ואוליי גם מחוץ לתחום עבורם). צריך להשתמש בו בהצבה.
      לא משהו שניתן לענות עליו כתגובה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      הבעיה בתרגיל שלך היא לא החזקה, אלא שמדובר בפונקציה מורכבת.
      אם המקדם של x היה אחד אז האינטגרל היה:
      x + 2) ^5 ] / 5)]

      אבל מכוון שזו פונקציה מורכבת זה יותר מסובך, לא תמיד אפשר לעשות זאת ובמקרים שכן זה נלמד רק ב 5 יחידות וניתן לראות זאת כאן
      https://www.m-math.co.il/mathematics-function/integrals/integral-complex-functions/

  4. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    שמעו באמת שאין עליכם!
    אתר מושלם! ישר כוח גדול! סןף סוף הבנתי את מה שהציגו בשיעור כמשהוא קשה בקלי קלות! יישר כוח גדול!

  5. תודה רבה. אוהבת את האתר שלך ואת הדרך , יש לי עוד שיטה ומלא דוגמאות בדפים ושאלון דיגיטלי. אשמח למסור

  6. איזה מלך ככ עזרת לי! מה שהמורה לא הצליחה ללמד אותי בשנתיים הצלחתי להבין מה הדברים שלך ולהצליח גם בתרגילים תוך עשרים דקות!

    1. לומדים מתמטיקה

      איזה כיף לשמוע! עשית לי את היום.
      כנראה שזו את ולא אני : ).
      המשיכי כך

להגיב על נתי ביטול התגובה

האימייל לא יוצג באתר.