תחום הגדרה פונקציית שורש

על מנת להצליח בנושא זה ברמת 4-5 יחידות אתם חייבים לדעת קודם לפתור:

פונקציית שורש מוגדרת כאשר הביטוי שבתוך השורש חיובי או שווה ל 0.

f(x) = √x
מוגדרת כאשר:
x ≥ 0

מציאת תחום ההגדרה פשוטה כאשר הביטוי שבתוך השורש פשוט,
כאשר הביטוי שבתוך השורש מורכב יותר זה הופך לקשה יותר.

הדף ברמת 4 יחידות בגרות או 4-5 יחידות כיתה י.

לדף זה 4 חלקים:

  1. 5 סוגים של פונקציית שורש ומתי כל אחד מיהם מוגדר.
  2. תרגילים על פי 5 הסוגים.
  3. תרגילים נוספים עם פתרונות מלאים.
  4. תרגילים עם פרמטרים ופתרונות מלאים (5 יחידות).

דפים קשורים באתר:

1.תקציר

1.מתי פונקציית השורש מוגדרת?
פונקציית שורש מוגדרת כאשר הביטוי שבתוך השורש שווה או גדול מ 0.

דוגמאות למציאת תחום ההגדרה:

דוגמה 1
f (x) =√x
מוגדרת כאשר
x ≥ 0.

דוגמה 2
(f(x) = √(x + 2
מוגדרת כאשר
x + 2 ≥ 0
x ≥ -2

דוגמה 3
(f (x) = √(x-4)  + √(x+6

מוגדרת כאשר:
x – 4 ≥ 0  וגם  x + 6 ≥ 0
x  ≥ 4   וגם x  ≥ – 6

התשובה הסופית תהיה קבוצת המספרים המקיימת את שני התנאים (מערכת וגם).
x  ≥ 4

התשובה הסופית היא השטח המשותף לשני החצים x  ≥ 4
התשובה הסופית היא השטח המשותף לשני החצים x  ≥ 4

דוגמה 4

f(x) = -4x √(2x + 1)

המכפלה לא משפיעה על תחום ההגדרה.
הפונקציה הזו מוגדרת כאשר:

2x + 1 ≥ 0
x ≥ -0.5

דוגמה 5
(f(x) = √(x² – 6x – 16
מוגדרת כאשר:
x² – 6x – 16 ≥ 0
x – 8) (x + 2) ≥ 0)

ועל פי השרטוט שלמטה אי שוויון זה מתקיים כאשר:
x ≥ -8  או   x ≤ -2

 

2.פונקציות הכוללות שורש ומכנה

כאשר יש מכנה עלינו לדאוג גם לכך שהמכנה לא יהיה שווה ל 0.

דוגמה 1

תחום ההגדרה הוא:
x – 4 > 0
x > 4

האפשרות
x – 4 = 0
נפסלת כי במקרה זה המכנה שווה ל 0.

דוגמה 2

פתרון
x – 6 ≥ 0  וגם   x + 2 ≠ 0
x ≥ 6  וגם  x ≠ -2.

3.משוואה ריבועית חיובית או שלילית תמיד

החלק הזה קשה יותר להבנה והוא לא העיקר.
אבל חלק מהפונקציות שתפגשו ידרשו ידע בנושא זה.

מתי משוואה ריבועית היא חיובית תמיד?

כאשר מתקיימים שני תנאים:

1.כאשר אין לה פתרון.
(בגלל שכל פתרון הוא בעצם נקודת חיתוך עם ציר ה x).
דבר זה קורה כאשר:

b² – 4ac < 0

2.כאשר a > 0
או
כאשר מזהים נקודה אחת על הפונקציה עם ערך חיובי.

שימו לב

יש ביטויים שניתן בקלות רבה יותר לזהות שהם חיוביים תמיד.

x² + 1  הוא ביטוי חיובי תמיד.

כי:
x²  הוא ביטוי חיובי או שווה ל 0 לכל x.
1 חיובי תמיד.

והחיבור של ביטויים כאלו הוא חיובי תמיד.

ולכן הפונקציה:
(f(x) = √(x² + 1
היא פונקציה המוגדרת לכל x.

לחצו לצפייה בהסבר כתוב מפורט

צריך לדעת לזהות ביטויים חיוביים או שליליים תמיד.

מתי משוואה ריבועית היא חיובית תמיד?

כאשר מתקיימים שני תנאים:

1.כאשר אין לה פתרון.
(בגלל שכל פתרון הוא בעצם נקודת חיתוך עם ציר ה x).
דבר זה קורה כאשר:

b² – 4ac < 0

2.כאשר a > 0
או
כאשר מזהים נקודה אחת על הפונקציה עם ערך חיובי.
ומכוון שפונקציה שאינה חותכת את ציר ה x היא חיובית תמיד או שלילית תמיד אם בנקודה אחת היא חיובית אז היא חיובית תמיד.

דוגמה
(f(x) = √(x² + 4x + 5

תנאי ראשון
4² – 4 * 5 < 0

לכן אין נקודות חיתוך לפונקציה עם ציר ה x.

תנאי שני
המקדם של x² חיובי ולכן זו פרבולת מינימום שכולה חיובית – כל ציר ה x.

דרך נוספת לבדוק את התנאי השני.
נציב נקודה כלשהיא בפונקציה ונראה אם מתקבל ערך חיובי או שלילי.

אם מתקבל ערך חיובי הפונקציה חיובית תמיד.
אם מתקבל ערך שלילי הפונקציה שלילית תמיד.

נציב x = 0 כי הוא נוח להצבה.

x² + 4x + 5
0² + 4*0 + 5 = 5 > 0

לכן הביטוי x² + 4x + 5 חיובי לכל x.
והפונקציה
(f(x) = √(x² + 4x + 5
חיובית תמיד.

לחצו לצפייה בהסבר וידאו

2.דוגמאות נוספות לפונקציות ריבועיות בתוך השורש

על מנת לפתור את תחומי ההגדרה האלו  עליכם לדעת לפתור אי שוויון ריבועי במהירות.

כלומר לראות פונקציה ריבועית ולשרטט לה גרף של פרבולה במהירות.

פונקציות ריבועיות עם פרמטר חסר (b או c שווים ל 0)  הן נפוצות במיוחד בבגרות 4 יחידות.

לחצו לצפייה בוידאו המסביר כיצד למצוא חיוביות ושליליות של פונקציה ריבועית

דוגמה 1

(f (x) = √(x² + 6x

פתרון
נכתוב את הפונקציה כך:

((f (x) = √(x(x + 6

זו פרבולת מקסימום עם חיתוך עם ציר ה x ב:
x = 0,   x = -6

נשרטט פרבולה מתאימה:

התחום בו הפרבולה חיובית או שווה ל 0 היא תחום ההגדרה.

תחום ההגדרה הוא:
x ≥ 0  או  x ≤ -6.

דוגמה 2

(f (x) = √(-x² + 4

ניתן לכתוב את הפונקציה כך:

 f (x) = √(-x² + 4 ) = √(4 – x²)
f(x) = √([2 + x) (2 – x)]

זו פרבולת מינימום והגרף המתאים הוא:

הפרבולה חיובית והפונקציה מוגדרת כאשר:

-2 ≤ x ≤ 2

דוגמה 3

(f (x) = √(x² – 5x – 6

עלינו לפתור את האי שוויון הריבועי
x² – 5x – 6 ≥ 0
x – 6) (x + 1) ≥ 0)

זו פרבולת מינימום:

אי שוויון זה מתקיים כאשר
x ≥ 6 או x ≤ -1.

דוגמה 4

f (x) = √(x²+ 3)

הפונקציה הזו מוגדרת לכל x כי היא מורכבת מסכום שני ביטויים שכל אחד מיהם חיובי או שווה ל 0.

x² חיובי או שווה ל 0 לכל x.
3 חיובי  תמיד.

לכן הסכום שלהם גדול מ 0 והפונקציה מוגדרת תמיד.

דוגמה 5

f (x) = √(-x² – 3)

הפונקציה הזו מורכבת מביטוי אחד שלילי או שווה ל 0 וביטוי שני שלילי תמיד לכן סכום הביטויים הללו שלילי תמיד והפונקציה לא מוגדרת עבור כל x.

x²- שלילי או שווה ל 0 לכל x.
3-  שלילי תמיד.

לכן סכום הביטויים הללו שלילי תמיד.

3.דוגמאות נוספות לפונקציה למכנה עם פונקציית שורש

כאשר יש לנו פונקציה המשלבת בין פונקציית שורש לפונקציה רציונלית עלינו לבדוק:

  1. את תחום ההגדרה של השורש.
  2. לדאוג שהמכנה יהיה שונה מ 0.
    למשל:

דוגמה 1

תחום ההגדרה של הפונקציה הוא קבוצת המספרים העונה על שני התנאים.
x ≠ 4 על מנת שהמכנה לא יתאפס
x  ≥ 0  על מנת לקיים את התנאי של פונקציית השורש.
ותחום ההגדרה הסופי הוא x  ≥ 0  וגם x ≠ 4.

 

דוגמה 2

תחום ההגדרה הוא:
x + 3 > 0
ולא 
x + 3 ≥ 0
כפי שהיה אם השורש לא היה במכנה.

 

דוגמה 3
דוגמה זו קשה ביחס ל 4 יחידות אבל עדיים בתוכנית הלימודים.

במקרה זה שני התנאים שהתשובה עליהם יתנו את תחום ההגדרה הם:
x + 1 ≥ 0
x ≥ -1
וגם
3x – √(x + 1) ≠ 0
3x ≠ √(x + 1)  / ²
9x² ≠ x + 1
9x² – x – 1 ≠ 0

x ≠ 0.4,   x ≠ -0.28

לכן תחום ההגדרה הוא:
x ≥ -1
וגם
x ≠ 0.4,   x ≠ -0.28

 

דוגמה 4
פונקציה מסוג זה נלמדת ברמת 5 יחידות.

הפונקציה הזו מוגדרת כאשר המכנה שונה מ 0.
x + 4 ≠ 0
x  ≠ -4

וגם כאשר הביטוי בתוך השורש חיובי או שווה ל 0.

זה אי שוויון עם שברים הנפתר על ידי הכפלה ב x +4)²), כלומר הריבוע של המכנה.
ואז מקבלים:
2x – 1) (x + 4)  ≥ 0)
וזה אי שוויון ריבועי שכבר למדנו לפתור.
x ≥ 0.5   או  x  ≤ – 4

בגלל התנאי הראשון התשובה הסופית תהיה
x ≥ 0.5   או  x  < – 4

 

4.תרגילים

  1. (f (x) = √(x – 2
  2. (f (x) = √(x – 4) – √(5 – x
  3. (f (x) = √(x² -7x +10

פתרונות

סוג 1: פונקציית שורש פשוטה
מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה:
(f (x) = √(x – 2

פתרון
תחום ההגדרה הוא הפתרון של האי שוויון:
x – 2 ≥ 0
x ≥ 2
תשובה: הפונקציה מוגדרת כאשר x ≥ 2.

סוג 2: שילוב של שני פונקציות שורש
(f (x) = √(x – 4) – √(5 – x

פתרון
עלינו למצוא את תחום ההגדרה של כל אחת מפונקציות השורש ואז לפתור מערכת וגם.
תחום ההגדרה צריך לקיים את התנאים שנקבל גם יחד.

x – 4 ≥ 0
x ≥ 4

עבור השורש השני

אם נשרטט את תחום ההגדרה באמצעות חצים על ציר המספרים כך זה יראה:

ניתן לראות שתחום החיתוך של שתי האי שוויונות הוא:

וזה גם תחום ההגדרה של הפונקציה כולה.

סוג 3: משוואה ריבועית בתוך השורש
*הערה: מציאת תחום הגדרה מסוג זה דורשת פתרון אי שוויון ריבועי, חזרה על הנושא תוכלו לעשות בקישור.

(f (x) = √(x² -7x +10

פתרון
עלינו לפתור את האי שוויון:
x² -7x +10 ≥ 0
זה אי שוויון ריבועי שניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים או פירוק טרינום.
נראה כאן את הדרך של טרינום.
x² -7x +10 ≥ 0
x² – 2x – 5x + 10 ≥ 0
x (x – 2) – 5 (x – 2) ≥ 0
x – 2 ) (x – 5) ≥ 0)

מצד שמאל יש לנו משוואת פרבולה שהיא פרבולת מינימום ונקודות החיתוך שלה עם ציר ה x הן:
x = 2, x = 5
לכן סקיצה של הפרבולה תראה כך:

סקיצה של פרבולה

אנו מחפשים את התחום החיובי או השווה ל 0 של הפרבולה.
על פי הגרף ניתן לראות שתחום זה הוא:
x ≤ 2 או   x ≥ 5
וזה גם תחום ההגדרה של הפונקציה.

לסיכום, שלבי פתרון אי שוויון ריבועי הם:

  1. מציאת נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x.
  2. קביעה האם זו פרבולת מינימום או מקסימום.
  3. שרטוט סקיצה של הפרבולה.
  4. פתרון האי שוויון על פי הגרף.

סוג 4: שילוב של פונקציית שורש ופונקציה רציונלית
כאשר יש מכנה לפונקציה עלינו למצוא את התחום שבו השורש חיובי או שווה ל 0 וגם את התחום שבו המכנה שונה מ 0.

פתרון
תחום ההגדרה של הפונקציה הוא:
x + 4 > 0
x > -4

אם לא היה מכנה תחום ההגדרה היה הפתרון של האי שוויון הזה:
x + 4 ≥ 0

דוגמה נוספת

קודם כל נבדוק מתי הביטוי שבתוך השורש חיובי או שווה ל 0.
x + 4 ≥ 0
x  ≥ -4

בשלב השני נבדוק מתי המכנה מתאפס
x + 4) -3 = 0)√
x + 4) = 3)√
x + 4 = 9
x = 5

נבדוק על ידי הצבה במשוואה שהגענו אל התשובה הנכונה.

הפתרון x = 5 נכון ועבורו המכנה שווה ל 0.
לכן תחום ההגדרה של הפונקציה הוא:
x  ≥ -4,  x ≠ 5

סוג 5: רציונלי שבו השורש הוא על המונה והמכנה ביחד
*הערה: סוג זה מופיע בעיקר עבור תלמידי 5 יחידות ועל מנת לפתור אותו עליכם לדעת לפתור אי שוויונות עם שברים.

פתרון
על מנת שהפונקציה תהיה מוגדרת צריכים להתקיים יחד שני תנאים:

  1. המכנה שונה מ 0.
  2. השבר כולו שנמצא בתוך השורש צריך להיות חיובי או שווה ל 0.

התנאי הראשון: מכנה שונה מ 0
3x + 6 ≠ 0
x ≠ -2

התנאי השני: ביטוי בתוך השורש חיובי או שווה ל 0

את האי שוויון הזה פותרים על ידי הכפלה במכנה בריבוע
x + 6)²)
(מכפילים בריבוע על מנת להיות בטוחים שמכפילים במספר חיובי ואין צורך לשנות את הכיוון של האי שוויון).

x – 1) (3x + 6) ≥ 0)
זה אי שוויון ריבועי שכבר למדנו לפתור (בסוג 3) הפתרונות שלו הם:
x ≥ 1  או   x ≤ -2

הפונקציה צריכה לקיים את שני התנאים, לכן התשובה הסופית היא:
x ≥ 1  או   x < -2

תרגילים

התרגילים בחלק זה הם:

  1. f(x) = √x
  2. (f (x) = √(-x +4
  3. (4- f(x) = √(-x.
  4. (f (x) = √(x² – 9
  5. (f (x) = √(2x² + 4
  6. (f (x) = √(x² – 10x + 16
  7. (f (x) = √(-x² + 3x + 10
  8. תחום הגדרה פונקציית שורש
  9. (f (x) = √(x² + 8x + 7) – √(x + 4

פתרונות

תרגיל 1
מצאו את תחום ההגדרה עבור הפונקציה f(x) = √x.

פתרון
הביטוי שבתוך השורש צריך להיות חיובי. לכן
x ≥ 0
הפונקציה מוגדרת כאשר x ≥ 0

תרגיל 2
(f (x) = √(-x +4

פתרון
תחום ההגדרה של הפונקציה הוא:
x + 4 ≥ 0-
x ≤ 4
זהו תחום ההגדרה של הפונקציה.

תרגיל 3
(4- f(x) = √(-x.

פתרון
עלינו לפתור את האי שוויון
x – 4 ≥ 0-
הפתרון הוא:
x ≤ – 4
תשובה: תחום ההגדרה הוא x ≤ – 4.

תרגיל 4
(f (x) = √(x² – 9

פתרון
תחום ההגדרה הוא:
x² – 9 ≥ 0.
x²  ≥ 9
הפתרון של שוויון כזה הוא:
x ≥ 3  או  x ≤ -3
וזה תחום ההגדרה.

דרך אחרת לפתרון האי שוויון
x² – 9 ≥ 0
היא להתייחס אליו כאי שוויון ריבועי.
כלומר לשרטט סקיצה של פרבולה וכו…
הדרך השנייה ארוכה יותר.

תרגיל 5
(f (x) = √(2x² + 4

פתרון
הביטוי בתוך השורש מחולק לשניים.
2x² שהוא חיובי תמיד.
4 שהוא חיובי תמיד.
לכן
2x² + 4 חיובי תמיד והפונקציה מוגדרת לכל x.

תרגיל 6
(f (x) = √(x² – 10x + 16

פתרון
תחום ההגדרה הוא:
x² – 10x + 16 ≥ 0.

נפתור את אי השוויון בעזרת פירוק טרינום.
x² – 10x + 16 ≥ 0
x – 2x – 8x + 16≥ 0
x (x – 2) – 8(x – 2) ≥ 0
x – 2) (x – 8) ≥ 0)

זו פרבולה עם נקודת מינימום ("מחייכת") שנקודות החיתוך שלה עם ציר ה x הן:
x = 2,  x = 8
סקיצה של הפרבולה נראית כך:

אנחנו מעוניינים בחלק החיובי של הפרבולה ועל פי הגרף הוא נמצא בתחומים:
x ≥ 8  או  x ≤ 2.
וזה תחום ההגדרה של הפונקציה.

תרגיל 7
(f (x) = √(-x² + 3x + 10

פתרון
תחום ההגדרה הוא פתרון האי שוויון של:
x² + 3x + 10 ≥ 0-.

אם נפתור את המשוואה הריבועית
x² + 3x + 10 = 0-
בעזרת נוסחת השורשים נקבל:
x1 = -2, x2 = 5

זאת פרבולה עם נקודת מקסימום (בוכה).
לכן סקיצה של הפרבולה נראית כך:

אנו צריכים את התחום שבו האי שיווין חיובי וזה על פי הגרף כאשר:

זהו תחום ההגדרה של הפונקציה.

תרגיל 8

תחום הגדרה פונקציית שורש

פתרון

נשים לב כי השורש נמצא במכנה, ולכן אינו יכול להתאפס.
לכן תחום ההגדרה ניתן על ידי האי שוויון
x² – 6x + 9 > 0.
חלק מאתנו מזהים שאי שוויון זה שקול לאי שוויון
x-3)² > 0)

מי שלא מזהה צריך לפתור את המשוואה הריבועית בעזרת משוואה ריבועית או נוסחת השורשים.

האי שוויון
x-3)² > 0)
מתקיים עבור כל x, מלבד x= 3.
כלומר, תחום ההגדרה של הפונקציה הוא x ≠ 3.

תרגיל 9
(f (x) = √(x² + 8x + 7) – √(x + 4

פתרון
ניתן להתייחס אל התרגיל כאילו יש לנו שתי פונקציות שאנו נמצא את תחום ההגדרה של כל אחת מיהן בנפרד ואז נעשה "וגם" לתוצאות שנקבל.

במקרה שלנו , h(x) = x² + 8x + 7.
g(x) = x + 4
לכן נדרוש : h(x) ≥ 0  וגם  g(x) ≥ 0.

נפתור את אי השוויון g(x) ≥ 0:
x + 4 ≥ 0
x ≥ – 4

כעת נתייחס לאי השוויון של  h(x) ≥ 0 .
זוהי פרבולה "מחייכת" (המקדם של x² חיובי).
שעל ידי פירוק לגורמים ניתן לכתוב אותה כך:
x+1)*(x+7) = 0)
הפתרונות הם:
x1 = -1, x2 = -7
לכן התחום בו (f(x חיובית ( או שווה ל – 0) הוא :
x ≥ -1  או  x ≤ -7.

כעת נמצא את החיתוך בין התחומים שמצאנו:
1. x ≥ – 4
2. x ≥ -1  או  x ≤ -7.
החיתוך הוא : x ≥ -1.
זהו תחום ההגדרה של הפונקציה.

תרגיל 10

פתרון

תחום ההגדרה של הפונקציה      הוא:  f(x) ≥ 0.
במקרה שלנו , f(x) = -2x² + 6x – 4.
g(x) = x² + 2x – 15
לכן נדרוש : f(x) ≥ 0  וגם  g(x) ≥ 0.
נפתור את אי השוויון:
x² + 2x – 15 ≥ 0   וגם  2x² + 6x – 4 ≥ 0-
ראשית נתייחס לאי השוויון של  (g(x.
זוהי פרבולה "מחייכת" (המקדם של x² חיובי).
לכן היא תהיה חיובית מחוץ לנקודות החיתוך שלה עם ציר x.
כלומר , אם נקודות החיתוך הן : a , b , כאשר b > a ,
אז היא תהיה חיובית בתחומים :
1. מינוס אינסוף עד a.
2. b עד אינסוף.
נמצא את נקודות החיתוך:
x² + 2x – 15 = 0
פירוק לגורמים:
x+5)*(x-3) = 0)
x1 = -5,  x2 = 3
לכן התחום בו (g(x חיובית ( או שווה ל – 0) הוא :
x ≥ 3  או  x ≤ -5.

כעת נתייחס לאי השוויון של (f(x:
זוהי פרבולה "עצובה" (המקדם של x² שלילי).
לכן היא תהיה חיובית בין נקודות החיתוך שלה עם ציר x.
כלומר , אם נקודות החיתוך הן : a , b , כאשר b > a ,
אז היא תהיה חיובית בתחום:  a < x < b
נמצא את נקודות החיתוך:
2x² + 6x – 4 = 0-
נכפול ב 1/2- :
x² – 3x + 2 = 0
פירוק לגורמים:
x-1)*(x-2) = 0)
x1 = 1, x2 = 2
לכן התחום בו (f(x חיובית ( או שווה ל – 0) הוא :

כעת נמצא את החיתוך בין התחומים שמצאנו:
1. x ≥ 3  או  x ≤ -5.
2. 
אין x המקיים את שני התחומים הנ"ל.
לכן תחום ההגדרה של הפונקציה הוא אף x.

פונקציית שורש תחום הגדרה עם פרמטרים

התרגילים בחלק זה:

  1. (f (x) = √(x – a
  2. (f (x) = √(-x + a
  3. (f (x) = √(-x² + ax + 8

תרגיל 1
הפונקציה
(f (x) = √(x – a
מוגדרת עבור x  ≥  -4.
מצאו את a וכתבו את הפונקציה ללא פרמטר.

פתרון
נגדיר את תחום ההגדרה של הפונקציה באמצעות a.
x – a  ≥  0
x ≥ a
אנו יודעים גם כי
x  ≥  -4.
לכן a = -4

הפונקציה היא:
(f (x) = √(x + 4

תרגיל 2
הפונקציה
(f (x) = √(-x + a
מוגדרת עבור x ≤ – 2.
מצאו את a וכתבו את הפונקציה ללא פרמטר.

פתרון
נגדיר את תחום ההגדרה באמצעות a.
x + a  ≥  0-
x ≤ a
תחום ההגדרה הוא גם:
x ≤ – 2
לכן a = -2.

הפונקציה היא:
(f (x) = √(-x – 2

תרגיל 3
הפונקציה
(f (x) = √(-x² + ax + 8
מוגדרת בתחום

מצאו את a.

פתרון
ידוע כי הפונקציה מוגדרת כאשר  x ≤ 2  וגם  x ≥ – 4.
לכן נקודות החיתוך של החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x היא x = 2,  x = -4

כלומר כאשר נפתור את המשוואה הריבועית  x² + ax + 8 = 0-
הפתרונות שלה צריכים להיות: x = 2,  x = -4

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:


נדרוש שהשורש החיובי יהיה x1 = 2, לכן:

נכפול את שני אגפי המשוואה ב – 2-.

a + √(a² + 32) = -4-
a² + 32) = a – 4)√

נעלה בריבוע את שני אגפי המשוואה:
a² + 32 = (a – 4)²

נפתח סוגריים לפי נוסחת כפל מקוצר:
a² + 32 = a² – 8a + 16
נעביר אגפים ונכנס איברים:
8a = -16
a = -2.
מצאנו ערך אפשרי לפרמטר a.

נצטרך לבדוק אם הוא באמת מתאים גם לדרישה השנייה :
השורש השלילי צריך להיות x2 = -4. לכן:

נכפול את שני אגפי המשוואה ב 2-.
a – √(a² + 32) = 8
a² + 32) = -a – 8)√

נעלה בריבוע את שני אגפי המשוואה:
a² + 32 = (-a -8)²
נפתח סוגריים לפי נוסחת כפל מקוצר:
a² + 32 = a² + 16a + 64
נעביר אגפים ונכנס איברים:
16a = -32
a = -2
גם כאן מתקיים כי a = -2.

לכן פתרון השאלה הוא a = -2.

תרגיל 4
עבור אלו ערכי a הפונקציה הבאה מוגדרת לכל x.

פתרון
הפונקציה מוגדרת תמיד אם מתקיים:
x² + ax + 16 > 0
וזה קורה אם למשוואה הריבועית אין פתרונות (תנאי נוסף הוא שזו תהיה פרבולת מינימום ומכוון שהמקדם של x² חיובי זו אכן פרבולת מינימום).

למשוואה הריבועית אין פתרונות כאשר
a² – 4*1*16 > 0
a² > 64
לאי שוויון זה שני פתרונות:
a > 8  או   a < -8.
בתחומים הללו הפרבולה מוגדרת לכל x.

תרגיל 5

  1. האם הפונקציה הבאה יכולה להיות מוגדרת תמיד עבור a < 0.
  2. עבור אלו ערכי a הפונקציה מוגדרת תמיד?

פתרון
על מנת שהפונקציה תהיה מוגדרת תמיד המשוואה הריבועית שבתוך השורש צריכה להיות גדולה מ 0 תמיד.
ax² + 6x + 2 > 0

תנאי ראשון על מנת שזה יקרה
פרבולת מקסימום היא אף פעם לא חיובית תמיד.
לכן a < 0 אינו אפשרי.
לכן זו פרבולת מינימום.
התנאי לפרבולת מינימום הוא:
a > 0

תנאי שני על מנת שזה יקרה
למשוואה הריבועית לא יכולים להיות פתרונות:

עבור טווח הערכים:

הפונקציה מוגדרת לכל x.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

8 מחשבות על “תחום הגדרה פונקציית שורש”

  1. אוראל גרוסמן

    תודה רבה אני יום לפני בגרות וזה נושא שהייתי צריך חיזוק בו וממש עזרת לי יאלוף אני ממש מודה לך תמשיך לעזור לאנשים

  2. שלום, בדוגמה שבסרטון יש שתי תוצאות למשוואה X^2+6X. התוצאות הן 0 ומינוס שש. אבל בשרטוט הפרבולה השתמשת בנקודות 0 ו6. זה אמור להיות ככה?
    תודה רבה על כל העבודה המדהימה שאתה עושה!! עמוד מעולה.

להגיב על רון ביטול התגובה

האימייל לא יוצג באתר.