חיבור, חיסור, כפל וחילוק של פונקציות בעזרת גרפים

בדף זה נלמד להסיק את תוצאת החיבור / חיסור / כפל / חילוק של פונקציות בעזרת הגרפים של הפונקציות.

1.חיבור וחיסור גרפים

הערה: אם ערכי ה y המתאימים לערכי ה x אינם ברורים לכם כתבו כתשובה מספר מקורב.

דוגמה

נתונים הגרפים של הפונקציות f(x), g(x).

מגדירים את הפונקציה h(x) כך:

h(x) = f(x) + g(x).

1.חשבו את h(1).

2.נסו לאתר את ערך ה x שבו הפונקציה h(x) חותכת את ציר ה x.

 

פתרון סעיף א (חישוב h(1))

h(x) = f(x) + g(x).

ולכן:

h(1) = f(1) + g(1).

בעזרת הגרף נמצא:

f(1) = -1

g(1) = 5

נקבל:

h (1) = -1 + 5 = 4

פתרון סעיף ב (חיתוך עם ציר ה x)

אנו מחפשים:

h(x) = 0.

עד x = -2 שתי הפונקציות שליליות ולכן גם h(x) שלילית.

נתחיל לסרוק את ערכי ה x שלאחר מיכן:

עבור x = -1.

f (-1) = -3

g (-1) = 1.75

ולכן h(x) שלילית.

עבור x = 0.

f (0) = -2

g (0) = 3

ולכן h(x) חיובית.

מסקנה: הפונקציה h(x) חותכת את ציר ה x בערך ב x = 0.

2.כפל וחילוק גרפים

אזכיר את הכלל הבא:

כפל / חילוק של שני מספרים חיוביים או שני שליליים – תוצאתו חיובית.

כפל / חילוק של מספר חיובי ומספר שלילי –  תוצאתו שלילית.

דוגמה

נתונים הגרפים של f(x), g(x).

ומוגדרת הפונקציה

h(x) = f(x) * g(x)

1.מצאו את נקודות החיתוך של הפונקציה h(x) עם ציר ה x.

2.מצאו את תחומי החיוביות והשלילית של h(x).

3.שרטטו סקיצה של h(x).

הערה:

אולי יותר קל לפתור את סעיף 3 (שרטוט) ולאחר מיכן את סעיף 2 (תחומי חיוביות) אבל אנחנו לא נפעל כך במקרה זה בגלל הרצון לזהות חיוביות / שליליות בעזרת אלגברה ולא בגרף.

פתרון סעיף א (חיתוך עם ציר ה x)

h(x) = f(x) * g(x)

ואנו מחפשים מתי:

h(x) = 0

זה קורה כאשר:

f(x) = 0

x = 1

או

g(x) = 0

x = -2

תשובה:
x = 1
x = -2

סעיף ב (תחומי חיובית ושליליות ללא גרף)

h(x) = f(x) * g(x)

כדי לזהות את תחומי החיוביות והשליליות של h(x) עלינו לזהות את תחומי החיוביות והשלילית של הפונקציות f(x), g(x).

x < -2
פונקציה אחת שלילית ואחת חיובית.

ולכן h(x) שלילית.

-2 < x < 1

שתי הפונקציות חיוביות ולכן h(x) חיובית.

x > 1

פונקציה אחת שלילית ואחת חיובית.

ולכן h(x) שלילית.

סעיף ג (שרטוט גרף h(x))

בסעיף א מצאנו כי:

x = -2,   x = 1

אלו הן נקודות החיתוך עם ציר ה x.

בנוסף ב x = -3 הפונקציה h(x) שלילית.

גרף שעומד בתנאים הללו חייב להראות כך:

דוגמה 2

נניח והגרפים של הפונקציות היו נראים כמשורטט למטה.

כיצד היה נראה הגרף של

h(x) = f(x) * g(x)

פתרון

במקרה זה עבור

x = -2

h(x) = 0

אבל מכוון ש g(x) חיובית עבור כל x מלבד x = -2 סימן הפונקציה h(x) זהה לסימן הפונקציה f(x).

נשרטט את h(x).

נסמן את הנקודות שבה h(x) שווה 0.

x = – 2
x = 1

כמו כן עבור x = – 4 הפונקציה h(x) חיובית (בדומה ל f(x)).

x = -2 השקה.
x = 1  חיתוך.

ולכן הגרף הוא:

3.תרגיל

בשרטוט שלמטה נתונים הגרפים של הפונקציות:

• f(x) בשחור.
• g(x) באדום.

עבור הפונקציה h(x) מצאו את הדברים הבאים.

1. עבור הפונקציה h(x) = f(x) + g(x) מצאו את h(2).

2א. עבור הפונקציה h(x) = f(x) * g(x)  מצאו באלו תחומים הפונקציה h(x) חיובית ובאלו שלילית.

2ב. שרטטו את גרף הפונקציה h(x) כפי שהוגדרה בסעיף 2א.