דו איבר בריבוע, נוסחאות הכפל המקוצר

בדף זה נלמד להשתמש בנוסחאות
a + b)²= a² + 2ab + b²)
a – b)²= a² – 2ab + b²)
הנוסחאות הללו נקראות דו איבר בריבוע.

הדף מחולק ל 7 חלקים:

  1. תקציר
  2. הוכחת הנוסחאות.
  3. תרגילים בהם צריך לפתוח סוגריים.
  4. תרגילים בהם צריך לסגור סוגריים.
  5. פתיחת סוגריים כאשר צריך לכפול באיבר נוסף
  6. מקרים מיוחדים.
  7. פתיחת סוגריים עם שברים
לצפייה בקישורים בנושא נוסחאות הכפל המקוצר ופירוק לגורמים
  1. הנוסחה להפרש ריבועים   (a² – b²= (a-b)*(a+b.
  2. נוסחאות הכפל המקוצר פתרון משוואות בעזרת שלושת הנוסחאות (דף מסכם).
  3. פתרון משוואות עם שברים אלגבריים – מכל הסוגים.
  4. טרינום – כיצד לפרק טרינום.
  5. פירוק לגורמים – כל השיטות.

1.תקציר

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
מנוי נרכש בתשלום חד פעמי של 119 89 שקלים.
המנוי לקורס תקף עד 30.6.2022.

לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

2.הוכחת הנוסחאות

על פי הכלל הבסיסי של חזקות אנו יודעים כי
(a + b)² = (a + b) (a + b)

אם כך ניקח את הביטוי
(a + b) (a + b)
ונפתח את הסוגריים:

(a + b) (a + b) = a*a + ab + ba + b*b
a² + 2ab + b²

וכך הוכחנו:
(a+b)²= a²+2ab+b²

הוכחה עבור הנוסחה
(a-b)²= a²-2ab+b²

בצורה דומה נוכל לכתוב:

(a – b)² = (a – b) * (a – b)
a*a + a * (-b) + (-b) * a + (-b) * (- b)
a² – ab – ab + b²
a² -2ab + b²

3.פתיחת סוגריים

בחלק זה נשתמש בשתי הנוסחאות
a + b)²= a² + 2ab + b²)
a – b)²= a² – 2ab + b²)

על מנת לפתוח סוגריים.
כלומר נקבל ביטויים כמו:
x + 3)²)
x – 4)²)
ונפתח להם את הסוגריים.

דוגמה 1
x + 3)²)

פתרון
על פי הנוסחה a + b)²= a² + 2ab + b²)
x + 3)² = x² + 2*x*3 + 3²)
x² + 6x + 9

דוגמה 2
x – 4)²)

פתרון
על פי הנוסחה a – b)² = a² – 2ab + b²)
x – 4)²) = x² – 2*x* 4  + 4²)
x² – 8x + 16

דוגמה 3 (מקדם של a גדול מ 1)
4x – 3)²)

פתרון
מעבר לנוסחה שבה השתמשנו עד עכשיו נשתמש גם בחוק החזקה האומר כי:
a*b)² = a² * b²)
במקרה שלנו נקבל:
4x)² = 4²x² = 16x²)

נחזור אל הביטוי עצמו:
4x – 3)² =(4x)² -2*4x*3 +3² = 16x² – 24x + 9)

דוגמה 4 (מינוס לפני הסוגריים).

פתרון
במקרה זה בשלב ראשון נפתח על פי נוסחאות הכפל המקוצר ונשאיר את המינוס מחוץ לסוגריים.

ולאחר מיכן נכפיל את מה שיש בסוגריים ב 1-.

תרגילים

תרגילים 6-10 קשים יותר.

  1.   x + 1)²)
  2.   x + 6)²)
  3.   x + 10)²)
  4.   x – 2)²)
  5.   x – 5)²)
  6.   x – 0.5)²)
  7. 2x +4)²)
  8.  3x – 2)²)
  9. 4x+1)²)
  10. 3x – 5b)²)

פתרונות

תרגיל 1
x + 1)²)

לחצו לצפייה בפתרון

x + 1)² = x² + 2x *1 + 1²)
x² + 2x + 1

 

תרגיל 2
x + 6)²)

לחצו לצפייה בפתרון

x + 6)² = x² + 2x *6 + 6²)
x² + 12x + 36

תרגיל 3
x + 10)²)

לחצו לצפייה בפתרון

x + 10)² = x² + 2x *10 + 10²)
x² + 20x + 100

תרגיל 4
x – 2)²)

לחצו לצפייה בפתרון

x – 2)² = x² – 2x *2 + 2²)
x² – 4x + 4

תרגיל 5
x – 5)²)

לחצו לצפייה בפתרון

x – 5)² = x² – 2x *5 + 5²)
x² – 10x + 25

תרגיל 6
x – 0.5)²)

לחצו לצפייה בפתרון

x – 0.5)² = x² – 2x *0.5 + 0.5²)
x² – x + 0.25

תרגיל 7
= 2x +4)²)

לחצו לצפייה בפתרון

2x +4)² = 4x² + 16x+ 16)

תרגיל 8
= 3x – 2)²)

לחצו לצפייה בפתרון

3x-2)² = 9x² – 12x + 4)

תרגיל 9
4x+1)²)

לחצו לצפייה בפתרון

4x+1)² = 16x² +8x +1)

תרגיל 10
3x – 5b)²)

לחצו לצפייה בפתרון

נשתמש בנוסחה:
a-b)²= a²-2ab+b²)
ונקבל:
3x)² – 30xb+ (5b)² = 9x² – 30xb + 25b²)

4.סגירת סוגריים

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
מנוי נרכש בתשלום חד פעמי של 119 89 שקלים.
המנוי לקורס תקף עד 30.6.2022.

לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

 

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

9 מחשבות על “דו איבר בריבוע, נוסחאות הכפל המקוצר”

  1. קודם כל אני רוצה להודות לך. האתר מדהים ועזרתה לי המון! בשלושה תרגילים האחרונים בשורה האחרונה שלהם לא הבנתי למה החזקות עלו. לדוגמא: בתרגיל הראשון מבניהם 1+6+9 בשנייה הפכו ל 25+120איקס+144איקס ברביעית .למה הוספנו איקס ל120.
    ולמה החזקה 9בשנייה הפכה ל144 ברביעית?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      דו איבר בריבוע זה בעצם דו איבר כפול דו איבר וזה מוסבר בדף זה:
      x + 3)² = (x + 3) * (x + 3))
      אם את צריכה דו איבר בריבוע כפול דו איבר בריבוע אז קודם כל משתמשים בנוסחה הנלמדת כאן, שומרים על הסוגריים ואז מכפילים סוגריים בסוגריים.

  2. ליזה קליאצקין

    התרגילים האחרונים בעמוד זה, 2 ו 3. אפשר בבקשה הסבר לחזקות? מה קרה עם החזקות לקראת סוף התרגיל?

להגיב על לומדים מתמטיקה ביטול התגובה

האימייל לא יוצג באתר.