פירוק לגורמים בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר

כאן באתר אנו לומדים את נוסחאות הכפל המקוצר ב 3 שלבים:

  1. פתיחת סוגריים.
  2. פירוק לגורמים
  3. פתרון משוואות.

בדף זה אנו בחלק השני של פירוק לגורמים.
נושא שדורש זמן.

על מנת להצליח בדף זה חשוב שתדעו:

1.,תכירו את נוסחאות הכפל המקוצר:

הנוסחה להפרש ריבועים
(a² – b²= (a-b)*(a+b

דו איבר בריבוע
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² – 2ab + b² = (a – b)²

a – b)²= a² – 2ab + b²)

2.כיצד מעלים בריבוע או מוצאים שורש לביטוי הכולל x ומספר

העלאה בריבוע של שני איברים נעשית על פי חוק החזקה הזה:

(ab)² = a² * b²

דוגמה 1
(4x)² = 4² * x² = 16x²

דוגמה 2
(10x)² = 10² * x² = 100x²

דוגמה 3*
(-0.5x)² = (-0.5)² * x² = 0.25x²

דוגמה 4**
(3x²)² = 3² * (x² )2 = 9x4

הוצאת שורש
הוצאת שורש לשני איברים נעשית על פי חוק השורשים הזה:

√(ab) = √a * √b

ואם אנו רוצים ניתן להבין את חוק השורשים הזה כחוק חזקה (כל חוקי השורשים הם בעצם חוקי חזקות).
אז ניתן לכתוב אותו כך:

(ab)0.5 = a0.5 * b0.5

דוגמה 1
√(16x²) = √16 * √x² = 4x

דוגמה 2
√(9x²) = √9 * √x² = 3x

דוגמה 3
√(100x²) = √100 * √x² = 10x

דוגמה 4*
√(0.25x²) = √0.25 * √x² = 0.5x

דוגמה 5**
√(36x4) = √36 * √x4 = 6x²

סגירת סוגריים

לחצו לדוגמאות וידאו נוספות

 

כך הסתכלנו על המשוואות על מנת לפתוח סוגריים:

a-b)*(a+b) = a² – b²)

a + b)²= a² + 2ab + b²)
a – b)²= a² – 2ab + b²)

על מנת לסגור סוגריים נשתמש במשוואות בכיוון ההפוך:

(a² – b²= (a-b)*(a+b

a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² – 2ab + b² = (a – b)²

בכל המקרים אנו נוציא שורש על מנת לסגור סוגריים.
לכן נחפש ביטויים ומספרים שהשורש שלהם עגול.

דוגמאות

דוגמה 1

(x² – 9 =(x – 3) (x + 3

דוגמה 2

(x² – 25 =(x – 5) (x + 5

דוגמה 3

16 – x² = (4 + x)(4 – x)

דוגמה 4

כאשר הסימן השלילי יופיע משמאל נשנה את הסדר ונפתור

– x² + 100 = 100 – x²
(10 – x) (10 + x)

תרגילים עם הנוסחה להפרש ריבועיים

  1. = x² – 100
  2.   = x² – 64
  3.   = x² – 6
  4.   = x² – 1
  5.   = x² – 0.25
  6.   = x² – 0.01
  7.   =  x² – b²

פתרונות

תרגיל 1

= x² – 100

לחצו לצפייה בפתרון

(x² – 100 =(x – 10) (x + 10

תרגיל 2
= x² – 64

לחצו לצפייה בפתרון

(x² – 64 =(x – 8) (x + 8

תרגיל 3
= x² – 6

לחצו לצפייה בפתרון

(x² – 6 =(x – √6) (x + √6

תרגיל 4
= x² – 1

לחצו לצפייה בפתרון

(x² – 1 = (x – 1) (x + 1

תרגיל 5
= x² – 0.25

לחצו לצפייה בפתרון

(x² – 0.25 =(x – 0.5) (x + 0.5

תרגיל 6
= x² – 0.01

לחצו לצפייה בפתרון

(x² – 0.01 =(x – 0.1) (x + 0.1

תרגיל 7
x² – b²

לחצו לצפייה בפתרון

(x² – b² =  (x + b) (x- b

פירוק לגורמים עם הנוסחאות לדו איבר בריבוע

דוגמה 1
x² + 6x + 9 = (x + 3)²

דוגמה 2
x² – 10x + 25 = (x – 5)²

דוגמה 3 (עם שבר)

x² + x + 0.25 = (x + 0.5)²

תרגילים

שימו לב: בין התרגילים משולבים תרגילים שבהם לא ניתן להשתמש בנוסחה.

  1.   = x² + 8x + 16
  2.  = x² – 20x + 100
  3.   = x² + 4x + 9
  4.   = x² + 14x + 49
  5.   = x² – 2x + 1
  6.   = x² + 10x + 20

פתרונות

תרגיל 1
= x² + 8x + 16

לחצו לצפייה בפתרון

משוואה זו מתאימה ל:
a² + 2ab + b² = (a + b)²

x² + 8x + 16 = (x + 4)²

תרגיל 2
= x² – 20x + 100

לחצו לצפייה בפתרון

משוואה זו מתאימה ל:
a² – 2ab + b² = (a – b)²

x² – 20x + 100 = (x – 10)²

תרגיל 3
= x² + 4x + 9

לחצו לצפייה בפתרון

משוואה זו לא מתאימה לנוסחת הכפל המקוצר
a² + 2ab + b² = (a + b)²
משום שאם
a = 1, b = 3
אז האיבר 2ab
צריך להיות שווה ל 6x
ובמשוואה שקיבלנו יש 4x.
לכן לא ניתן לבצע את הפירוק.

תרגיל 4
= x² + 14x + 49

לחצו לצפייה בפתרון

משוואה זו מתאימה ל:
a² + 2ab + b² = (a + b)²

x² + 14x + 49 = (x + 7)²

תרגיל 5
= x² – 2x + 1

לחצו לצפייה בפתרון

משוואה זו מתאימה ל:
a² – 2ab + b² = (a – b)²

x² – 2x + 1 = (x – 1)²

תרגיל 6
= x² + 10x + 20

לחצו לצפייה בפתרון

משוואה זו לא מתאימה לנוסחת הכפל המקוצר
a² + 2ab + b² = (a + b)²
משום שאם
a = 1, b = √20
אז האיבר 2ab
צריך להיות שווה ל 20√*2x
ובמשוואה שקיבלנו יש 10x.
לכן לא ניתן לבצע את הפירוק.

 

פירוק לגורמים תרגילים קשים יותר

1.כאשר צריך להוציא גורם משותף לפני

השלב הראשון בפירוק לגורמים הוא תמיד בדיקה אם ניתן להוציא גורם משותף.

במיוחד אם לא הצלחתם לפרק לגורמים בדקו אם  ניתן להוציא גורם משותף.

(3x² – 12 = 3 (x² – 4) = 3(x +2) (x – 2

(x³ + 4x² + 4x = x (x² + 4x + 4
x (x +2)²

2.כאשר ל x² צמוד מספר

 

(9x² – 4  = (3x – 2) (3x +2

9x² + 12x + 4 = (3x + 2)²

 3.כינוס איברים

כאשר יש לנו מספר איברים עם חיבור וחיסור בניהם, כנראה שנצטרך לפתוח סוגריים, לכנס איברים לפני שנבצע פירוק לגורמים.

(x – 2)² = – 4x + 8

x² – 4x + 4 = -4x + 8
x² – 4 = 0
(x – 2) (x + 2) = 0

 

3. כאשר יש שברים

 

(x² – 0.01 = (x – 0.1) (x + 0.1

x² + x + 0.25 = (x + 0.5)²

 

4.כאשר סדר הכתיבה שונה מנוסחה

 

אנו יכולים לקבל את הביטוי בצורה שתקשה עלינו את הזיהוי של הפירוק לגורמים.

-36 + x² = x² – 36
(x + 6)(x – 6)

9 + x² -6x = x² – 6x + 9
(x – 3)²

5.כאשר יש שני משתנים

 

(x² – y² = (x – y) (x + y

(100a² – 16b² = (10a – 4b) (10a + 4b

x² + 8xy + 16y² = (x + 4y)

 

6.המספר 1

 

רבים מאיתנו שוכחים ש:

√1 = 1

ולכן:

 x² + 2x + 1 =(x + 1)

x² – 1 = (x + 1)(x – 1)

תרגילים קשים עם הנוסחה להפרש ריבועי
  1. = 25x² – y²
  2.   = 16x² – 16
  3.   = 4x² – 49
  4.   = 100x² – 9y²
  5.   = 3x² – 75
  6.   = 32x² – 200
  7.   = x² + 16-
פתרונות

תרגיל 1
25x² – y²

לחצו לצפייה בפתרון

(25x² – y² = (5x+y) (5x-y

תרגיל 2
= 16x² – 16

לחצו לצפייה בפתרון

(16x² – 16  = (4x + 4) (4x – 4

תרגיל 3
= 4x² – 49

לחצו לצפייה בפתרון

(4x² – 49 =(2x + 7) (2x – 7

תרגיל 4
= 100x² – 9y²

לחצו לצפייה בפתרון

= (100x² – 9y² = (10x – 3y) (10x +3y

תרגיל 5
= 3x² – 75

לחצו לצפייה בפתרון

(3x² – 75 = 3(x² – 25) = 3(x + 5 ) (x – 5

תרגיל 6
= 32x² – 200

לחצו לצפייה בפתרון

(32x² – 200 = 2(16x² – 100) = 2(4x + 10 ) (4x – 10

 

תרגיל 7
= x² + 16-

לחצו לצפייה בפתרון

על מנת לפתור את התרגיל נשנה את סדר הכיתוב:
(x² + 16 = 16 – x² = (4 – x) (4 + x-

תרגילים קשים עם דו איבר בריבוע
  1.  = x³ – 10x² + 25x
  2.  = 4x² – 16x +16
  3. = 25x² + 30x + 9
  4. = 18x² – 60x + 50
פתרונות

תרגיל 1
= x³ – 10x² + 25x

לחצו לצפייה בפתרון

נוציא x כגורם משותף.
(x³ – 10x² + 25x = x(x² – 10x + 25

עכשיו נשתמש בנוסחה:
a² – 2ab + b² = (a – b)²
x(x² – 10x + 25) = x (x – 5)²

תרגיל 2
= 4x² – 16x +16

לחצו לצפייה בפתרון

נוציא 4 כגורם משותף.
(4x² – 16x +16 = 4(x² – 4x + 4

נשתמש בנוסחה ונפתור את התרגיל:
4x² – 16x +16 = 4(x – 2)²

תרגיל 3
= 25x² + 30x + 9

לחצו לצפייה בפתרון

משוואה זו מתאימה ל:
a² + 2ab + b² = (a + b)²
כאשר:
a = 5x,  b = 3
נקבל:
25x² + 30x + 9 = (5x + 3)²

תרגיל 4
= 18x² – 60x + 50

לחצו לצפייה בפתרון

נוציא גורם משותף 2.
(18x² – 60x + 50 = 2(9x² – 30x + 25

נבצע פירוק לגורמים על פי הנוסחה:
18x² – 60x + 50 = 2(3x – 5)²

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.