משפט פיתגורס

 

הסרטון השלישי כולל את משפט פיתגורס + שילובים נוספים למציאת אורך צלע.

שלושת הסרטונים שלמעלה הם סרטונים מסכמים בנושא משפט פיתגורס.

הסרטון הראשון היכרות וידע בסיסי.

הסרטון השני כולל סוגי שאלות בנושא משפט פיתגורס.

הסרטון השלישי עוסק במשפט פיתגורס יחד עם דברים נוספים ומיועד בעיקר לתלמידי כיתה ט.

ניתן ללמוד את הנושאים הללו גם דרך הקישורים הבאים או המשך הדף.

  1. חישוב בסיסי בעזרת משפט פיתגורס.
  2. שני משולשים עם צלע משותפת.
  3. שילוב של בעיות יחס / פרופורציה.
  4. משפט פיתגורס במשולש שווה שוקיים.
  5. שילוב משפט פיתגורס עם שטח משולש.
  6. איך ניתן לדעת על פי גדלי הצלעות האם המשולש הוא ישר זווית.
  7. משפט פיתגורס תרגילים קשים. (עבור תלמידי כיתה ט ומעלה).

1.היכרות עם משפט פיתגורס

משפט פיתגורס הוא משפט שניתן להשתמש בו במשולשים ישרי זווית בלבד.
בעזרת משפט פיתגורס ניתן למצוא את הצלע השלישית במשולש אם ידועות לנו שתי צלעות.

אם במשולש ישר זווית הניצבים הם a ו- b והיתר הוא c אז על פי משפט פיתגורס:

a²+b²=c².

ניתן לכתוב זאת גם כך:

² יתר = ² ניצב + ² ניצב

במשולשים הבאים הצלע החסרה היא היתר לכן המשוואה נראית כך:

 

במשולשים הבאים הצלע החסרה היא הניצב, לכן המשוואה נראית כך:

 

דוגמה 1
מצאו את הצלע החסרה על פי השרטוט הבא:
(הגדלים בסנטימטרים).

פתרון

לחצו לצפייה בפתרון

הצלע החסרה היא היתר.

לכן המשוואה היא:

3² + 4² = x²
9 + 16 = x²
25 = x²

x = 5  או  x = -5

מכוון ש x הוא גודל של צלע שצריך להיות חיובי הפתרון x = -5 נפסל.

תשובה: x = 5 סנטימטרים.

דוגמה 2
מצאו את הצלע החסרה על פי השרטוט הבא:
(הגדלים בסנטימטרים).

לחצו לצפייה בפתרון

הצלע החסרה היא ניצב.

לכן המשוואה היא:

x² + 9² = 15²
x² + 81 = 225
x² = 144
x = 12  או  x = -12

x מייצג צלע ולכן צריך להיות חיובי לכן x = -12 נפסל.

תשובה: x = 12 סנטימטר.

2.שני משולשים עם צלע משותפת

לפעמים השרטוט שנקבל יכלול שני משולשים ישרי זווית עם צלע משותפת.
בתרגיל יבקשו מאיתנו לחשב  אורך של צלע במשולש שלא ניתן לבצע בו חישוב.

במקרה זה נבצע חישוב מקדים במשולש שבו כן ניתן לבצע חישוב ולאחר מיכן נמצא

דוגמה 1
על פי הנתונים שבשרטוט, כיצד נחשב את הצלע CD?

פתרון
הצלע CD שייכת למשולש ישר זווית ACD שבו אין לנו מספיק נתונים על מנת לבצע חישוב.
לכן:

  1. נחשב את AC במשולש ABC.
  2. במשולש ACD נדע את AC, AD וכך נחשב את CD.

שימו לב שלאחר שחישבנו את CD אנו יכולים גם לחשב את שטח משולש ABD.

דוגמה 2
בעזרת הנתונים שבשרטוט חשבו את שטח המרובע ABCD.

פתרון
נשים לב ששטח המרובע מורכב מחיבור של שטחי המשולשים ישרי הזווית
SABCD = SABC + SACD
את שטח משולש ABC כבר ניתן לחשב:

לאחר מיכון נחשב:

  1. את צלע AC במשולש ABC.
  2. את צלע CD במשולש ACD.
  3. ואז ניתן לחשב את שטח משולש
  4. ACD.

3.יחס בין צלעות

ניתן לפתור תרגילים גם אם יודעים צלע אחת בלבד במשולש ואת היחס בין שתי הצלעות האחרות.

דוגמה 1
היחס ביון שתי הניצבים במשולש ישר זווית הוא 2:3.
אורך היתר במשולש הוא 10 סנטימטר.
חשבו את אורכי הניצבים במשולש.

פתרון
המפתח בפתרון שאלות יחס הוא לדעת להגדיר משתנים.
נושא הגדרת המשתנים מוסבר ביסודיות בדף בעיות יחס.
במקרה זה נגדיר:
2x  אורך ניצב אחד בסנטימטרים.
3x אורך ניצב שני בסנטימטרים.

והמשוואה בעזרת משפט פיתגורס תהיה:
2x)² + (3x)² = 10²)
4x² + 9x² = 100
13x² = 100
x² = 7.7
x = 2.77 או x = -2.77
מכוון ש x הוא גודל חיובי של צלע התשובה היא:
x = 2.77

אורכי הניצבים הם:
AB = 2x = 2*2.77 = 5.54
BC = 3x = 3*2.77 = 8.31

דוגמה 2

במשולש ישר זוויות היחס בין היתר לבין ניצב הוא 5:2.
אורך הניצב השני הוא 4 סנטימטר.
מה היא המשוואה שנבנה בעזרת משפט פיתגורס?

פתרון
יחס 5:2 זה אומר שהגדרת המשתנים שלנו תהיה:
5x אורך היתר.
2x  אורך הניצב.
לכן המשוואה תהיה:

2x)² + 4² = (5x)²)

כך נראה המשולש:

4.משפט פיתגורס ומשולש שווה שוקיים

תכונה ראשונה
במשולש שווה שוקיים:
אם אנחנו יודעים את שלושת צלעות המשולש
אז ניתן למצוא את אורך הגובה לבסיס ואת שטח המשולש.

למשל ניתן למצוא את שטח המשולש שבשרטוט.

עושים זאת על ידי העברת גובה שהוא גם תיכון לצלע BC.
ואז ניתן לחשב את AD ואת שטח משולש ABC אם צריך.

AD² + 7² = 10²

תכונה שנייה
אם המשולש הוא שווה שוקים וישר זווית.
אז במידע ונדע צלע אחת של המשולש ולא חשוב איזו נוכל לדעת את שלושת הצלעות.

דוגמה 1
ידוע כי אורך היתר במשולש שווה שוקיים וישר זווית הוא 10 סנטימטר.

  1. מצאו את אורך השוקיים.
  2. חשבו את שטח המשולש.

פתרון
נגדיר את אורך כל אחד מהשוקיים כ x ונכתוב משוואה בעזרת פיתגורס.
x² + x² = 10²
בסופו של דבר נקבל:
x = √50

ושטח המשולש הוא 25 סמ"ר.

שימו לב להבדל בין שתי התכונות שלמדנו

  1. בכול המשולשים שהם שווה שוקיים ניתן למצוא את השטח עם יודעים את שלושת הצלעות.
  2. רק במשולשים שהם שווה שוקיים וישרי זווית ניתן למצוא בעזרת צלע אחת את שתי הצלעות האחרות.

5.שילוב של משפט פיתגורס עם שטח משולש

שטח משולש מחשבים תמיד כמכפלה של צלע בגובה חלקי 2.
אבל מכוון שיש 3 צלעות במשולש יש גם 3 דרכים לחשב את שטח המשולש.
בכל שלושת הדרכים שטח המשולש שנגיע אליו הוא אותו שטח.

התבוננו בשרטוט שלמטה ותגידו אם אתם יודעים כיצד ניתן למצוא את CD?

הדרך לפתרון:

  1. מוצאים את AB באמצעות משפט פיתגורס.
  2. משתמשים בזה ש CD * AB צריך להיות שווה ל AC * BC = 12. כדי למצוא את CD.

הפתרון המלא:
AB² = 3² + 4² = 25
AB = 5  או   AB = -5
מכוון ש AB היא צלע היא צריכה להיות חיובית והגודל השלילי נפסל.

לכן התשובה:
AB = 5

שטח משולש ABC הוא:

ניתן לחשב את שטח משולש ABC גם כך:

נכפיל את המשוואה שקיבלנו פי 2 ונקבל:
5CD = 12
CD = 2.4
תשובה: אורכו של הגובה CD הוא 2.4 ס"מ.

6.שילוב של משפט פיתגורס עם היקף משולש

תרגיל
היקף משולש הוא 24 סנטימטר.
אורך אחד הניצבים הוא 6 סנטימטר.
מצאו את אורך שתי הצלעות הנוספות במשולש.

פתרון
נגדיר :
x אורך הניצב השני.
ולכן אורך היתר הוא:

עכשיו אנו יכולים לבנות בעזרת משפט פיתגורס משוואה:
x² + 6² = (18 – x)²
x² + 36 = 324 – 36x + x²
36x = 288  / :36
x = 8

8 הוא אורכו של הניצב השני, נמצא את אורכו של היתר

7.משתנה אחד המגדיר שתי צלעות

בשאלות מסוג זה יש לנו נתון על צלע במשולש שאינו ישר זווית.
כמו AB = 15 בשרטוט שלפנינו.
AB=15, BC = 12,  AC=9
CD⊥AB.
ואנו צריכים למצוא את אחת מהצלעות AD, DB, CD.

משפט פיתגורס, שרטוט התרגיל

פתרון
AB = 15 זה נתון שאנו לא יודעים איך להשתמש בו.
אבל אם נגדיר
BD = x
AD = 15 – x

נגדיר את CD בעזרת פיתגורס בשני המשולשים ישרי הזווית.
במשולש CDB נמצא משוואה ראשונה:
CD² = 12² – X²

במשולש CDA נמצא משוואה שנייה:
(CD² = 9²-(15-X)² = 9²-(15-X) * (15 – x
(CD² = 9² – (225 – 15x – 15x +x²
(CD² = 81-( 225 – 30X + X²
CD² = 30X – X² -144

קיבלנו שתי משוואות:
CD² = 12² – X²
CD² = 30X – X² -144
אנו יכולים להשוות בין שתי המשוואות ולקבל משוואה עם נעלם אחד:

30X – X² -144 = 12² – X²
30X = 144+144=288
X=9.6

נציב במשוואה הראשונה ונקבל:
CD² = 12² – X²
CD = 12²-9.6²=51.84
CD = 7.2 ס"מ.

לסיכום פתרנו את השאלה בשלושה שלבים:

  1. בחירת משתנה שמאפשר לנו להגדיר שתי צלעות.
  2. יצירת שתי משוואות הכוללות צלע משותפת לשני המשולשים (הצלע CD).
  3. השוואה בין שתי המשוואות.

8.משפט פיתגורס במרובעים

ניתן דוגמאות למשפט פיתגורס במרובעים.

הנתונים יוצגו בשרטוט ולאחר מיכן תוצג דרך למצוא את הצלע החסרה.

תרגיל 1
המרובע ABCD הוא טרפז ישר זווית.
מצאו את AB.

פתרון מקוצר
נוריד את הגובה AE.
AECD מלבן.
AE = DC = 6
EB = BC – AD = 4
על פי משפט פיתגורס במשולש ABE.
AB² = 4² + 6²

תרגיל 2
במלבן
CD = 9
BD = 15
CE = 3
חשבו את EB.

פתרון
במשולש DCB נוכל למצוא את CB.
CB² = 15² – 9²
לאחר שנעשה זאת נוכל למצוא את EB בצורה הזו:
EB = BC – EC

תרגיל 3
במעוין היחס גדלי האלכסונים הוא 2:3.
אורך צלע המעוין היא 10 סנטימטר.
מצאו את אורכי אלכסוני המעוין.
(זכרו כי אלכסוני המעוין מאונכים זה לזה וחוצים זה את זה).

פתרון
נגדיר
2x  אורכו של חצי אלכסון מעוין.
3x  אורכו של החצי השני.
המשוואה על פי פיתגורס תהיה:
2x)² + (3x)² = 10²)

לאחר שנמצא את x עלינו להכפיל את x ב 4 ו 6 על מנת למצוא את אורכי האלכסונים.
כי 2x, 3x  הוגדרו כחצי מאורכי האלכסונים.

כך נראה התרגיל והגדרת המשתנים בשרטוט.
AO = 2x
BO = 3x

9.סיכום של הסיכום

לאחר שאתם שולטים בהצלבה בסיסית בנוסחת משפט פיתגורס עליכם לדעת שבחלק מהשאלות עליכם להתמקד בזיהוי המשולש שבו יש לכם מספיק נתונים על מנת לבצע חישובים ורק כך תוכלו לבצע חישוב במשולש שבו אתם צריכים למצוא את הצלע.

עליכם לדעת להגדיר צלעות באמצעות משתנה אחד כאשר נתון לכם היחס בין הצלעות.

לדעת להשתמש בתכונה של משולש שווה שוקיים ומשולש שווה צלעות בהם הגובה הוא גם תיכון.

לדעת לעשות שימוש בהיקף על מנת לבטא אורך צלע ולדעת לעשות שימוש בחישוב שטח משולש בשילוב עם פיתגורס.

כאשר נתון לכם גודל של צלע שלא שייכת למשולש ישר זווית בדקו אם ניתן על ידי פיצול הצלע לשני חלקים כן לבצע חישובים.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

16 מחשבות על “משפט פיתגורס”

  1. נתן צבי ליפשס

    שלום , דבר ראשון רציתי להגיד לך שהחומר שלך מאד עוזר לי !!! תודה רבה

    ורציתי לשאול , איך יכול להיות שבתרגיל 5 . { שילוב של משפט פיתגורס עם שטח משולש }
    יוצא ש AB = 5 הרי 25 בריבוע = 625
    כי ac2 + cb2 = ab2
    אז יוצא 25 בריבוע .
    ????
    תודה רבה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      המשוואה שנובעת מתרגיל 5 היא:
      AB² = 3² + 4²
      AB² = 25
      כלומר אין סיבה להעלות את 25 בריבוע כפי שהצעת.
      25 הוא החזקה השנייה של AB.

  2. שלום
    רציתי לשאול איך יצא שs=6 איך יצא שהשטח 6 את ab הבנתי ולא הבנתי איך הנתון הזה עוזר לי למצוא את השטח
    אשמח לתשובה מהירה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום מתן
      במשולש ישר זווית כן.
      היתר שווה לשורש של סכום ריבועי הניצבים.

  3. איך אני פותר תרגיל שידוע לי ניצב אחד ואת כל הזוויות ואני צריך למצוא את הניצב השני?

  4. לגבי הנוסחה
    חיפשתי גם במקומות אחרים ומצאתי שיש מקומות שבהם כותבים את הנוסחה בלי C בחזקת 2
    מה הנוסחה הנכונה?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      הנוסחה של משפט פיתגורס פשוטה ואני מניח שכתובה נכון בכמעט כל מקום.
      יתכן שבמקום c כתוב משהו אחר בעל אותה משמעות.
      אני אכתוב את הנוסחה במילים:
      ניצב בריבוע ועוד ניצב בריבוע שווה לייתר בריבוע.
      אם יש לך ספק כנס לויקיפדיה ותראה שם את אותה נוסחה.

  5. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    שלום אני תלמידה בכיתה ח אני לא מצליחה לעשות שלושה תרגילים מהמבחן למרות שהסבירו לי לא הבנתי אשמח אם אקבל עזרה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      צריך לדעת על אלו תרגילים מדובר. נסי לדבר איתי בצ'אט.
      אוכל לתת הסבר קצר או להפנות לדף המתאים.

  6. היי, בדף של משפט פיתגורס כתוב שבשאלות שבהם יש יחס נוצרות לעיתים משוואות כגון
    איקס בחזקת שתיים כפול שלוש איקס בחזקת שתיים שווה שש
    רציתי לשאול איך פותרים משפטי פיתגורס כאלה
    תודה

להגיב על משתמש אנונימי (לא מזוהה) ביטול התגובה

האימייל לא יוצג באתר.