אינטגרלים

מה הוא אינטגרל?
אינטגרל היא הפעולה ההפוכה לנגזרת.

בדף זה קישורים ללמידה של סוגים שונים של אינטגרלים.
חלקי הדף הם:

1. אינטגרלים על פי סוג הפונקציה.
2. חישובי שטחים בעזרת אינטגרלים.
3. אינטגרלים מיידים.
4. סוגי שטחים שניתן לחשב בעזרת אינטגרל.

1.אינטגרלים על פי סוג הפונקציה

1. אינטגרל של פולינום – זה האינטגרל הראשון שאתם צריכים ללמוד.
2. אינטגרל מסוים (אינטגרל בטווח ערכים).
3. אינטגרל של פונקציית שורש (נוסחה).
4. אינטגרל של פונקציה רציונלית (נוסחה).
5. אינטגרל של פונקציה רציונלית בעזרת הפיכתה לפולינום.
6. אינטגרל של פונקציה טריגונומטרית.
7. אינטגרל של פונקציה מעריכית.
8. אינטגרל של פונקציות לוגרתמיות.
9. אינטגרלים של פונקציות מורכבות.
10. מציאת אינטגרל על ידי זיהוי הנגזרת הפנימית.
11. אינטגרל לן על ידי זיהוי הנגזרת הפנימית.
12. אינטגרלים בשיטת ההצבה.
13. אינטגרלים על ידי חילוק פולינומים.
14. אינטגרלים נוסחאות.

2.חישובי שטחים בעזרת אינטגרלים

1. שטחים הנמצאים מעל ציר ה x או מתחת לציר ה x.
2. שטחים הנמצאים מעל ומתחת לציר ה x.
3. שטחים בין שתי פונקציות.
4. שטחים מורכבים.
5. אינטגרל חישוב שטחים (דף המסכם את 4 הדפים הראשונים).
6. אינטגרלים ושטחים עם פרמטרים.
7. חישוב שטחים בעזרת אינטגרל בפונקציית שורש.

בהמשך הדף תמצאו:

1. רשימה של אינטגרלים מידיים.
2. מידע (חשוב מאוד) על סוגים שונים של אינטגרלים. כיצד מחשבים שטח מעל ציר ה x, שטח בין שתי פונקציות ועוד.

3.אינטגרלים מידיים / נוסחאות אינטגרלים

אינטגרל למספר
אינטגרל למספר הוא מספר כפול x.
k dx = kx + c∫

למשל:
2dx = 2x +c∫
3dx = -3x + c-∫

אינטגרל לישר
kx dx = 0.5kx² + c∫

למשל:
7x dx = 0.5*7x² + c∫

אינטגרל לקבוע כפול פונקציה
k *f(x) dx = k * ∫ f(x) dx∫

אינטגרל לפולינום

אינטגרל לסינוס
sin x dx = -cox x + c∫

אינטגרל לקוסינוס
cos x dx = sin x + c∫

אינטגרל לוגרתמי

4.חישוב שטח בעזרת אינטגרל: סוגי שטחים

בבחינות הבגרות תשמשו בפעולת האינטגרל בעיקר על מנת לחשב שטח בין שני גרפים.
שני גרפים יכולים להיות מעל ציר ה- X או מתחתיו, להיות עם שניים או יותר נקודות חיתוך ועוד. בהתאם לתכונות הללו יש מספר דרכים להגדיר את האינטגרל.

1. חישוב שטח שכולו מעל ציר ה x

2. כאשר הפונקציה כולה מתחת לציר ה X – שמים את האינטגרל כולו בסימן מינוס.

3.כאשר פונקציה מעל ומתחת לציר ה- X

כאשר החלק מהפונקציה מעל ציר ה X וחלק מתחת – מחשבים את השטח שמעל בנפרד ואת השטח שמתחת בנפרד עם סימן מינוס ומחברים בין השטחים.

4.כאשר מחשבים שטח בין שתי פונקציות ואחת תמיד מעל האחרת

כאשר מחשבים שטח הנמצא בין שתי פונקציות שאחת מיהן תמיד גבוהה יותר מהשנייה – מחסרים את שתי הפונקציות ואז מחשבים את האינטגרל .
הערה : גם אם אחת מהפונקציות שלילית לא מתייחסים לכך משום שבכול מקרה מבצעים חיסור עלל הפונקציה הנמוכה יותר.

y = -x² + 4

5. כאשר פונקציה אחת נמצאת למעלה בחלק מהטווח ופונקציה שנייה בחלק אחר מהטווח

כאשר מחשבים שטח המוגבל בין שני פונקציות אשר פעם אחת פונקציה A גבוהה יותר ופעם אחרת פונקציה B – אז מחשבים בנפרד את השטחים ומחברים את השטחים.

6. כאשר מבקשים שני שטחים הנוצרים על ידי שתי פונקציות שונות וציר ה- X

שטחים מפוצלים – כאשר מבקשים את שטח של שתי פונקציות בשתי טווחי X שונים מחשב את האינטגרל של כל פונקציה בנפרד.

עוד באתר:

• מתמטיקה לכיתה י.
• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.