משפט תאלס

משפט תאלס הוא אחד המשפטים המרכזיים בתחום דמיון ופרופורציה.
בבחינת הבגרות הוא אחד המשפטים הבודדים שלא צריך להסביר, כלומר ניתן לכתוב "בגלל משפט תאלס" ולא צריך לכתוב "בגלל משפט תאלס האומר שקווים מקבילים יוצרים קטעים פרופציונליים על שוקי זווית".

החלקים של דף זה הם:

  1. הסבר למשפט תאלס + ההרחבות + טיפים לזכירת ההרחבות.
  2. 8 מצבים נפוצים בהם נעשה שימוש במשפט תאלס.
  3. 5 מצבים נפוצים בטרפז ובמעגל.
  4. תרגילים.

באתר תוכלו ללמוד גם:

  1. כיצד בונים משוואה בעזרת דמיון משולשים (או משפט תאלס).
  2. משפט חוצה הזווית.
  3. מתמטיקה לכיתה י.

1.משפט תאלס והרחבתיו: הסבר וטיפים לזכירה

משפט תאלס

שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית מקצים עליהן קטעים פרופורציונליים.

משפט תאלס
משפט תאלס

הרחבה ראשונה למשפט תאלס

אם DE ΙΙ BC אז מתקיימים השוויונות

שימו לב: אל כל השוויונות הללו ניתן להגיע גם מדמיון משולשים ΔADE ∼ ΔABC. לי זה עוזר לזכור את ההרחבה.

הרחבה ראשונה למשפט תאלס

טיפ לזכירת ההרחבה הראשונה
אם קשה לכם לזכור את המשוואה הנובעת מהמשוואה הראשונה שימו לב כי קיים דמיון משולשים
ADE ∼ ABC
וניתן להגיע למשוואה הנובעת ממשפט תאלס גם על ידי יחס בין צלעות מתאימות ביין משולשים דומים והנימוק:
"היחס בין צלעות מתאימות במשולשים דומים שווה".

הרחבה שנייה למשפט תאלס

אם DE ΙΙ BC אז מתקיימים השוויונות

הרחבה שנייה למשפט תאלס אם DE ΙΙ BC אז מתקיימים השוויונות BC/AD = BO/OD = CO/OA.

טיפ לזכירת ההרחבה השנייה
גם כאן כמו בהרחבה הראשונה:
אם קשה לכם לזכור את המשוואה הנובעת מהמשוואה הראשונה שימו לב כי קיים דמיון משולשים
ADE ∼ ABC
וניתן להגיע למשוואה הנובעת ממשפט תאלס גם על ידי יחס בין צלעות מתאימות ביין משולשים דומים והנימוק:
"היחס בין צלעות מתאימות במשולשים דומים שווה".

הקשר בין ההרחבות של משפט תאלס לדמיון משולשים

 

8 מצבים שבהם משתמשים במשפט תאלס (וכדאי להכיר מראש)

1.כאשר מוסיפים חותך נוסף.
אם נוסיף לשרטוט הרגיל של משפט תאלס את החותך AF.
נגלה שניתן להשתמש במשפט תאלס בשלושה משולשים שונים ABC, ABF, AFC, וליצור את השוויון המופיע בשרטוט.

משפט תאלס ליותר משני חותכים
משפט תאלס ליותר משני חותכים

את השוויון שלמעלה צריך להוכיח ועושים זאת כך:

במשולש AFB על פי משפט תאלס:

משפט תאלס במשולש AFB
משפט תאלס במשולש AFB

משפט תאלס במשולש ABC:

משפט תאלס במשולש ABC
משפט תאלס במשולש ABC

משני השוויונות יחד נובע:

2.כאשר יש שרטוט הכולל יותר משני ישרים מקבילים

נבחר שני ישרים מקבילים ונבנה משוואה בעזרת משפט תאלס.

כאשר יש יותר משני קווים מקבילים אנו בוחרים זוג קווים מקבילים ויוצרים משוואה על פי משפט תאלס:

3.כאשר יש שני זוגות של ישרים מקבילים בתוך משולש (בצורת Z)
במקרה זה ניתן ליצור משוואה עבור זוג ישרים מקבילים ואז ליצור משוואה שלישית הנובעת משתי המשוואות הראשונות.

המשוואה הראשונה היא משפט תאלס במשולש ABC.
המשוואה השנייה היא משפט במשולש ACE.
המשוואה השלישית נובעת משתי המשוואות הראשונות.

4.כאשר הישרים המקבילים הם בצורה הזו

5.מקבילית או מעוין החסומים במשולש

6.מלבן או ריבוע החסומים במשולש 
זה יוצר משפט תאלס, כמו כל ישר מקביל העובר בתוך משולש.

7.מלבן או ריבוע החסומים במשולש ישר זווית יוצרים פעמיים תאלס

8.מקבילית מכל סוג או טרפז שממשיכים את צלעם ומעבירים יוצרים משפט תאלס + דמיון משולשים

מצבים בטרפז ובמעגל שבהם ניתן להשתמש בתאלס

 

5. תרגילים עם פתרונות מלאים

1. תרגילים בסיסיים להבנת המשפט

בתרגילים הבאים הישרים DE║BC.  חשבו את הצלעות החסרות המסומנות באדום.

תרגילים בסיסיים על משפט תאלס

פתרונות

פתרון לשרטוט 1
שרטוט התרגיל

על פי משפט תאלס:

נציב מספרים ונקבל:

3EC = 4 * 9 = 36   / :3
EC = 12

פתרון שרטוט 2

שרטוט התרגיל

שימו לב שכאן מבקשים למצוא את אורך הצלע כולה (AC) ולא רק קטע ממנה (AE). ניתן לעשות זאת ישירות על ידי ההרחבה הראשונה למשפט תאלס או למצוא את אורך הקטע AE ולחבר קטעים.
כאן זה יתבצע בדרך השנייה כי היא יותר נוחה לתרגיל זה.

נחשב את אורך הצלע AE על פי משפט תאלס במשולש ABC.

2AE = 9 * 2  =18  / : 2
AE = 9

נחשב את AC:
AC = 9 + 2 = 11

פתרון שרטוט 3

שרטוט התרגיל

על פי ההרחבה הראשונה:

9AB = 10 * 12 = 120   /  9
AB = 13.33

סעיף ב
על פי ההרחבה הראשונה למשפט תאלס.

12DE = 9 * 24  / : 12
DE = 18

פתרון שרטוט 4

מציאת BD
על מנת למצוא את BD נמצא את OD.
על פי ההרחבה השנייה:

8OD = 4 *9 =36  / : 8
OD = 4.5

BD = 9 + 4.5 = 13.5

סעיף ב: מציאת AD
על פי ההרחבה השנייה של משפט תאלס:

8AD = 9 * 4 = 36 / : 8
AD = 4.5

תרגיל 2: משולש שעובר בתוכו קו מקביל לבסיס

נתון משולש ABC. נתון DE ║ BC.
הישר AG חותך את הישר DE בנקודה F.
נתון: AD=6, DB=4, GC=3.
חשבו את FE.

שרטוט התרגיל

פתרון

על פי ההרחבה הראשונה של משפט תאלס:

10FE * 6 * 3 = 18  / : 10
FE = 1.8

תרגיל 3: מקבילית / מלבן החסומים בתוך משולש

נתון כי במשולש ABC חסומה מקבילית CDEF.
AE=6, EB=2, DE=4.

  1. חשבו את BF.
  2. נתון כי AD=8 ס"מ. חשבו את EF.
  3. מבלי להשתמש בגדלי הצלעות הוכיחו ΔAED∼ΔEBF (סעיף זה לא קשור למשפט תאלס).

שרטוט התרגיל

פתרון
שימו לב, ניתן לפתור את שני סעיפי השאלה על בסיס משפט תאלס או על בסיס דמיון משולשים.
רמז לאופן הפתרון על פי דמיון משולשים בסוף הפתרון שיבוסס על משפט תאלס.

על פי ההרחבה הראשונה למשפט תאלס:

6BC = 4 * 8 = 32   / : 6
BC = 5.33

FC=ED=4 – צלעות נגדיות במקבילית שוות.
EF = BC – FC = 5.333 – 4 =1.333

סעיף ב: מציאת EF

6DC = 2 * 8 = 16  / : 6
DC = 2.66

צלעות נגדיות במקבילית שוות לכן:
EF=DC=2.666

סעיף ג: הוכחת דמיון משולשים

שרטוט שלבי פתרון סעיף ג
שרטוט שלבי פתרון סעיף ג

נגדיר:

  1. B=a, ∠DEF=β∠.
  2. AED=∠B∠  – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. C=β∠ – זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  4. EDA=∠C=β  – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.
  5. EFB=β∠  – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.
  6. ΔAED∼ΔEAF – על פי משפט דמיון ז.ז.

4. טרפז שמעבירים בתוכו אלכסונים

בטרפז ABCD מעבירים אלכסונים BD ו- AC. נקודת מפגש האלכסונים היא O.
נתון: OC = 4AO
AB = 12
חשבו את:

  1. CD.
  2. היחס DO:OB.

פתרון
נתון לנו היחס AO/OC לכן ננסה לבנות משוואה הכוללת את היחס הזה.
וגם כוללת את מה שאנו צריכים למצוא BC.

על פי ההרחבה השנייה של משפט תאלס.

נגדיר
AO= x
לכן:
OC = 4x

לכן היחס AO/OC הוא:

כמו כן:
AD =12
נציב את הנתונים הללו במשוואה הראשונה שכתבנו.

נכפיל במכנה המשותף שהוא 4BC.
BC = 12 * 4 = 48
תשובה: BC = 48

סעיף ב
על פי ההרחבה השנייה של משפט תאלס:

תשובה: היחס DO:OB הוא 1:4.

 

5. טרפז שמעבירים בתוכו קו מקביל לבסיסים

בטרפז ABCD מעבירים קו מקביל לבסיסים EF ואת AG כך ש: AGCD הוא מקבילית.
נתון כי: הבסיס הגדול (CD) גדול פי 1.25 מהבסיס הקטן (AD).
AE=6, EB=3,  EH=2.
חשבו את אורכי הבסיסים.

שרטוט התרגיל

פתרון

על פי ההרחבה הראשונה של משפט תאלס:

BG = (2 * 9 ) : 6 =18 : 6 = 3

נגדיר AG=GC=X – צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
BC=1.25AD=1.25X
BG=BC-GC=1.25X-X=0.25X=3
0.25x=3
x=12
BC=1.25X=15
תשובה: אורך הבסיס הקטן 12 ס"מ, הבסיס הגדול 15 ס"מ.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

37 מחשבות על “משפט תאלס”

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      משפט תאלס נותן את הקשר שבין שני חלקים של הצלע הגדולה. AB / BC.
      ההרחבה הראשונה נותנת את הקשר שבין החלק העליון ובין הצלע הגדולה כולה AB/ AC. וגם כוללת יחס בין DE / BC.
      אתה צריך להשתמש במשפטים על פי המשוואה שאתה צריך לבנות או הנתונים שאת מקבל.
      תשתמש בחלק שעליו יש לך את הנתונים או בגדלי הצלעות שהמשוואה שאתה צריך לבנות כוללת.
      מקווה שעזרתי.

    2. תודה רבה על האתר! פשוט אתר מעולה לתלמידי 5 יח"ל עם אגו נפוח:)
      ובאמת שנראה לי שהאתר הזה ברור יותר מהרבה ממורי\ות המתמטיקה…
      יש לאתר מקבילה בפיזיקה?
      כי אם כן אשמח מאוד לדעת

        1. וואי, תודה ענקית!!!
          עוד לא התחלתי מכניקה אבל כבר הצליחו להפחיד אותי:)
          בזכות האתר אני רגועה יותר

  1. תודה רבה הערכה רבה רבה!!!!!!!!!!!!1

    תודה רבה רבה!!! עזר לי מאוד!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      כן. המשפט ההפוך הוא "אם שני ישרים מקצים על שוקי זווית קטעים פרופורציונליים אז הם מקבילים זה לזה"
      המשפט בעצם אומר שאם הפרופרציה מתקיימת אז הישרים מקבילים.
      שרטוט של המשפט יש בקישור.
      http://www.m-math.co.il/geometry/geometry-sentences/%D7%94%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98-%D7%94%D7%94%D7%A4%D7%95%D7%9A-%D7%9C%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98-%D7%AA%D7%90%D7%9C%D7%A1/
      בהצלחה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      ההוכחה היא דמיון משולשים וזה מוסבר.
      לכל מסקנה הנובעת ממשפט תאלס ניתן להגיע גם בעזרת דמיון משולשים.

  2. מה אם במשולש יש שלושה ישרים מקבילים, אפשר להשתמש במשפט תאלס על שלושתם ביחד או שמסתכלים על כל 2 ישרים בנפרד?

  3. בוידאו של באלו צורות עליכם לחפש את משפט תאלס
    בדקה 10.57 לדעתי יש ביחסים במרובע האדום טעות תוכל לבדוק את זה? :) תודה וזה ממש עזר

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום. אתה צודק. במשוואה השלישית המכנה הראשון צריך להיות AD ולא OC.
      זה תוקן.
      תודה רבה על תשומת הלב ובהצלחה.

להגיב על אורי צור ביטול התגובה

האימייל לא יוצג באתר.