משפט תאלס

משפט תאלס הוא אחד המשפטים המרכזיים בתחום דמיון ופרופורציה.
בבחינת הבגרות הוא אחד המשפטים הבודדים שלא צריך להסביר, כלומר ניתן לכתוב "בגלל משפט תאלס" ולא צריך לכתוב "בגלל משפט תאלס האומר שקווים מקבילים יוצרים קטעים פרופציונליים על שוקי זווית".

החלקים של דף זה הם:

1. הסבר למשפט תאלס + ההרחבות + טיפים לזכירת ההרחבות.
2. 8 מצבים נפוצים בהם נעשה שימוש במשפט תאלס.
3. 5 מצבים נפוצים בטרפז ובמעגל.
4. תרגילים.

באתר תוכלו ללמוד גם:

1. כיצד בונים משוואה בעזרת דמיון משולשים (או משפט תאלס).
2. משפט חוצה הזווית.
3. מתמטיקה לכיתה י.

1.משפט תאלס והרחבתיו: הסבר וטיפים לזכירה

משפט תאלס

שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית מקצים עליהן קטעים פרופורציונליים.

הרחבה ראשונה למשפט תאלס

אם DE ΙΙ BC אז מתקיימים השוויונות

שימו לב: אל כל השוויונות הללו ניתן להגיע גם מדמיון משולשים ΔADE ∼ ΔABC. לי זה עוזר לזכור את ההרחבה.

טיפ לזכירת ההרחבה הראשונה
אם קשה לכם לזכור את המשוואה הנובעת מהמשוואה הראשונה שימו לב כי קיים דמיון משולשים
ADE ∼ ABC
וניתן להגיע למשוואה הנובעת ממשפט תאלס גם על ידי יחס בין צלעות מתאימות ביין משולשים דומים והנימוק:
"היחס בין צלעות מתאימות במשולשים דומים שווה".

הרחבה שנייה למשפט תאלס

אם DE ΙΙ BC אז מתקיימים השוויונות

טיפ לזכירת ההרחבה השנייה
גם כאן כמו בהרחבה הראשונה:
אם קשה לכם לזכור את המשוואה הנובעת מהמשוואה הראשונה שימו לב כי קיים דמיון משולשים
ADE ∼ ABC
וניתן להגיע למשוואה הנובעת ממשפט תאלס גם על ידי יחס בין צלעות מתאימות ביין משולשים דומים והנימוק:
"היחס בין צלעות מתאימות במשולשים דומים שווה".

 

8 מצבים שבהם משתמשים במשפט תאלס (וכדאי להכיר מראש)

 

1.כאשר מוסיפים חותך נוסף.
אם נוסיף לשרטוט הרגיל של משפט תאלס את החותך AF.
נגלה שניתן להשתמש במשפט תאלס בשלושה משולשים שונים ABC, ABF, AFC, וליצור את השוויון המופיע בשרטוט.

את השוויון שלמעלה צריך להוכיח ועושים זאת כך:

במשולש AFB על פי משפט תאלס:

משפט תאלס במשולש ABC:

משני השוויונות יחד נובע:

2.כאשר יש שרטוט הכולל יותר משני ישרים מקבילים

נבחר שני ישרים מקבילים ונבנה משוואה בעזרת משפט תאלס.

3.כאשר יש שני זוגות של ישרים מקבילים בתוך משולש (בצורת Z)
במקרה זה ניתן ליצור משוואה עבור זוג ישרים מקבילים ואז ליצור משוואה שלישית הנובעת משתי המשוואות הראשונות.

המשוואה הראשונה היא משפט תאלס במשולש ABC.
המשוואה השנייה היא משפט במשולש ACE.
המשוואה השלישית נובעת משתי המשוואות הראשונות.

4.כאשר הישרים המקבילים הם בצורה הזו

5.מקבילית או מעוין החסומים במשולש

6.מלבן או ריבוע החסומים במשולש 
זה יוצר משפט תאלס, כמו כל ישר מקביל העובר בתוך משולש.

7.מלבן או ריבוע החסומים במשולש ישר זווית יוצרים פעמיים תאלס

8.מקבילית מכל סוג או טרפז שממשיכים את צלעם ומעבירים יוצרים משפט תאלס + דמיון משולשים

מצבים בטרפז ובמעגל שבהם ניתן להשתמש בתאלס

 

5. תרגילים עם פתרונות מלאים

1. תרגילים בסיסיים להבנת המשפט

בתרגילים הבאים הישרים DE║BC.  חשבו את הצלעות החסרות המסומנות באדום.

פתרונות

פתרון לשרטוט 1

על פי משפט תאלס:

נציב מספרים ונקבל:

3EC = 4 * 9 = 36   / :3
EC = 12

פתרון שרטוט 2

שימו לב שכאן מבקשים למצוא את אורך הצלע כולה (AC) ולא רק קטע ממנה (AE). ניתן לעשות זאת ישירות על ידי ההרחבה הראשונה למשפט תאלס או למצוא את אורך הקטע AE ולחבר קטעים.
כאן זה יתבצע בדרך השנייה כי היא יותר נוחה לתרגיל זה.

נחשב את אורך הצלע AE על פי משפט תאלס במשולש ABC.

2AE = 9 * 2  =18  / : 2
AE = 9

נחשב את AC:
AC = 9 + 2 = 11

פתרון שרטוט 3

על פי ההרחבה הראשונה:

9AB = 10 * 12 = 120   /  9
AB = 13.33

סעיף ב
על פי ההרחבה הראשונה למשפט תאלס.

12DE = 9 * 24  / : 12
DE = 18

פתרון שרטוט 4

מציאת BD
על מנת למצוא את BD נמצא את OD.
על פי ההרחבה השנייה:

8OD = 4 *9 =36  / : 8
OD = 4.5

BD = 9 + 4.5 = 13.5

סעיף ב: מציאת AD
על פי ההרחבה השנייה של משפט תאלס:

8AD = 9 * 4 = 36 / : 8
AD = 4.5

תרגיל 2: משולש שעובר בתוכו קו מקביל לבסיס

נתון משולש ABC. נתון DE ║ BC.
הישר AG חותך את הישר DE בנקודה F.
נתון: AD=6, DB=4, GC=3.
חשבו את FE.

פתרון

על פי ההרחבה הראשונה של משפט תאלס:

10FE * 6 * 3 = 18  / : 10
FE = 1.8

תרגיל 3: מקבילית / מלבן החסומים בתוך משולש

נתון כי במשולש ABC חסומה מקבילית CDEF.
AE=6, EB=2, DE=4.

1. חשבו את EF.
2. נתון כי AD=8 ס"מ. חשבו את BF.
3. מבלי להשתמש בגדלי הצלעות הוכיחו ΔAED∼ΔEBF (סעיף זה לא קשור למשפט תאלס).

פתרון
שימו לב, ניתן לפתור את שני סעיפי השאלה על בסיס משפט תאלס או על בסיס דמיון משולשים.
רמז לאופן הפתרון על פי דמיון משולשים בסוף הפתרון שיבוסס על משפט תאלס.

על פי ההרחבה הראשונה למשפט תאלס:

6BC = 4 * 8 = 32   / : 6
BC = 5.33

FC=ED=4 – צלעות נגדיות במקבילית שוות.
EF = BC – FC = 5.333 – 4 =1.333

סעיף ב: מציאת EF

6DC = 2 * 8 = 16  / : 6
DC = 2.66

צלעות נגדיות במקבילית שוות לכן:
EF=DC=2.666

סעיף ג: הוכחת דמיון משולשים

נגדיר:

1. B=a, ∠DEF=β∠.
2. AED=∠B∠  – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
3. C=β∠ – זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
4. EDA=∠C=β  – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.
5. EFB=β∠  – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.
6. ΔAED∼ΔEAF – על פי משפט דמיון ז.ז.

4. טרפז שמעבירים בתוכו אלכסונים

בטרפז ABCD מעבירים אלכסונים BD ו- AC. נקודת מפגש האלכסונים היא O.
נתון: OC = 4AO
AD = 12
חשבו את:

1. BC.
2. היחס DO:OB.

פתרון
נתון לנו היחס AO/OC לכן ננסה לבנות משוואה הכוללת את היחס הזה.
וגם כוללת את מה שאנו צריכים למצוא BC.

על פי ההרחבה השנייה של משפט תאלס.

נגדיר
AO= x
לכן:
OC = 4x

לכן היחס AO/OC הוא:

כמו כן:
AD =12
נציב את הנתונים הללו במשוואה הראשונה שכתבנו.

נכפיל במכנה המשותף שהוא 4BC.
BC = 12 * 4 = 48
תשובה: BC = 48

סעיף ב
על פי ההרחבה השנייה של משפט תאלס:

תשובה: היחס DO:OB הוא 1:4.

 

5. טרפז שמעבירים בתוכו קו מקביל לבסיסים

בטרפז ABCD מעבירים קו מקביל לבסיסים EF ואת AG כך ש: AGCD הוא מקבילית.
נתון כי: הבסיס הגדול (CD) גדול פי 1.25 מהבסיס הקטן (AD).
AE=6, EB=3,  EH=2.
חשבו את אורכי הבסיסים.

פתרון

על פי ההרחבה הראשונה של משפט תאלס:

BG = (2 * 9 ) : 6 =18 : 6 = 3

נגדיר AG=GC=X – צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
BC=1.25AD=1.25X
BG=BC-GC=1.25X-X=0.25X=3
0.25x=3
x=12
BC=1.25X=15
תשובה: אורך הבסיס הקטן 12 ס"מ, הבסיס הגדול 15 ס"מ.

עוד באתר:

• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.