מעוין

בדף זה נלמד על מעוין.

חלקי הדף הם:

1. סרטון מסכם.
2. איך מוכיחים שמרובע הוא מעוין?
3. היקף ושטח מעוין.
4. תכונות המעוין (כמקבילית ותכונות מיוחדות של מעוין).
5. שגיאות שכיחות במעוין.
6. תרגילים עם פתרונות מלאים
7. נספח: מצבים בשאלות על מעוין שכדאי להכיר מראש.
8. תרגילים נוספים.

באתר תוכלו ללמוד גם על הצורות הבאות:

1. מקבילית.
2. דלתון.
3. טרפז.
4. מלבן.
5. ריבוע.

סרטון מסכם

1. הוכחת מעוין

הגדרת המעוין
מקבילית שלה זוג צלעות סמוכות שוות היא מעוין.

בנוסף יש עוד שני משפטים שניתן להוכיח בעזרתם מעוין.
בשניהם עלינו להוכיח קודם כל שהמרובע הוא מקבילית ולאחר מיכן:

1. מקבילית שבה האלכסון הוא חוצה זווית היא מעוין.
2. מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין.

• הוכחת מרובעים, דרכי ההוכחה של מרובעים נוספים.

2.טיפים לזכירת משפטי המעוין

3. היקף ושטח מעוין

היקף מעוין
ארבעת צלעות המעוין שוות.
לכן אם צלע המעוין היא a.
אז היקף המעוין הוא 4a.

שטח מעוין
יש שתי דרכים לחשב את שטח המעוין.

דרך ראשונה
השטח של כל הצורות שהן מקבילית הוא s=a×h.
a – אורך צלע.
h – הגובה לצלע.

דרך שנייה
מכפלת האלכסונים חלקי 2.
אם AC ו BD הם אלכסוני המעוין אז שטח המעון הוא:

(הסבר בשרטוט לנוסחה השני).
הערה: ניתן להשתמש בנוסחה זו של כפל אלכסונים גם במרובעים נוספים שאלכסוניהם מאונכים: דלתון, וריבוע.

• תרגילים בנושא שטח מעוין תמצאו בקישור.

4.תכונות מעוין

מעוין הוא מקבילית

מעוין הוא תת סוג של מקבילית. כלומר כל תכונות המקבילית מתקיימות בו. זו העובדה הבסיסית ביותר שאתם צריכים לזכור בהקשר של מעוין. רצוי ללמוד היטב את תכונות המקבילית לפני שלומדים את תכונות המעוין. אחזור עליהן כאן בקצרה.
מקבילית היא מרובע :
1) שבו זוג צלעות שהן גם שוות וגם מקבילות.
2) שבו שני זוגות של צלעות מקבילות.
3) שבו שני זוגות של צלעות שוות.
4) שבו האלכסונים חוצים זה את זה. (חוצים כלומר מחלקים לחצי)
5) שבו שתי זוגות של זוויות נגדיות השוות זו לזו.

תכונות שקיימות רק במעוין ולא במקבילית

1. ארבעת צלעות המעוין שוות (במקבילית רק צלעות נגדיות שוות).
2. אלכסוני המעוין מאונכים זה זה, חוצים את זוויות המעוין (והם גם כמובן חוצים זה את זה לחצי – אבל זה קיים גם במקבילית).

משני התכונות הראשונות של המעוין נובע כי :
אלכסוני המעוין יוצרים יחד עם צלעות המעוין ארבעה משולשים חופפים וישרי זווית.

• מעוין תכונות – התכונות שפורטו כאן יחד עם שרטוטים.
• משפטים לבגרות מעוין – רשימת המשפטים שאושרו לבגרות + שרטוטים.

סיכום תכונות המעוין

5.שגיאות שכיחות במעוין

 

3 רמות של תרגילי מעוין

מצורפים כאן 6 תרגילים בנושא מעוין המחולקים ל 3 רמות.
בהתחלה התרגיל כתוב יחד עם שרטוט.
ואם אתם מעוניינים לראות את הפתרון יש להתחיל את הוידאו.

פתרון התרגילים כאן שם דגש על הרעיון שמאחורי הפתרון ושלבי הפתרון.
התרגילים לא מנסים ללמד כתיבה נכונה של פתרון.
לאחר חלק זה מופיעים התרגילים כשהם עם פתרון טקסט, ושם תוכלו ללמוד כתיבה נכונה של פתרון.

תרגילים למתחילים

תרגיל 1

ABCD היא מקבילית.
נתון: C=100∠.
אלכסון המקבילית מחלק את זווית B כך ש:
B₂ =3X+16.
B₁ =4X+8
הוכיחו כי המרובע ABCD הוא מעוין.

פתרון וידאו

תרגיל 2

ABCD הוא מעוין.
DE=DF.
הוכיחו:
BE=BF.

פתרון וידאו

תרגילים ברמת אמצע

תרגיל 3

במעוין ABCD מעבירים אלכסונים. על האלכסון AC בוחרים נקודה כלשהי E ומעבירים ממנה ישרים אל קודקודי המעוין B ו D.
הוכיחו כי המשולש EAC הוא משולש שווה שוקיים.

פתרון וידאו

תרגיל 4

במקבילית ABCD מעבירים שני חוצי זווית. AE ו DF.
הוכיחו כי מרובע AFED הוא מעוין.

פתרון וידאו

תרגילים קשים