חפיפת משולשים

באתר זה לימוד חפיפת משולשים מחולק ל 6 חלקים:

1. זיהוי צלעות וזוויות מתאימות בין משולשים חופפים.
2. משפטי חפיפה.
3. רישום נכון של חפיפת משולשים.
4. תרגילים קלים.
5. אם שתי זוויות שוות בין שני משולשים איך מוכיחים שהזווית השלישית שווה.
6. חיבור וחיסור צלעות וגם חיבור וחיסור זוויות.
7. תרגילים בינוניים וקשים.
8. נספח: חפיפת משולשים ומשולש שווה שוקיים.

אתם יכולים ללמוד את הדברים הללו באופן יסודי מהקישורים שלמעלה או לעבור על כולם בקצרה יחסית בדף זה.

בדף משולבים הרבה סרטוני וידאו שמרביתם זמינים למנויים באתר בלבד.

אם יש שאלות אתם יכולים להשאיר אותם כתגובה בדף.

בהצלחה!

סרטונים מסכמים

שני הסרטונים הבאים, כ 70 דקות, מסכמים את החומר.

ניתן ללמוד את החומר גם מהמשך הדף.

1.זיהוי צלעות וזוויות מתאימות בין משולשים חופפים

• זיהוי צלעות וזוויות מתאימות בין משולשים חופפים.

2.משפטי חפיפה

• משפטי חפיפה דף היכרות מפורט.

משפט חפיפה ראשון צ.ז.צ

אם שני משולשים שווים זה לזה באורכי שתי צלעות ובזווית שבין שתי הצלעות השוות הם חופפים.

• משפט חפיפה ראשון תרגילים.

משפט חפיפה שני ז.צ.ז

אם שני משולשים שווים זה לזה בשתי זוויות ובאורך הצלע שבין שתי הזוויות הם חופפים.

• משפט חפיפה שני תרגילים.

משפט חפיפה שלישי צ.צ.צ

אם שני משולשים שווים זה לזה באורכי 3 צלעותיהם הם חופפים.

3.כיצד לרשום חפיפת משולשים בצורה נכונה

לפעמים תלמידים מתלבטים באיזה אות להתחיל את רישום חפיפת המשולשים.

בדף זה אתן עצה לאלו שמתלבטים.

מכוון שיש מספר דרכים לכתוב בצורה נכונה זו רק עצה ולא חובה.

מי שמסתדר עם רישום החפיפה יכול לדלג, מה שנאמר כאן הוא לא חובה.

• סדר רישום חפיפת משולשים דף מפורט.

4.טיפים לתרגילים בסיסיים

• תרגילים קלים דף מפורט.

5.חיבור וחיסור צלעות וזוויות

על מנת לפתור תרגילים קשים עליכם לדעת לחבר ולחסר צלעות וזוויות.

• חיבור וחיסור צלעות וגם חיבור וחיסור זוויות כוללים מידע מפורט בנושא.
• תרגילים קשים בחפיפת משולשים דף מפורט.

הוכחת שוויון של צלעות באמצעות חיבור או חיסור צלעות זו מיומנות חשובה מאוד שעליכם לרכוש.

נתחיל בהוכחת שוויון צלעות על ידי חיבור צלעות
נסתכל על הישר הבא:

הנתונים שלנו הם:
AD = EB
DC = EC
ומבקשים מאיתנו להוכיח כי AC = BC.
כיצד עושים זאת?

שלב 1: נגדיר את כל אחד מהישרים שאנו צריכים להוכיח שהם שווים (אלו הישרים AC,BC) באמצעות חיבור צלעות.
AC = AD + DC
וגם
BC = BE + EC
ואז נכתוב:
לכן על פי כלל החיבור:
AC = BC
* "כלל החיבור" הוא: אם מחברים גדלים שווים
לגדלים שווים מקבלים סכומים שווים.

הסבר מפורט הרבה יותר תמצאו בסרטון הוידאו.

חיבור וחיסור זוויות

זה מאוד דומה לחיסור וחיבר צלעות שעשינו קודם לכן.
נניח והשאלה שלנו היא כזו.

ידוע כי
A = ∠D∠  (הזווית האדומה).
FDH = ∠CAG∠ (הזווית הירוקה).
צריך להוכיח:
BAG = ∠EDH∠ (זו הזווית השמאלית).

פתרון
נגדיר את כל אחד מהזוויות שאנו צריכים להוכיח שהן שוות בעזרת חיסור זוויות.
BAG = ∠A – ∠CAG∠
EDH = ∠D – ∠FDA∠
לכן על פי כלל החיסור
BAG = ∠EDH∠
* "כלל החיסור" הוא: אם מחסרים גדלים שווים מגדלים שווים מקבלים הפרשים שווים.

עוד באתר:

1. משפט חפיפה רביעי – צלע, צלע והזווית שמול הצלע הגדולה.
2. מתמטיקה לכיתה ח – הסברים ותרגילים לחומר הלימוד בשנה זו.
3. משולש – הדף המרכזי הכולל מידע + קישורים על נושאים רבים.
4. משולש ישר זווית – מידע ותרגילים.
5. דמיון משולשים – מידע ותרגילים.

6.תרגילים

מצורפים תרגילים ב 3 רמות.

1. רמה בסיסית – אתם צריכים להכיר את משפטי החפיפה, ולהכיר את הרישום הנכון של חפיפת משולשים.
2. רמת אמצע – הוכחות קשות יותר, בהם אתם צריכים לעשות פעולות על מנת להגיע אל הנתונים שיוכיחו חפיפה. כולל שימוש בישרים מקבילים.
3. רמה גבוהה – כולל חיבור וחיסור של צלעות או זוויות. כולל שתי חפיפות משולשים.

תרגילים ברמה בסיסית

בחלק זה 4 תרגילים.
לשלושת התרגילים הראשונים יש פתרון וידאו המופיע לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל 1

זהו מי מבין זוגות המשולשים ניתן לקבוע שהוא חופף.

תרגיל 2

נתון ΔTKC≅ΔGVW.
מצאו את הזוויות והצלעות השוות לאלו הרשומות מטה
זווית:

1.  K∠
2. G∠
3. W∠

צלעות:

1. TC
2. CK
3. GV

תרגיל 3

נתונים המשולשים ABD ו- BDC.
DB חוצה את זווית ADC. ו- AD=CD.

1. הוכיחו: ΔABD≅ΔCBD
2. רשמו את שלושת השוויונות הנובעים מהחפיפה.

תרגיל 4

עבור המשולשים המשורטטים מטה נתון:
AD=BC, BO=AO
AOD=∠BOC∠
האם מתקיים ΔAOD≅ΔBOC ?

תרגילים ברמת אמצע

בחלק זה 5 תרגילים.
לתרגיל 2 יש גם פתרון וידאו.

תרגיל 1 (ישרים מקבילים)

בשרטוט המצורף נתון כי AB מקביל ל CD.
AO=OC
הוכיחו BO = DO.

תרגיל 2 (שימוש בחפיפה קודמת)

המשולשים ABC ≅DEC.
במשולש ABC מעבירים תיכון AH ובמשולש DEF מעבירים תיכון DG.
הוכיחו כי AHB≅DGE.

תרגיל 3 (כולל שימוש בחיסור זוויות)

נתון CA חוצה את הזווית BCD∠.

∠BCD=100
∠DBC=50
∠A=∠D

הוכיחו: ΔABC≅ΔDCB

פתרון
נציג את הנתונים בשרטוט.

ננסה להוכיח חפיפה על פי משפט חפיפה שני – ז.צ.ז

	טענה	נימוק
1	BC=BC	צלע משותפת.
2	∠ACB=∠DCA∠=50	נתון AC חוצה זווית.
3	∠DBC = ∠ACB = 50	נובע מסעיף 2 והנתונים
4	∠A = ∠D	נתון
5	∠CBA =180 – ∠A – 50 = 130 – ∠A	סכום זוויות במשולש DBC הוא 180 מעלות
6	∠BCD = 180- ∠D – 50 = 130 – ∠D	סכום זוויות במשולש BCD הוא 180 מעלות
7	∠CBA = ∠BCD	נובע מ 4,5,6

מה הייתם צריכים ללמוד בתרגיל זה?

1. 1. 1. לדעת כיצד מוכיחים (וכותבים) שאם בין שני משולשים 2 זוויות שוות אז גם הזווית השלישית שווה (שורה 4).
      2. לשים לב לצלע משותפת.
      3. לשים לב לחוצי זווית.

תרגיל 4

במשולש שווה שוקיים ABC (כאשר AB = AC) מעבירים את הגובה AD אל הבסיס.
הנקודה E נמצאת על הגובה AD.
הוכיחו כי:

1. 1. 1. BED ≅ CED
      2. BEA ≅ CEA

תרגיל 5 (שימוש בתכונות מקבילית)

נתונה מקבילית ABCD.
את האלכסון AC מאריכים כך  ש AE=CF.
הוכיחו EB = FD.

תרגילים קשים