ארכיון הקטגוריה: מלבן

היקף מלבן

היקף נהוג לסמן באות p. שהיא הקיצור של המילה perimeter (היקף) באנגלית.

היקף מלבן שווה לסכום ארבעת צלעותיו.

לכן היקף המלבן הזה הוא:
p = 3+5+3+5 = 16
תשובה:16ס"מ.

תכונה חשובה
במלבן זוג צלעות נגדיות שווה זה לזה.
לכן אם נדע שתי צלעות שאינן אחת מול השנייה נוכל לדעת את כל הארבעה.

נשלים את ארבעת צלעות המלבן בצורה הזו:

ונחשב את היקף המלבן
P = 8 + 2 + 8 + 2 = 20

נוסחה לחישוב היקף מלבן

תמיד ניתן לחשב היקף מלבן כסכום ארבעת צלעותיו.
אבל מכוון שבמלבן שתי זוגות של צלעות שוות יש דרך קיצור לחשב.

ניתן לרשום את הנוסחה להיקף מלבן כך:
P = 2a + 2b
וגם כך:
(P = 2(a + b

שטח מלבן הוא מכפלת הצלעות:
S = a * b

תרגילים

תרגילים 1-3 הם חישוב היקף ושטח מלבן.
תרגיל 4 הוא חישוב היקף ושטח של צורה המורכבת ממספר מלבנים.
בתרגילים 5-6 ההיקף ידוע וצריך למצוא אורך של אחת הצלעות.
בתרגילים 7-8 צריך לחשב היקף של צורה מורכבת. מלבן ומשולש או מלבן ומעגל.
תרגילים 9-10 דורשים שימוש במשתנה ומתאימים לתלמידי כיתה ז ומעלה.

תרגיל 1
חשבו את היקף ושטח המלבן שאורך צלעותיו הסמוכות הוא 4 ו 5 סנטימטר.

פתרון
היקף מלבן
על פי נוסחת היקף מלבן
P = 2*4 + 2 * 5
P = 8 + 10 =18
תשובה: היקף המלבן הוא 18 סנטימטר.

שטח המלבן
על פי נוסחת השטח:
S = 4 * 5 = 20
תשובה: שטח המלבן 20 סמ"ר.

אם היינו רוצים להשלים את האורכים של ארבעת צלעות המלבן זה היה נראה כך:

תרגיל 2
חשבו את היקף ושטח המלבן שאורך צלעותיו הוא 1 ו 4.

פתרון
על פי נוסחת היקף מלבן
P = 2*1 + 2*4
P = 2 + 8 = 10
תשובה: היקף המלבן הוא 10 סנטימטר.

שטח מלבן
שטח מלבן שווה למכפלת הצלעות:
S=4*1=4
תשובה: שטח המלבן 4 סמ"ר.

אם היינו מסמנים את ארבעת צלעות המלבן זה היה נראה כך:

תרגיל 3
אורכי 3 צלעות מלבן הן:
3,5,3 סנטימטר.
חשבו את היקף המלבן.

פתרון
במלבן כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו.
לכן אורך הצלע הרביעית הוא 5.
ארבעת צלעות המלבן :
3,3,5,5

היקף המלבן
P = 3+3+5+5 = 16
תשובה: 16 סנטימטר.

תרגיל 4
חשבו את השטח וההיקף של הצורה הבאה.

שרטוט התרגיל

פתרון

נחשב את אורכי הצלעות החסרות:
EF = DC = 2

AB = HG = 8

DE = AH – BC – FG
DE = 10 – 3 – 1 = 6

חישוב היקף
40 = 10 + 8 + 3 + 2 + 6 + 2+ 1 + 8
תשובה: ההיקף שווה ל 40 יחידות.

חישוב שטח
נחלק את הצורה למלבנים בצורה הבאה:

שטח של צורה מורכבת

שטח מלבן 1  (AKLH):
60 = 6 * 10

שטח מלבן 2   (KBCD):
2 = 1 * 2

שטח מלבן 3  (EFGL):
6 = 3 * 2

68 = 6 + 2 + 60
תשובה: שטח הצורה כולה הוא 68.

דרך פתרון שנייה
בדרך הראשונה הגענו לשטח המבוקש על ידי חיבור מלבנים.
בדרך השנייה נגיע לפתרון על ידי חיסור מלבנים.
דרך הפתרון השנייה מתאימה לחלק מהתרגילים וטוב לדעת אותה.

נחשב את שטח המלבן הגדול ביותר (ABGH).
ונחסר את שטח המלבן (CDEF).

בצורה זו נמצא את השטח על ידי פחות חישובים.
שטח המלבן הגדול (ABGH).
80 = 8 * 10

שטח המלבן החסר (CDEF).
12 = 2 * 6

שטח הצורה המבוקשת הוא:
68 = 12 – 80.

תרגיל 5
היקף מלבן הוא 32 סנטימטר.
אורך אחת מצלעות המלבן הוא 6 סנטימטר.
חשבו את אורך הצלע השנייה.

פתרון
אורך שתי הצלעות שאנו יודעים הוא:
12 = 2 * 6
היקף המלבן הוא 32.
לכן אורך שתי הצלעות החסרות הוא:
20 = 12 – 32

אם אורך שתי צלעות שוות ביחד הוא 20, מה אורכה של צלע אחת?

10.
אורך צלע המלבן החסרה הוא 10.

תרגיל 6
היקף מלבן הוא 18 סנטימטר.
אורך צלע אחת של המלבן הוא 2 סנטימטר.
חשבו את אורך צלע המלבן השנייה.

פתרון
היקף שתי הצלעות שאנו יודעים הוא
4 = 2*2

היקף המלבן הוא 18.
לכן היקף שתי הצלעות שאנו לא יודעים הוא:
14 = 4 – 18

אם היקף שתי צלעות שוות הוא 14. מה היקף צלע אחת?

7.
אורך הצלע החסרה הוא 7.

תרגיל 7
על צלע מלבן שאורך צלעותיו 4 ו 6 סנטימטר בנו משולש שווה שוקיים שאורך השוק שלו היא
חשבו את היקף הצורה שנוצרה.

פתרון
היקף של צורה הוא סכום אורכי הצלעות של הצורה.
אנו יודעים את אורכם של כל הצלעות הללו ולכן יכולים לחשב את ההיקף.
P = 6 + 4 + 5 +5+ 4= 24
תשובה: היקף הצורה שנוצרה הוא 24 סנטימטר.

תרגיל 8
חשבו את היקף הצורה הבנויה ממלבן שאורך צלעותיו הוא 3 ו 8 ס"מ ועל הצלע של 3 ס"מ נמצא קוטר המעגל.

חישוב היקף של צורה מורכבת

פתרון
למלבן 3 צלעות בהיקף 3,8,8
19=3+8+8 (שימו לב שאת אחת מצלעות הלבן אין צורך לחשב כי המעגל "מכסה" עליה)

למעגל יש חצי מעגל בהיקף.
קוטר המעגל הוא 3.
לכן היקף העיגול המלא הוא:
P=2₶r
p = 3.14*1.5*2 = 9.42

מכוון שבצורה זו יש רק חצי עיגול ההיקף הוא :
4.71 = 2 : 9.42

נחבר את שני ההיקפים ונקבל:
23.71=19+4.71
תשובה: היקף הצורה המורכבת הוא 23.71 ס"מ.

תרגיל 9
במלבן צלע אחת של המלבן גדולה מהצלע השנייה ב 1 סנטימטר.
היקף המלבן הוא 22 סנטימטר.
חשבו את צלעות המלבן.

פתרון
נגדיר:
x  אורך הצלע הקטנה בסנטימטרים.
x + 1 אורך הצלע הגדולה בסנטימטרים.

נבנה משואה.
היקף המלבן הוא:
x + x + x+ 1+ x+1 = 4x +2
היקף המלבן שווה ל 22 סנטימטר לכן המשוואה היא:
4x + 2 = 22 

נפתור את המשוואה:
4x + 2 = 22  / -2
4x = 20  / :4
x = 5
תשובה: אורך צלע אחת של המלבן הוא 5 סנטימטרים, אורך הצלע השנייה הוא 6 סנטימטרים.

תרגיל 10
אצנים רצים במסלול מלבני שאורך צלעותיו 35 ו 22 מטרים.
עליהם לעבור 798 מטרים.
כמה פעמים עליהם להקיף את המסלול?

פתרון
נחשב את היקף המסלול (היקף המלבן).
= (22 + 35) * 2
114 = 57  *2
היקף המסלול הוא 114 מטרים.

נגדיר:
x  מספר הפעמים שצריך להקיף את המסלול.

המשוואה
מספר הפעמים שמקיפים את המסלול כפול היקף המסלול זה המרחק שעוברים.
לכן המשוואה היא:

x * 114 = 798
114x = 798  / : 114
x = 7
תשובה: עליהם להקיף את המסלול 7 פעמים.

מספר הפעמים שמקיפים את המלבן זה אורך הדרך שעוברים

מספר הפעמים שמקיפים את המלבן זה אורך הדרך שעוברים

3 סוגי שאלות קטנות בנושא מלבן

בחלק זה נעבור על 3 שאלות הקשורות להיקף מלבן, שיכולות להיות קשורות גם לשטח מלבן.

1.שטחי מלבנים שווים, האם ההיקפים שווים? (ולהפך).
לא. שוויון שטחים לא גורם לשוויון היקפים.
וגם שוויון היקפים לא גורם לשוויון שטחים.

לדוגמה
לשלושת המלבנים הללו יש שטח שווה (24) אבל ההיקף שלהם שונה.
מלבן שצלעותיו 2,12 סנטימטר (היקף 28)
מלבן שצלעותיו 3,8 סנטימטר (היקף 22).
מלבן שצלעותיו 6,4 סנטימטר (היקף 20).

שלושה מלבנים עם שטחים שווים (24) והיקפים שונים

שלושה מלבנים עם שטחים שווים (24) והיקפים שונים

דוגמה ל 3 מלבנים עם היקפים שווים אבל שטחים שונים:

2.שאלות בהם רצים סביב מלבן
בבית ספר מגרש הספורט הוא מלבני ואורכי צלעותיו הוא 20 ו 40 מטר.
כיתה צריכה לרוץ 2400 מטרים.
כמה סיבובים סביב המגרש על כיתה לעשות על מנת לעבור את המרחק?

פתרון
נחשב את היקף המלבן:
P = 2*20 + 2 * 40 = 120

עלינו לעבור מספר סיבובים כך שההיקף שנעבור יהיה 2400.
המשוואה המתאימה היא:
2400 = ___ * 120
כשהמספר במקום החסר הוא מספר הסיבובים.
המספר החסר הוא 20.
ניתן לקבל את המספר הזה על ידי התרגיל:
20 = 120 : 2400.

3.אם יודעים סכום של 3 צלעות והיקף ניתן למצוא את צלעות המלבן.
אורך 3 צלעות במלבן הוא 20 סנטימטר.
היקף המלבן הוא 26 סנטימטר.
חשבו את אורך צלעות המלבן.

פתרון
3 צלעות ההיקף הוא 20 סנטימטר.
4 צלעות (היקף) הוא 26 סנטימטר.

לכן אורך צלע יחידה הוא הוא :
6 = 20 – 26

אורך הצלע השנייה תתקבל על ידי פתרון המשוואה:
(P = 2(a + b
(__ + 6) 2 = 26
מכך נוכל למצוא שהצלע השנייה היא 7.

 

עוד באתר:

הוכחת מלבן

יש משפט אחד המאושר לשימוש בבגרות לצורך הוכחת מלבן:

  1. אם במקבילית האלכסונים שווים זה לזה אז המקבילית היא מלבן.

בנוסף יש את הגדרת המלבן:
מקבילית שבה זווית של 90 מעלות היא מלבן.

הדרכים להוכחת מלבן שפורטו קודם לכן בדף

מלבן הוא סוג של מקבילית, רק עם יותר תכונות.

הבהרה: מלבן הוא לא מעוין והוא לא כולל את תכונות המעוין.

תרגילים

תרגיל 1

בטרפז ABCD מעבירים שני גבהים AE, BF.
הוכיחו כי המרובע ABFE הוא מלבן.

הוכחת מלבן, שרטוט התרגיל

פתרון

  1. AEF = ∠BFE=90∠ (בגלל ש AE, BF הם גבהים).
  2. EAB = 90∠ זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים משלימות ל 180 מעלות. (חד צדדית ל AEF∠).
  3. המרובע ABFE הוא מלבן (מרובע ש 3 מזוויותיו שוות ל 90 מעלות הוא מלבן).

עוד באתר:

  1. מלבן, הדף המרכזי על הצורה.
  2. הוכחת מקבילית, משפטים ותרגילים.
  3. מקבילית, הדף המרכזי על הצורה.
  4. הוכחת מרובעים, כיצד מוכיחים מרועים אחרים.
  5. מרובעים, מידע על מרובעים נוספים.

שטח מלבן אלכסונים

אלכסוני המלבן יוצרים 4 משולשים שווי שטח לכן אם אנחנו יודעים שטח של משולש אחד נוכל לחשב את השטח של המלבן כולו.

אלכסוני המלבן יוצרים 4 משולשים שווי שטח

 

הוכחת שוויון שטחי המשולשים מבוססת על כך שאלכסוני המלבן חוצים זה את זה לשני חצאים שווים.
ועל כך שהגובה אל כל שני משולשים סמוכים הוא גובה משותף.
כלומר: AE=CE  וגם  BE=DEE.
וגם הגובה AF (בתור דוגמה) הוא הגובה המשותף של הצלעות BE ו ED.
לכן s1=s2.
ובאותו אופן ניתן להוכיח כל זו משולשים צמוד הוא בעל אותו שטח.

עוד באתר:

  • שטח מלבן – נוסחה ותרגילים.
  • מלבן – תכונות, משפטים, תרגילים וכל מה שצריך לדעת על הצורה.

תכונות המלבן, אלכסונים במלבן

בדף זה:

  1. תכונות מלבן שהן חלק ממשפטים המאושרים לשימוש בבגרות ללא הוכחה.
  2. תכונות מלבן שיש להוכיח אם רוצים להשתמש בהם בבחינה.

דפים נוספים באתר בנושא מלבן:

  1. מלבן – הדף המרכזי בנושא, כולל משפטים, תרגילים, איך מוכיחים ועוד.
    שטח מלבן – תרגילים לחישוב שטח מלבן.
    משפטים מלבן – משפטים המאושרים לשימוש בבגרות + שרטוטים.

1. תכונות מלבן הקשורות למשפטים המאושרים לשימוש ללא הוכחה בבגרות

סיכום תכונות המלבן כפי שפורטו למעלה

מלבן הוא מרובע עם 4 זוויות השוות ל 90 מעלות

על מנת להוכיח שמרובע הוא מלבן מספיק להוכיח שלמרובע יש 3 זוויות השוות ל 90 מעלות. במקרה זה הזווית הרביעית צריכה להשלים ל 360 מעלות ולכן גם גודלה הוא 90 מעלות.

במלבן כל זוג צלעות נגדיות מקבילות זה לזה.

בדיוק כמו מקבילית. (מלבן הוא אחד הסוגים של מקבילית).

במלבן כל זוג צלעות נגדיות שווה זה לזה.

בדיוק כמו במקבילית.

במלבן האלכסונים חוצים זה את זה.

בדיוק כמו במקבילית.

במלבן האלכסונים שווים באורכם זה לזה.

זו אחת הדרכים להוכיח שמרובע הוא מלבן. קודם כל מוכיחים שהמרובע הוא מקבילית ולאחר מיכן מוכיחים שהאלכסונים שווים זה לזה.
(הדרך השנייה היא להוכיח שלמקבילית יש זווית אחת של 90 מעלות).

2. תכונות מלבן שאם רוצים להשתמש בהם בבגרות צריך להוכיח אותם

אלכסוני המלבן יוצרים שתי זוגות של משולשים חופפים

ΔABC≅ΔDCB
ΔBAD≅ΔCDA

אלכסוני המלבן יוצרים שני משולשים גדולים חופפים

ניתן להוכיח את חפיפת המשולשים הזאת בקלות על ידי משפט צ.צ.צ (שתי צלעות הלבן + האלכסון) או צ.ז.צ (2 צלעות המלבן וזווית המלבן שבניהם).

החפיפה הזאת שימושית בעיקר כדי להוכיח שוויון זוויות:
BAC=∠CDB∠
ABC=∠DBC∠

אלכסוני המלבן יוצרים שני זוגות משולשים קטנים חופפים

אלכסוני המלבן יוצרים שתי זוגות משולשים קטנים חופפים

משולש 1 חופף למשולש 2.
משולש 3 חופף למשולש 4.

ניתן להוכיח את חפיפת המשולשים על ידי משפט חפיפה ז.צ.ז.
למשל:
BC=AD – צלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו.
DBC=∠BAD∠ – זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
CAD=∠BDA∠ – זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.

ארבעת המשולשים שנוצרים על ידי אלכסוני המלבן הם שווי שטח

תיכון יוצר שני משולשים שווי שטח – את זה כדאי שתדעו באופן כללי.
ומכוון שאלכסוני המלבן חוצים זה את זה ושווים זה לזה נוצרים ארבעה משולשים שווה שטח.

הוכחה שמשולשי המלבן יוצרים משולשים שווה שטח

נוכיח כי שטח משולש ΔDOA שווה לשטח המשולש ΔAOB.
בצורה דומה ניתן להוכיח את ארבעת המשולשים.

  1. AE – גובה משותף לשני המשולשים.
  2. BO=OD – אלכסוני המלבן חוצים זה את זה (לשני חלקים שווים).
  3. sDOA = (AE*OD):2
    sAOB = (BO*AE):2
  4. מכוון שהגובה הוא משותף ואורך הבסיס שווה אז שטחי המשולשים שווים זה לזה.

תכונות שאין למלבן

יש שתי תכונות שלפעמים מייחסים למלבן אך הם אינם נכונות.

  • האלכסונים אינם חוצי זווית.
  • האלכסונים לא מאונכים זה לזה.

עוד באתר:

  1. אלכסונים במרובעים – מידע על אלכסונים במרובעים נוספים.
  2. מלבן – הדף המרכזי על הצורה. תרגילים ומידע נוסף.
  3. מקבילית, מעוין, ריבוע, טרפז – מידע על צורות נוספות.
  4. שטח מלבן – תרגילים.

נספח: כיצד לזכור את משפטי המלבן בקלות