ארכיון הקטגוריה: גיאומטריה

מציאת זווית תרגילים בסיסיים

בדף זה נלמד כיצד בונים משוואות ומוצאים גדלים של זווית.
הדף מחולק ל 3 חלקים:

  1. תרגילים 1-4  הם במשולש שווה שוקיים.
  2. תרגילים 5-7  הם במשולש רגיל.
  3. תרגילים 8-10  הם במרובעים.

הקדמה

טוב לדעת למצוא זווית במשולש שווה שוקיים עוד לפני שמתחילים לפתור תרגילים.
הסרטון הראשון הוא על זוויות שגודלן נתון במספרים.
הסרטון השני הוא על זוויות שגודלן נתון בעזרת משתנה.

1.משולש שווה שוקיים

תרגילים 1-4.
תרגיל 4 קשה יותר משלושת הראשונים.

תרגיל 1 (זווית בסיס ידועה)
במשולש שווה שוקיים גודל זווית הבסיס הוא 80 מעלות.
מצאו את את גודל זווית הראש.

פתרון
במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות. לכן
B = C = 80

זווית הראש משלימה את שתי זוויות הבסיס ל 180 מעלות, לכן גודלה:
A = 180 – 80 – 80
A = 180 – 160 = 20
תשובה: גודל זווית הראש הוא 120 מעלות.

הפתרון נראה כך

הפתרון נראה כך

תרגיל 2 (זווית הראש ידועה)
במשולש שווה שוקיים ידוע כי גודל זווית הראש הוא 70 מעלות.
חשבו את זוויות הבסיס.

שתי זוויות הבסיס משלימות את זוויות הראש ל 180 מעלות.
לכן סכום שתי זוויות הבסיס הוא:
110 = 70 – 180

שתי זוויות הבסיס שוות ולכן גודל כל אחת מיהן הוא:
55 = 2 : 110
תשובה: B = C = 55.

הפתרון נראה כך

הפתרון נראה כך

תרגיל 3 (בניית משוואה עם משתנים)
במשולש שווה שוקיים זווית הבסיס גדולה פי 2 מזווית הראש.
חשבו את זוויות המשולש.

פתרון
נגדיר את הזווית הקטנה כ x (זווית הראש).
לכן שתי זוויות הבסיס הן:
2x
שלושת זוויות המשולש הן
x, 2x, 2x

סכומן 180 מעלות ולכן המשוואה היא:
x + 2x + 2x = 180
5x = 180  / : 5
x = 36

תרגיל 4
במשולש שווה שוקיים (AB = AC) שבו זווית הראש היא 80 מעבירים את חוצה הזווית BD.

  1. חשבו את זווית BDC.
  2. גודלה של צלע AB הוא 8 סנטימטר. האם ניתן לחשב את אורך הצלע AD?

פתרון
שלבי הפתרון הם:

  1. חישוב זוויות הבסיס.
  2. מציאת זווית BDC.

מציאת זווית הבסיס
שתי זווית הבסיס במשולש ABC  משלימות את זווית הראש ל 180 מעלות.
לכן סכומם הוא:
100 = 80 – 180

זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות ולכן גודל כל אחת מיהן:
B = C = 100 : 2 = 50

חישוב זווית BDC
BD הוא חוצה זווית ולכן גודל זווית DBC הוא חצי מזווית B.
DBC = 0.5 * 50 = 25

במשולש BDC אנו יודעים שתי זוויות
DBC = 25
C = 50
הזווית BDC משלימה את שתי הזוויות הללו ל 180 מעלות ולכן:
BDC = 180 – 50 – 25
BDC = 180 – 75 = 105
תשובה: BDC  = 105

סעיף ב: AB הוא 8 סנטימטר. מה גודלו של AD?
בנתונים הללו לא ניתן לחשב את AD.
אם BD היה תיכון היה ניתן לחשב. אך במשולש שווה שוקיים חוצה הזווית אל השוק הוא לא תיכון ולכן לא ניתן לחשב.

2.תרגילים במשולש

תרגילים 5-7.

תרגיל 5
במשולש הזווית חיצונית גדולה פי 2 מהזווית הצמודה לה.
ABD = 2∠ABC
כמו כן:
A =50
מצאו את זווית C.

פתרון
נגדיר זווית
ABC = x
לכן זווית
ABD = 2x

סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות ולכן המשוואה היא:
x + 2x = 180
3x = 180  / :3
x = 60
ABC = 60

זווית C היא הזווית היחידה שאנו לא יודעים במשולש ABC והיא משלימה את שתי האחרות ל 180.
C = 180 – 60 – 50
C = 180 – 110 = 70
תשובה: C = 70.

תרגיל 6
(לתרגיל זה פתרון וידאו לאחר הפתרון הכתוב).
במשולש ABC מעבירים את הגובה BD.
הגובה BD מחלק את הזווית B כך:
ABD = 2∠DBC
כמו כן זווית
C = 70
חשבו את זוויות A,B.

פתרון
נגדיר:
DBC = x
לכן
ABD = 2x

נחפש משולש בו יש לנו מידע.
זה משולש  CBD
שבו:
CDB = 90
C = 70

לכן:
DBC = 180 – 90 – 70
DBC = 180 – 160 = 20
DBC = 20

בנתונים כתוב:
ABD = 2∠DBC
לכן:
ABD = 2 * 20 = 40

עכשיו אנו יודעים את שני החלקים המרכיבים את זווית B
B = 20 + 40 = 60

במשולש ABC אנו יודעים
C = 70
B = 60
לכן:
A = 180 – 60 – 70 = 50

תשובה: A= 50, B = 60

תרגיל 7
במשולש היחס בין הזוויות הוא 2:3:4.
מצאו את גודלן של זוויות המשולש.

פתרון
זו שאלת יחס.
הסבר מפורט כיצד מגדירים משתנים בשאלות יחס בדף יחס בעיות מילוליות.

נגדיר את הזוויות הקטנה כ 2x.
שתי הזוויות הנוספות יהיו
3x
4x

סכום הזוויות הוא 180, לכן המשוואה היא:
2x + 3x + 4x = 180
9x = 180
x = 20

גדלי הזוויות הן:
40 = 2* 20
60 = 3 * 20
80 = 4 * 20

3.מרובעים

תרגיל 8
במקבילית ABCD
A= 2∠B
חשבו את זוויות המקבילית.

פתרון
נגדיר זווית
A = x
לכן
B = 2x

זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו, לכן
C = A = x
D = B = 2x

סכום הזוויות המקבילית הוא 360, כמו כל מרובע.
לכן המשוואה היא:
x + x + 2x + 2x = 360
6x = 360  / :6
x = 60

זוויות המקבילית הן:
60,60,120,120

תרגיל 9
בטרפז שווה שוקיים ידוע כי זווית D גדולה ב 40 מזווית B.
חשבו את זוויות הטרפז.

פתרון
נגדיר:
B = x
בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו.
לכן:
C = x.

זוויות A,D משלימות את זוויות הבסיס התחתון ל 180, כי אלו הן זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים.
לכן:
D = A = 180- x

אנו יודעים שזוויות D גדולה ב 40 מעלות מזוויות A.
לכן המשוואה היא:
x + 40 = 180 – x  / +x -40
2x = 140  / :2
x = 70

70 הוא גודלן של זוויות B,C.
110 הוא גודלן של זוויות A,D.

תרגיל 10
במרובע היחס בין הזוויות הוא
2:5:5:6
חשבו את זוויות המרובע.

פתרון
נגדיר:
2x  הזווית הקטנה.
5x הגודל של כל אחת משתי הזוויות הבינוניות.
6x הגודל של הזווית הגדולה.

סכום הזוויות במרובע הוא 360. לכן המשוואה היא:
2x + 5x + 5x + 6x = 360
18x = 360
x = 20

גודל הזוויות במרובע הוא:
40 = 2 * 20
100 = 5 * 20
100 = 5 * 20
120 = 6 * 20

עוד באתר:

משפטים בגיאומטריה הסברים בוידאו

בדף זה הסברים בוידאו לרשימת המשפטים בגיאומטריה המאושרים לשימוש בבגרות ללא הוכחה.

את רשימת המשפטים המלאה תוכלו למצוא בדף משפטים בגיאומטריה.

הסרטונים מוצגים בגלריות. על מנת לעבור בין סרטונים השתמשו בחצים הנמצאים בתחתית הסרטון.

משפטים מוכרים ומשפטי משולש

בחלק זה 3 סרטוני וידאו:

  1. משולש ישר זווית: 8 משפטים.
  2. משולש: 12 משפטים.
  3. 25 משפטים שאתם אמורים להכיר משנים קודמות.

משפטי מרובעים

בחלק זה 5 סרטוני וידאו:

  1. מקבילית: 7+2 משפטים.
  2. טרפז: 7 משפטים.
  3. מעוין: 4 + 2 משפטים.
  4. מלבן: 3 משפטים.
  5. דלתון: 1 משפט.

משפטי מעגל

בחלק זה 6 סרטוני וידאו:

  1. זווית: 11 משפטים.
  2. מיתרים: 6 משפטים.
  3. משיק למעגל: 8 משפטים.
  4. מעגל חוסם וחסום: 8 משפטים.
  5. שני מעגלים: 2 משפטים.
  6. דמיון ופרופורציה במעגל: 3 משפטים (לתלמידי 5 יחידות בלבד).

עוד באתר:

  1. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
  2. בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

משפט פיתגורס תרגילים קשים

בדף משפט פיתגורס למדנו את היסודות של משפט פיתגורס.

בדף זה נפתור תרגילים קשים יותר.
חלק מהתרגילים (נושאים 1-2) יכולים להיפתר על יד תלמידי כיתה ח.
נושאים 3-4 מתאימים לתלמידים בכיתות ט ומעלה.
התרגילים מחולקים לסוגים הבאים:

  1. שילוב של משפט פיתגורס ושטח משולש.
  2. משתנה אחד המגדיר שתי צלעות.
  3. שילב של משפט פיתגורס עם היקף משולש.
  4. משפט פיתגורס במרובעים.

1.שילוב של משפט פיתגורס עם שטח משולש

שטח משולש מחשבים תמיד כמכפלה של צלע בגובה חלקי 2.
אבל מכוון שיש 3 צלעות במשולש יש גם 3 דרכים לחשב את שטח המשולש.
בכל שלושת הדרכים שטח המשולש שנגיע אליו הוא אותו שטח.

בשרטוט מטה ACB הוא משולש ישר זווית.
ו CD הוא הגובה אל הצלע AB.
על פי הנתונים שבשרטוט מצאו את הגובה CD.

הדרך לפתרון:

  1. מוצאים את AB באמצעות משפט פיתגורס.
  2. משתמשים בזה ש CD * AB צריך להיות שווה ל AC * BC = 12. כדי למצוא את CD.

הפתרון המלא:
AB² = 3² + 4² = 25
AB = 5

שטח משולש ABC הוא:

ניתן לחשב את שטח משולש ABC גם כך:

נכפיל את המשוואה שקיבלנו פי 2 ונקבל:
5CD = 12
CD = 2.4
תשובה: אורכו של הגובה CD הוא 2.4 ס"מ.

תרגיל 2
במשולש ישר זווית ΔABC (זווית B=90∠) אורכי הניצבים הם 6 ו 10 ס"מ.
BD הוא הגובה ליתר.
חשבו את אורך BD.

פתרון
רמז: הפתרון מתבסס על כך ששטח משולש ישר זווית ניתן לחשב כמכפלת אורכי הניצבים לחלק ב 2. או הגובה ליתר כפול היתר לחלק ב 2.

  1. נחשב את שטח המשולש על פי שני הניצבים:
    2 : 6*10
    30=60:2
  2. נחשב את אורך היתר על פי משפט פיתגורס:
    136= 10²+6²
    CA²=136
    CA=11.66
  3. ניתן לחשב את שטח משולש ΔABC
    גם כמכפלה של היתר בגובה אליו:
    S=CA*BD / 2 =30
    11.66BD / 2=30
    11.66BD=60
    BD=5.148
    תשובה: אורך הגובה BD הוא 5.148 ס"מ.

2.שילוב של משפט פיתגורס עם היקף משולש

תרגיל
היקף משולש הוא 24 סנטימטר.
אורך אחד הניצבים הוא 6 סנטימטר.
מצאו את אורך שתי הצלעות הנוספות במשולש.

פתרון
נגדיר :
x אורך הניצב השני.
ולכן אורך היתר הוא:

עכשיו אנו יכולים לבנות בעזרת משפט פיתגורס משוואה:
x² + 6² = (18 – x)²
x² + 36 = 324 – 36x + x²
36x = 288  / :36
x = 8

8 הוא אורכו של הניצב השני.
אורכו של היתר הוא:
10 = 8 – 18

תרגיל 2
היקף משולש ישר זווית הוא 24 ס"מ. אורך היתר הוא 10 ס"מ.
חשבו את אורך ניצבי המשולש.

משפט פיתגורס שרטוט תרגיל

פתרון
נגדיר
x – אורך ניצב המשולש.

אורך הניצב השני הוא 14 מינוס X
(אורך הניצב השני 14 מינוס x).

x²+(14-x)²=10²
x²+14²-28x+x²=100
2x²+196-28x=100
2x²-28x+96=0 /:2
x²-14x+48=0
x-6) (x-8)=0)  – פירוק הטרינום.
x=6  או x=8

תשובה: אורך הניצב הקצר הוא 6 ס"מ. אורך הניצב הארוך הוא 8 ס"מ.
הערה: השתמשתי פירוק הטרינום על מנת לפתור את המשוואה הריבועית אך למי שיותר נוח יכול לפתור בעזרת נוסחת השורשים.

3.משתנה אחד המגדיר שתי צלעות

בשאלות מסוג זה יש לנו נתון על צלע במשולש שאינו ישר זווית.
כמו AB = 15 בשרטוט שלפנינו.
AB=15, BC = 12,  AC=9
CD⊥AB.
ואנו צריכים למצוא את אחת מהצלעות AD, DB, CD.

משפט פיתגורס, שרטוט התרגיל

פתרון
AB = 15 זה נתון שאנו לא יודעים איך להשתמש בו.
אבל אם נגדיר
BD = x
AD = 15 – x

נגדיר את CD בעזרת פיתגורס בשני המשולשים ישרי הזווית.
במשולש CDB נמצא משוואה ראשונה:
CD² = 12² – X²

במשולש CDA נמצא משוואה שנייה:
(CD² = 9²-(15-X)² = 9²-(15-X) * (15 – x
(CD² = 9² – (225 – 15x – 15x +x²
(CD² = 81-( 225 – 30X + X²
CD² = 30X – X² -144

קיבלנו שתי משוואות:
CD² = 12² – X²
CD² = 30X – X² -144
אנו יכולים להשוות בין שתי המשוואות ולקבל משוואה עם נעלם אחד:

30X – X² -144 = 12² – X²
30X = 144+144=288
X=9.6

נציב במשוואה הראשונה ונקבל:
CD² = 12² – X²
CD = 12²-9.6²=51.84
CD = 7.2 ס"מ.

לסיכום פתרנו את השאלה בשלושה שלבים:

  1. בחירת משתנה שמאפשר לנו להגדיר שתי צלעות.
  2. יצירת שתי משוואות הכוללות צלע משותפת לשני המשולשים (הצלע CD).
  3. השוואה בין שתי המשוואות.

תרגיל 2
נתון משולש ABC שבו אורכי הצלעות הם:  AB=5, AC=8, BC=12 ס"מ.
חשבו את הגובה AD ואת שטח המשולש.

משפט פיתגורס, שרטוט התרגיל

פתרון

רמז: עליכם לבחור משתנה ולבנות באמצעותו ומשפט פיתגורס שתי משוואות בשני משולשים. ואז להשוות בין המשוואות.

נגדיר BD=X.
במשולש ABD על פי משפט פיתגורס.
X2+ AD2=52
AD2= 25-X2

במשולש ACD מתקיים על פי משפט פיתגורס.
82 = AD2 + (12-x)2
(AD2=64-(144-24X+X2
נשתמש במשוואה זו ובמשוואה שקיבלנו למעלה (שתיהן שוות AD2)
(AD² = 25-X2=64-(144-24X+X2
X2+25=64-144+24X-X2
X2+25=-80+24x-x2
105=24x
X=4.375

על פי מה שמצאנו קודם:
AD2= 25-X2=25-4.3752=25-19.14=5.86
AD=2.42  ס"מ.
שטח המשולש
AD*BC :2
14.52=2 : 2.42*12

תרגיל 3
נתון
AB = √34, BD = 3, CD = 8
BC⊥AD
מה אורכה של של הצלע AC?

פתרון

  1. הצלע AC נמצאת במשולש ישר זווית ADC. אבל במשולש זה אנו יודעים רק צלע אחת.
  2. נשים לב שהצלע AD משותפת למשולש ADB שבו כן יש מספיק נתונים לחישוב בעזרת משפט פיתגורס.
  3. לכן נחשב את AD במשולש ADB ואז נשתמש בתוצאה כדי למצוא במשולש ADC.

פיתגורס במשולש ADB:
AD² = (√34)² – 3² = 34-9=25
AD= 5

פיתגורס במשולש ADC:
AC² = 8² + 5² = 64+25 = 89
AC= √89

4.משפט פיתגורס במרובעים

תרגיל 1
במקבילית ABCD מורידים שני גבהים AE ו CF.
אורך הצלע AB הוא 8 ס"מ אורך הישר EC=7 ס"מ. אורך הישר BE=2 ס"מ.
א. חשבו את שטח המקבילית.
ב. ידוע כי מרובע AECF הוא מלבן, חשבו את שטחו.

שרטוט התרגיל

פתרון
שטח מקבילית שווה לאורך צלע המקבילית כפול הגובה אליה.
נחשב את אורך הצלע AE.
על פי משפט פיתגורס במשולש ΔBEA.
8²-2²=AE²
AE²=64-4=60
AE=√60
נחשב את אורך הצלע BC
BC=BE+EC=2+7=9
נחשב את שטח המקבילית
S=BC*AE=9*√60
S=69.71
תשובה: שטח המקבילית הוא 69.71 סמ"ר.

ב. שטח מלבן שווה למכפלת הצלעות שלו.
S=EC*AE=7*√60
S=54.22.
תשובה: שטח המלבן הוא 54.22 סמ"ר.

תרגיל 2
היקף מלבן ABCD הוא 30 ס"מ. אורך הצלע AD=9 ס"מ.
במלבן מעבירים ישר DE, הנקודה E נמצאת על הצלע BC.
CE=2 ס"מ.
א. חשבו את אורך הישר DE
ב. חשבו את שטח משולש ΔDBE. (אין קשר בין סעיף א ל ב).

שרטוט התרגיל, משפט פתגורס במלבן

פתרון
עלינו למצוא את אורך DC על מנת למצוא את אורך DE.
P= 2DC + 2AD – היקף המלבן.
2DC +18=30
2DC=12
DC=6

במשולש ΔDEC על פי משפט פיתגורס:
DE²=6²+2²=36+4
DE²=40
DE=√40 – תשובה לסעיף א.

שטח משולש ΔDBE שווה ל:
2 : BE*BC
BE=9-2=7.
DC=6
2 :  6*7
21 = 42:2
תשובה: שטח משולש ΔDBE הוא 21 סמ"ר.

תרגיל 3
במלבן היחס בין אורכי הצלעות הוא 3 : 2.
ידוע כי אורך האלכסון הוא 52√
מצאו את אורך צלעות המלבן.

פתרון
נגדיר:
DC = 2x  אורך הצלע הקצרה.
BC = 3x  אורך הצלע הארוכה.

במשולש DBC על פי משפט פיתגורס
BC² + DC² = BD²
3x)² + (2x)² = 52)
9x² + 4x² = 52
13x² = 52  / :13
x² = 4
x = 2  או   x = -2.
מכוון שגודל צלע הוא מספר חיובי התשובה היא x =2.

DC = 2X = 4
BC = 3X  = 6

תרגיל 4
בטרפז שווה שוקיים אורך השוק הוא 7.
ידוע גם:
AD= 6,  BC =11
חשבו את גובה הטרפז.

הרעיון של הפתרון
נוכיח ונמצא את הגודל של BE, FC בעזרת הוכחת חפיפת משולשים.
ואז נשתמש במשפט פיתגורס.

פתרון
AE, DF הם הגבהים בטרפז.

שלב א
נוכיח שהמשולשים בצדדים חופפים.

  1. AB = DC  נתון טרפז שווה שוקיים
  2. B = ∠C∠  זוויות בסיס בטרפז שווה שוקיים שוות זו לזו.
  3. AEB = ∠DFC = 90∠  בגלל שהישרים AE, DF הם גבהים.
  4. EAB = ∠ FDC אם שתי זוויות במשולש שוות זו לזו אז גם הזוויות השלישית שווה.
    את ההוכחה המתמטית כותבים כך:
    EAB = 180 – ∠AEB – ∠B = 180 – ∠FDC – ∠C = ∠FDC∠
  5. AEB ≅ DFC  משולשים חופפים על פי ז.צ.ז.

שלב ב
נמצא את גודלם של BE, CF.

  1. AEFD מלבן כי מרובע שבו 3 זוויות של 90 מעלות הוא מלבן
  2. EF = AD =  5  צלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו.
  3. BE + CF = BC – EF = 11 – 5 = 6
  4. BE = CF  צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
  5. BE = 6 : 2 = 3

שלב ג
נשתמש במשפט פיתגורס
במשולש ABE
AE² = AB² – BE²
AE² = 7² -3³ = 49- 9 = 40
AE = √40

תשובה: גובה הטרפז הוא 40√

עוד באתר:

דמיון משולשים שטח למתקדמים

בדף בקודם בנושא דמיון משולשים שטח למדנו שיחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון.
בדף זה נלמד כיצד משלבים את התכונה הזו עם שאלות קצת יותר קשות.
נציג 3 סוגים של שאלות קשות יותר.

1.תרגילים בהם צריך לבצע חיסור או חיבור שטחים על מנת למצוא שטח נוסף

המבנה הבא הוא מבנה נפוץ היוצר משולשים דומים.
אם
DE || BC
ונניח שאנו יודעים גם את הד ברים הבאים:
DE = 2,  BC = 6
ונניח
SADE = 10
ושואלים אותנו מה שטחו של המרובע DBCE, כיצד נחשב זאת?

נחשב זאת על ידי חיסור שטחי המשולשים:
SDBCE = SABC – SADE

בדרך הזאת:
ADE ∼ ABC
וגם יחס הדמיון הוא 3.
לכן יחס השטחים הוא 9 ושטח משולש ABC הוא 90.

אבל אם שואלים אותנו על שטח מרובע DBCE?
ניתן לחשב אותו על ידי חיסור שטחי המשולשים.
SDBCE = SABC – SADE
SDBCE = 90 – 10 = 80

2.תרגילים בהם אנו צריכים להגדיר את השטח של אחד המשולשים כמשתנה

נתון לנו כי
ADE ∼ ABC
SDBCE =20
וכי יחס הדמיון הוא 3.
כיצד נחשב את שטחי המשולשים?

פתרון
נגדיר את שטחי המשולשים בעזרת משתנה אחד.
ונבנה משוואה.
x  שטח משולש ADE.
לכן:
9x שטח משולש ABC.

ההפרש בין שטחי המשולשים הללו הוא:
SDBCE =20
לכן המשוואה:
9x = x + 20
8x = 20
x = 2.5

ושטח המשולש הגדול הוא:
SABC = x + 20 = 22.5

3. תרגילים בהם משולב דמיון משולשים יחד עם גובה משותף לשני משולשים
(או גובה משתף לשתי צורות שאינן משולשים)

גובה משותף לשתי צורות – זה בסיס להרבה שאלות וקשיים של תלמידים.
כאשר משלבים בין זה לדמיון משולשים השאלות הופכות קשות יותר.

נתון
ABCD טרפז.
SABCD = 60.
AOD ∼ COB
יחס הדמיון 3.
כיצד ניתן לחשב את השטח של כל אחד מארבעת המשולשים הפנימיים?

פתרון
נגדיר:
SAOD = x
על פי יחס הדמיון
SCOB = 9x

בטרפז ניתן להעביר את הגבהים
AE, CF.

נשים לב שהגובה AE הוא גובה לצלע DO וגם לצלע BO.
אז היחס בין שטחי המשולשים AOD, AOB קשור רק ליחס שבין BO, DO
ומכוון
BO = 3DO
אז:
SAOB = 3SAOD = 3x

באותה צורה ניתן להראות כי:
SBOC = 3SCOD
ולכן:
SCOD = 0.33 * 9x = 3x

*הערה: דרך אחרת להוכיח כי
SCOD = 3x
היא על ידי חפיפת המשולשים:
DOC ≅ AOB

עכשיו הגדרנו את שטחי 4 המשולשים בעזרת x:
SAOD = x
SCOB = 9x
SAOB  = 3x
SCOD = 3x

אנו יודעים כי שטח הטרפז:
SABCD = 60.
לכן המשוואה היא:
x+ 9x + 3x + 3x = 60
16x = 60
x = 3.75
ומכאן ניתן למצוא את שטחי כל המשולשים.

תרגילים 

בחלק זה 6 תרגילים בנושא דמיון משולשים שטח.

תרגיל 1

בתוך משולש ABC העבירו ישר DE כך ש  ΔABC ∼ ΔADE.
DE=4, BC = 7 ס"מ.
שטח משולש ABC הוא 28 סמ"ר.
חשבו את שטח טרפז DECB.

דמיון משולשים שטח, שרטוט התרגיל

הרעיון של הפתרון:
1. על ידי מציאת יחס הדמיון בין המשולשים ניתן למצוא את שטח משולש ADE.
2. נחשב את שטח הטרפז על ידי חיסור שטחי המשולשים SABC – SADE.

פתרון מלא

נמצא את יחס הדמיון ויחס השטחים בין המשולשים
יחס הדמיון בין המשולשים הוא:
DE / BC = 4/7
יחס השטחים הוא 16/49=²(4/7)

נמצא את שטח משולש ADE
לכן שטח משולש ADE הוא:
SADE = SABC * 16/49 = 28*16/49 = 9.14
SADE = 9.14

נחשב את שטח הטרפז דרך חיסור שטחי משולשים
שטח הטרפז שווה ל:
SBDEC = SABC – SADE = 28 – 9.14 = 18.86
תשובה: שטח הטרפז BDEC הוא 18.86 סמ"ר.

תרגיל 2

במשולש ABC חסומה מקבילית DEFB כך ש 3BF=BC.
פי כמה גדול שטח משולש ΔABC משטח משולש ΔADE

שרטוט התרגיל

הרעיון של הפתרון
1. BF = DE (צלעות נגדיות במקבילית) לכן יש לנו את המשוואה 3DE = BC.
2.  ממשוואה זו נוכל לקבל שיחס הדמיון בין המשולשים הדומים ΔABC ∼ ΔADE הוא 3.
9. לכן 3² =9 הוא יחס השטחים בין המשולשים הללו.

פתרון
שלב א: נוכיח דמיון משולשים  ΔADE ∼ ΔABC

  1. A∠ – זווית משותפת.
  2. ABC = ∠ADE∠ – זווית מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. ΔADE ∼ ΔABC דמיון משולשים על פי משפט דמיון ז.ז

שלב ב: נמצא את יחס הדמיון ויחס השטחים

  1. DE=BF – צלעות המקבילית שוות זו לזו.
  2. DE/BC = 3 – נובע מהנתונים וסעיף 4.
  3. DE ו BC הן צלעות מתאימות במשולשים דומים. לכן היחס בניהם הוא הוא יחס הדמיון.
    יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון 3² = 9.
    תשובה: שטח משולש ΔABC גדול פי 9 משטח משולש ΔADE.

*הערה: ניתן "לסבך" השאלה הזאת קצת יותר אם היינו מקבלים את המשוואה 3BF=FC.
במקרה הזה היינו צריכים למצוא את BC על ידי המשוואה BF+FC = 4BC.
ויחס הדמיון בין המשולשים היה 4.

תרגיל 3: שטח כמשתנה

במשולש ABC מעבירים ישר DE כך ש ΔADE ∼ ΔABC.
יחס הדמיון בין צלעות המשולשים הוא 2.
ידוע כי שטח המרובע DEBC הוא 15 סמ"ר.
חשבו את שטח משולש ABC.

שרטוט התרגיל שטח משולש

הרעיון של הפתרון
1. יחס הדמיון של המשולשים ADE ו- ACB הוא 4.
2. לכן כאשר נגדיר את שטח משולש ADE כ- X, נוכל להגיד ששטח משולש ACB הוא 4X או X + 15.
המשוואה 4X = X + 15 תפתור לנו את התרגיל.

פתרון מלא

1.נמצא את יחס השטחים בעזרת יחס הדמיון
יחס השטחים בין ΔADE ל ΔABC הוא 2² =4.
2. נגדיר SADE = X.
לכן:
SABC = X+15.
SABC = 4SADE = 4X

3. משני השוויונות שלמעלה ניתן לבנות את המשוואה:
4X = X+15
3X=15 / :3
X=5.

4. מצאנו SADE = 5
אנו יודעים כי:
SABC = X+15
לכן:
SABC = X+15 = 5+15=20.
תשובה: שטח משולש ABC הוא 20 סמ"ר.

תרגיל 4

בתוך משולש ABC העבירו שני ישרים DE ו FG כך שמתקיים:
ΔABC ∼ ΔADE ∼ ΔAFG
AE=2,5, EG=5, FG=10, BC = 20 ס"מ.
שטח משולש ABC הוא 324 סמ"ר.
חשבו את שטח משולש ADE.

דמיון משולשים שטח, שרטוט התרגיל

פתרון
על מנת לפתור שאלה זו עלינו לחשב את יחס הדמיון ויחס השטחים בין המשולשים.
יש שתי דרכים לעשות זאת. אראה בהתחלה את הדרך "הרגילה" ולאחר מיכן דרך נוספת.

שלב 1: מציאת יחס השטחים בין המשולשים בין משולש ADE ומשולש AFG.
AG= AE+EG=2.5+5=7.5
יחס הדמיון הוא:
AG / AE=7.5 / 2.5 = 3
יחס השטחים הוא 3²=9.

שלב 2: נמצא את יחס השטחים בין המשולשים AFG ו ABC.

נמצא את יחס הדמיון בין המשולשים AFG ו ABC.
יחס הדמיון הוא:
BC/FG=20/10=2
יחס השטחים הוא 2²=4.

שלב 3: נמצא את יחס השטחים בין שלושת המשולשים ונפתור את התרגיל
יחס השטחים בין שלושת המשולשים הוא:
1:9:36
כלומר שטח משולש ADC קטן פי 36 משטח משולש ABC.
SADE = 324 :36=9
תשובה: שטח משולש ADE הוא 9 סמ"ר.

דרך שנייה לפתרון
בעזרת קטע אמצעים במשולש.

דמיון משולשים שטח, שרטוט התרגיל

הרעיון מאחורי הפתרון:
אם מזהים ש FG  הוא קטע אמצעים במשולש ABC אז יודעים ש GC = 7.5 וניתן לחשב באופן ישיר את היחס בין שטח משולש ADE (המשולש המבוקש) ושטח משולש ABC ( המשולש ששטחו 324 סמ"ר).

פתרון מלא
נתון ΔABC ∼ ΔADE ∼ ΔAFG
שלב 1: זיהוי FG כקטע אמצעים במשולש ABG.

  1. B = ∠ F∠   זוויות מתאימות בין משולשים דומים
  2. FG ||  BC אם בין שני ישרים הזוויות המתאימות שוות אז הישרים מקבילים.
  3. FG הוא קטע אמצעים במשולש ABC על פי המשפט "ישר במשולש המקביל לצלע משולש ושווה למחיצתה הוא קטע אמצעים".

שלב 2: נחשב את יחס השטחים בין המשולשים

  1. GC = AG = 7.5  כי FG הוא קטע אמצעים במשולש.
  2. יחס הדמיון בין המשולשים ΔABC ∼ ΔADE הוא:
  3. לכן יחס השטחים הוא 6² = 36.
    שטח משולש ABC גדול פי 36 משטח משולש ADE.
  4. SADE = 324 :36=9
    תשובה: שטח משולש ADE הוא 9 סמ"ר

תרגיל 5: דמיון משולשים בטרפז שווה שוקיים

בטרפז שווה שוקיים ABCD (השוקיים AB=CD) מעבירים אלכסונים AC ו DB.
AE=4, EC=12 ס"מ.
SAED = 18 סמ"ר.

  1. חשבו את שטח משולש BEC.
  2. חשבו את שטח משולש DEC.

שרטוט התרגיל דמיון משולשים בטרפז שווה שוקיים

הרעיון של הפתרון:
1. סעיף א: מוכיחים את דמיון המשולשים ΔAED ∼ ΔCEB בעזרת זוויות מתחלפות שוות ואז משתמשים ביחס הדמיון למציאת יחס השטחים ולמציאת שטח משולש BEC.
2. סעיף ב: למשולשים ADE ו- DEC יש גובה משותף לצלעות AE =4 ו- CE = 12 בהתאמה.  לכן יחס השטחים בניהם הוא 3 = 4 : 12.
שרטוט המסביר את סעיף ב בהמשך.

פתרון מלא

שלב א: נוכיח דמיון משולשים ΔAED ∼ ΔCEB

  1. DBC = ∠BDA∠ – זווית מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  2. ACB=∠CAD∠ –  זווית מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. ΔAED ∼ ΔCEB – דמיון משולשים על פי משפט דמיון ז.ז.

שלב ב: נמצא את יחס הדמיון ויחס השטחים

  1. AE ו EC הן צלעות מתאימות בין משולשים דומים. לכן יחס הדמיון בין המשולשים הוא:
    EC / AE =12/4=3
  2. יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון 3²=9.
  3. שטח משולש BEC הוא 18*9=162 סמ"ר.

סעיף ב.

שרטוט התרגיל

הגובה DF הוא גובה משותף במשולשים  ADE ו- DEC אל הצלעות AE ו- CE בהתאמה.

נחשב את שטחי המשולשים ADE ו- DEC:

ניתן לראות ששטח משולש DEC גדול פי 3 משטח משולש ADE.
SDEC = 18 * 3 = 54
תשובה: שטח משולש DEC הוא 54 סמ"ר.

*תרגיל 6

בתוך משולש ABC חסומה מקבילית DEFB כך שמשולש EFC הוא משולש שווה צלעות.
ידוע כי שטח משולש EFC הוא (1/8) משטח המקבילית.
א. מצאו את היחס בין שטח משולש ABC לשטח משולש ADE.
ב. אם שטח משולש EFC הוא 10 סמ"ר. מה הוא שטח משולש ABC?
(רמז: יש להיעזר בדמיון משולשים, אך לא של המשולשים המוזכרים בסעיף זה).

דמיון משולשים שטח, שרטוט התרגיל

הרעיון מאחורי פתרון סעיף א:
1.למקבילית ולמשולש EFC יש גובה משותף (EH). לכן BF = 4FC (שרטוט של הגובה המשותף בהמשך).
2. DE = 4FC,    BC =5FC   לכן יחס השטחים בין המשולשים הדומים ADE ∼ ABC הוא 9 : 8.

פתרון

הוספת גובה לשרטוט

שלב א: נוכיח דמיון משולשים ΔADE ∼ ΔABC

  1. A∠ – זווית משותפת.
    B=∠ADE∠ – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
    ΔADE ∼ ΔABC על פי ז.ז

שלב ב: נמצא את יחס הדמיון

נעביר גובה EG  – זה גובה משותף למקבילית DEFB ולמשולש EFC.
שטח המקבילית הוא:
EF*BF=8S
(משוואה ראשונה)
שטח משולש EFC הוא
0.5EF * FC  = S
(משוואה שנייה).

נכפיל את המשוואה השנייה פי 8 על מנת שנקבל שתי משוואות שוות.
4EF * FC = 8S
נשווה את שתי המשוואות
4EF* FC = EF * BF
4FC = BF

על מנת למצוא את יחס הדמיון עלינו למצוא את היחס בין DE ל BC.

  1. ננגדיר FC=X.
    BC = FC+BF = 4X+X=5X
  2. DE=BF=4X – צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  3. DE ו BC הן צלעות דומות במשולשים דומים. לכן יחס הדמיון בין המשולשים הוא
    BC/DE=5X/4X=5/4
    יחס הדמיון בין משולש ABC למשולש ADE הוא 5:4 לכן היחס בין השטחים הוא 25:16.

סעיף ב
הרעיון מאחורי פתרון:
יש את דמיון המשולשים EFC ∼ ABC ובעזרתו ניתן לפתור את התרגיל.
הרבה לא שמים לב לדמיון משולשים מהסוג זה.

דמיון משולשים שטח, שרטוט התרגיל

פתרון מלא

שלב א: נוכיח את דמיון המשולשים

  1. CFE = ∠ B∠ זוויות מתאימות שוות בין ישרים מקבילים.
  2. C = ∠C∠
  3. EFC ∼ ABC  משולשים דומים על פי ז.ז

שלב 2: נמצא את יחס השטחים בין המשולשים ונפתור

בסעיף א מצאנו: DE = 4FC,    BC = 5FC
יחס הדמיון בין המשולשים הוא:
BC : FC = 4FC : FC = 1

לכן יחס השטחים בין המשולשים הוא 4² = 16.

SABC= 16 * 10 = 160
תשובה: שטח משולש ABC הוא 160 סמ"ר.

שטח גזרה ואורך קשת במעגל

כאשר נעשה סיבוב שלם סביב מרכז המעגל אנו נעבור 360 מעלות.
נוח לראות זאת כאשר מעבירים קוטר, קוטר במעגל יוצר שתי זוויות של 180 מעלות.

כאשר אנו רוצים לחשב שטח של גזרה או אורך של קשת נחלק את גודל הזווית היוצרת את הגזרה ב 360 ונכפיל בהיקף המעגל על מנת למצוא את אורך הקשת או נכפיל בשטח המעגל על מנת למצוא את שטח הגזרה.

למשל:
ידוע כי היקפו של מעגל הוא 12 סנטימטר ושטחו של המעגל הוא 14 סמ"ר.
במעגל זה יוצרים זווית מרכזית שגודלה 60 מעלות.
מה גודלה של הקשת עליה נשענת הזווית (הקו המסומן באדום)?
מה שטח הגזרה עליה נשענת הזווית (השטח המסומן בכחול)?

פתרון
אורך הקשת
היקף המעגל הוא 12 סנטימטר.
החלק של הזווית הזו מתוך ההיקף הוא:

אורך הקשת הוא 1/6 מתוך 12.
לכן אורך הקשת הוא:

תשובה: אורך הקשת הוא 2 סנטימטר.

הערה: היינו יכולים לפתור את התרגיל הזה על ידי תרגיל אחד:

חישוב שטח הגזרה
החלק של שטח הזרה מהמעגל הוא 1/6.
לכן שטח הגזרה הוא:

תשובה: שטח הגזרה הוא 2.33 סמ"ר.

תרגילים

תרגיל 1
במעגל שרדיוסו 5 סנטימטר יוצרים זווית מרכזית שגודלה 120 מעלות.
חשבו את שטח הגזרה ואורך הקשת עליה נשענת הזווית.

פתרון
החלק של הזווית מתוך שטח המעגל והיקף המעגל הוא:

על מנת למצוא את שטח הגזרה נחשב את שטח העיגול.
הנוסחה היא:
S=₶r²
S = 3.14 * 5 * 5 = 78.5

שטח הגזרה הוא 1/3 מהשטח הכללי, לכן:

ניתן להגיע לאותה תוצאה על ידי התרגיל:

חישוב אורך הקשת
עלינו למצוא את היקף המעגל.
הנוסחה היא:
P=2₶R
P = 2 * 3.14 * 5 = 31.4

אורך הקשת הוא הוא 1/3 מהיקף המעגל לכן:

ניתן לבצע את החישוב גם על ידי התרגיל:

תרגיל 2
ממעגל שרדיוסו 3 סנטימטר חותכים חלק הנשען על זווית מרכזית בגודל 30 מעלות.
חשבו את שטח המעגל שנותר ואת היקף המעגל שנותר.

פתרון

את התרגיל הזה ניתן לפתור בשתי דרכים אני ממליץ לדעת את שתיהן.

החלק אותו הסירו מהמעגל הוא:

חישוב שטח הגזרה
נחשב את שטח המעגל
S=₶r²
S = 3.14 * 3 *3 = 28.26

לכן שטח הגזרה שהוסרה הוא:

2.355 סמ"ר הוסר מהמעגל. לכן השטח שנשאר הוא:
25.905 = 2.355 – 28.26

תשובה: שטח המעגל שנשאר הוא 25.905.

חישוב היקף הקשת שנותרה
היקף המעגל הוא:
P = 2 * 3.14 * 3 = 18.84

היקף המעגל שהוסר הוא:

לכן היקף המעגל שנותר הוא:
17.27 = 1.57 – 18.84

דרך שנייה לפתרון התרגיל
הסירו מהמעגל 30 מעלות.
לכן נותרה במעגל זווית של:

340 = 20 – 360

לכן החלק היחסי של מה שנשאר במעגל הוא:

אנו יודעים כי:
שטח העיגול 28.26 סמ"ר.
היקף המעגל  18.84 סנטימטר.

לכן שטח הגזרה שנותרה:

היקף הקשת שנותרה:

בדרך השנייה חישבנו ישר את מה שנשאר.
בדרך הראשונה חישבנו את מה שהוסר ואז החסרנו את זה מהמעגל השלם.

עוד באתר:

חישוב שטחים שיש להם גובה או בסיס משותף (לחטיבת הביניים)

בדף זה חישוב של שטחים עם גובה או בסיס משותף.

בחלק הראשון תרגילים המשלבים בין מרובע למשולש ובחלק השני בין שני משולשים.

הסבר תאורטי

מקרה ראשון: לשני משולשים יש את אותו אורך גובה ואותו אורך צלע:
ולכן שטח שני המשולשים הללו שווה

נסתכל על המשולשים ABC ו DBC.

אם AE = DF אז שטחי המשולשים שווים.
כי חישוב שטחי שני המשולשים נעשה כך:

ואם BC היא צלע משותפת.
וגם AE = DF.
אז שטחי המשולשים שווים.

מקרה שני: כאשר הגובה או הצלע שווים בין שני משולשים. 
אז יחס השטחים הוא כיחס בין האיברים שאינם שווים.

אם AE = 2DF.
אז:
SABC = 2 * SDBC

כי:
ניתן להגדיר
DF=x
AE=2X
ואז נוסחאות שטחי המשולשים יראו כך:

ולכן:
SABC = 2 * SDBC

שרטוט נוסף שכדאי שתכירו הוא:

במקרה זה למשולש ADC (האפור מימין) ולמשולש ADB (הלבן משמאל) יש גובה משותף ולכן היחס בין שטחי המשולשים הללו הוא כמו יחס הצלעות CD ו BD.

כלומר אם:
BD = 4CD
אז
SABD = 4 * SADC

מקרה שלישי: שטח משולש החסום במלבן / מקבילית / ריבוע / מעוין שווה למחצית משטח המרובע בו הוא חסום.

הסבר:
למשולש EBC ולמלבן יש צלע משותפת BC.

בנוסף, הגובה במשולש EF שווה לצלע המלבן DC.
כי:

  1. במרובע EFDC יש 3 זוויות השוות 90 מעלות.
  2. מרובע בו יש 3 זוויות שגודלן 90 מעלות הוא מלבן.
  3. במלבן צלעות נגדיות שוות ולכן EF = DC.

חישוב שטח המלבן הוא:
SABCD = DC * BC

חישוב שטח המשולש הוא:

מכוון שאת שטח המשולש מחלקים פי 2 ואת שטח המלבן לא מחלקים.
אז שטח המלבן יהיה גדול פי 2 משטח המשולש.

שתי הערות
הערה 1
שטח המשולש הוא חצי משטח המלבן ולכן השטח הנמצא מחוץ למשולש גם הוא חצי משטח המלבן.
כלומר השטח המקווקו בירוק שווה לשטח המשולש וגם שווה לחצי משטח המלבן.

הערה 2
כל מה שאמרנו על מלבן נכון גם למקבילית / ריבוע / מעוין.
גם עבור הצורות הללו אם יש משולש החסום בהם על שטח המשולש שווה למחצית משטח המרובע.

סיכום

1.כאשר בין שני משולשים גם הגובה וגם הצלע אליה מגיע הגובה שווים:
אז שטחי המשולשים שווים.

2. כאשר בין שני משולשים רק אחד מהדברים (גובה או הצלע אליה מגיע הגובה שווים):
אז יחס השטחים הוא כמו היחס בין הדבר שאינו שווה.

3. כאשר במשולש ומלבן (או מקבילית, או ריבוע או מעוין) הצלע והגובה שווים:
אז שטח המשולש שווה לחצי משטח המלבן.

לרוב התרגילים בדף יש גם פתרונות וידאו המופיעים מיד לאחר הפתרון הכתוב.

את הדף יכולים לפתור תלמידי חטיבת הביניים, אבל זה דף קשה יחסית שגם תלמידי תיכון יכולים ללמוד ממנו.

יחס שטחים בין מרובע למשולש

תרגיל 1

נתון מלבן ABCD שרוחבו 4 ס"מ ואורכו 10 ס"מ.
על צלע BC בנו משולש BCE כך שקודקוד E נמצא על צלע AD.
חשבו את שטח משולש BCE.

שרטוט התרגיל

פתרון

הגובה EF שווה לאורך המלבן 10 ס"מ.
(כי המרובע AEFB הוא מלבן וצלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו, הסבר מפורט יותר בוידאו).
שטח משולש BEC הוא:
2 : (10*4)
20=40:2.
תשובה: שטח משולש BEC הוא 20 סמ"ר.

שימו לב לדברים הבאים:

  1. שטח המלבן הוא 40 סמ"ר. ובכול התרגילים מהסוג הזה שטח המשולש שווה למחצית שטח המלבן.
  2. זה לא משנה איפה הנקודה E נמצאת על צלע AD.

*תרגיל 2: כמו תרגיל 1 אבל עם משתנים ולא מספרים

נתון מלבן שאורך צלעותיו הם a,b.
המשולש EAD חסום במלבן.
הוכיחו כי שטח המשולש שווה למחצית שטח המלבן.

שרטוט התרגיל

פתרון
נחשב את שטח המלבן ושטח המשולש ואז נראה מה הקשר בניהם.
שטח המלבן
S = a * b

שטח המשולש
גובה המשולש EF=b.
(כי המרובע EFDC הוא מלבן וצלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו. הסבר מפורט יותר בוידאו).
לכן שטח המשולש הוא:
S = (a * b) : 2 = 0.5ab

תשובה: שטח המלבן הוא a*b  שטח המשולש הוא 0.5a*b.
לכן שטח המשולש שווה למחצית שטח המלבן.

תרגיל 3

בשרטוטים הבאים נתונים מלבן ומשולש ישר זווית הבנוי על צלע המלבן.
קבעו על פי הנתונים בשרטוט האם שטח המלבן שווה / קטן / גדול לשטח המשולש.

שרטוט התרגיל

פתרון
הנוסחה לשטח המלבן היא:
שטח = מכפלת הצלעות.
הנוסחה לשטח משולש ישר זווית היא:
שטח = מכפלת הניצבים לחלק ב- 2.

כלומר אם צלעות המלבן שוות לניצבי המשולש אז שטח המשולש שווה למחצית משטח המלבן.

בנוסף בשלושת המקרים הפתרון מבוסס על כך שצלע המלבן שווה לגובה המשולש.

הפתרון של שרטוט 1.
x  – אורך צלע המלבן החסרה / אורך ניצב המשולש שחסר.
שטח המלבן הוא:
4x
שטח המשולש הוא:
4x : 2 = 2x
תשובה: שטח המשולש קטן משטח המלבן, שטח המשולש הוא מחצית משטח המלבן.

הפתרון של שרטוט 2.
y  – אורך צלע המלבן החסרה / אורך ניצב המשולש שחסר.
שטח המלבן הוא:
y * 4
שטח המשולש הוא:
y * 6) : 2 = 3y)
תשובה: שטח המלבן גדול משטח המשולש.

הפתרון של שרטוט 3.
z  – אורך צלע המלבן החסרה / אורך ניצב המשולש שחסר.
שטח המלבן הוא:
z * x
שטח המשולש הוא:
z * 2x) : 2 = zx)
שטח ומלבן ושטח המשולש שווים, שניהם שווים ל- zx.

תרגיל 4

אורך הניצבים של משולש ישר זווית הוא 5 ו 2 סנטימטר.
בטרפז ישר זווית אורך הבסיס הקטן הוא 20 סנטימטר ואורך הבסיס הגדול 25 סנטימטר.
גובה הטרפז שווה ל- 2 סנטימטר.
חשבו כמה משולשים יכולים להיכנס בטרפז.
(הערה, ניסוח אחר לאותה שאלה יכול להיות: פי כמה גדול שטח הטרפז משטח המשולש).

שרטוט התרגיל

פתרון
משני משולשים ישרי זווית ניתן ליצור מלבן שאורך צלעותיו 5 ו- 2.

מלבן שנוצר משני משולשים ישרי זווית

מלבן שנוצר משני משולשים ישרי זווית

מלבן זה נכנס 4 פעמים עד קצה הבסיס הקטן של הטרפז.
(כי 4 = 5 : 20).

לאחר מיכן יש מקום לעוד משולש אחד.
סך הכל משולשים שנכנסו:
8 = 2 * 4 ( כי בכול מלבן שהכנסנו יש 2 משולשים).
1 שנכנס בסוף
תשובה: 9 משולשים נכנסים בתוך הטרפז.

תרגיל 5

בריבוע ABCD העבירו את הישרים CE ו- DF כך שנוצר טרפז.
אורך צלע הריבוע 10 סנטימטר.
AF = 2,  BE = 6 סנטימטר.

  1. מבלי לבצע חישוב, הגידו האם שטח הטרפז גדול / קטן שווה לחצי שטח הריבוע.
  2. חשבו את שטח הטרפז מבלי להשתמש בנוסחה לשטח טרפז.

שרטוט התרגיל

פתרון

האם שטח הטרפז גדול / קטן / שווה לשטח הריבוע?
למדנו שכאשר משולש חסום בריבוע או מלבן הוא שווה למחצית משטחם. שטח טרפז חסום גדול יותר משטח משולש חסום כי אנו מרחבים את החלק העליון.
לכן שטח הטרפז גדול ממחצית שטח הריבוע.

למדנו קודם ששטח משולש FCD שווה למחצית שטח הריבוע. לכן שטח הטרפז גדול ממחצית שטח הריבוע

חלק שני: חישוב שטח הטרפז
נחשב את שטח הריבוע. נחסר ממנו את שטח שני המשולשים ישרי הזווית הנמצאים בצדדים וכך נמצא את שטח הטרפז.
SFECD = SABCD – SAFD – SEBC
שטח הריבוע:
100 = 10 * 10

שטח המשולשים
AD = BC = 10 צלעות המשולש שוות זו לזו.
SAFD = (10 * 2) : 2
SAFD = 20 : 2 = 10

SBEC = (6 * 10) : 2
SBEC = 60 :2 = 30

שטח הטרפז הוא:
SFECD = SABCD – SAFD – SEBC
SFECD = 100 – 30 – 10 = 60
תשובה: שטח הטרפז 60 סמ"ר.

שאלות יחס בין שטחים של שני משולשים

הסבר

בין שני משולשים יכול להיות גובה שווה או צלע שווה.
במקרה כזה היחס בין שטחי המשולשים הוא כמו היחס בין החלק שאינו שווה.

למשל:

למשולשים ABC ו- DBC יש צלע משותפת (BC) והגובה היוצא מהקודקוד A גדול פי 2.5 מהגובה היוצא מקודקוד B. לכן שטח משולש ABC גדול פי 2.5 משטח משולש DBC.

למשולשים ABC ו- DBC יש צלע משותפת (BC) והגובה היוצא מהקודקוד A גדול פי 2.5 מהגובה היוצא מקודקוד B. לכן שטח משולש ABC גדול פי 2.5 משטח משולש DBC.

למשולשים ABD ו- ACD יש גובה משותף AE. שטח משולש ABD גדול פי 5 משטח משולש CD.

למשולשים ABD ו- ACD יש גובה משותף AE.
שטח משולש ABD גדול פי 5 משטח משולש CD.

תרגיל 1: משולשים חסומים במלבן

המשולשים ECD ו- GCD חסומים במלבן.
האם ניתן לקבוע מי מבין המשולשים גדול יותר?

שרטוט התרגיל

פיתרון
למשולשים יש צלע משותפת ושווה (CD).
גם הגבהים של המשולשים שווים EF = GH.
לכן שטח המשולשים שווה.

שוויון בשטחי המשולשים

שוויון בשטחי המשולשים

תרגיל 2: משולשים עם צלע משותפת ומרובע הנוצר מיהם

למשולשים ABD ו- CBD יש צלע משותפת (BD)
משולש CDB הוא משולש ישר זווית שאורך הצלע שלו CD = 6.
אורך הגובה AE הוא 3.

  1. פי כמה גדול שטח משולש CDB משטח משולש ABD.
  2. **פי כמה גדול מרובע ABCD ממשולש ABD.

שרטוט התרגיל

פתרון

שטחי המשולשים הוא:
SABD = 3BD : 2 = 1.5BD
SCDB = 6BD : 2 = 3BD

תשובה: שטח משולש CDB גדול פי 2 משטח משולש ABD.

פי כמה גדול מרובע ABCD ממשולש ABD.
נגדיר:
SABD = X
על פי מה שמצאנו בסעיף הקודם.
SCDB = 2X
שטח המרובע כולו הוא סכום שטחי המשולשים:
SABD + SCDB = 2X + X = 3X

שטח המרובע 3X, שטח המשולש SABD = X.
תשובה: שטח המרובע ABCD גדול פי 3 משטח המשולש ABD.

תרגיל 3

במשולש ABC מעבירים את הגובה AD אל הצלע BC.
נתון BD = 3, CD = 12.

  1. מה היחס בין שטח משולש ADB לשטח משולש ACD.
  2. מה היחס בין שטח משולש ADB לשטח משולש ABC.

שרטוט התרגיל

פתרון

שטח משולש ABD הוא:
3AD : 2 = 1.5AD
שטח משולש ADC הוא:
12AD : 2 = 6AD.

4 = 1.5 : 6
תשובה: שטח משולש ACD גדול פי 4 משטח משולש ABD.

חלק שני: היחס בין שטח משולש ADB לשטח משולש ABC.
נפתור את התרגיל בשני דרכים. בשתי הדרכים נצטרך לחשב את שטח משולש ABC אך בכול פעם נעשה זאת בדרך אחרת.
דרך ראשונה.
בדרך זו מחשבים את שטח משולש ABC בעזרת הנוסחה לשטח משולש.
BC = 3 + 12 = 15
נחשב את שטח משולש ABC:
15AD : 2 = 7.5AD
מצאנו קודם ששטח משולש ABD הוא 1.5AD.
5 = 1.5 : 7.5
תשובה: שטח משולש ABC גדול פי 5 משטח משולש ABD.

דרך פתרון שנייה.
בדרך זו מחשבים את שטח משולש ABC בעזרת חיבור שטחי המשולשים הקטנים.
נגדיר
SABD = X
SADC = 4X
השטח של המשולש הגדול (ABC) שווה לסכום שטחי המשולשים.
SABC = X + 4X  = 5X

שטח ABD הוא X, שטח ABC הוא 5X.
שטח משולש ABC גדול פי 5 משטח משולש ABD.

תרגיל 4

מגדילים את כל אחד מהניצבים של משולש ישר זווית פי 3.
פי כמה יגדל שטח המשולש החדש ביחס למשולש הראשון?

פתרון
נגדיר את הניצבים של המשולש הראשון כ- x ו y.
גודל הניצבים של המשולש הגדול הוא 3x, 3y.

שטח המשולש הקטן הוא:
שטח המשולש הקטן

שטח המשולש הגדול הוא:
שטח המשולש הגדול

ניתן לראות ששטח המשולש הגדול הוא פי 9 משטח המשולש הקטן.

עוד באתר:

מצבים בדמיון משולשים במעגל

בדף זה נעבור על מספר מצבים שכדאי להכיר בדמיון משולשים במעגל.

1.שני מיתרים נחתכים יוצרים משולשים דומים

AB, CD הם מיתרים נחתכים.
ואז שתי הזוויות האדומות הן זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות ולכן שוות זו לזו.
וכך גם שתי הזוויות הירוקות.
לכן
AOC ∼ DOB

2. אלכסונים של מרובע חסום במעגל הם מיתרים נחתכים

ולכן יוצרים משולשים דומים.

שימו לב שכאשר נתון מרובע חסום במעגל ומעבירים בתוכו אלכסונים, האלכסונים הם מיתרים נחתכים והם יוצרים משולשים דומים כפי שראינו קודם.

AOD ∼BOC 

3. שני חותכים למעגל היוצאים מנקודה אחת בצורה הזו

אפשר גם לכתוב את השאלה הזו כהמשכי צלעות של מרובע חסום במעגל.
ABCD הוא מרובע חסום במעגל והנקודה E היא מפגש המשך הצלעות.
ר

הוכחה:
נגדיר את זווית C כ a.
BAD = 180- a∠  כי זוויות נגדיות במרובע החסום במעגל משלימות ל 180.
EAD = a∠  (זוויות צמודות).

כמו כן זווית E היא זווית משותפת לשני המשולשים.
לכן:
EAD ∼ ECB
(שימו לב לסדר רישום האותיות).

4. שני חותכים היוצאים למעגל בצורה הזו

שתי הזוויות האדומות הן זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות.
הזווית E משותפת לשני המשולשים.
לכן:
EBD ∼ECA

5. שני מעגלים המשיקים זה לזה מבחוץ יוצרים משולשים דומים בצורה הזו

ההוכחה מתבססת על המשפט "זווית בין משיק למיתר שווה לזוויות ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני".

  1. נגדיר זווית A שווה ל a.
  2. לכן זווית BEF שווה ל a. (זווית בין משיק למיתר שווה לזוויות ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני).
  3. DEG = BEF = a  קודקודיות
  4. C = a (זווית בין משיק למיתר שווה לזוויות ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני).
  5. בנוסף שתי הזוויות הירוקות קודקודיות.

לכן:
AEB ∼ CED

6. כאשר יש קוטר במעגל וזווית נוספת של 90 מעלות, יש סיכוי טוב לדמיון.

כאשר יש קוטר במעגל וזווית נוספת שגודלה 90 מעלות יש סיכוי טוב שיש בשאלה משולשים דומים.
כי "זוויות היקפית הנשענת על קוטר גודלה 90 מעלות".
כך יש לנו זוג זוויות שוות וחסר למצוא עוד זוג אחד על מנת להוכיח דמיון משולשים.

בהקשר הזה טוב לזכור גם את המשפט "ישר ממרכז המעגל החוצה מיתר מאונך למיתר" (ולהפך).

7. בשאלות המשלבות משיק למעגל יש פוטנציאל לדמיון אבל לא בטוח

בגלל המשפט "זווית בין משיק למיתר שווה לזוויות ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני".
וגם בגלל המשפט "הרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה".
הרבה פעמים נוצרים משולשים דומים בשאלות עם משיק.
לכן אם נתון משיק, כדאי לבדוק אם יש משולשים דומים.

שתי הזוויות האדומות שוות זו לזו ולכן בעזרת נתונים נוספים יכולים להיווצר משולשים דומים.

עוד באתר:

חישוב רדיוס מעגל החוסם משולש בעזרת משפט הסינוסים

לחלק מהאנשים נאטמות האוזניים כאשר הם שומעים "מעגל חוסם" וזה לא צריך להיות כך.
כאשר מבקשים "רדיוס מעגל חוסם" אתם לרוב משתמשים במשפט הסינוסים ומוצאים אותו.

משפט הסינוסים

משפט הסינוסים

בדף זה 3 תרגילים.
תרגילים 1-2 הם על המעגל החוסם משולש.
תרגיל 3 הוא על המעגל החסום במשולש.

תרגיל 1: הצבה בנוסחה
במשולש שלושת הזוויות הן 50,60,70.
מול הזווית שגודל 50 מעלות נמצאת צלע שגודלה 6 סנטימטר.
חשבו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

פתרון
על פי משפט הסינוסים:

2R = 6/sin 50
2R = 6 : 0.766 = 7.83
R = 3.915
תשובה: רדיוס המעגל החוסם הוא 3.915.

תרגיל 2
במשולש שווה שוקיים (AB = AC) מעבירים את התיכונים AD ו AE הנפגשים בנקודה O.
AE = 6,  ∠AEO = 80,  OAE = 30
חשבו את:

  1. BE
  2. רדיוס המעגל החוסם את משולש B0A.

פתרון
סעיף א: מציאת BE
נחפש משולש הכולל את BE ויש לנו בו מידע על על צלע וזוויות.
משולש זה יהיה BEA.
נשלים בו מספר זוויות שאנו צריכים לדעת
A = 60,  ∠EBA = 40

על פי משפט הסינוסים במשולש BEA:

סעיף ב: רדיוס המעגל החוסם את BOA.
במשולש BOA אנו יודעי את כל הזוויות ואם נדע גם צלע אחת נוכל בעזרת משפט הסינוסים לחשב את רדיוס המעגל החוסם.
על תכונת נקודת המפגש של התיכונים:
BO = 0.66BE = 0.66*8.083 = 5.334

במשולש BOA על פי משפט הסינוסים:

2R = BO/ sin 30 = 5.334 : 0.5 = 10.668
R = 5.334
תשובה: רדיוס המעגל החוסם הוא 5.334 סנטימטר.

תרגיל 3: חישוב רדיוס המעגל החסום
במשולש שווה שוקיים (AB = AC) אורך השוק הוא x וגודל זוויות הבסיס הוא a.
הביעו באמצעות x,a את רדיוס המעגל החסום במשולש.
תזכורת: מרכז המעגל החסום במשולש נמצא בנקודת המפגש של חוצה הזווית.

פתרון
O היא נקודת מרכז המעגל החסום.
נעביר את חוצה הזווית BO.
מהנקודה O נעביר את שני רדיוסים לנקודת ההשקה של המשולש והמעגל.
רדיוסים אלו OD,OE יוצרים זווית של 90 מעלות עם צלעות המשולש.

נסתכל על משולש BOD, משולש שאחת מצלעותיו היא רדיוס.
OBD = 0.5a
BD= 0.5x.
tg 0.5a = r / BD = r / 0.5x
r = 0.5x * tg 0.5a

עוד באתר:

יחס בין שטחים: חישוב שטחים שיש להם גובה או בסיס משותף

נושא שעולה בשאלות רבות הוא יחס השטחים בין צורות שיש להם צלע או גובה משותפים.

ברוב הצורות השטח מחושב על ידי מכפלת שתי צלעות או צלע וגובה ואם אחד מהגורמים הללו זהה זה אומר שיחס השטחים נקבע על ידי הגורם השני.

  • את התרגיל הראשון גם תלמידים טובים בכיתה ח אמורים לדעת לפתור. עבור שאר התלמידים נדרש ידע של כיתות ט-י.
  • יחס בין שטחים לחטיבת הביניים הוא דף נוסף הכולל תרגילים דומים אבל קלים יותר.

הדוגמה הנפוצה ביותר בתחום הזה הוא משולש החסום במלבן או מקבילית.

שטח משולש BEC יהיה תמיד שווה לחצי משטח המלבן ולא משנה איפה הנקודה E נמצאת (אך הנקודה E חייבת להיות על הצלע AD).

הוכחה:
שלב א: ניצור משוואות עבור שטח המשולש ושטח המלבן
שטח מלבן שווה ל:
SABCD = AB * BC
(משוואה 1).

שטח המשולש שווה ל:
SBEC = 0.5EF*BC
(משוואה 2).

שלב ב: נוכיח כי גובה המשולש שווה לצלע המלבן
בנוסף מרובע AEFB הוא מלבן – כי יש בו 3 זוויות השוות ל 90 מעלות.
לכן:
AB = EF
(משוואה 3).

שלב ג: חישוב היחס בין השטחים
נציב את משוואה 3 במשוואה 2 ונקבל:
SBEC = 0.5AB*BC
משוואה 1 היא:
SABCD = AB * BC

ניתן לראות ששטח המשולש הוא שטח המלבן כפול 0.5.
לכן שטח המלבן גדול פי 2 משטח המשולש.

אם היינו רוצים להוכיח זאת במשוואה היינו כותבים זאת כך:

תרגילים

הכלל הבסיסי בפתרון תרגילים מסוג זה:
לבטא את השטח של שתי הצורות בעזרת אותם משתנים.

תרגיל 1
על המלבן ABCD בנו מקבילית DEFG כך ש:
AD = 4ED
AB = 2FH.
FH הוא גובה המקבילית.
חשבו את היחס בין שטח המקבילית לשטח המלבן.

פתרון
שלב א: כתיבת נוסחאות לחישוב שטח המקבילית והמלבן
שטח מלבן ABCD הוא:
SABCD = AB * AD
שטח מקבילית DEFG הוא:
SDEFG = ED * FH

שלב ב: הצבת הנתונים בנוסחת שטח המלבן וחישוב היחס
שטח המלבן הוא:
SABCD = AB * AD
נציב בנוסחת שטח המלבן את הנתונים:
AD = 4ED
AB = 2FH.
אנו עושים זאת על מנת לבטא את שטח המלבן ושטח המקבילית בעזרת אותם משתנים.
נקבל:
SABCD = 2FH * 4ED = 8FH * ED

שטח המקבילית הוא:
SDEFG = ED * FH
ניתן לראות ששטח המלבן הוא פי 8 משטח המקבילית.

תרגיל 2
(תרגיל זה לא קשה, אבל צריך לדעת את משפט חוצה הזווית על מנת לפתור אותו).
במשולש ABC ידוע כי AB = 6, AC = 8.
מעבירים את חוצה הזווית AD.

  1. חשבו את היחס בין שטחי המשולשים ACD  : ABD
  2. חשבו את היחס בין שטחי שלושת המשולשים  ACD  : ABD : ABC

פתרון
שלב א: בניית נוסחאות לשטח שני המשולשים
נשים לב שעבור שני המשולשים שאנו צריכים לחשב את היחס שלהם ACD  : ABD
יש גובה משותף.

SACD = 0.5AE * DC
SABD = 0.5AE * BD

שלב ב: נמצא את הקשר שבין DC ל BD.
על פי משפט חוצה הזווית במשולש מתקיים:

8DC = 6BD
1.33DC = BD

נציב את המשוואה שקיבלנו בנוסחת שטח  משולש ABD:
SABD = 0.5AE * BD
ונקבל:
SABD = 0.5AE * 1.33DC
SABD = 1.33 * 0.5AE * DC

כמו כן:
SACD = 0.5AE * DC

לכן היחס ACD  : ABD הוא 1.33 : 1
(ניתן לכתוב גם (4 : 3).

סעיף ב: חישוב היחס  ACD  : ABD : ABC
נגדיר:
SACD = 3x
לכן, על פי היחס שמצאנו בסעיף א:
SABD = 4x
שטח המשולש כולו הוא סכום שטחי שני המשולשים:
SABC = 3x + 4x = 7x

לכן היחס בין שטחי שלושת המשולשים הוא כמו היחס בין:
3x : 4x : 7x
7 : 4 : 3

תרגיל 3: שימוש בתכונות דלתון
בדלתון ABCD שני האלכסונים נפגשים בנקודה O.
ידוע כי היחס בין AO : CO הוא 4 : 1.
חשבו את:

  1. היחס בין שטחי המשולשים ABD : CDB.
  2. בין שטח משולש CDB לבין שטח דלתון ABCD.

(התכונה השימושית של הדלתון היא שאלכסוניו מאונכים זה לזה).

פתרון
שלב א: נבנה נוסחאות לשטחי שני המשולשים
SABD = 0.5DB * AO
SCDB = 0.5DB * CO

שלב ב: נגדיר את שני השטחים בעזרת אותם משתנים ונמצא את היחס
אנו יודעים כי:
CO = 4AO
נציב זאת בנוסחת שטח משולש CDB.
SCDB = 0.5DB * 4AO = 4 * 0.5DB * AO

כמו כן אנו יודעים כי:
SABD = 0.5DB * AO

לכן היחס בין שטחי המשולשים הוא:

תשובה: היחס בין שטחי המשולשים ABD : CDB הוא 4 : 1.

שאלה 4
נתון טרפז ABCD. ידוע כי DC / AB = 4.
שטח משולש ACD הוא 40 סמ"ר.
חשבו את שטח טרפז ABCD.

טרפז, שרטוט התרגיל

פתרון

  1. נשים לב כי שטח הטרפז הוא סכום שטחי המשולשים ACD+ CAB.
  2. על מנת לפתור את התרגיל נעביר גבהים במשולשים ACD ו CAB. אלו גם גבהים לבסיסי הטרפז.

שרטוט הגבהים בטרפז

נעביר את הגובה AE לצלע DC. ואת הגובה CF לצלע AB.

שלב 1: נוכיח כי הגבהים AE ו- CF שווים זה לזה

  1. EAF = 90∠ זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים משלימות ל 180 מעלות.
  2. AFCE מלבן. מרובע ששלוש זוויותיו שוות 90 מעלות הוא מלבן.
  3. AE= CF צלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו.

שלב 2: מציאת היחס בין שטחי המשולשים  ACD ו CAB

נשתמש בשוויון AE= CF ונקבל

נשתמש בשוויון AE= CF ונקבל

מכוון שבמשולשים ACD ו CAB אורך הגבהים שווה.
היחס בין הבסיסים AB ו- DC הוא זה שקובע את היחס בין שטחי המשולשים.

לסיכום: שטח משולש SACD = 40 גדול פי 4 משטח משולש SCAB.

SCAB = 40:4=10.

שלב 3: חישוב שטח הטרפז כולו

SABCD = SCAB + SACD = 10+40=50.
תשובה: שטח הטרפז הוא 50 סמ"ר.

שאלה 5: שילוב עם דמיון משולשים
בטרפז ABCD האלכסונים נפגשים בנקודה O.
ידוע כי AC = 5AO.

  1. הוכיחו את הדמיון AOD ∼ COB ומצאו את יחס הדמיון.
  2. מצאו את יחס השטחים AOD : AOB
  3. ידוע כי שטח משולש AOD הוא 8 סמ"ר. מצאו את שטח הטרפז כולו.

פתרון
סעיף א: הוכחת דמיון משולשים
OAD = ∠OCB.    ∠ODA = ∠OBC
זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים.
AOD ∼ COB  דמיון משולשים על פי ז.ז

מציאת יחס הדמיון
מציאת יחס הדמיון מתבססת על נתון AC = 5AO.
נגדיר: AO = X
הצלע המתאימה ל AO בדמיון המשולשים היא CO. ננסה למצוא את CO.
לכן AC = 5X

CO = AC – AO = 5x – x = 4x
יחס הדמיון בין המשולשים הוא:

4

סעיף ב:  יחס השטחים AOD : AOB
נשים לב שלשני המשולשים יש גובה משותף

SAOD = 0.5AE * OD
SAOB = 0.5AE * OB

הצלעות OD, OB הן צלעות מתאימות בין משולשים דומים שיחס הדמיון שלהם הוא 4.
לכן
OB = 4OD.

נציב זאת במשוואה השנייה ונקבל:
SAOB = 4 * 0.5AE * OD

לכן היחס בין השטחים הוא:

תשובה: היחס בין שטחי המשולשים AOD : AOB הוא 4 : 1.

סעיף ג: מציאת שטח הטרפז כולו
ניתן להראות בדרך שעשנו בסעיף ב כי שטח משולש DOC גדול פי 4 משטח משולש AOD.
לכן אם שטח משולש AOD הוא 8 סמ"ר אז:
SAOB = SAOD = 8 * 4 = 32

כמו כן יחס השטחים בין משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון.

16SAOD = SBOC
SBOC = 16 * 8 = 128

שטח הטרפז שווה לסכום ארבעת המשולשים:
SABCD = 128 + 32 + 32 + 8 = 200

עוד באתר:

דמיון משולשים משפטים ותרגילי הוכחה

דף זה הוא הדף הראשון בלימוד דמיון משולשים.
בדף זה נלמד:

  1. מה הם התכונות של משולשים דומים.
  2. שלושת משפטי דמיון משולשים.
  3. כיצד לרשום בצורה נכונה דמיון משולשים.
  4. כיצד להוכיח דמיון משולשים.
  5. 13 תרגילי הוכחה פשוטים של דמיון משולשים.

החלק הראשון הוא מבוא.
עליכם להשקיע בחלקים 2-4.
לאחר דף זה החלק הבא הוא לימוד יחס הדמיון.

1.מה הם התכונות של משולשים דומים

בסרטון זה נסביר את שלושת התכונות החשובות של משולשים דומים.

 

התכונות של משולשים דומים הן:

  1. הזוויות בשני המשולשים שוות.
  2. קיים מספר שאם נכפיל בו את אורכי צלעות משולש אחד נקבל את אורכי צלעות המשולש השני. כלומר אם צלע במשולש אחד גדולה פי 4 מהצלע המתאימה לה במשולש השני, אז כל הצלעות במשולש הגדול גדולות פי 4 מהצלעות המתאימות להן במשולש הקטן.
    היחס בין אורכי הצלעות מקרא יחס הדמיון.
  3. יש קשר בין שטחו של משולש אחד לשטחו של המשולש השני.

2.משפטי דמיון משולשים

משפט דמיון ראשון

אם שתי צלעות במשולש מתייחסות באותה פרופורציה אל שתי צלעות במשולש אחר וגם הזווית שנמצאת בין שתי הצלעות שווה אז המשולשים דומים. ניתן לקרוא למשפט זה בקיצור צ.ז.צ.

אם שתי צלעות במשולש מתייחסות באותה פרופורציה אל שתי צלעות במשולש אחר וגם הזווית שנמצאת בין שתי הצלעות שווה אז המשולשים דומים.

אם שתי צלעות במשולש מתייחסות באותה פרופורציה אל שתי צלעות במשולש אחר וגם הזווית שנמצאת בין שתי הצלעות שווה אז המשולשים דומים.

משפט דמיון שני

אם שתי זוויות במשולש שוות לשתי זוויות במשולש אחר אז המשולשים דומים. ניתן לקרוא למשפט זה בקיצור ז.ז הערה – ברור שאם שתי זוויות שוות במשולשים אז גם הזווית השלישית שווה.

אם שתי זוויות במשולש שוות לשתי זוויות במשולש אחר אז המשולשים דומים.

אם שתי זוויות במשולש שוות לשתי זוויות במשולש אחר אז המשולשים דומים.

משפט דמיון שלישי

אם קיימת פרופורציה זהה בין שלוש צלעות במשולש אחד לשלוש צלעות במשולש שני אז המשולשים דומים. ניתן לקרוא למשפט זה בקיצור צ.צ.צ.

אם קיימת פרופורציה זהה בין שלוש צלעות במשולש אחד לשלוש צלעות במשולש שני אז המשולשים דומים.

אם קיימת פרופורציה זהה בין שלוש צלעות במשולש אחד לשלוש צלעות במשולש שני אז המשולשים דומים.

3.כיצד לרשום דמיון משולשים בצורה נכונה

רישום נכון של דמיון משולשים הוא קריטי, הכרחי.
רישום לא נכון יגרום לכך שכל מה שקשור לדמיון המשולשים יהיה שגיאה.

רישום נכון של דמיון משולשים מתבצע בדיוק כמו רישום נכון של חפיפת משולשים. אם הסתדרתם שם תסדרו גם כאן. ואם לא הסתדרתם שם אתם חייבים ללמוד את זה.

כפי שתראו 90% ויותר מההוכחות של דמיון המשולשים מתבצעות בעזרת המשפט השני ז.ז.
אני אראה כאן כיצד לרשום נכון כאשר אלו הנתונים.

תרגיל
ידוע כי
B = ∠P  (האדומות)
C = ∠D   (הירוקות)
הוכיחו כי המשולשים דומים ורשמו את הדמיון בצורה נכונה.

פתרון
המשולשים דומים על פי משפט ז.ז.
כאשר אנו רושמים את הדמיון המיקום של שתי הזוויות הירוקות צריך להיות אותו מיקום.
כך גם המיקום של הזוויות האדומות צריך להיות אותו מיקום.

לכן נרשום: ירוקה, אדומה, ולאחר מיכן הזוויות הנותרת.
CBA ∼ KPR

אפשר גם בסדר של: אדומה, ירוקה, הזווית הנותרת
BCA ∼ PKR.

4.כיצד להוכיח דמיון משולשים?

שני הסרטונים הללו הם בעצם הפתרונות של תרגילים 1-7 המופיעים בהמשך.
הסרטון הראשון פותר את ששת התרגילים הפשוטים יותר.
הסרטון השני מסביר תרגיל קשה יותר.

5.תרגילים

כל התרגילים שבדף הם תרגילי הוכחת דמיון משולשים.

תרגילים 1-8 הם בנושא משפט הדמיון השני (החשוב באופן משמעותי יותר מהשניים האחרים).
תרגילים 9-13 הם בנושא משפטי הדמיון 1,3.

אם המשולשים דומים רשמו את דמיון המשולשים על פי סדר האותיות הנכון.
על מנת שהתשובות שלכם יהיו מתאימות לשלי התחילו את רישום הדמיון תמיד באות A.
אם לא תעשו זאת יתכן ותגיעו לתשובה נכונה אך היא לא תהיה זהה למה שאני רשמתי.

תרגיל 1: כתיבת דמיון משולשים בסדר הנכון
ידוע כי המשולשים המופיעים בתרגיל זה דומים. רשמו את דמיון המשולשים בסדר האותיות הנכון.
מכוון שניתן משולש לרשום כל בכמה אופנים ועל מנת שתוכלו לבדוק את התשובה שלכם עם התשובה כאן תמיד תרשמו את המשולש הראשון כמשולש ΔABC.

כתיבת דמיון המשולשים בסדר הנכון

כתיבת דמיון המשולשים בסדר הנכון

תשובות סופיות:

1.  ΔABC ∼ΔFED.
2.  ΔABC ∼ΔFDE.
3. ΔABC ∼ΔDEF.

פתרון מלא וכתוב לזוג מספר 3.

אנו רואים שצלעות משולש ΔABC גדולות פי 2 מצלעות משולש ΔDEF.
הצלע AB גדולה פי 2 מהצלע DE.
על פי צלע זו ניתן לכתוב את הדמיון בשני אופנים:
ΔABC ∼ΔDEF או ΔABC ∼ΔEDF.
על מנת לבחור אחד מהשניים עלינו להסתכל מה קורה הלאה:
הצלע BC מהצלע EF.
לעומת זאת הצלע BC אינה גדולה פי 2 מהצלע DF ולכן אפשרות השנייה נפסלת ואילו אפשרות הראשונה היא הנכונה.
ΔABC ∼ΔDEF

תרגיל 1
האם המשולשים דומים?

פתרון
A = ∠R,   ∠C = ∠P
המשולשים דומים על פי משפט דמיון ז.ז.
ACB ∼ RPK

תרגיל 2
האם המשולשים דומים?

פתרון
במשולש PRK ניתן למצוא את הזווית K.
K = 180 – 80 – 30 = 70
אם כך:
K = ∠C
וגם:
A = ∠P

המשולשים דומים על פי משפט ז.ז
ACB ∼ PKR

תרגיל 3
האם המשולשים הללו דומים?

פתרון
נשים לב שיש לנו גם שתי זוויות קודקודיות שוות.
KOP = ∠ BOA
לכן יש לנו שתי זוויות שוות והמשולשים דומים על פי ז.ז.
AOB ∼ KOP

תרגיל 4
נתונים שני משולשים שווי שוקיים.
האם המשולשים הללו דומים?

פתרון
על מנת לענות אם יש כאן שתי זוויות שוות עלינו להשלים את שאר הזוויות במשולש.
במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות.

במשולש ABC:
B = ∠C = 50
A = 180 – 50 – 50 = 80

במשולש PRK
שתי זוויות הבסיס שוות ביחד 100.
כי:
100 = 80 – 180
זוויות הבסיס גם שוות זו לזו. ולכן כל אחת מיהן גודלה:
50 = 2 : 100

מצאנו כי שלושת הזוויות במשולשים שוות לכן המשולשים דומים על פי ז.ז
ACB ∼ PRK
מכוון שהמשולש שווה שוקיים היה נכון לכתוב גם:
ACB ∼ PKR

לאחר השלמת הזוויות המשולשים נראים כך:

תרגיל 5
ידוע כי AB || KP.
האם המשולשים דומים?

פתרון
כאשר יש ישרים מקבילים נחפש זוויות מתאימות או זוויות מתחלפות.
A = ∠P,  ∠B = ∠K   אלו הן זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
לכן המשולשים דומים על פי משפט דמיון ז.ז
AOB ∼ POK

הערה: הייתם יכולים להשתמש גם בזוויות קודקודיות על מנת להוכיח את אחת הזוויות השוות.

לאחר השלמת הזוויות השרטוט נראה כך:

תרגיל 6
ידוע כי BC || DE.
האם המשולשים דומים?

פתרון
ADE = ∠ABC  זוויות מתאימות שוות בין ישרים מקבילים.
ACB = ∠AED∠  זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.
ולכן:
ADE ∼ABC

תרגיל 7
נתון כי:
AB ⊥ EC
האם המשולשים הללו דומים?

פתרון
נשלים את הזוויות החסרות במשולשים.
במשולש ABC
A = 180 – 40 – 90 = 50.

לכן:
A = ∠D = 50
ABC = ∠DBE = 90
לכן יש בין המשולשים שתי זוויות שוות והמשולשים דומים על פי ז.ז.

לאחר השלמת הזוויות המשולשים נראים כך.

תרגיל 8 (תרגיל קשה מהקודמים)
משולש ABC הוא משולש ישר זווית (B = 90∠).
מעבירים את הגובה BD.
הוכיחו כי:
ADB ∼ ABC
וגם:
ADB ∼ BDC
רמז: הגדירו את זווית A כ x. והגדירו בעזרתה את שאר הזוויות במשולשים.

פתרון
סעיף א: הוכחת ADB ∼ ABC
נשים לב כי:

  1. זווית A היא זוויות משותפת לשני המשולשים.
  2. B = ∠ADB = 90  נתון
  3. ADB ∼ ABC   משולשים דומים על פי ז.ז.

סעיף ב: הוכחת ADB ∼ BDC

במשולש ABC על פי סכום זוויות במשולש מתקיים:
C = 180 – 90 – x = 90 -x
במשולש ADB על פי סכום זוויות במשולש.
ABD = 180 – 90 – x = 90 – x

נובע מכך כי:
C = ∠  ABD = 90 – x

כמו כן
BDC = ∠BDA = 90  (נתון).

ADB ∼ BDC משולשים דומים על פי ז.ז.

תרגילים בנושא המשפט הראשון והשלישי

נסו להוכיח בעזרת המשפט הראשון או השלישי כי המשולשים הבאים.
בחלק זה משולבים גם זוגות משולשים שאינם דומים. עליכם לזהות אותם.

משפט דמיון ראשון: צ.ז.צ
אם שתי צלעות במשולש מתייחסות באותה פרופורציה אל שתי צלעות במשולש אחר וגם הזווית שנמצאת בין שתי הצלעות שווה אז המשולשים דומים.

משפט דמיון שלישי: צ.ז.צ
אם קיימת פרופורציה זהה בין שלוש צלעות במשולש אחד לשלוש צלעות במשולש שני אז המשולשים דומים.

תרגיל 1
האם המשולשים שבשרטוט דומים?

פתרון
הנתונים שלנו הם על 3 צלעות ולכן עלינו לבדוק את משפט הדמיון השלישי.
עלינו לבדוק האם המנה של צלעות מתאימות שווה עבור שלושת הצלעות.
צלעות מתאימות הן:
הצלע הגדולה במשולש אחד עם הצלע הגדולה במשולש השני.
הצלע האמצעית בשני המשולשים.
הצלע הקטנה בשני המשולשים.

מנת הצלעות הגדולות היא:

מנת הצלעות הבינוניות:

המנה שונה. לכן משפט הדמיון השלישי לא מתקיים ואין צורך לבדוק את הזוג השלישי.

תרגיל 2
האם המשולשים הללו דומים?

פתרון
נתון לנו שתי צלעות וזווית.
לכן נבדוק את משפט הדמיון הראשון.

הזווית השווה.
נותר לנו לבדוק את הצלעות.
נחלק את הצלע הגדולה בצלע הגדולה ואת הצלע הקטנה בצלע הקטנה.
אם נקבל את אותו המספר בשני המקרים המשולשים דומים.

חלוקה של הצלעות הגדולות:

חלוקה של הצלעות הקטנות:

בשני המקרים קיבלנו את אותה המנה.
הזווית שבין הצלעות שווה בשני המשולשים.
לכן המשולשים דומים על פי צ.ז.צ

תרגיל 3
האם המשולשים הללו דומים?

פתרון
על מנת להוכיח דמיון משולשים עלינו לדעת את הזווית הנמצאת בין הצלעות.
ואנו לא יודעים אותה.
לכן לא ניתן להוכיח דמיון משולשים.
*שימו לב שיתכן שהמשולשים דומים, לא פסלנו את האפשרות הזאת, אבל על סמך הנתונים הללו לא ניתן להוכיח.

תרגיל 4
האם המשולשים הללו דומים?

פתרון
במשולש PKR לא נתונה לנו הזווית שבין שתי הצלעות לכן לא ניתן לקבוע באופן מיידי אם הם דומים.
אבל מכוון שזה משולש שווה שוקיים ניתן לחשב את הזווית שבין הצלעות.
נחשב:
R = ∠K = 50
P = 180 = 50 – 50 = 80

מצאנו כי:
A = ∠P = 80
כלומר הזווית שבין שתי הצלעות שווה.

עכשיו נבדוק אם היחס שבין הצלעות שווה.
עבור שתי הצלעות היחס הוא:
2 = 4 : 8
והיחס הוא שווה לכן המשולשים הללו דומים על פי צ.ז.צ
ABC ∼ PKR
מכוון שזה משולש שווה שוקיים ניתן לכתוב גם:
ABC ∼ PRK

תרגיל 5
האם המשולשים הללו דומים?

פתרון
נתונות לנו 3 צלעות ולא נתונות זוויות.
לכן נחפש התאמה אל משפט דמיון שלישי. צ.צ.צ.

נחלק את הצלע הגדולה בצלע הגדולה:

את הצלע הבינונית בצלע הבינונית:

את הצלע הקטנה בצלע הקטנה:

בשלושת המקרים היחס בין הצלעות שווה.
לכן המשולשים דומים על פי צ.צ.צ.

סיימנו.

עוד באתר: