ארכיון הקטגוריה: גיאומטריה

טרפז שווה שוקיים שאלכסוניו מאונכים

בטרפז שווה שוקיים שלכסונין מאונכים ניתן להוכיח כי המשולשים BOC,  AOD הם משולשים שווה שוקיים שהזוויות שלהם הן 90,45,45.
ולאחר שעושים את זה ניתן לענות על מגוון שאלות בנושא.

לפני שאתם רואים את ההוכחה כאן אני מציע לכם לנסות להוכיח את הדבר בעצמכם.
והרמז שלכם לביצוע ההוכחה הוא שצריך פעם אחת להוכיח חפיפת משולשים ואז להשתמש בזוויות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.

ההוכחה בקצרה:

  1. ABC ≅ DCB משולשים חופפים על פי צ.ז.צ.
  2. ACB = DBC זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.

ההוכחה המלאה:

  1. B = C  זווית בסיס בטרפז שווה שוקיים שוות.
  2. AB = DC השוקיים בטרפז שווה שוקיים שוות.
  3. BC צלע משותפת.

ABC ≅ DCB משולשים חופפים על פי צ.ז.צ.

מכוון שהמשולשים חופפים:
ACB = DBC  (זוויות מתאימות בין משולשים חופפים)
לכן משולש BOC הוא משולש שווה שוקיים.
ומכוון שסכום שתי הזוויות הללו הוא 90 אז כל אחת מהזוויות הללו צריכה להיות 45.

לאחר שהוכחנו את זה ניתן גם להוכיח שמשולש AOD הוא 90,45,45 על ידי זוויות מתחלפות.
(או ניתן להוכיח את זה ישירות על ידי חפיפת המשולשים BAD ≅ CAD).

תרגיל לדוגמה

לאחר שמצאנו את זה נוכל לענות על מגוון שאלות, למשל:

הוכיחו כי בטרפז שווה שוקיים שאלכסוניו מאונכים הגובה שווה למחצית סכום הבסיסים.

פתרון
נעביר דרך הנקודה O את הגובה EF לבסיס BC.
מכוון שבסיסי הטרפז מקבילים EF הוא גובה גם לבסיס AD.

אם נסתכל על משולש BFO נראה ש:
BOF = 45
ולכן משולש BOF הוא משולש שווה שוקיים שבו:
BF = OF

באותה צורה נוכל להוכיח במשולש CFO ש:
CF = OF
משני השוויונות הללו אנו מגיעים למסקנה ש:
BC = 2OF

באותה צורה נוכל להוכיח במשולשים העליונים:
AD = 2AE.

לכן
20F + 2AE = BC + AD
(OF + AE = 0.5(BC + AD

עוד באתר:

תכונות משולש שווה שוקיים

לדף זה 3 חלקים:

  1. מושגים במשולש שווה שוקיים.
  2. תכונות במשולש שווה שוקיים.
  3. תרגילים.

1.מושגים במשולש שווה שוקיים

צלעות:

  • השוקיים הם שתי הצלעות השוות (AB,AC בשרטוט).
  • הבסיס הוא הצלע שאינה שווה (BC בשרטוט)

זוויות:

  • זווית הבסיס הן שתי הזוויות שיוצר הבסיס (אדומות בשרטוט).
  • זווית הראש היא הזווית הנוצרת על ידי השוקיים (שחורה בשרטוט).
שמות של זוויות וצלעות במשולש שווה שוקיים

שמות של זוויות וצלעות במשולש שווה שוקיים

2.תכונות של משולש שווה שוקיים

למשולש שווה שוקיים 3 תכונות:

  1. השוקיים שוות זו לזו.
  2. זוויות הבסיס שוות זו לזו.
  3. התיכון הגובה וחוצה זווית לבסיס המשולש מתלכדים.

דגש:
רק התיכון לבסיס הוא גם גובה וחוצה זווית.
התיכון אל השוקיים הוא לא גובה וחוצה זווית.

3.תרגילים

תרגיל 1
משולש ABC הוא משולש שווה שוקיים (שבו AB = AC).
מעבירים את התיכון AD.
DC = 7.
CAD = 25.
חשבו את:

  1. צלע BD
  2. זווית BAD
  3. זווית ADB
    (החלקים המסומנים באדום בשרטוט).

פתרון

מציאת BD
מכוון ש AD  הוא תיכון אז:
BD = CD = 7

מציאת BAD
במשולש שווה שוקיים התיכון הוא חוצה זווית ולכן:
BAD = DAC = 25

מציאת ADB
במשולש שווה שוקיים התיכון הוא גובה ולכן:
ADB = 90

תרגיל 2
משולש ABC הוא משולש שווה שוקיים (שבו AB = AC).
מעבירים במשולש את הקטע AD.
BD = 10
BAD = CAD = 20

קבעו איזה סוג ישר הוא הישר AD.
אם ניתן השלימו את הנתונים הבאים על סמך השרטוט:

  1. זווית ADC.
  2. זוויות C.
  3. צלע BC.

פתרון
הישר AD
נתון לנו ש:
BAD = CAD = 20
לכן הישר AD הוא חוצה זווית.

זווית ADC
במשולש שווה שוקיים חוצה הזווית הוא גם גובה. לכן:
ADC = 90

זווית C
זווית C משלימה ל 180 מעלות במשולש ADC.
= 20 – 90 – 180
70 = 110 – 180
תשובה: גודל זווית C הוא 70 מעלות.

הצלע BC
במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש הוא גם תיכון. לכן:
BD = CD = 10
BC = BD + CD
BC = 10 + 10 = 20

תרגיל 3
משולש ABC הוא משולש שווה שוקיים (שבו AB = AC).
מעבירים במשולש את הקטע AD.
BD = 6
BDA = 90
BAD = 15

קבעו איזה סוג ישר הוא הישר AD.
אם ניתן השלימו את הנתונים הבאים על סמך השרטוט:

  1. זווית DAC
  2. זוויות C.
  3. צלע CD.

פתרון
הישר AD
מכוון שזווית BDA = 90 אז הישר AD הוא גובה לצלע BC.

זווית DAC
גובה במשולש שווה שוקיים הוא חוצה זווית. לכן:
DAC = DAB = 15

זווית C
במשולש BDA זווית זווית B משלימה ל 180 מעלות.
B = 180 – 90 – 15
B = 180 – 105 = 75

צלע CD
במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון. לכן:
CD = BD = 6

זוויות קודקודיות

בדף זה:

  1. נגדיר זוויות קודקודיות.
  2. התכונה של זוויות קודקודיות.
  3. תרגילים.

הגדרה של זוויות קודקודיות

זוויות קודקודיות הן זוויות הנוצרות בין שני ישרים נחתכים ונמצאות אחת מול השנייה.
למשל שתי הזוויות המסומנות באדום הן זוויות קודקודיות.

ובדוגמה שלמטה הזוויות הם לא זוויות קודקודיות.
כי הקווים המשורטטים הם לא קווים ישרים.

הזוויות האדומות הן לא קודקודיות כי CD הוא לא ישר.

הזוויות האדומות הן לא קודקודיות כי CD הוא לא ישר.

התכונה של זוויות קודקודיות

זוויות קודקודיות שוות זו לזו.
למשל גודל הזווית האדומה שבשרטוט הוא 100 כי היא זווית קודקודית לזווית שגודלה  100 מעלות.

בעזרת זוויות קודקודיות ניתן גם לבנות משוואה בצורה הזו.

שתי הזוויות המסומנות הן זוויות קודקודיות שוות ולכן המשוואה היא:
2x + 20 = x + 70

נפתור את המשוואה:
2x + 20 = x + 70  / -x – 20
x  = 50

120 = 70 + 50
לכן הגודל של כל אחת מהזוויות הללו הוא:

תרגילים

תרגיל 1
האם בשרטוטים הבאים יש זוויות קודקודיות?
אם כן חשבו את גודל הזווית האדומה.

פתרון
בשרטוט מספר 1, בשרטוט השמאלי אין זווית קודקודיות כי AC הוא לא קו ישר.

בשרטוט מספר 2, השרטוט הימני, גודל הזווית האדומה הוא 100 כי אלו הן זוויות קודקודיות.

תרגיל 2
חשבו את x בשרטוט הבא.
וחשבו את גודל הזוויות.

פתרון
שתי הזוויות המסומנות הן זוויות קודקודיות ולכן שוות.
המשוואה היא:
3x – 40 = 2x – 10

נפתור את המשוואה:
3x – 40 = 2x – 10  / -2x + 40
x = 30

גודל הזווית הוא 2x -10
2x – 10 = 2*30 – 10
50 = 10 – 60
גודל הזווית הוא 50 מעלות.

מכוון ששתי הזוויות שוות אין צורך לחשב את גודל הזווית 3x – 40. גם גודל זווית זו הוא 50.

תרגילים המשלבים זוויות צמודות וזוויות קודקודיות

תרגיל 1
מצאו את הזוויות המסומנות ב x,y,z.

פתרון
זווית x היא זווית צמודה לזוויות שגודלה 40.
לכן המשוואה היא:
x + 40 = 180
x = 140

זווית y היא זווית קודקודית לזווית שגודלה 40.
זוויות קודקודיות הן שוות לכן:
y = 40

זוויות z היא זוויות צמודה לזווית שגודלה 40.
לכן המשוואה היא:
z + 40 = 180
z = 140

תרגיל 2
מצאו את הזוויות המסומנות ב x,y,z.

פתרון
מציאת זווית x.
על הישר AB נמצאות הזוויות  30  ,40,  x.
סכום שלושת הזוויות הוא 180 מעלות.
לכן המשוואה היא:
x + 30 + 40 = 180
x + 70 = 180  / -70
x = 110

מציאת זווית y
זוויות y היא זוויות קודקודית לזווית שגודלה 40.
לכן:
y = 40

מציאת זווית z
זווית z היא זוויות צמודה לזווית שגודלה 40 (הזווית המסומנת באדום).
לכן המשוואה היא:
z + 40 = 180
z = 140

עוד באתר:

6 מצבים שכדאי להכיר במשפחת המקביליות

בדף זה 6 מצבים + 3 נקודות לתשומת לב.
הדברים הכתובים בדף מתייחסים לכל משפחת המקביליות: מקבילית, מעוין, מלבן, ריבוע.
בשרטוטים תראו מלבן, אבל התוכן נכון לכל משפחת המקביליות.

1.אם מעבירים חוצה זווית בין ישרים מקבילים נוצר משולש שווה שוקיים

ולהפך: אם בין ישרים מקבילים נוצר משולש שווה שוקיים אז אחת מצלעות המשולש היא חוצה זווית.

אם מעבירים חוצה זווית בין ישרים מקבילים נוצר משולש שווה שוקיים

המפתח להוכחה הוא שזוויות CDE∠ וזווית AED∠ הן זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
לכן אם נתון ש DE חוצה זווית נגדיר:

  1. EDC = ∠EDA = X∠ נתון ED חוצה זווית.
  2. AED = ∠EDC =X∠ זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  3. קיבלנו שבמשולש AED יש שתי זוויות שגודלן X ולכן המשולש שווה שוקיים.

ההוכחה ההפוכה: נתון AD= AE וצריך להוכיח ש DE הוא חוצה זווית.

  1. DEA = ∠EDA = X∠ זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
  2. AED = ∠EDC =X∠  זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים.
  3. EDC = ∠EDA = X∠ ולכן DE הוא חוצה זווית.

2. שני חוצי זווית במקבילית שנפגשים יוצרים משולש ישר זווית

כלומר אם AE, DE הם חוצה זווית במקבילית ABCD.
אש זווית AED = 90.

הוכחה:

  1. נגדיר D = 2a
  2. לכן A = 180 – 2a
  3. לאחר העבר שני חוצי הזווית וסימון הזוויות הידועות במשולש AED נקבל שהזווית E חייבת להיות שווה ל 90 על מנת להשלים את זוויות המשולש ל 180. לכן משולש AED הוא משולש ישר זווית.

בנוסף במלבן וריבוע שבהם כל הזוויות גודלן 90 מעלות המשולש AED כולל זוויות שגודלן 90,45,45. והוא משולש ישר זווית ושווה שוקיים.

שני חוצי זווית במלבן שנפגשים יוצרים משולש ישר זווית ושווה שוקיים

לנושא של שני חוצה זווית יש גם משמעויות נוספות בצורות שאינן מקביליות:

  1. במשולש וטרפז נקודת המפגש של חוצי הזווית נמצאת על קטע האמצעים.
  2. וגם להפך, אם שני ישרים יוצרים זווית של 90 מעלות ונקודת המפגש שלהם נמצאת על קטע האמצעים אז הישרים הם חוצי זווית.

3. שני ישרים היוצאים מצלע המלבן ונפגשים בנקודה מחוץ למלבן יוצרים משולשים דומים

הדבר נובע מכך שנוצרות שתי זוגות של זוויות מתאימות שוות וגם זווית אחת משותפת לשני המשולשים (זווית E∠).

 שני ישרים היוצאים מצלע המלבן ונפגשים בנקודה מחוץ למלבן יוצרים משולשים דומים

הוכחה:

  1. ECD = ∠EGF∠ זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  2. EDC = ∠EFG∠ זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. EFG ∼ EDC  דמיון משולשים על פי ז.ז.

שימו לב: "לבליטה" יכולות מספר צורות. היא יכולה להיות המשך צלע, לא לצאת מקודקודי המלבן ויכולה לצאת מארבעת צדדי המלבן.

מספר צורות לדמיון המשולשים

4. מלבן החסום בתוך משולש יוצר 2 או 3 משולשים דומים

כאשר מעבירים קו מקביל לאחד הצלעות בתוך משולש נוצרים 2 משולשים דומים. וחסימת מלבן בתוך משולש ישר זווית בצורה היוצרת 2 זוגות של ישרים מקבילים יוצרת 3 משולשים דומים.

מלבן החסום בתוך משולש יוצר 2 משולשים דומים

ABC ∼ AED
הזוויות הירוקות והאדומות שוות זו לזו לפי המשפט "זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו".

כאשר המלבן חסום במשולש ישר זווית נוצרים 3 משולשים דומים:

מלבן חסום במשולש ישר זווית יוצר 3 משולשים דומים

ABC ∼ AED ∼ EBF

הזוויות הירוקות והאדומות שוות זו לזו לפי המשפט "זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו".

5. ישר היוצא מצלע המלבן אל הצלע שממול דרך נקודת מפגש האלכסונים יוצר מקבילית.

הדבר נובע מכך שנקודת מפגש האלכסונים חוצה אותו (מוכיחים בחפיפת משולשים) ומכך שאם במרובע האלכסונים חוצים זה את זה אז המרובע הוא מקבילית.
(הישר EF יוצר מקבילית AECF).

 ישר היוצא מצלע המלבן אל הצלע שממול דרך נקודת מפגש האלכסונים יוצר מקבילית.

הוכחה (בקצרה):

  1. COF ≅AOE בגלל שהזוויות הירוקות מתחלפות שוות + הכתומות קודקודיות + AO=OC אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה. משפט חפיפה ז.צ.ז.
  2. EO=FO צלעות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.
  3. עכשיו במרובע ECFA האלכסונים חוצים זה את זה. AO=OC, EO=FO. ומרובע שבו האלכסונים חוצים הוא מקבילית.

6. כאשר מחסרים קטעים שווים משתי קצוות אחד האלכסונים נוצרת מקבילית

כאשר מחסרים קטעים שווים מאלכסון המלבן נקודת המפגש של האלכסונים עדיין מחלקת את האלכסון והאלכסון הנוסף לשני חלקים שווים.
ומרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית.
(אם BF=DE אז AECF מקבילית).

כאשר מחסרים קטעים שווים משתי קצוות אחד האלכסונים נוצרת מקבילית

הוכחה

  1. AO = CO,  BO = DO אלכסוני המלבן חוצים זה את זה.
  2. DE = BF נתון.
  3. OE = DO – DE
  4. FO = BO- BF
  5. OE=FO,   AO=CO  כלומר אלכסוני המרובע AEOF חוצים זה את זה ולכן המרובע הוא מקבילית.

7.כאשר נותנים לכם צלעות שוות חישבו על חפיפת משולשים או על חיבור / חיסור צלעות

כאשר אומרים לכם שצלעות שוות חשבו האם ניתן לבצע חיסור צלעות או חפיפת משולשים על מנת להגיע אל התשובה.
חפיפת משולשים היא כלי חשוב בהוכחות השונות.

תרגיל לדוגמה:
במלבן ABCD מעבירים את את הישרים BE ו CF כך ש BE=CF.
הוכיח AF=ED.

מלבן, שרטוט התרגיל

פתרון
נוכיח חפיפת משולשים ΔFDC ≅ ΔEAB

  1. AF=ED נתון.
  2. DC=AB- צלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו.
  3. D=∠A=90∠ – זוויות המלבן שוות 90.
  4. FE, EB הם יתר במשולשים ישרי זווית – נובע מ 3.
  5.  ΔFDC ≅ ΔEAB – חפיפת משולשים על פי משפט חפיפה רביעי צ.צ. וזווית שמול הצלע הגדולה.
  6. AE=DF – צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
  7. AF=DE – אם נחסר מהשוויון שמצאנו ב 6 גודל קבוע (FE) נקבל קטעים שווים.
    בשפה מתמטית כותבים זאת כך:
    AF= AE-FE=DF-FE=DE

8. שימו לב שצלעות וזוויות נגדיות שוות וגם האלכסונים חוצים זה את זה

בחלק משאלות המלבן לא מבינים מה הקשר הנתונים למה שצריך למצוא. המיקום של הצלע המבוקשת כל כך רחוק מהאזור שבו יש נתונים.
אז בשאלות מסוג זה כנראה שאתם צריכים להשתמש בשוויון צלעות נגדיות או שוויון חצאי האלכסונים.

שאלה לדוגמה:
במקבילית ABCD הישר BE הוא חוצה זווית. הוכיחו כי EB=AD.

שימו לב שצלעות נגדיות שוות וגם האלכסונים חוצים זה את זה

הוכחה (בקצרה):

  1. ECD = ∠CEB∠ זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  2. במשולש EBC יש שתי זוויות שוות ולכן EB=BC
  3. BC = AD (צלעות נגדיות במקבילית שוות).
  4. ולכן EB= AD

9. לא לשכוח שבמלבן יש ישרים מקבילים…

אולי בגלל שלא כתוב בשאלות במפורש "ישרים מקבילים" ראיתי מקרים רבים של תלמידים ששוכחים להשתמש בתכונה זו בפתרון השאלות.
במלבן הישרים מקבילים ולכן ניתן למצוא בהם זוויות מתאימות או מתחלפות שוות.
זכרו להשתמש בתכונה זו.

עוד באתר:

נספח: שני חוצי זווית העוברים במשולש או טרפז

משולש
במשולש אם שני חוצה הזווית יוצרים זווית של 90 מעלות אז נקודת המפגש של חוצה הזווית נמצאת על קטע האמצעים במשולש.

ובניסוח מתמטי:
במשולש ABC הקטעים BD, CD הם חוצה זווית.
CDB = 90.
מעבירים את הישר DE כך שהוא מקביל לצלע BC.
הוכיחו כי DE הוא חלק מקטע אמצעים במשולש ABC.

פתרון
נגדיר
A = 2a
C = 2b

CDE = DCB = b  זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות זו לזו.
לכן משולש DEC הוא משולש שווה שוקיים.
CE = ED (שוויון ראשון)

EDA = FAD = a
לכן משולש DEA הוא משולש שווה שוקיים.
AE = ED  (שוויון שני)

משתי השוויונות:
CE = ED
AE = ED
נקבל כי :
AE = CE
כלומר הנקודה E היא אמצע הצלע AC.

טרפז
גם בטרפז ניתן להוכיח כי אם AE, BE הם חוצה זווית אז זווית E גודלה 90 מעלות והנקודה E נמצאת על קטע האמצעים של הטרפז.

את ההוכחה מלאה תוכלו לקרוא בדף קטע אמצעים בטרפז.

איך מוכיחים שישרים הם לא מקבילים?

  • לפני שאתם לומדים את דף זה עליכם לדעת כיצד להוכיח שישרים הם מקבילים ולדעת לזהות זוויות מתאימות או מתחלפות, תוכלו ללמוד לעשות זאת בקישור.

יש שתי שיטות להוכיח שישרים הם לא מקבילים.

שיטה ראשונה: זוויות מתאימות או מתחלפות שוות
יש משפט האומר "אם בין שני ישרים יש זוויות מתאימות או מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים".

וגם המשפט ההפוך נכון:
"אם בין שני ישרים יש זוויות מתאימות או מתחלפות לא שוות אז הישרים לא מקבילים".
ובמשפט זה נשתמש כדי להוכיח שהישרים לא מקבילים.

שיטה שנייה: ישרים מקבלים לא נפגשים אף פעם
יש משפט האומר: "ישרים מקבילים לא נפגשים אף פעם".

וגם המשפט ההפוך נכון "אם ישרים נפגשים אז הם לא מקבילים".
ובמשפט זה נשתמש כדי להוכיח שהישרים לא מקבילים.

דוגמאות

דוגמה 1
הוכיחו כי הישרים BC ו AD הם לא מקבילים.

פתרון
שתי הזוויות שגודלן 70 ו 80 הם זוויות מתאימות אבל הם לא שוות, לכן הישרים לא מקבילים.

דוגמה 2
הוכיחו כי הישרים AB ו CD הם לא מקבילים.

פתרון
שתי הזוויות שגודלן 60 ו 40 הם זוויות מתחלפות אבל הם לא שוות, לכן הישרים לא מקבילים.

דוגמה 3
הוכיחו כי הישרים AB ו CD הם לא מקבילים.

פתרון
הישרים AB ו CD נפגשים בנקודה E ולבן הם לא ישרים מקבילים.

עוד באתר:

זוויות במרובעים

בדף זה נכיר את התכונות החשובות של המרובעים השונים.

סדר הצורות שיופיעו בדף הוא:

  1. מקבילית.
  2. מלבן.
  3. מעוין.
  4. ריבוע.
  5. טרפז.
  6. טרפז שווה שוקיים.
  7. דלתון.

מעבר לתכונות המיוחדות חשוב שנזכור שבכול המרובעים סכום הזוויות הוא 360 מעלות.

זוויות במקבילית

 

במקבילית יש שתי סוגי זוויות:

1.זוויות נגדיות – אלו הן זוויות הנמצאות אחת מול השנייה במקבילית.
A, C אלו זוויות נגדיות.
B,D אלו זוויות נגדיות.
התכונה שלהם:
זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
זה משפט שניתן להשתמש בו ללא הוכחה.

2.זוויות סמוכות – אלו זוויות הנמצאות ליד אותה צלע.
לכל זוויות במקבילית יש שתי זוויות במוכות.
הזוויות הסמוכות של A הן D ו B.
הזוויות הסמוכות של D הן A ו C.

התכונה שלהם
זוויות סמוכות במקבילית משלימות ל 180 מעלות.
וזה בגלל שהן זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים.
אם A = 110
אז D = 70
וגם B = 70

לכן אם אנו יודעים זוויות אחת במקבילית אנו יכולים לקבוע את גודלן של כל שאר הזוויות.

תרגיל
במקבילית זוויות A גודלה 50 מעלות.
קבעו את גודלן של כל זוויות המקבילית.

פתרון
זווית C
C = A = 50  זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.

זוויות B,D
אלו זוויות סמוכות לזווית A.
הן משלימות את זווית A ל 180 מעלות בגלל שהן זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים.
130 = 50 – 180
גודלן 130 מעלות.

תכונה חשובה נוספת

תכונה חשובה של זוויות במקבילית היא שכל פעם שמעבירים חותך בין שני ישרים מקבילים נוצרות זוויות מתחלפות שוות.

זוויות 1 ו 2 הן זוויות מתחלפות שוות. וגם זוויות 3 ו 4 הן זוויות מתחלפות שוות

זוויות 1 ו 2 הן זוויות מתחלפות שוות. וגם זוויות 3 ו 4 הן זוויות מתחלפות שוות

זווית במלבן

במלבן כל הזוויות גודלן 90 מעלות.

במלבן האלכסונים הם לא חוצה זווית

זווית 1 לא שווה לזווית 2.

הערה
מלבן הוא סוג של מקבילית ולכן כל התכונות של מקבילית מתקיימות בו.
זוויות נגדיות שוות.
זוויות סמוכות משלימות ל 180 מעלות.
אבל לרוב לא משתמשים בתכונות הללו אלה בכך שכל זוויות המלבן גודלן 90.

זוויות במעוין

מעוין הוא סוג של מקבילית ולכן כולל את כל תכונות הזוויות של המקבילית

ובנוסף יש תכונות מיוחדות לאלכסוני המעוין:

  1. האלכסונים הם חוצה זווית.
  2. האלכסונים מאונכים זה לזה.
כל הזוויות המסומנות ב 1 שוות. כל הזוויות המסומנות ב 2 שוות. ובנוסף האלכסונים מאונכים

כל הזוויות המסומנות ב 1 שוות. כל הזוויות המסומנות ב 2 שוות. ובנוסף האלכסונים מאונכים

זוויות בריבוע

בריבוע כל הזוויות גודלן 90 מעלות (כמו במלבן).
והאלכסונים הם חוצה זוויות ומאונכים כמו במעוין.

מכוון שהאלכסונים חוצים זווית שגודלה 90 מעלות שתי הזוויות הנוצרות על יד האלכסונים גודלן הוא 45 מעלות.

תכונות זוויות בריבוע

זוויות בטרפז

תכונות של זוויות בטרפז

1. זוויות הנמצאות ליד אותה שוק משלימות ל 180 מעלות.

תכונה זו נובעת מכך ששני הבסיסים של הטרפז הם ישרים מקבילים. והזוויות שנמצאות על אותה שוק הן זוויות חד צדדיות.

זוויות על אותה שוק בטרפז משלימות ל 180 מעלות

2. האלכסונים בטרפז יוצרים זוויות מתחלפות שוות

אלכסוני הטרפז יוצרים שני זוגות של זוויות מתחלפות שוות

טרפז שווה שוקיים

טרפז שווה שוקיים כולל את כל התכונות של טרפז רגיל + תכונות נוספות.

3. בטרפז שווה שוקיים זוויות הנמצאות ליד אותו בסיס שוות זו לזו

זה משפט שניתן להשתמש שבו מבלי להוכיח אותו.

בטרפז שווה שוקיים זוויות הנמצאות ליד אותו בסיס שוות זו לזו

4. בטרפז שווה שוקיים האלכסונים יוצרים 4 זוויות השוות זו לזו

את התכונה ש זווית 1=3 ו 2=4 צריך להוכיח. ואת זה עושים על ידי חפיפת משולשים.
ABC ≅ DCB על פי צ.ז.צ.

בטרפז שווה שוקיים האלכסונים יוצרים 4 זוויות השוות זו לזו

דלתון

דלתון מורכב משני משולשים שווה שוקיים:

בעזרת חפופת משולשים משולשים פשוטה נוכל להוכיח:
ADC ≅ ABC  על פי צ.צ.צ  (כאשר AC צלע משותפת).

ולכן:
B = ∠D∠  זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.
וגם:
CAD = ∠CAB∠
ACD = ∠ACB∠
בגלל שהן זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.

בנוסף אלכסוני הדלתון מאונכים זה לזה.

לדלתון יש משפט המסכם את כל התכונות חוץ מהתכונה שכתבתי ראשונה:
"בדלתון האלכסון הראשי הוא חוצה זווית, תיכון ומאונך לאלכסון המשני".

האם יש קשר בין גודלה של זווית A לגודלה של זוויות C?
אין קשר. אלו לא זוויות שוות ואין בניהן קשר אחר.

עוד באתר:

מרובעים

באתר זה מידע עשיר בנושא המרובעים השונים.
כאן תמצאו קישורים.

  1. דלתון.
  2. טרפז.
  3. טרפז שווה שוקיים.
  4. מקבילית.
  5. מלבן.
  6. מעוין.
  7. ריבוע.

וגם:

  1. הוכחת מרובעים.
  2. מרובעים שטחים.
  3. זוויות במרובעים.
  4. מרובעים גיאומטריה אנליטית.
  5. אלכסונים במרובעים.

היקף מקבילית

היקף נהוג לסמן באות p. שהיא הקיצור של המילה perimeter (היקף) באנגלית.

היקף מקבילית שווה לסכום ארבעת צלעותיה.

לכן היקף המקבילית הזו הוא:
P = 6 + 4 + 6 + 4 = 20
תשובה: 20 סנטימטר.

תכונה חשובה
במקבילית צלעות הנמצאות זו מול זו שוות.
לכן אם נדע שתי צלעות סמוכות נוכל לדעת את כל ה 4 הצלעות.

למשל
חשבו את היקף המקבלית שאורך שתיים מהצלעות שלה הוא 3 ו 5 סנטימטר.

פתרון
במקבילית צלעות הנמצאות אחת מול השנייה שוות.
נשלים את שתי הצלעות הנוספות של המקבילית.

עכשיו נחשב את ההיקף, סכום ארבעת הצלעות:
P = 5 + 3 + 5 + 3
P = 8 + 8 = 16

נוסחת היקף מקבילית

ניתן להמשיך לחשב את היקף המקבילית כסכום 4 הצלעות.
אבל בגלל שצלעות שנמצאות אחת מול השנייה שוות זו לזו יש גם נוסחאות המקצרות את החישוב.
P  = 2a + 2b
או
(P = 2(a + b

תרגילים

תרגיל 1
חשבו את היקף המקבלית שאורך צלעותיה הם 6 ו 5 סנטימטר.

פתרון
על פי נוסחת היקף מקבילית:
P = 2*5 + 2*6
P = 10 + 12 = 22
תשובה: היקף המקבילית הוא 22 סנטימטר.

אם היינו רוצים להשלים את צלעות המקבילית זה היה נראה כך:

תרגיל 2
חשבו את היקף המקבילית שאורך הצלעות שלה הוא 10 ו 15 סנטימטר.

פתרון
על פי הנוסחה להיקף מקבילית:
P = 2 * 10 + 2 * 15
P = 20 + 30 = 50
תשובה: היקף המקבילית הוא 50 סנטימטר.

אם היינו רוצים להשלים את צלעות המקבילית זה היה כך

תרגיל 3
ידוע כי היקף מקבילית הוא 20 סנטימטר.
אורך אחת מצלעות המקבילית היא 7 סנטימטר.
חשבו את אורך הצלע השנייה.

פתרון
במקבילית יש שתי צלעות שוות.
לכן סכום ההיקף של 2 הצלעות שאורכן 7 סנטימטר הוא:
14 = 7 + 7

היקף המקבילית הוא 20.
לכן האורך של שתי הצלעות שאנו לא יודעים (ביחד) הוא:
6 = 14 – 20

אלו שתי צלעות שוות לכן אורך כל אחת מיהן היא 3 סנטימטר.

עוד באתר:

היקף מלבן

היקף נהוג לסמן באות p. שהיא הקיצור של המילה perimeter (היקף) באנגלית.

היקף מלבן שווה לסכום ארבעת צלעותיו.

לכן היקף המלבן הזה הוא:
p = 3+5+3+5 = 16
תשובה:16ס"מ.

תכונה חשובה
במלבן זוג צלעות נגדיות שווה זה לזה.
לכן אם נדע שתי צלעות שאינן אחת מול השנייה נוכל לדעת את כל הארבעה.

נשלים את ארבעת צלעות המלבן בצורה הזו:

ונחשב את היקף המלבן
P = 8 + 2 + 8 + 2 = 20

נוסחה לחישוב היקף מלבן

תמיד ניתן לחשב היקף מלבן כסכום ארבעת צלעותיו.
אבל מכוון שבמלבן שתי זוגות של צלעות שוות יש דרך קיצור לחשב.

ניתן לרשום את הנוסחה להיקף מלבן כך:
P = 2a + 2b
וגם כך:
(P = 2(a + b

שטח מלבן הוא מכפלת הצלעות:
S = a * b

תרגילים

תרגילים 1-3 הם חישוב היקף ושטח מלבן.
תרגיל 4 הוא חישוב היקף ושטח של צורה המורכבת ממספר מלבנים.
בתרגילים 5-6 ההיקף ידוע וצריך למצוא אורך של אחת הצלעות.
בתרגילים 7-8 צריך לחשב היקף של צורה מורכבת. מלבן ומשולש או מלבן ומעגל.
תרגילים 9-10 דורשים שימוש במשתנה ומתאימים לתלמידי כיתה ז ומעלה.

תרגיל 1
חשבו את היקף ושטח המלבן שאורך צלעותיו הסמוכות הוא 4 ו 5 סנטימטר.

פתרון
היקף מלבן
על פי נוסחת היקף מלבן
P = 2*4 + 2 * 5
P = 8 + 10 =18
תשובה: היקף המלבן הוא 18 סנטימטר.

שטח המלבן
על פי נוסחת השטח:
S = 4 * 5 = 20
תשובה: שטח המלבן 20 סמ"ר.

אם היינו רוצים להשלים את האורכים של ארבעת צלעות המלבן זה היה נראה כך:

תרגיל 2
חשבו את היקף ושטח המלבן שאורך צלעותיו הוא 1 ו 4.

פתרון
על פי נוסחת היקף מלבן
P = 2*1 + 2*4
P = 2 + 8 = 10
תשובה: היקף המלבן הוא 10 סנטימטר.

שטח מלבן
שטח מלבן שווה למכפלת הצלעות:
S=4*1=4
תשובה: שטח המלבן 4 סמ"ר.

אם היינו מסמנים את ארבעת צלעות המלבן זה היה נראה כך:

תרגיל 3
אורכי 3 צלעות מלבן הן:
3,5,3 סנטימטר.
חשבו את היקף המלבן.

פתרון
במלבן כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו.
לכן אורך הצלע הרביעית הוא 5.
ארבעת צלעות המלבן :
3,3,5,5

היקף המלבן
P = 3+3+5+5 = 16
תשובה: 16 סנטימטר.

תרגיל 4
חשבו את השטח וההיקף של הצורה הבאה.

שרטוט התרגיל

פתרון

נחשב את אורכי הצלעות החסרות:
EF = DC = 2

AB = HG = 8

DE = AH – BC – FG
DE = 10 – 3 – 1 = 6

חישוב היקף
40 = 10 + 8 + 3 + 2 + 6 + 2+ 1 + 8
תשובה: ההיקף שווה ל 40 יחידות.

חישוב שטח
נחלק את הצורה למלבנים בצורה הבאה:

שטח של צורה מורכבת

שטח מלבן 1  (AKLH):
60 = 6 * 10

שטח מלבן 2   (KBCD):
2 = 1 * 2

שטח מלבן 3  (EFGL):
6 = 3 * 2

68 = 6 + 2 + 60
תשובה: שטח הצורה כולה הוא 68.

דרך פתרון שנייה
בדרך הראשונה הגענו לשטח המבוקש על ידי חיבור מלבנים.
בדרך השנייה נגיע לפתרון על ידי חיסור מלבנים.
דרך הפתרון השנייה מתאימה לחלק מהתרגילים וטוב לדעת אותה.

נחשב את שטח המלבן הגדול ביותר (ABGH).
ונחסר את שטח המלבן (CDEF).

בצורה זו נמצא את השטח על ידי פחות חישובים.
שטח המלבן הגדול (ABGH).
80 = 8 * 10

שטח המלבן החסר (CDEF).
12 = 2 * 6

שטח הצורה המבוקשת הוא:
68 = 12 – 80.

תרגיל 5
היקף מלבן הוא 32 סנטימטר.
אורך אחת מצלעות המלבן הוא 6 סנטימטר.
חשבו את אורך הצלע השנייה.

פתרון
אורך שתי הצלעות שאנו יודעים הוא:
12 = 2 * 6
היקף המלבן הוא 32.
לכן אורך שתי הצלעות החסרות הוא:
20 = 12 – 32

אם אורך שתי צלעות שוות ביחד הוא 20, מה אורכה של צלע אחת?

10.
אורך צלע המלבן החסרה הוא 10.

תרגיל 6
היקף מלבן הוא 18 סנטימטר.
אורך צלע אחת של המלבן הוא 2 סנטימטר.
חשבו את אורך צלע המלבן השנייה.

פתרון
היקף שתי הצלעות שאנו יודעים הוא
4 = 2*2

היקף המלבן הוא 18.
לכן היקף שתי הצלעות שאנו לא יודעים הוא:
14 = 4 – 18

אם היקף שתי צלעות שוות הוא 14. מה היקף צלע אחת?

7.
אורך הצלע החסרה הוא 7.

תרגיל 7
על צלע מלבן שאורך צלעותיו 4 ו 6 סנטימטר בנו משולש שווה שוקיים שאורך השוק שלו היא
חשבו את היקף הצורה שנוצרה.

פתרון
היקף של צורה הוא סכום אורכי הצלעות של הצורה.
אנו יודעים את אורכם של כל הצלעות הללו ולכן יכולים לחשב את ההיקף.
P = 6 + 4 + 5 +5+ 4= 24
תשובה: היקף הצורה שנוצרה הוא 24 סנטימטר.

תרגיל 8
חשבו את היקף הצורה הבנויה ממלבן שאורך צלעותיו הוא 3 ו 8 ס"מ ועל הצלע של 3 ס"מ נמצא קוטר המעגל.

חישוב היקף של צורה מורכבת

פתרון
למלבן 3 צלעות בהיקף 3,8,8
19=3+8+8 (שימו לב שאת אחת מצלעות הלבן אין צורך לחשב כי המעגל "מכסה" עליה)

למעגל יש חצי מעגל בהיקף.
קוטר המעגל הוא 3.
לכן היקף העיגול המלא הוא:
P=2₶r
p = 3.14*1.5*2 = 9.42

מכוון שבצורה זו יש רק חצי עיגול ההיקף הוא :
4.71 = 2 : 9.42

נחבר את שני ההיקפים ונקבל:
23.71=19+4.71
תשובה: היקף הצורה המורכבת הוא 23.71 ס"מ.

תרגיל 9
במלבן צלע אחת של המלבן גדולה מהצלע השנייה ב 1 סנטימטר.
היקף המלבן הוא 22 סנטימטר.
חשבו את צלעות המלבן.

פתרון
נגדיר:
x  אורך הצלע הקטנה בסנטימטרים.
x + 1 אורך הצלע הגדולה בסנטימטרים.

נבנה משואה.
היקף המלבן הוא:
x + x + x+ 1+ x+1 = 4x +2
היקף המלבן שווה ל 22 סנטימטר לכן המשוואה היא:
4x + 2 = 22 

נפתור את המשוואה:
4x + 2 = 22  / -2
4x = 20  / :4
x = 5
תשובה: אורך צלע אחת של המלבן הוא 5 סנטימטרים, אורך הצלע השנייה הוא 6 סנטימטרים.

תרגיל 10
אצנים רצים במסלול מלבני שאורך צלעותיו 35 ו 22 מטרים.
עליהם לעבור 798 מטרים.
כמה פעמים עליהם להקיף את המסלול?

פתרון
נחשב את היקף המסלול (היקף המלבן).
= (22 + 35) * 2
114 = 57  *2
היקף המסלול הוא 114 מטרים.

נגדיר:
x  מספר הפעמים שצריך להקיף את המסלול.

המשוואה
מספר הפעמים שמקיפים את המסלול כפול היקף המסלול זה המרחק שעוברים.
לכן המשוואה היא:

x * 114 = 798
114x = 798  / : 114
x = 7
תשובה: עליהם להקיף את המסלול 7 פעמים.

מספר הפעמים שמקיפים את המלבן זה אורך הדרך שעוברים

מספר הפעמים שמקיפים את המלבן זה אורך הדרך שעוברים

עוד באתר:

מציאת זווית תרגילים בסיסיים

בדף זה נלמד כיצד בונים משוואות ומוצאים גדלים של זווית.
הדף מחולק ל 3 חלקים:

  1. תרגילים 1-4  הם במשולש שווה שוקיים.
  2. תרגילים 5-7  הם במשולש רגיל.
  3. תרגילים 8-10  הם במרובעים.

הקדמה

טוב לדעת למצוא זווית במשולש שווה שוקיים עוד לפני שמתחילים לפתור תרגילים.
הסרטון הראשון הוא על זוויות שגודלן נתון במספרים.
הסרטון השני הוא על זוויות שגודלן נתון בעזרת משתנה.

1.משולש שווה שוקיים

תרגילים 1-4.
תרגיל 4 קשה יותר משלושת הראשונים.

תרגיל 1 (זווית בסיס ידועה)
במשולש שווה שוקיים גודל זווית הבסיס הוא 80 מעלות.
מצאו את את גודל זווית הראש.

פתרון
במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות. לכן
B = C = 80

זווית הראש משלימה את שתי זוויות הבסיס ל 180 מעלות, לכן גודלה:
A = 180 – 80 – 80
A = 180 – 160 = 20
תשובה: גודל זווית הראש הוא 120 מעלות.

הפתרון נראה כך

הפתרון נראה כך

תרגיל 2 (זווית הראש ידועה)
במשולש שווה שוקיים ידוע כי גודל זווית הראש הוא 70 מעלות.
חשבו את זוויות הבסיס.

שתי זוויות הבסיס משלימות את זוויות הראש ל 180 מעלות.
לכן סכום שתי זוויות הבסיס הוא:
110 = 70 – 180

שתי זוויות הבסיס שוות ולכן גודל כל אחת מיהן הוא:
55 = 2 : 110
תשובה: B = C = 55.

הפתרון נראה כך

הפתרון נראה כך

תרגיל 3 (בניית משוואה עם משתנים)
במשולש שווה שוקיים זווית הבסיס גדולה פי 2 מזווית הראש.
חשבו את זוויות המשולש.

פתרון
נגדיר את הזווית הקטנה כ x (זווית הראש).
לכן שתי זוויות הבסיס הן:
2x
שלושת זוויות המשולש הן
x, 2x, 2x

סכומן 180 מעלות ולכן המשוואה היא:
x + 2x + 2x = 180
5x = 180  / : 5
x = 36

תרגיל 4
במשולש שווה שוקיים (AB = AC) שבו זווית הראש היא 80 מעבירים את חוצה הזווית BD.

  1. חשבו את זווית BDC.
  2. גודלה של צלע AB הוא 8 סנטימטר. האם ניתן לחשב את אורך הצלע AD?

פתרון
שלבי הפתרון הם:

  1. חישוב זוויות הבסיס.
  2. מציאת זווית BDC.

מציאת זווית הבסיס
שתי זווית הבסיס במשולש ABC  משלימות את זווית הראש ל 180 מעלות.
לכן סכומם הוא:
100 = 80 – 180

זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות ולכן גודל כל אחת מיהן:
B = C = 100 : 2 = 50

חישוב זווית BDC
BD הוא חוצה זווית ולכן גודל זווית DBC הוא חצי מזווית B.
DBC = 0.5 * 50 = 25

במשולש BDC אנו יודעים שתי זוויות
DBC = 25
C = 50
הזווית BDC משלימה את שתי הזוויות הללו ל 180 מעלות ולכן:
BDC = 180 – 50 – 25
BDC = 180 – 75 = 105
תשובה: BDC  = 105

סעיף ב: AB הוא 8 סנטימטר. מה גודלו של AD?
בנתונים הללו לא ניתן לחשב את AD.
אם BD היה תיכון היה ניתן לחשב. אך במשולש שווה שוקיים חוצה הזווית אל השוק הוא לא תיכון ולכן לא ניתן לחשב.

2.תרגילים במשולש

תרגילים 5-7.

תרגיל 5
במשולש הזווית חיצונית גדולה פי 2 מהזווית הצמודה לה.
ABD = 2∠ABC
כמו כן:
A =50
מצאו את זווית C.

פתרון
נגדיר זווית
ABC = x
לכן זווית
ABD = 2x

סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות ולכן המשוואה היא:
x + 2x = 180
3x = 180  / :3
x = 60
ABC = 60

זווית C היא הזווית היחידה שאנו לא יודעים במשולש ABC והיא משלימה את שתי האחרות ל 180.
C = 180 – 60 – 50
C = 180 – 110 = 70
תשובה: C = 70.

תרגיל 6
(לתרגיל זה פתרון וידאו לאחר הפתרון הכתוב).
במשולש ABC מעבירים את הגובה BD.
הגובה BD מחלק את הזווית B כך:
ABD = 2∠DBC
כמו כן זווית
C = 70
חשבו את זוויות A,B.

פתרון
נגדיר:
DBC = x
לכן
ABD = 2x

נחפש משולש בו יש לנו מידע.
זה משולש  CBD
שבו:
CDB = 90
C = 70

לכן:
DBC = 180 – 90 – 70
DBC = 180 – 160 = 20
DBC = 20

בנתונים כתוב:
ABD = 2∠DBC
לכן:
ABD = 2 * 20 = 40

עכשיו אנו יודעים את שני החלקים המרכיבים את זווית B
B = 20 + 40 = 60

במשולש ABC אנו יודעים
C = 70
B = 60
לכן:
A = 180 – 60 – 70 = 50

תשובה: A= 50, B = 60

תרגיל 7
במשולש היחס בין הזוויות הוא 2:3:4.
מצאו את גודלן של זוויות המשולש.

פתרון
זו שאלת יחס.
הסבר מפורט כיצד מגדירים משתנים בשאלות יחס בדף יחס בעיות מילוליות.

נגדיר את הזוויות הקטנה כ 2x.
שתי הזוויות הנוספות יהיו
3x
4x

סכום הזוויות הוא 180, לכן המשוואה היא:
2x + 3x + 4x = 180
9x = 180
x = 20

גדלי הזוויות הן:
40 = 2* 20
60 = 3 * 20
80 = 4 * 20

3.מרובעים

תרגיל 8
במקבילית ABCD
A= 2∠B
חשבו את זוויות המקבילית.

פתרון
נגדיר זווית
A = x
לכן
B = 2x

זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו, לכן
C = A = x
D = B = 2x

סכום הזוויות המקבילית הוא 360, כמו כל מרובע.
לכן המשוואה היא:
x + x + 2x + 2x = 360
6x = 360  / :6
x = 60

זוויות המקבילית הן:
60,60,120,120

תרגיל 9
בטרפז שווה שוקיים ידוע כי זווית D גדולה ב 40 מזווית B.
חשבו את זוויות הטרפז.

פתרון
נגדיר:
B = x
בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו.
לכן:
C = x.

זוויות A,D משלימות את זוויות הבסיס התחתון ל 180, כי אלו הן זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים.
לכן:
D = A = 180- x

אנו יודעים שזוויות D גדולה ב 40 מעלות מזוויות A.
לכן המשוואה היא:
x + 40 = 180 – x  / +x -40
2x = 140  / :2
x = 70

70 הוא גודלן של זוויות B,C.
110 הוא גודלן של זוויות A,D.

תרגיל 10
במרובע היחס בין הזוויות הוא
2:5:5:6
חשבו את זוויות המרובע.

פתרון
נגדיר:
2x  הזווית הקטנה.
5x הגודל של כל אחת משתי הזוויות הבינוניות.
6x הגודל של הזווית הגדולה.

סכום הזוויות במרובע הוא 360. לכן המשוואה היא:
2x + 5x + 5x + 6x = 360
18x = 360
x = 20

גודל הזוויות במרובע הוא:
40 = 2 * 20
100 = 5 * 20
100 = 5 * 20
120 = 6 * 20

עוד באתר: