בדף זה נלמד מהיסוד את הנושא של בעיות הוצאה והחזרה ונגיע לרמה די גבוהה.
הדף עובר על השלבים השונים בצורה יסודית.
החלקים של דף זה הם:

1. לימוד היסודות, הוצאה עם החזרה.
2. הוצאה ללא החזרה.
3. ניסוחים מיוחדים לבעיות הוצאה.
4. הסתברות מותנית.

בנוסף באתר יש דפי המשך בנושא של הוצאה והחזרה:

1. הוצאה והחזרה תרגילים (ברמה של דף זה).
2. הוצאה והחזרה עם 3 צבעים.
3. הוצאה והחזרה עם משתנה.
4. הוצאה והחזרה לימוד יסודי בעזרת דיאגרמת עץ (דף יסודי כמו הדף הזה).

1.לימוד היסודות (הוצאה עם החזרה)

נסתכל על התרגיל הזה:
בקופסה 10 כדורים.
6 מתוכם אדומים ו 4 צהובים.
מוצאים שני כדורים מהקופסה (עם החזרה).

על התרגיל הזה יש מספר מוגבל של שאלות שניתן לשאול.
בחלק זה אנו נעבור על 8 שאלות שונות שניתן לשאול, שהם למיטב הבנתי כל השאלות שניתן לשאול.

חילקתי את 8 השאלות ל 3 סוגים, על פי רמת הקושי שלהן.
ניתן ללמוד את כל 8 השאלות ברצף מהסרטון הארוך שכאן למטה או מהטקסט שנמצא בהמשך הדף.

כמו כן חילקתי את הסרטון הזה ל 3 חלקים.
ומי שרוצה לצפות בקטעים קצרים יותר יכול לעשות זאת לאורך הדף.

התרגיל שאותו אנו פותרים:

בקופסה 10 כדורים.
6 מתוכם אדומים ו 4 צהובים.
מוצאים שני כדורים מהקופסה (עם החזרה).

חלק ראשון של שאלות.
חשבו את ההסתברות ש:

1. הראשון אדום השני צהוב.
2. הראשון צהוב השני אדום.
3. שני אדומים.
4. שני צהובים.

חלק שני של שאלות.
חשבו את ההסתברות ש:

1. יצאו שני כדורים בצבעים שונים.
   (ניסוח אחר: יצאו אדום וצהוב ללא חשיבות לסדר).
2. יצאו שני כדורים באותו צבע.

חלק שלישי של שאלות:

1. מה ההסתברות שיצא לפחות אדום אחד?
   (ניסוח אחר: לפחות אחד לא צהוב).
2. מה ההסתברות שיצר לפחות צהוב אחד?

פתרונות לחלק הראשון
(שאלות שיש רק דרך אחת שהן יקרו)

נחשב את ההסתברות לאדום והסתברות לצהוב בהוצאה בודדת.
ההסתברות לאדום היא:

ההסתברות לצהוב בהוצאה בודדת היא:

סעיף א: הראשון אדום השני צהוב
מכוון שההסתברות לאדום היא 0.6 וההסתברות לצהוב היא 0.4 אז ההסתברות לאדום ולאחר מיכן צהוב היא:
P = 0.6 * 0.4 = 0.24

סעיף ב: הראשון צהוב השני אדום
P = 0.4 * 0.6 = 0.24

סעיף ג: שני אדומים
P = 0.6 * 0.6 = 0.36

סעיף ד: שני צהובים
P = 0.4 * 0.4 = 0.16

פתרונות לחלק השני של השאלות
(הסתברויות שיכולות לקרות בשתי דרכים)

בקופסה 10 כדורים.
6 מתוכם אדומים ו 4 צהובים.
מוצאים שני כדורים מהקופסה (עם החזרה).
חשבו את ההסתברות ש:

1. יצאו שני כדורים בצבעים שונים.
   (ניסוח אחר: יצאו אדום וצהוב ללא חשיבות לסדר).
2. יצאו שני כדורים באותו צבע.

פתרונות

ניתן לחשב את ההסתברויות הללו ללא דיאגרמת עץ.
אבל דיאגרמת עץ עוזרת להבנה, לכן נשרטט דיאגרמת עץ  ומי שרוצה שישתמש בה.
בסוף כל ענף רשומה ההסתברות של הענף.

על מנת לחשב הסתברויות שיכולות להתרחש בשתי דרכים נחבר את ההסתברות של כל דרך בנפרד.

סעיף א: יצאו שני כדורים בצבעים שונים 

יש שתי דרכים לקבל כדורים בצבעים שונים.
1.הראשון אדום השני צהוב  (ענף 3, הסתברות 0.24)
+
2.הראשון צהוב השני אדום  (ענף 2, הסתברות 0.24)
P = 0.24 + 0.24 = 0.48

סעיף ב: יצאו שני כדורים באותו צבע

יש שתי דרכים לקבל כדורים באותו הצבע.
שני אדומים  (ענף 4, הסתברות 0.36)
+
שני צהובים  (ענף , הסתברות 0.16)
P = 0.36 + 0.16 = 0.52

פתרונות לחלק השלישי של השאלות
(הסתברויות היכולות לקרות ב 3 דרכים / ניסוחים מיוחדים)

בחלק זה נשאלו השאלות:

1. מה ההסתברות שיצא לפחות אדום אחד?
2. מה ההסתברות שיצא לפחות צהוב אחד?

מה ההסתברות שיצא לפחות אדום אחד?
(ניסוח אחר: לפחות אחד לא צהוב).

האפשרויות המתאימות ל "לפחות אדום אחד" הן:
אדום אדום (ענף 4, הסתברות 0.36)
אדום צהוב (ענף 3, הסתברות 0.24)
צהוב אדום (ענף 2, הסתברות 0.24)

סכום ההסתברויות הוא:
P = 0.36 + 0.24 + 0.24 = 0.84

דרך נוספת וקצרה יותר לחישוב היא:
נשים לב שהדבר היחידי שלא כלול בהסתברות של "לפחות אדום אחד" הוא המאורע "שני צהובים" (ענף 1, הסתברות 0.16).

לכן ניתן לחשב את ההסתברות של "שני אדומים" בעזרת הסתברות משלימה:
P = 1 – 0.16 = 0.84

הערה, אם היו שואלים:
"מה ההסתברות להוציא לפחות צהוב אחד?"
היינו יכולים לחשב בצורה דומה:

P = 0.16 + 0.24 + 0.24 = 0.64
(סכום הענפים 1,2,3)

P = 1 – 0.36 = 0.64
(חישוב של הסתברות משלימה, מחסרים את ענף 4 מהשלם).

2.הוצאה ללא החזרה

בתרגיל הקודם שבו הייתה הוצאה עם החזרה בהוצאה הראשונה ובהוצאה השנייה מספר הכדורים לא השתנה ולכן גם ההסתברויות לא השתנו בין ההוצאות.

כאשר לא מחזירים את הכדור לאחר ההוצאה בפעם הבאה שנוציא כדור ההסתברות תשתנה.

שימו לב שלאחר הוצאה ללא החזרה גם מספר הכדורים הכללי משתנה וגם מספר הכדורים מהסוג שהוצאנו משתנה.
אם יש 10 כדורים, 6 מתוכם אדומים אז לאחר הוצאת כדור אדום אחד ישארו בקופסה 9 כדורים מתוכם 5 אדומים.

ההסתברות לאדום בהוצאה הראשונה תהיה (5/10) ואילו בהוצאה השניה (4/9).

דוגמה 
בקופסה 4 כדורים צהובים ו 5 אדומים.
מוצאים כדור אחד ומשאירים אותו בחוץ. מוצאים כדור נוסף.

1. מה ההסתברות שהכדור הראשון צהוב והשני אדום?
2. מה ההסתברות שלשני הכדורים יש את אותו הצבע?
3. מה ההסתברות שלשני הכדורים צבע שונה?

פתרון
כך נראית הבעיה בדיאגרמת עץ.

סעיף א הוא ענף מספר 3.
סעיף ב הוא חיבור ההסתברויות של הענפים 1,4. (אותו צבע).
סעיף ג הוא חיבור ההסתברויות של הענפים 2,3 (צבעים שונים) או ההסתברות המשלימה של סעיף א.

פתרון
סעיף א: צהוב ואז אדום
4/9 זו ההסתברות להוציא צהוב בהוצאה הראשונה.
5/8 זו ההסתברות להוציא אדום בפעם השנייה.
לכן ההסתברות להוציא צהוב ואז אדום היא:

סעיף ב: שניים באותו צבע
שניים באותו צבע יכולים להיות:
צהוב צהוב.
או
אדום אדום

נחשב את ההסתברות לשני צהובים
בהתחלה יש 4 כדורים צהובים מתוך 9 ולכן ההסתברות היא לכדור ראשון צהוב:
4/9
לאחר הוצאת כדור אחד נותרו 8 כדורים.
מתוכם 3 צהובים. לכן ההסתברות לצהוב שני היא:
3/8

ההסתברות לשני צהובים מתקבלת על ידי מכפלת ההסתברויות:

1/6 זו ההסתברות להוציא שני צהובים.

נחשב את ההסתברות לשני אדומים
בהוצאה הראשונה יש 5 אדומים מתוך 9 (הסתברות 5/9).
בהוצאה השנייה יש 4 אדומים מתוך 8 (ההסתברות 4/8)

ההסתברות להוציא שני אדומים מתקבלת על ידי מכפלת ההסתברויות:

5/18 זו ההסתברות להוציא שני אדומים.

ההסתברות להוציא שני אדומים או שני צהובים היא סכום ההסתברויות שחישבנו.

תשובה: 4/9 זו ההסתברות להוציא שני כדורים באותו הצבע.

סעיף ג: הוצאת שני כדורים שונה צבע
ההסתברות להוציא 1 צהוב ו 1 אדום זו ההסתברות המשלימה ל"להוציא שני כדורים עם אותו צבע". למה שחישבנו קודם לכן
לכן הסתברות זאת שווה ל:

תשובה: 5/9 זו ההסתברות להוציא שני כדורים שונה צבע.

3.ניסוחים מיוחדים לבעיות הוצאה

בדרך כלל בעיות הוצאה והחזרה יהיו כדורים היוצאים מקופסה.
אבל יש גם בעיות הוצאה והחזרה אחרות.
כל דבר שאנו בוחרים מתוך קבוצה זו בעיית הוצאה והחזרה.
למשל:

בחירת אנשים
אם אני בוחר אנשים מתוך חדר זו בעיית הוצאה והחזרה.
אם ניתן לבחור אדם פעמיים זו בעיה "עם החזרה".
אם לא ניתן לבחור אדם פעמיים זו בעיה "ללא החזרה".

בחירת מספר בלוטו
זו בעיית הוצאה והחזרה.
לרוב מהסוג "ללא החזרה" כי לרוב לא ניתן לבחור מספר פעמיים.

דוגמה 1
בכיתה יש 20 תלמידים. 4 מתוכם לובשים חולצה לבנה.
מוצאים שני תלמידים החוצה, מה ההסתברות שלשניהם חולצה לבנה.

פתרון
זו הוצאה ללא החזרה. כאשר מוצאים שני תלמידים אין אפשרות לבחור תלמיד אחד פעמיים וזו הוצאה ללא החזרה.
ההסתברות לתלמיד ראשון עם חולצה לבנה היא 4/20
ההסתברות לתלמיד שני עם חולצה לבנה היא 3/19

ההסתברות המבוקשת היא:

דוגמה 2
בלוטו האנגלי יש 18 מספרים מתוכם צריך לבחור 3.
כאשר אדם בוחר 3 מספרים. מה ההסתברות שיזכה בלוטו?

פתרון
גם זו הוצאה ללא החזרה. כי כאשר מוצאים כדור בלוטו לא מחזירים אותו לאחר מיכן וכאשר אדם מסמן מספר הוא לא יסמן את המספר שוב.
בבחירה הראשונה יש לאדם 3 אפשרויות מתוך 18 לכן ההסתברות לבחור נכון בפעם הראשונה היא 3/18.
בבחירה השנייה נותרו 17 מספרים, מתוכם 2 נכונים וההסתברות 2/17.
בבחירה השלישית נותרו 16 מספרים מתוכם 1 טוב וההסתברות 1/16.

ההסתברות שכל המאורעות יקרו יחד ביחד היא:

תשובה: ההסתברות לזכות בלוטו האנגלי היא 1/816.

4.הסתברות מותנית

דוגמה 3
בקופסה 10 כדורים.
6 מתוכם אדומים ו 4 צהובים.
מוצאים שני כדורים מהקופסה (עם החזרה).

1. אם ידוע שהכדור השני אדום מה ההסתברות שהכדור הראשון שיצא אדום?
2. אם ידוע שהכדור השני צהוב, מה ההסתברות שהראשון אדום?

פתרון
זו דיאגרמת העץ שמתאימה לשאלה.

שימו לב שבסוף הענפים חישבתי את ההסתברות של כל ענף.
למשל ההסתברות להוציא שני צהובים, ענף 1, היא 0.16.

סעיף א: הכדור השני אדום מה ההסתברות שהכדור הראשון שיצא אדום
כאשר נסתכל בשרטוט נראה שבענפים 2,4 הכדור השני אדום.
לכן "גודל העולם" הוא סכום ההסתברויות שלהם:
P = 0.24 + 0.36 = 0.6

ההסתברות המבוקשת היא "הראשון אדום" שמתוך שני הענפים רק ענף 4 מתאים לכך.
הסתברותו היא 0.36.
לכן התשובה היא:

כמובן שהחישוב שביצענו מתאים לנוסחת ההסתברות המותנית.

P (A∩B) = 0.36
זו ההסתברות לקבל אדום בראשון וגם בשני.

P(B) = 0.6
זו ההסתברות לקבל אדום בשני.

והחישוב כולו הוא:

סעיף ב: הכדור השני צהוב, מה ההסתברות שהראשון אדום
הכדור השני צהוב בענפים 1,3.
סכום ההסתברויות בענפים הללו:
P = 0.16 + 0.24
זה "גודל העולם שלנו".

מבין שני הענפים הכדור הראשון אדום בענף 3, שהסתברותו 0.24.
זו ההסתברות המבוקשת.
לכן החישוב יהיה:

והחישוב הזה מתאים לנוסחת ההסתברות המותנית:
P (A∩B) = 0.24
P(B) = 0.4

לסיכום:
כאשר יש לנו שאלה בהסתברות מותנית:

1.נחשב את גודל ההסתברויות שנותרו בעולם שלנו (גודל העולם).
2.נחשב את גודל ההסתברות המבוקשת.
3.נציב בנוסחה:

4.נשים לב שזה בדיוק כמו להציב בנוסחה:

וכנימוק לפתרון נגיד שהצבנו בנוסחה זו.

בדף בעיות הוצאה והחזרה הסבר למדנו את היסודות.

בדף זה נפתור תרגילים של בעיות הוצאה והחזרה עם 3 צבעים.
כרגע יש בדף 2 תרגילים, התרגיל השני משמעותית קשה יותר מהראשון.

הדף הבא הוא בעיות הוצאה והחזרה עם משתנה.

תרגיל 1 
בקופסה 2 כדורים צהובים, 3 כדורים אדומים ו 5 כדורים כחולים.
מוצאים שני כדורים מהקופסה (עם החזרה)

1. מה ההסתברות ששני הכדורים אדומים?
2. מה ההסתברות ששני הכדורים אינם אדומים?
3. ידוע ששני הכדורים אינם אדומים. מה ההסתברות ששניהם כחולים? (הסתברות מותנית).

פתרון
סעיף א: הסתברות לשני אדומים
בקופסה יש 3 כדורים אדומים מתוך 10.
ההסתברות לאדום בהוצאה הראשונה היא 3/10  (0.3).
ההסתברות לאדום בהוצאה השנייה היא 3/10 (0.3).
לכן ההסתברות לאדום בשתי הפעמים היא:
0.09 = 0.3 * 0.3

סעיף ב: הסתברות ששניהם אינם אדומים
ההסתברויות שאינן כוללות אדומים הן:
שני צהובים:
0.04 = 0.2 * 0.2
שני כחולים:
0.25 = 0.5 * 0.5
צהוב ראשון, כחול שני:
0.1 = 0.5 * 0.2
כחול ראשון, צהוב שני:
0.1 = 0.2 * 0.5

סכום ההסתברויות הללו הוא:
0.49 = 0.1 + 0.1 + 0.25 + 0.04

ניתן לראות זאת גם בדיאגרמת העץ הבאה, הענפים שאנו צריכים לחשב את ההסתברות שלהם הם:
1,3,7,9.

סעיף ג: ידוע ששני הכדורים אינם אדומים. מה ההסתברות ששניהם כחולים?
בסעיף הקודם חישבנו:
0.49 זו ההסתברות של שניים שאינם אדומים.
0.25 זו ההסתברות לשני כחולים.

לכן ההסתברות המבוקשת היא 0.25 מתוך 0.49.

הערה
החישוב שעשינו מתאים לנוסחת ההסתברות המותנית:

תרגיל 2 (קשה יותר)
בקופסה יש כדורים ב 3 צבעים.
4 כדורים אדומים. 6 כדורים ירוקים. וכדור כחול אחד.
ב 20% מהכדורים הכחולים או האדומים יש הפתעה.
ב 90% מהכדורים הירוקים יש הפתעה.

1. בוחרים כדור באופן מקרי. מה ההסתברות שיש בו הפתעה?
2. שאלה בהסתברות מותנית: ידוע שבחרו כדור שאין בו הפתעה. מה ההסתברות שזה כדור אדום?

פתרון
נבנה דיאגרמת עץ המציגה את נתוני השאלה.

הענפים המובילים אל המצב הרצוי של "יש הפתעה" הם: 2,4,5.
עלינו לחשב את ההסתברות של כל אחד מהענפים הללו על ידי כפל הסתברויות לאורכו.
ההסתברות של ענף 2:
0.072 = 0.2 * (4/11)
ההסתברות של ענף 4:
0.0181 = 0.2 * (1/11)
ההסתברות של ענף 5:
0.49 = 0.9 * (6/11)

סכום ההסתברויות הוא:
0.5801 = 0.072 + 0.0181 + 0.49
תשובה: כאשר בוחרים כדור באופן מקרי ההסתברות שיש בו הפתעה היא 0.5801.

סעיף ב
בבחירה מקרית של כדור ההסתברות לבחור כדור שאין בו הפתעה היא ההסתברות המשלימה ל 1 את ההסתברות שמצאנו בסעיף א.
0.4199 = 0.5801 – 1

ההסתברות של "כדור אדום שאין בו הפתעה" היא ההסתברות של ענף 1.
0.29 = 0.8 * (4/11)

התשובה שלנו מתקבלת על ידי חלוקת ההסתברות הרצויה בהסתברות המייצגת את סכום ההסתברויות של הסעיף.
0.69 = 0.4199 : 0.29
תשובה: אם ידוע שנבחר כדור שידוע שאין בו הפתעה אז ההסתברות שכדור זה אדום היא 0.69.