ארכיון פוסטים מאת: לומדים מתמטיקה

בעיות הוצאה והחזרה הסבר

בדף זה נלמד מהיסוד את הנושא של בעיות הוצאה והחזרה ונגיע לרמה די גבוהה.
הדף עובר על השלבים השונים בצורה יסודית.
החלקים של דף זה הם:

  1. לימוד היסודות, הוצאה עם החזרה.
  2. הוצאה ללא החזרה.
  3. ניסוחים מיוחדים לבעיות הוצאה.
  4. הסתברות מותנית.

בנוסף באתר יש דפי המשך בנושא של הוצאה והחזרה:

  1. הוצאה והחזרה תרגילים (ברמה של דף זה).
  2. הוצאה והחזרה עם 3 צבעים.
  3. הוצאה והחזרה עם משתנה.
  4. הוצאה והחזרה לימוד יסודי בעזרת דיאגרמת עץ (דף יסודי כמו הדף הזה).

1.לימוד היסודות (הוצאה עם החזרה)

נסתכל על התרגיל הזה:
בקופסה 10 כדורים.
6 מתוכם אדומים ו 4 צהובים.
מוצאים שני כדורים מהקופסה (עם החזרה).

על התרגיל הזה יש מספר מוגבל של שאלות שניתן לשאול.
בחלק זה אנו נעבור על 8 שאלות שונות שניתן לשאול, שהם למיטב הבנתי כל השאלות שניתן לשאול.

חילקתי את 8 השאלות ל 3 סוגים, על פי רמת הקושי שלהן.
ניתן ללמוד את כל 8 השאלות ברצף מהסרטון הארוך שכאן למטה או מהטקסט שנמצא בהמשך הדף.

כמו כן חילקתי את הסרטון הזה ל 3 חלקים.
ומי שרוצה לצפות בקטעים קצרים יותר יכול לעשות זאת לאורך הדף.

התרגיל שאותו אנו פותרים:

בקופסה 10 כדורים.
6 מתוכם אדומים ו 4 צהובים.
מוצאים שני כדורים מהקופסה (עם החזרה).

חלק ראשון של שאלות.
חשבו את ההסתברות ש:

  1. הראשון אדום השני צהוב.
  2. הראשון צהוב השני אדום.
  3. שני אדומים.
  4. שני צהובים.

חלק שני של שאלות.
חשבו את ההסתברות ש:

  1. יצאו שני כדורים בצבעים שונים.
    (ניסוח אחר: יצאו אדום וצהוב ללא חשיבות לסדר).
  2. יצאו שני כדורים באותו צבע.

חלק שלישי של שאלות:

  1. מה ההסתברות שיצא לפחות אדום אחד?
    (ניסוח אחר: לפחות אחד לא צהוב).
  2. מה ההסתברות שיצר לפחות צהוב אחד?

פתרונות לחלק הראשון
(שאלות שיש רק דרך אחת שהן יקרו)

נחשב את ההסתברות לאדום והסתברות לצהוב בהוצאה בודדת.
ההסתברות לאדום היא:

ההסתברות לצהוב בהוצאה בודדת היא:

סעיף א: הראשון אדום השני צהוב
מכוון שההסתברות לאדום היא 0.6 וההסתברות לצהוב היא 0.4 אז ההסתברות לאדום ולאחר מיכן צהוב היא:
P = 0.6 * 0.4 = 0.24

סעיף ב: הראשון צהוב השני אדום
P = 0.4 * 0.6 = 0.24

סעיף ג: שני אדומים
P = 0.6 * 0.6 = 0.36

סעיף ד: שני צהובים
P = 0.4 * 0.4 = 0.16

פתרונות לחלק השני של השאלות
(הסתברויות שיכולות לקרות בשתי דרכים)

בקופסה 10 כדורים.
6 מתוכם אדומים ו 4 צהובים.
מוצאים שני כדורים מהקופסה (עם החזרה).
חשבו את ההסתברות ש:

  1. יצאו שני כדורים בצבעים שונים.
    (ניסוח אחר: יצאו אדום וצהוב ללא חשיבות לסדר).
  2. יצאו שני כדורים באותו צבע.

פתרונות

ניתן לחשב את ההסתברויות הללו ללא דיאגרמת עץ.
אבל דיאגרמת עץ עוזרת להבנה, לכן נשרטט דיאגרמת עץ  ומי שרוצה שישתמש בה.
בסוף כל ענף רשומה ההסתברות של הענף.

על מנת לחשב הסתברויות שיכולות להתרחש בשתי דרכים נחבר את ההסתברות של כל דרך בנפרד.

סעיף א: יצאו שני כדורים בצבעים שונים 

יש שתי דרכים לקבל כדורים בצבעים שונים.
1.הראשון אדום השני צהוב  (ענף 3, הסתברות 0.24)
+
2.הראשון צהוב השני אדום  (ענף 2, הסתברות 0.24)
P = 0.24 + 0.24 = 0.48

סעיף ב: יצאו שני כדורים באותו צבע

יש שתי דרכים לקבל כדורים באותו הצבע.
שני אדומים  (ענף 4, הסתברות 0.36)
+
שני צהובים  (ענף , הסתברות 0.16)
P = 0.36 + 0.16 = 0.52

פתרונות לחלק השלישי של השאלות
(הסתברויות היכולות לקרות ב 3 דרכים / ניסוחים מיוחדים)

בחלק זה נשאלו השאלות:

  1. מה ההסתברות שיצא לפחות אדום אחד?
  2. מה ההסתברות שיצא לפחות צהוב אחד?

 

מה ההסתברות שיצא לפחות אדום אחד?
(ניסוח אחר: לפחות אחד לא צהוב).

האפשרויות המתאימות ל "לפחות אדום אחד" הן:
אדום אדום (ענף 4, הסתברות 0.36)
אדום צהוב (ענף 3, הסתברות 0.24)
צהוב אדום (ענף 2, הסתברות 0.24)

סכום ההסתברויות הוא:
P = 0.36 + 0.24 + 0.24 = 0.84

דרך נוספת וקצרה יותר לחישוב היא:
נשים לב שהדבר היחידי שלא כלול בהסתברות של "לפחות אדום אחד" הוא המאורע "שני צהובים" (ענף 1, הסתברות 0.16).

לכן ניתן לחשב את ההסתברות של "שני אדומים" בעזרת הסתברות משלימה:
P = 1 – 0.16 = 0.84

הערה, אם היו שואלים:
"מה ההסתברות להוציא לפחות צהוב אחד?"
היינו יכולים לחשב בצורה דומה:

P = 0.16 + 0.24 + 0.24 = 0.64
(סכום הענפים 1,2,3)

P = 1 – 0.36 = 0.64
(חישוב של הסתברות משלימה, מחסרים את ענף 4 מהשלם).

2.הוצאה ללא החזרה

בתרגיל הקודם שבו הייתה הוצאה עם החזרה בהוצאה הראשונה ובהוצאה השנייה מספר הכדורים לא השתנה ולכן גם ההסתברויות לא השתנו בין ההוצאות.

כאשר לא מחזירים את הכדור לאחר ההוצאה בפעם הבאה שנוציא כדור ההסתברות תשתנה.

שימו לב שלאחר הוצאה ללא החזרה גם מספר הכדורים הכללי משתנה וגם מספר הכדורים מהסוג שהוצאנו משתנה.
אם יש 10 כדורים, 6 מתוכם אדומים אז לאחר הוצאת כדור אדום אחד ישארו בקופסה 9 כדורים מתוכם 5 אדומים.

ההסתברות לאדום בהוצאה הראשונה תהיה (5/10) ואילו בהוצאה השניה (4/9).

דוגמה 
בקופסה 4 כדורים צהובים ו 5 אדומים.
מוצאים כדור אחד ומשאירים אותו בחוץ. מוצאים כדור נוסף.

  1. מה ההסתברות שהכדור הראשון צהוב והשני אדום?
  2. מה ההסתברות שלשני הכדורים יש את אותו הצבע?
  3. מה ההסתברות שלשני הכדורים צבע שונה?

פתרון
כך נראית הבעיה בדיאגרמת עץ.

סעיף א הוא ענף מספר 3.
סעיף ב הוא חיבור ההסתברויות של הענפים 1,4. (אותו צבע).
סעיף ג הוא חיבור ההסתברויות של הענפים 2,3 (צבעים שונים) או ההסתברות המשלימה של סעיף א.

פתרון
סעיף א: צהוב ואז אדום
4/9 זו ההסתברות להוציא צהוב בהוצאה הראשונה.
5/8 זו ההסתברות להוציא אדום בפעם השנייה.
לכן ההסתברות להוציא צהוב ואז אדום היא:

סעיף ב: שניים באותו צבע
שניים באותו צבע יכולים להיות:
צהוב צהוב.
או
אדום אדום

נחשב את ההסתברות לשני צהובים
בהתחלה יש 4 כדורים צהובים מתוך 9 ולכן ההסתברות היא לכדור ראשון צהוב:
4/9
לאחר הוצאת כדור אחד נותרו 8 כדורים.
מתוכם 3 צהובים. לכן ההסתברות לצהוב שני היא:
3/8

ההסתברות לשני צהובים מתקבלת על ידי מכפלת ההסתברויות:

1/6 זו ההסתברות להוציא שני צהובים.

נחשב את ההסתברות לשני אדומים
בהוצאה הראשונה יש 5 אדומים מתוך 9 (הסתברות 5/9).
בהוצאה השנייה יש 4 אדומים מתוך 8 (ההסתברות 4/8)

ההסתברות להוציא שני אדומים מתקבלת על ידי מכפלת ההסתברויות:

5/18 זו ההסתברות להוציא שני אדומים.

ההסתברות להוציא שני אדומים או שני צהובים היא סכום ההסתברויות שחישבנו.

תשובה: 4/9 זו ההסתברות להוציא שני כדורים באותו הצבע.

סעיף ג: הוצאת שני כדורים שונה צבע
ההסתברות להוציא 1 צהוב ו 1 אדום זו ההסתברות המשלימה ל"להוציא שני כדורים עם אותו צבע". למה שחישבנו קודם לכן
לכן הסתברות זאת שווה ל:

תשובה: 5/9 זו ההסתברות להוציא שני כדורים שונה צבע.

3.ניסוחים מיוחדים לבעיות הוצאה

בדרך כלל בעיות הוצאה והחזרה יהיו כדורים היוצאים מקופסה.
אבל יש גם בעיות הוצאה והחזרה אחרות.
כל דבר שאנו בוחרים מתוך קבוצה זו בעיית הוצאה והחזרה.
למשל:

בחירת אנשים
אם אני בוחר אנשים מתוך חדר זו בעיית הוצאה והחזרה.
אם ניתן לבחור אדם פעמיים זו בעיה "עם החזרה".
אם לא ניתן לבחור אדם פעמיים זו בעיה "ללא החזרה".

בחירת מספר בלוטו
זו בעיית הוצאה והחזרה.
לרוב מהסוג "ללא החזרה" כי לרוב לא ניתן לבחור מספר פעמיים.

דוגמה 1
בכיתה יש 20 תלמידים. 4 מתוכם לובשים חולצה לבנה.
מוצאים שני תלמידים החוצה, מה ההסתברות שלשניהם חולצה לבנה.

פתרון
זו הוצאה ללא החזרה. כאשר מוצאים שני תלמידים אין אפשרות לבחור תלמיד אחד פעמיים וזו הוצאה ללא החזרה.
ההסתברות לתלמיד ראשון עם חולצה לבנה היא 4/20
ההסתברות לתלמיד שני עם חולצה לבנה היא 3/19

ההסתברות המבוקשת היא:

דוגמה 2
בלוטו האנגלי יש 18 מספרים מתוכם צריך לבחור 3.
כאשר אדם בוחר 3 מספרים. מה ההסתברות שיזכה בלוטו?

פתרון
גם זו הוצאה ללא החזרה. כי כאשר מוצאים כדור בלוטו לא מחזירים אותו לאחר מיכן וכאשר אדם מסמן מספר הוא לא יסמן את המספר שוב.
בבחירה הראשונה יש לאדם 3 אפשרויות מתוך 18 לכן ההסתברות לבחור נכון בפעם הראשונה היא 3/18.
בבחירה השנייה נותרו 17 מספרים, מתוכם 2 נכונים וההסתברות 2/17.
בבחירה השלישית נותרו 16 מספרים מתוכם 1 טוב וההסתברות 1/16.

ההסתברות שכל המאורעות יקרו יחד ביחד היא:

תשובה: ההסתברות לזכות בלוטו האנגלי היא 1/816.

4.הסתברות מותנית

דוגמה 3
בקופסה 10 כדורים.
6 מתוכם אדומים ו 4 צהובים.
מוצאים שני כדורים מהקופסה (עם החזרה).

  1. אם ידוע שהכדור השני אדום מה ההסתברות שהכדור הראשון שיצא אדום?
  2. אם ידוע שהכדור השני צהוב, מה ההסתברות שהראשון אדום?

פתרון
זו דיאגרמת העץ שמתאימה לשאלה.

שימו לב שבסוף הענפים חישבתי את ההסתברות של כל ענף.
למשל ההסתברות להוציא שני צהובים, ענף 1, היא 0.16.

סעיף א: הכדור השני אדום מה ההסתברות שהכדור הראשון שיצא אדום
כאשר נסתכל בשרטוט נראה שבענפים 2,4 הכדור השני אדום.
לכן "גודל העולם" הוא סכום ההסתברויות שלהם:
P = 0.24 + 0.36 = 0.6

ההסתברות המבוקשת היא "הראשון אדום" שמתוך שני הענפים רק ענף 4 מתאים לכך.
הסתברותו היא 0.36.
לכן התשובה היא:

כמובן שהחישוב שביצענו מתאים לנוסחת ההסתברות המותנית.

הסתברות מותנית

P (A∩B) = 0.36
זו ההסתברות לקבל אדום בראשון וגם בשני.

P(B) = 0.6
זו ההסתברות לקבל אדום בשני.

והחישוב כולו הוא:

סעיף ב: הכדור השני צהוב, מה ההסתברות שהראשון אדום
הכדור השני צהוב בענפים 1,3.
סכום ההסתברויות בענפים הללו:
P = 0.16 + 0.24
זה "גודל העולם שלנו".

מבין שני הענפים הכדור הראשון אדום בענף 3, שהסתברותו 0.24.
זו ההסתברות המבוקשת.
לכן החישוב יהיה:

והחישוב הזה מתאים לנוסחת ההסתברות המותנית:
P (A∩B) = 0.24
P(B) = 0.4

לסיכום:
כאשר יש לנו שאלה בהסתברות מותנית:

1.נחשב את גודל ההסתברויות שנותרו בעולם שלנו (גודל העולם).
2.נחשב את גודל ההסתברות המבוקשת.
3.נציב בנוסחה:

4.נשים לב שזה בדיוק כמו להציב בנוסחה:
הסתברות מותנית
וכנימוק לפתרון נגיד שהצבנו בנוסחה זו.

בעיות הוצאה והחזרה עם 3 צבעים

בדף בעיות הוצאה והחזרה הסבר למדנו את היסודות.

בדף זה נפתור תרגילים של בעיות הוצאה והחזרה עם 3 צבעים.
כרגע יש בדף 2 תרגילים, התרגיל השני משמעותית קשה יותר מהראשון.

הדף הבא הוא בעיות הוצאה והחזרה עם משתנה.

תרגיל 1 
בקופסה 2 כדורים צהובים, 3 כדורים אדומים ו 5 כדורים כחולים.
מוצאים שני כדורים מהקופסה (עם החזרה)

  1. מה ההסתברות ששני הכדורים אדומים?
  2. מה ההסתברות ששני הכדורים אינם אדומים?
  3. ידוע ששני הכדורים אינם אדומים. מה ההסתברות ששניהם כחולים? (הסתברות מותנית).

פתרון
סעיף א: הסתברות לשני אדומים
בקופסה יש 3 כדורים אדומים מתוך 10.
ההסתברות לאדום בהוצאה הראשונה היא 3/10  (0.3).
ההסתברות לאדום בהוצאה השנייה היא 3/10 (0.3).
לכן ההסתברות לאדום בשתי הפעמים היא:
0.09 = 0.3 * 0.3

סעיף ב: הסתברות ששניהם אינם אדומים
ההסתברויות שאינן כוללות אדומים הן:
שני צהובים:
0.04 = 0.2 * 0.2
שני כחולים:
0.25 = 0.5 * 0.5
צהוב ראשון, כחול שני:
0.1 = 0.5 * 0.2
כחול ראשון, צהוב שני:
0.1 = 0.2 * 0.5

סכום ההסתברויות הללו הוא:
0.49 = 0.1 + 0.1 + 0.25 + 0.04

ניתן לראות זאת גם בדיאגרמת העץ הבאה, הענפים שאנו צריכים לחשב את ההסתברות שלהם הם:
1,3,7,9.

סעיף ג: ידוע ששני הכדורים אינם אדומים. מה ההסתברות ששניהם כחולים?
בסעיף הקודם חישבנו:
0.49 זו ההסתברות של שניים שאינם אדומים.
0.25 זו ההסתברות לשני כחולים.

לכן ההסתברות המבוקשת היא 0.25 מתוך 0.49.

הערה
החישוב שעשינו מתאים לנוסחת ההסתברות המותנית:

 

תרגיל 2 (קשה יותר)
בקופסה יש כדורים ב 3 צבעים.
4 כדורים אדומים. 6 כדורים ירוקים. וכדור כחול אחד.
ב 20% מהכדורים הכחולים או האדומים יש הפתעה.
ב 90% מהכדורים הירוקים יש הפתעה.

  1. בוחרים כדור באופן מקרי. מה ההסתברות שיש בו הפתעה?
  2. שאלה בהסתברות מותנית: ידוע שבחרו כדור שאין בו הפתעה. מה ההסתברות שזה כדור אדום?

פתרון
נבנה דיאגרמת עץ המציגה את נתוני השאלה.
דיאגרמת עץ

הענפים המובילים אל המצב הרצוי של "יש הפתעה" הם: 2,4,5.
עלינו לחשב את ההסתברות של כל אחד מהענפים הללו על ידי כפל הסתברויות לאורכו.
ההסתברות של ענף 2:
0.072 = 0.2 * (4/11)
ההסתברות של ענף 4:
0.0181 = 0.2 * (1/11)
ההסתברות של ענף 5:
0.49 = 0.9 * (6/11)

סכום ההסתברויות הוא:
0.5801 = 0.072 + 0.0181 + 0.49
תשובה: כאשר בוחרים כדור באופן מקרי ההסתברות שיש בו הפתעה היא 0.5801.

סעיף ב
בבחירה מקרית של כדור ההסתברות לבחור כדור שאין בו הפתעה היא ההסתברות המשלימה ל 1 את ההסתברות שמצאנו בסעיף א.
0.4199 = 0.5801 – 1

ההסתברות של "כדור אדום שאין בו הפתעה" היא ההסתברות של ענף 1.
0.29 = 0.8 * (4/11)

התשובה שלנו מתקבלת על ידי חלוקת ההסתברות הרצויה בהסתברות המייצגת את סכום ההסתברויות של הסעיף.
0.69 = 0.4199 : 0.29
תשובה: אם ידוע שנבחר כדור שידוע שאין בו הפתעה אז ההסתברות שכדור זה אדום היא 0.69.

התאמה בין שבר לשרטוט

בדף זה נלמד לענות על שני סוגי שאלות:

  1. נותנים לכם שרטוט ואתם צריכים לכתוב שבר מתאים.
  2. נותנים לכם שבר ואתם צריכים לשרטט צורה מתאימה.

לאחר מיכן נפתור תרגילים משני הסוגים.

1.נותנים לכם שרטוט ואתם צריכים למצוא שבר

לפעמים יתנו לכם שרטוט הנראה כך:

שרטוט תרגיל שברים

ויבקשו ממכם לכתוב שבר המתאים לשרטוט הזה.

עושים זאת בצורה הזו:
מכנה השבר הוא מספר החלקים שיש במלבן.
המלבן מחולק ל 5 ולכן 5 הוא המספר במכנה השבר.

מונה השבר הוא מספר החלקים הצבועים.
בצורה זו יש 2 חלקים צבועים, לכן 2 הוא מונה השבר.

בשבר שלנו המונה 2 והמכנה 5.
שתי חמישיות

דוגמה נוספת

הצורה מחולקת ל 4 חלקים. לכן מכנה השבר הוא 4.
יש חלק 1 צבוע. לכן מונה השבר הוא 1.

השבר המתאים לצורה הזו הוא:

2.נותנים לכם שבר ואתם צריכים לשרטט צורה

בשאלות אחרות יתנו לכם שבר כמו:
0.75

ויבקשו ממכם לשרטט משהו המתאים לשבר בתוך צורה.

שרטוט התרגיל

פתרון
מספר החלקים של הצורה שווה למכנה השבר, לכן נחלק את המלבן ל 4 חלקים.

שרטוט הפתרון

מספר החלקים הצבעים שווה למונה השבר, לכן נצבע 3 חלקים במלבן.

שרטוט הפתרון

תרגילים

בחלק זה שני תרגילים, לשני התרגילים פתרון כתוב ופתרון וידאו.
בהתחלה מופיעים התרגילים.
לאחר מיכן  פתרונות וידאו.
לאחר מיכן פתרונות כתובים.

תרגיל 1
כתבו כשבר מה גודל החלק הצבוע בשרטוטים הבאים.

זהו את גודל השבר בשרטוט

תרגיל 2
מצורפות צורות, שרטטו בצורות הללו את השבר שרשום מעליו וכתבו את שם השבר במילים.
אין צורך בשרטוט מדויק של הגדלים.

שרטוטו שברים בתוך הצורות

פתרונות וידאו

פתרון 1

פתרון 2

 

פתרונות כתובים

תרגיל 1
כתבו כשבר מה גודל החלק הצבוע בשרטוטים הבאים.

זהו את גודל השבר בשרטוט

פתרון

פתרון התרגיל

תרגיל 2
מצורפות צורות, שרטטו בצורות הללו את השבר שרשום מעליו וכתבו את שם השבר במילים.
אין צורך בשרטוט מדויק של הגדלים.

שרטוטו שברים בתוך הצורות

פתרון

פתרון התרגיל

עוד באתר:

הוכחת מקבילית יסודות

יש 5 משפטים שבעזרתם ניתן להוכיח מקבילית:
(הסרטון שלמעלה יעזור לכם לזכור אותם)

  1. מרובע שיש לו שני זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית.
  2. מרובע שיש לו שני זוגות של צלעות נגדיות שוות הוא מקבילית.
  3. מרובע שיש לו זוג אחד של צלעות שווה ומקביל הוא מקבילית.
  4. מרובע שבו יש שני זוגות של זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית.
  5. מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית.

חמשת המשפטים שבעזרתם מוכיחים שמרובע הוא מקבילית

בדף זה נפתור תרגילים בהם אתם תצטרכו לזהות האם ניתן או לא ניתן להוכיח שהמרובע הוא מקבילית.
בדף הוכחת מקבילית תמצאו תרגילים עם הוכחות מורכבות יותר.

תרגילים

בכול התרגילים יש נתונים ועליכם לבחור אחת משולשת האפשרויות הבאות.

  1. המרובע הוא מקבילית (נמקו על איזה משפט).
  2. לא ניתן לקבוע אם המרובע הוא מקבילית או לא.
  3. המרובע הוא לא מקבילית.

תרגיל 1
בשרטוטים הבאים נתונים גדלים של זוויות.
קבעו אם המרובעים הבאים הם מקבילית.

פתרון וידאו
(לאחר פתרון הוידאו פתרון כתוב)

שרטוט 1
אלו זוויות חד צדדיות המשלימות ל 180 מעלות.
לכן AD || BC.
אבל זה לא מספיק על מנת להוכיח שהמרובע הוא מקבילית.
 לא ניתן לקבוע עם המרובע מקבילית.

שרטוט 2
על מנת להוכיח שמרובע הוא מקבילית משתמשים במשפט:
"מרובע שבו יש שני זוגות של זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית".

בשרטוט יש זוג אחד של זוויות שוות (80,80).
לגבי הזוג השני אנו לא יודעים.
ניתן להשלים את הזוויות הרביעית במרובע על ידי: סכום זוויות במרובע הוא 360 מעלות.
90 = 110 – 80 – 80 – 360
לכן זוג הזוויות השני אינו שווה.
המרובע הוא לא מקבילית.

שרטוט 3
בדומה לשרטוט 2 נשלים את הזווית הרביעית על מנת לקבוע.
110 = 110 – 70 – 70 – 360
המרובע הוא מקבילית על פי המשפט "מרובע שבו יש שני זוגות של זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית".

שרטוט 4
בעזרת זוויות צמודות ניתן לקבוע כי:
BAD = 110
נשלים את הזווית הרביעית במרובע ונקבל:
110 = 110 – 70 – 70 – 360
המרובע הוא מקבילית על פי המשפט "מרובע שבו יש שני זוגות של זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית".

שרטוט 5
במקבילית "זוויות נגדיות שוות זו לזו".
במרובע זה יש זוויות נגדיות שאינן שוות.
לכן מרובע זה הוא לא מקבילית.

תרגיל 2
בשרטוטים הבאים נתונים גדלים של זוויות וצלעות.
קבעו אם המרובעים הבאים הם מקבילית.

פתרון וידאו
(לאחר פתרון הוידאו פתרון כתוב)

שרטוט 1
שתי הזוויות שגודלן 70 מעלות הן זוויות מתאימות.
על פי המשפט "אם בין שני ישרים הזוויות המתאימות שוות אז הישרים מקבילים" ניתן לקבוע כי:
AD || BC

בנוסף AD = BC
לכן המרובע הוא מקבילית על פי המשפט "אם במרובע יש זוג צלעות מקביל ושווה אז המרובע הוא מקבילית".

שרטוט 2
בשרטוט זה יש זוויות נגדיות לא שוות.
לכן המרובע הוא לא מקבילית.
ולא משנה שיש צלעות נגדיות שוות.

שרטוט 3
המרובע הוא מקבילית על פי המשפט "אם במרובע שני זוגות של צלעות שוות אז המרובע הוא מקבילית".

שרטוט 4
AB = CD = 8 נתון.
זווית D,A הן זוויות חד צדדיות המשלימות ל 180 מעלות ולכן:
AB || CD
לכן על פי המשפט "אם במרובע יש זוג צלעות מקביל ושווה אז המרובע הוא מקבילית".
המרובע הוא מקבילית.

תרגיל 3
בשרטוטים הבאים נתונים גדלים של חצאי אלכסונים, צלעות וזוויות.
קבעו אם המרובעים הבאים הם מקבילית.

שרטוט 1
בשרטוט זה יש לנו
צלעות נגדיות שוות (AB = CD).
אלכסון המחולק לשני חלקים שווים (BO = DO).
אלו נתונים שלא מספיקים להוכיח מקבילית.
אבל גם לא שוללים את האפשרות שהמרובע הוא מקבילית.
לכן לא ניתן לקבוע אם המרובע הוא מקבילית או לא.

שרטוט 2
ידוע כי
BO = DO = 8 (כלומר שני חלקי האלכסון שווים).
כמו כן שתי הזוויות שגודלן 40 מעלות אלו הן זוויות מתחלפות.

לכן על פי המשפט "אם בין שני ישרים יש זוויות מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים" ניתן לקבוע כי :
AB || CD

אבל שתי התכונות הללו (אלכסון המתחלק לשני חלקים שווים + צלעות מקבילות) לא מספיקות על מנת להוכיח שהישרים מקבילים.
לכן לא ניתן לקבוע אם המרובע הוא מקבילית.

שרטוט 3
במקבילית נקודת מפגש האלכסונית מחלקת כל אלכסון לשני חלקים שווים.
לעומת זאת במרובע זה:
AO = 7,  CO = 8
לכן מרובע זה הוא לא מקבילית.

שרטוט 4
AO = CO = 6.
BO = DO = 10
כלומר נקודת מפגש האלכסונים מחלקת שני האלכסונים לשני חצאים שווים.
לכן על פי המשפט "אם במרובע נקודת מפגש האלכסונים מחלקת את האלכסונים לשני חלקים שווים אז המרובע הוא מקבילית".
ניתן לקבוע כי:
המרובע הוא מקבילית.

עוד באתר:

אסימפטוטה אופקית עם פרמטרים

לדף זה 3 חלקים:

  1. חזרה על אסימפטוטה אופקית ללא פרמטרים.
  2. דוגמאות לאסימפטוטה אופקית עם פרמטרים.
  3. תרגילים.

1.חזרה על אסימפטוטה אופקית ללא פרמטרים

על מנת להצליח בדף זה עליכם לדעת למצוא אסימפטוטה אופקית ללא פרמטרים.

כלומר עליכם לדעת לזהות את האסימפטוטה האופקית בפונקציות הבאות.

דוגמה 1
הפונקציה הזו שואפת ל 4 כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף.
לכן y = 4 זו אסימפטוטה אופקית שלה.

דוגמה 2
כאשר x שואף לאינסוף הפונקציה שואפת לאינסוף
כאשר x שואף למינוס אינסוף הפונקציה שואפת למינוס אינסוף.

לכן לפונקציה זו אין אסימפטוטה אופקית.

דוגמה 3
כאשר x שואף לאינסוף הפונקציה שואפת ל 0 "מלמטה".
כאשר x שואף למינוס אינסוף הפונקציה שואפת ל 0 מלמעלה.

לכן y = 0 זו אסימפטוטה אופקית.

דוגמה 4
הפונקציה הזו שואפת ל 1/3 כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף.
לכן y = 1/3 זו אסימפטוטה אופקית שלה.

הערה
בכול החישובים שעשינו הנחנו כי x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף.

2.דוגמאות עם פרמטרים

דוגמה 1
האם גודל האסימפטוטה האופקית של הפונקציה הזו תלויה ב a?
אם כן כתבו מה היא האסימפטוטה האופקית עבור a = 8.

פתרון
בפונקציה זו החזקה במונה גדולה מהחזקה במכנה ולכן לפונקציה זו אין אסימפטוטה אופקית וזה נכון עבור כל ערך של a.

דוגמה 2
הישר y = -2  הוא אסימפטוטה של הפונקציה

מצאו את הערך של a.

פתרון
כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף  ערך הפונקציה מחושב בדרך הבאה:

אנו יודעים שערך הפונקציה שואף ל 2- ולכן נוכל לבנות את המשוואה הבאה:

נכפיל ב 5- ונקבל

a = 10

דוגמה 3
עבור אלו ערכים של a הישר y = 0 הוא האסימפטוטה האופקית של הפונקציה

פתרון
הישר y =0  הוא אסימפטוטה אופקית כאשר החזקה במכנה גדולה מהחזקה במונה.
לכן כאשר a > 6  הישר y = 0 הוא אסימפטוטה של הפונקציה.

דוגמה 4
מצאו את הערך של a אם הישר y = 1 הוא האסימפטוטה האופקית של הפונקציה.

פתרון
כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף ניתן לפשט את הפונקציה בצורה הזו:

כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף ערך הפונקציה שואף ל 1.
לכן המשוואה היא:

a + 1 = 3√
a = 2√
a = 4

3.תרגילים

תרגיל 1
הישר y = 4 הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה הבאה.
מצאו את a

פתרון
כאשר x שואף לאינסוף / מינוס אינסוף ערך הפונקציה שואף ל 4.
כמו כן ערך הפונקציה באינסוף / מינוס אינסוף שווה ל:

המשוואה שהגענו אליה בסוף השואה היא:
a / 3 = 4
a = 12
וזו התשובה.

תרגיל 2
עבור הפונקציה

  1. עבור אלו ערכי a הישר y= 0  הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.
  2. עבור אלו ערכי a אין לפונקציה אסימפטוטה אופקית.
  3. עבור אלו ערכי a הישר y = -1 הוא אסימפטוטה אופקית.
  4. האם הישר y = 2 יכול להיות אסימפטוטה אופקית?

פתרון

סעיף 1: הישר y= 0 הוא האסימפטוטה

  1. על מנת ש y= 0 יהיה אסימפטוטה הפונקציה צריכה לשאוף ל 0 כאשר x שואף לאינסוף / מינוס אינסוף.
  2. הפונקציה תשאף ל 0 אם החזקה הגדולה ביותר תהיה במכנה.
  3. לכן a < 5

סעיף 2: אין אסימפטוטה אופקית

  1. לפונקציה אין אסימפטוטה אופקית כאשר אם x שואף לאינסוף / מינוס אינסוף הפונקציה כולה לא שואפת למספר.
  2. זה קורה כאשר החזקה הגדולה ביותר של x נמצאת במונה.
  3. לכן a > 5.

סעיף 3: הישר y = -1 אסימפטוטה אופקית

  1. על מנת שהפונקציה תשאף למספר החזקה הגדולה ביותר במונה ובמכנה צריכה להיות שווה.
  2. לכן a = 5 יתן לנו אסימפטוטה אופקית מהצורה y = k.

עלינו לבדוק האם אסימפטוטה אופקית זו היא y = -1.
אם a = 5 ערך הפונקציה כאשר x שואף לאינסוף / מינוס אינסוף הוא:

מצאנו שכאשר a= 5 הישר y = -1 הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה.

סעיף ד: y = 2 אסימפטוטה?
כפי שראינו בסעיף הקודם המספר היחידי שיכול להתקבל כאשר a = 5 הוא 1-.
וגם כאשר a ≠ 5 לא מתקבלת אסימפטוטה של y = 2.
לכן אין שום ערך של a לא יוצר לפונקציה אסימפטוטה ב y = 2.

עוד באתר:

מספרים מכוונים (שליליים): איזה מספר יותר גדול?

בדף זה נתחיל ללמוד את הנושא של מספרים מכוונים – שזה שם אחר למספרים שליליים.
זה כמובן נושא חשוב מאוד, נושא הכרחי, כי חצי מהמספרים שתפגשו בעתיד יהיו מספרים שליליים.
לא ניתן להיות טוב בלימודי המתמטיקה מבלי לדעת היטב את נושא זה.

השלב הראשון בלימוד מספרים שליליים הוא לדעת לזהות מבין שני מספרים איזה מספר יותר גדול.
הדף מחולק ל 3 חלקים:

  1. כיצד מזהים מספר גדול יותר?
  2. 3 כללים שיעזרו לכם לזהות את המספר הגדול יותר.
  3. תרגילים.

כיצד מזהים איזה מספר גדול יותר?

הכלל אומר:
ככול שמתקדמים ימינה על ציר המספרים המספר גדול יותר.
מספר הנמצא מימין למספר אחר גדול מהמספר האחר.

דוגמה 1
4 > 2-

המספר 4 נמצא מימין למספר 2- ולכן גדול ממנו.

המספר 4 נמצא מימין למספר 2- ולכן גדול ממנו.

דוגמה 2
1- > 5-

המספר 1- נמצא מימין למספר 5- ולכן גדול ממנו

המספר 1- נמצא מימין למספר 5- ולכן גדול ממנו

3 כללים שיעזרו לכם לזהות את המספר הגדול יותר

הכלל הבסיסי הוא:
מספר הנמצא מימין למספר אחר גדול מהמספר האחר.

אבל יש מספר כללים נוספים שיעזרו לכם לא להתבלבל.

1.הגורם מספר 1 לבלבול הוא …

כאשר שואלים אותנו מי יותר גדול 8 או 3 אנו יודעים להגיד שזה 8.

כאשר שואלים אותנו מי יותר גדול 8- או 3- אנו עלולים לענות ש 8- גדול יותר בגלל שאנו רגילים לכך מהמספרים החיוביים.
אבל התשובה הנכונה היא ש 3- גדול יותר מ 8-.

עלינו להתרגל לכך שבמספרים שליליים זה "הפוך":
כאשר אנו נספור את המספרים השליליים כפי שאנו סופרים את המספרים החיוביים הם קטנים.
5-, 4-, 3-, 2-, 1-.
5- הוא המספר הקטן ביותר ברשימה זו.
1- הוא המספר הגדול ביותר ברשימה זו.

כאשר סופרים בכיוון הזה המספרים הופכים לקטנים יותר

כאשר סופרים בכיוון הזה המספרים הופכים לקטנים יותר

2.מספר חיובי תמיד יהיה יותר גדול מכל מספר שלילי

כאשר מבקשים ממכם להחליט איזה מספר יותר גדול ואחד המספרים הוא חיובי והשני הוא שלילי תמיד המספר החיובי גדול יותר.

1 גדול מ 3-.
7 גדול מ 2-.

במקרים אלו אין צורך לחשוב הרבה. המספר החיובי תמיד גדול יותר.

כמו כן 0 גדול יותר מכל מספר שלילי.
0 גדול מ 1-.
0 גדול יותר מ 20-.

3.השתמשו בדימויים מהעולם האמיתי

שיטה נפוצה להבין את המספרים השליליים היא לחשבו על דברים בעולם האמיתי.
כאשר שלושת הדברים הנפוצים ביותר שחושבים עליהם הם:

  1. הקומה בה נמצאת מעלית.
  2. כסף שיש לי / כסף בבנק.
  3. טמפרטורה.

כאשר שואלים אותנו "איזה מספר יותר גדול: 2- או 8-"?
אנחנו יכולים לחשוב על השאלות:

קומה של מעלית
אני בקומה 2- או אני בקומה 8-. באיזו קומה אני גבוה יותר?
בקומה 2-, לכן 2- גדול מ 8-.

כסף
יש לי 2- שקלים או יש לי 8- שקלים. מתי יש לי יותר?
כאשר יש לי 2-, לכן 2- הוא גדול יותר.

טמפרטורה
בחוץ יש 2- מעלות או 8- מעלות. מתי חם לי יותר?
כאשר הטמפרטורה היא 2-. לכן 2- גדול יותר מ 8-.

תרגילים

בחלק זה 4 תרגילים.
בהתחלה התרגילים מופיעים ברצף.
לאחר מיכן התרגילים יחד עם פתרונות מלאים.

תרגיל 1
לפניכם זוגות של מספרים, קבעו בעזרת ציר המספרים איזה מספר יותר גדול.
4-, 2
2-, 1-
3, 1
8, 9-

תרגיל 2
כתבו 2 מספרים הקטנים מ 3-.

תרגיל 3
כתבו 2 מספרים הנמצאים בין 5- ל 7-.

תרגיל 4
כתבו שני מספרים הנמצאים בין 3.5- ל 3.8-.

פתרונות

תרגיל 1
לפניכם זוגות של מספרים, קבעו בעזרת ציר המספרים איזה מספר יותר גדול.
4-, 2
2-, 1-
3, 1
8, 9-

פתרונות
ככול שמספר נמצא מימין על ציר המספרים כך הוא גדול יותר.
כמו כן נשתמש בשיטת "המעלית".

4-, 2
2 נמצא מימין ל 4-
לכן
2 > 4-

סיבה נוספת: כל מספר חיובי גדול מכל מספר שלילי.

הסבר בשיטת המעלית:
קומה 2 גבוהה מקומה 4- ולכן:
2 > 4-

2-, 1-
1- נמצא מימין ל 2- לכן
1- > 2-

הסבר בשיטת המעלית:
קומה 1- גבוהה מקומה 2- ולכן:
1- > 2-

3, 1
3 נמצא מימין ל 1 לכן
3  > 1

הסבר בשיטת המעלית:
קומה 3 גבוהה מקומה 3 ולכן:
3 > 1

8, 9-
8 נמצא מימין ל 9- לכן
8 > 9-

הסבר בשיטת המעלית:
קומה 8 גבוהה מקומה 9- ולכן:
8 > 9-

תרגיל 2
כתבו 2 מספרים הקטנים מ 3-.

פתרון
מספרים הקטנים מ 3- נמצאים משמאל ל 3- על ציר המספרים.
למשל:
4-, 5- , 100-

תרגיל 3
כתבו 2 מספרים הנמצאים בין 5- ל 7-.

פתרון
דוגמאות יכולות להיות:
5,5-,  6-,  6.1-, 7-

ניתן לראות שהדוגמאות הללו נכונות על ידי התבוננות בציר המספרים.

תרגיל 4
כתבו שני מספרים הנמצאים בין 3.5- ל 3.8-.

פתרון
מספרים יכולים להיות.
3.6-, 3.7-
וגם:
3.51-, 3.52-, 3.61-
ועוד.

עוד באתר:

בניית ביטויים אלגבריים קשים יותר

בדף הקודם למדנו לבנות ביטויים אלגבריים בסיסיים.
בדף זה נלמד לבנות ביטויים קשים יותר.

בדף ביטוי אלגברי נלמד נושאים נוספים.

תרגילים

כאן מופיעה הרשימה של 8 התרגילים.
לאחר מיכן מופיעים התרגילים + הפתרונות המלאים.

תרגיל 1
(לתרגיל זה יש פתרון וידאו)
מספר ראשון הוא x.
מספר שני גדול ממנו ב 8.
כתבו ביטוי אלגברי לסכום המספרים.
כתבו ביטוי אלגברי למכפלת המספרים.

תרגיל 2
(לתרגיל זה יש פתרון וידאו)
מספר אחד הוא a.
מספר שני גדול ממספר זה פי 3.
כתבו ביטוי אלגברי של הפרש המספר השני מהראשון.
כתבו ביטוי אלגברי של מנת המספרים.
כתבו ביטוי אלגברי למספר שהוא עשירית מסכום המספר הראשון והשני.

תרגיל 3
(לתרגיל זה יש פתרון וידאו)
אורך צלע במלבן הוא x ואורך הצלע השנייה הוא ארבע עשיריות (4/10) מהצלע הראשונה.

  1. כתבו ביטוי אלגברי המבטא את שטח המלבן.
  2. כתבו ביטוי אלגברי המבטא את את היקף המלבן.
  3. אם אורך הצלע הראשונה הוא 5 ס"מ חשבו את שטח המלבן (מצאו מספר).

תרגיל 4
מחיר מחברת הוא x ומחיר עיפרון הוא y.
כמה עולות 10 מחברות ו 3 עפרונות?

תרגיל 5
מחיר מחברת הוא 7 שקלים.
1.כמה עולות 4 מחברות?
2.מחיר המחברת עלה ב x שקלים. מה המחיר החדש של מחברת?
3.מה המחיר החדש של 4 מחברות?

תרגיל 6
אני בן 20 ולפני x שנים גילו של אבי היה פי 3 מגילי.
1.מה היה הגיל שלי לפני x שנים?
2.מה היה גילו של אבי לפני x שנים?
3.מה גילו של אבי היום?

תרגיל 7
(לתרגיל זה יש פתרון וידאו)
בהזמנה שנעשתה בבית קפה הוזמנו קפה, עוגה, וסנדוויץ.
הקפה עולה מחצית ממחיר הסנדוויץ ואלו מחיר העוגה הוא 10 שקלים גדול יותר ממחיר הקפה והסנדוויץ ביחד.
בסוף הארוחה שולם טיפ של 15 שקלים.
מה המחיר הכולל של הארוחה?

תרגיל 8
x שקלים הוא מחיר כרטיס קולנוע.
20 שקלים זה מחיר פופקורן.
מה המחיר של 3 כרטיסי קולנוע ו 4 פופקורן?

פתרונות

תרגיל 1
(לתרגיל זה יש פתרון וידאו)
מספר ראשון הוא x.
מספר שני גדול ממנו ב 8.
כתבו ביטוי אלגברי לסכום המספרים.
כתבו ביטוי אלגברי למכפלת המספרים.

פתרון
x  מספר ראשון
x+8 הוא המספר השני.

x+x+8  – ביטוי אלגברי של סכום המספרים.
(x(x+8  – ביטוי אלגברי של מכפלת הספרים.

תרגיל 2
(לתרגיל זה יש פתרון וידאו)
מספר אחד הוא a.
מספר שני גדול ממספר זה פי 3.
כתבו ביטוי אלגברי של הפרש המספר השני מהראשון.
כתבו ביטוי אלגברי של מנת המספרים.
כתבו ביטוי אלגברי למספר שהוא עשירית מסכום המספר הראשון והשני.

פתרון
a המספר הראשון
3a הוא המספר השני
a – 3a   המספר הראשון פחות השני.

a לחלק ל 3a
(מנת המספרים).

4a לחלק ל 10
(עשירית מסכום שני המספרים).

תרגיל 3
(לתרגיל זה יש פתרון וידאו)
אורך צלע במלבן הוא x ואורך הצלע השנייה הוא ארבע עשיריות (4/10) מהצלע הראשונה.

  1. כתבו ביטוי אלגברי המבטא את שטח המלבן.
  2. כתבו ביטוי אלגברי המבטא את את היקף המלבן.
  3. אם אורך הצלע הראשונה הוא 5 ס"מ חשבו את שטח המלבן (מצאו מספר).

פתרון

סעיף א
x הצלע הראשונה.
0.4x  הצלע השנייה.
שטח מלבן הוא מכפלת צלעות:
s = 0.4x * x = 0.4x²

סעיף ב
היקף מלבן הוא פעמיים צלע אחת ועוד פעמיים צלע שנייה:
p = 2*x + 2*0.4x = 2x + 0.8x = 2.8x

סעיף ג
אורך הצלע הראשונה הוא 5.
בסעיף א מצאנו כי שטח המלבן הוא:
s =  0.4x²
נציב 5 בנוסחת השטח ונקבל
10 = 25 * 0.4 = 5² * 0.4
תשובה: שטח המלבן הוא 10
(הצלעות הן 5 ו 2)

תרגיל 4
מחיר מחברת הוא x ומחיר עיפרון הוא y.
כמה עולות 10 מחברות ו 3 עפרונות?

פתרון
10x  זה המחיר של 10 מחברות.
3y  המחיר של 3 עפרונות.

הסכום של שניהם ביחד הוא:
10x + 3y

תרגיל 5
מחיר מחברת הוא 7 שקלים.
1.כמה עולות 4 מחברות?
2.מחיר המחברת עלה ב x שקלים. מה המחיר החדש של מחברת?
3.מה המחיר החדש של 4 מחברות?

פתרון
7 המחיר ההתחלתי של מחברת.
לכן:
28 = 4* 7  מחיר 4 מחברות.

סעיף ב
מחיר המחברת עלה ב x שקלים.
לכן המחיר החדש הוא:
7 + x    מחיר חדש של מחברת.

סעיף ג
עלינו להכפיל את המחיר החדש של המחברת פי 4.
x + 7) *4)   מחיר של 4 מחברות.

תרגיל 6
אני בן 20 ולפני x שנים גילו של אבי היה פי 3 מגילי.
1.מה היה הגיל שלי לפני x שנים?
2.מה היה גילו של אבי לפני x שנים?
3.מה גילו של אבי היום?

פתרון
סעיף א
היום גילי 20, לכן לפני x שנים הגיל שלי היה

סעיף ב
הגיל של אבי הוא פי 3 ממני.
לכן לפני x שנים גילו של אבי היה:

סעיף ג
הגיל של אבי היום גדול ב x מגילו לפני x שנים.
לכן הגיל היום:

אם נפתח סוגריים נקבל:

תרגיל 7
(לתרגיל זה יש פתרון וידאו)
בהזמנה שנעשתה בבית קפה הוזמנו קפה, עוגה, וסנדוויץ.
הקפה עולה מחצית ממחיר הסנדוויץ ואלו מחיר העוגה הוא 10 שקלים גדול יותר ממחיר הקפה והסנדוויץ ביחד.
בסוף הארוחה שולם טיפ של 15 שקלים.
מה המחיר הכולל של הארוחה?

פתרון
x מחיר הקפה.
2x מחיר הסנדוויץ.
x+2x+10  מחיר העוגה.
15 טיפ

הסכום הכולל של 4 הדברים הללו הוא מחיר הארוחה:
x+ 2x+ x+2x+ 10+ 15
6x + 25
זה המחיר הכולל של הארוחה.

תרגיל 8
x שקלים הוא מחיר כרטיס קולנוע.
20 שקלים זה מחיר פופקורן.
מה המחיר של 3 כרטיסי קולנוע ו 4 פופקורן?

פתרון
3x הוא המחיר של 3 כרטיסי קולנוע.
80 = 4 * 20  המחיר של 4 פופקורן.
3x + 80  המחיר של שני הדברים ביחד.

עוד באתר:

משוואה עם נעלם אחד ומכנה

בדף זה נעבור על מכשולים שאתם יכולים לפגוש במשוואות עם נעלם אחד ומכנה.
התוכן של דף זה נלמד לרוב בכיתה ח.

הדף מלמד כיצד להפוך משוואות עם מכנה למשוואות ללא מכנה. אין כאן פתרונות מלאים של תרגילים.

לדף שני חלקים:

  1. משוואות עם מספר במכנה.
  2. משוואות עם משתנה במכנה.

דפים הכוללים תרגילים ופתרונות מלאים בשני הנושאים הללו הם:

  1. משוואה עם מספר במכנה.
  2. משוואה עם נעלם במכנה (ללא מכנה משותף).
  3. כיצד יוצרים מכנה משותף למשוואה עם נעלם במכנה.
  4. משוואה עם נעלם במכנה (כולל מכנה משותף).
  5. בעיות מילוליות עם נעלם במכנה.

1.משוואה עם מספר במכנה

1.שימו לב למינוס לפני שבר

נכפיל את המשוואה במכנה המשותף שהוא 12.

בגלל שיש מינוס לפני השבר השני נקבל 3- כפול 3x שהם 9x-.

8x – 9x = 12

2.כאשר יש שני איברים במונה עם קשר של חיבור / חיסור בניהם

נכפיל במכנה המשותף שהוא 10.

את המספר שרשמנו למעלה צריך להכפיל בכול איברי המונה בצורה הזו:

3.כאשר יש לנו סוגריים במונה

נכפיל במכנה המשותף שהוא 12.
כמו כן נשים לב שאנו לא שוכחים להכפיל את 1-.
(כי לפעמים שוכחים להכפיל את מה שאינו שבר).

בנוגע לשבר השמאלי שבו יש סוגריים ומספר לפניהם.
בגלל שיש כפל בין האיברים הם נחשבים איבר אחד. לכן נכפיל את ה 2 שיש מעליהם רק ב 3 ונקבל:

4.כאשר יש לנו מינוס במכנה

ניתן להכפיל במכנה משותף חיובי (10) או מכנה משותף שלילי (10-).
אני מעדיף להכפיל במכנה משותף חיובי.
ואז התרגיל נפתר כך:

5.קריאה נכונה של שבר כפול סוגריים

לפעמים תלמידים לא יודעים לקרוא ביטוי הנראה כך:

אז הביטוי הזה שווה ל:

2.משוואות עם נעלם במכנה

במשוואות עם נעלם במכנה אנו צריכים למצוא תחום הצבה.

ובנוסף עלינו להכפיל במכנה המשותף.
דוגמאות למציאת מכנה משותף ניתן למצוא כאן.

1.מכנה משותף שהוא אחד ממכני התרגיל 

בתרגיל זה ניתן להכפיל את 3x פי 3 ולהגיע ל 9x.
לכן 9x הוא המכנה המשותף.

לאחר הכפל נקבל:

45x = 2
x = 0.044

דוגמה 2
גם בתרגיל הבא המכנה המשותף שהוא אחד מכני התרגיל היא:

במקרה זה המכנה המשותף הוא 10x.
לאחר כפל ב 10x נקבל:
60x – 8*5 = 3
60x – 40 = 3
60x = 43
x = 0.716

2.קשר של חזקה בין המכנים בתרגיל

במקרה זה המענה המשותף הוא x – 2)²).
כי המכנה x – 2 כפול x – 2 הוא x – 2)²).

x – 2) * 3 = 9)
3x – 6 = 9  / +6
3x = 15  / :3
x = 5

3.מכנה משותף למספר ומשתנה

המכנה המשותף הוא 10x.
כי:
המכנה 5 כפול 2x הוא 10x.
המכנה 2x  כפול 5 הוא 10x.

2x + 15 = 0  / -15
2x = -15 / : 2
x = -7.5

4. שני מכנים מספריים ומכנה שלישי עם משתנה

בתרגילים כאלו נמצא את המכנה המשותף של המספרים.
במקרה זה המכנה המשותף של 4 ו 3 הוא 12.

לאחר מיכן נמצא את המכנה המשותף בין המספר שמצאנו (12) למכנה הנוסף (x + 1).
המכנה המשותף של 12   ו   x + 1 הוא x + 1) *12) וזה המכנה המשותף של התרגיל כולו.

x * 4(x + 1)  – 3(x + 1) + 2 * 12 = 0
4x + 4 – 3x – 3 + 24 = 0
x + 25 = 0
x = -25

דוגמה נוספת:

המכנה המשותף הוא:
2x – 1) *30)

5.שימוש בהוצאת גורם משותף למציאת מכנה משותף

ככל שתתקדמו הנושא של פירוק לגורמים יהיה משמעותי יותר במציאת מכנה משותף.
בכיתה ח מה שעליכם לדעת הוא שימוש בהוצאת גורם משותף.

נוציא 2 גורם משותף במכנה מימין.
ואז נראה כי המכנה המשותף של התרגיל כולו הוא:
x – 3) *2)

x + 2) * 2 = 1)
2x + 4 = 1  / – 4
2x = -3  / :2
x = -1.5

6.שני מכנים עם משתנה ומכנה שלישי מספרי

המכנה המשותף של שני המכנים הכוללים את המשתנה הם:
(x + 1) (3 – 2x)
יחד עם המספר 4 המכנה המשותף הוא:
x + 1) (3 – 2x) * 4)

(x+1) (3 – 2x) = 2*4(x+1) – 3 * 4(3 – 2x)
3x – 2x² + 3 – 2x = 8x + 8 – 36 + 24x
2x² + x + 3 = 32x – 28-
2x² – 31x + 31 = 0-
x² + 15.5x -15.5 = 0

בעזרת נוסחת השורשים נמצא כי פתרונות המשוואה הריבועית הם:
x = 0.94 או  x = -16.44

סרטון ודוגמאות נוספות

עוד באתר:

  1. משוואה עם נעלם אחד (ללא מכנה).
  2. מתמטיקה לכיתה ח.
  3. שתי משוואות עם שני נעלמים.

כיצד למצוא מכנה משותף עבור משוואות עם נעלם במכנה

בדף זה:

  1. נסביר מה הוא מכנה משותף.
  2. ניתן דוגמאות ל 6 סוגים של מכנה משותף.

1.מה הוא מכנה משותף?

מכנה משותף הוא מכנה שכל המכנים בתרגיל יכולים להגיע אליו על ידי פעולת כפל.

בדף זה נתמקד במציאת המכנה המשותף והבאת המשוואה להיות משוואה ללא מכנה.

שימו לב שבדוגמאות הבאות לא נוכל לעבור על כל הצירופים האפשריים של מכנים הקיימים בשאלות.
לכן הקפידו תמיד למצוא מכנה על פי הגדרת המכנה המשותף: "מכנה משותף הוא מכנה שכל המכנים יכולים להגיע אליו על ידי פעולת כפל".

פתרונות מלאים לתרגילים יש בדף משוואה עם נעלם במכנה.

2.דוגמאות למציאת מכנה משותף

1.מכנה משותף שהוא אחד ממכני התרגיל 

בתרגיל זה ניתן להכפיל את 3x פי 3 ולהגיע ל 9x.
לכן 9x הוא המכנה המשותף.

לאחר הכפל נקבל:

45x = 2
x = 0.044

דוגמה 2
גם בתרגיל הבא המכנה המשותף שהוא אחד מכני התרגיל היא:

במקרה זה המכנה המשותף הוא 10x.
לאחר כפל ב 10x נקבל:
60x – 8*5 = 3
60x – 40 = 3
60x = 43
x = 0.716

2.קשר של חזקה בין המכנים בתרגיל

במקרה זה המענה המשותף הוא x – 2)²).
כי המכנה x – 2 כפול x – 2 הוא x – 2)²).

x – 2) * 3 = 9)
3x – 6 = 9  / +6
3x = 15  / :3
x = 5

3.מכנה משותף למספר ומשתנה

המכנה המשותף הוא 10x.
כי:
המכנה 5 כפול 2x הוא 10x.
המכנה 2x  כפול 5 הוא 10x.

2x + 15 = 0  / -15
2x = -15 / : 2
x = -7.5

4. שני מכנים מספריים ומכנה שלישי עם משתנה

בתרגילים כאלו נמצא את המכנה המשותף של המספרים.
במקרה זה המכנה המשותף של 4 ו 3 הוא 12.

לאחר מיכן נמצא את המכנה המשותף בין המספר שמצאנו (12) למכנה הנוסף (x + 1).
המכנה המשותף של 12   ו   x + 1 הוא x + 1) *12) וזה המכנה המשותף של התרגיל כולו.

x * 4(x + 1)  – 3(x + 1) + 2 * 12 = 0
4x + 4 – 3x – 3 + 24 = 0
x + 25 = 0
x = -25

דוגמה נוספת:

המכנה המשותף הוא:
2x – 1) *30)

5.שימוש בהוצאת גורם משותף למציאת מכנה משותף

ככל שתתקדמו הנושא של פירוק לגורמים יהיה משמעותי יותר במציאת מכנה משותף.
בכיתה ח מה שעליכם לדעת הוא שימוש בהוצאת גורם משותף.

נוציא 2 גורם משותף במכנה מימין.
ואז נראה כי המכנה המשותף של התרגיל כולו הוא:
x – 3) *2)

x + 2) * 2 = 1)
2x + 4 = 1  / – 4
2x = -3  / :2
x = -1.5

6.שני מכנים עם משתנה ומכנה שלישי מספרי

המכנה המשותף של שני המכנים הכוללים את המשתנה הם:
(x + 1) (3 – 2x)
יחד עם המספר 4 המכנה המשותף הוא:
x + 1) (3 – 2x) * 4)

(x+1) (3 – 2x) = 2*4(x+1) – 3 * 4(3 – 2x)
3x – 2x² + 3 – 2x = 8x + 8 – 36 + 24x
2x² + x + 3 = 32x – 28-
2x² – 31x + 31 = 0-
x² + 15.5x -15.5 = 0

בעזרת נוסחת השורשים נמצא כי פתרונות המשוואה הריבועית הם:
x = 0.94 או  x = -16.44

סרטון ודוגמאות נוספות

מכנה משותף הוא מכנה שכל אחד מהמכנים שבתרגיל יכול להגיע אליו על ידי פעולת כפל.

דוגמה 1

מה המכנה המשותף של 7 ו x

פתרון
המכנה המשותף הוא 7x.
כי:
המכנה 7 כפול x הוא 7x.
המכנה x כפול 7 הוא 7x.

דוגמה 2

פתרון
המכנה המשותף של המספרים הוא 4 ו- 6 הוא 12.
לכן המכנה המשותף הכללי הוא 12*(x+2)
כי:
המכנה 4 כפול 3*(x+2) הוא 12*(x+2).
המכנה 6 כפול  2*(x+2) הוא 12*(x+2).
המכנה x + 2 כפול  12 הוא 12*(x+2).

 

דוגמה 3

פתרון

המכנה המשותף הוא מכפלת המכנים:
(2x + 4) (x – 2)
(כי אין בין המכנים שום גורם משותף).

הכפלה במכנה משותף

הכפלה במכנה משותף

דוגמה 4

פתרון

שימו לב שעבור הביטוי מצד ימין ניתן להוציא 2 כגורם משותף ואז נקבל:
x + 1) * 2)
כמו כן המכנה המשותף של:
x + 1  ו   x + 1)²)
הוא:
x + 1)²)

לכן המכנה המשותף של שלושת המכנים הוא:
x + 1)² * 2)

הכפלה במכנה המשותף

הכפלה במכנה המשותף

*דוגמה 5

פתרון
עבור הביטוי השמאלי ניתן לבצע פירוק טרינום, עבור הביטוי הימני ניתן להוציא גורם משותף 3.

כמו כן נשים לב שניתן להוציא מינוס מהביטוי האמצעי על מנת לקבל x – 8:

לכן בסופו של דבר נקבל:

המכנה המשותף הוא:
x – 8) * (x + 2) * 3)
היה ניתן גם להוסיף מינוס למכנה המשותף האבל זה עניין של בחירה, לא חובה.

הכפלה במכנה המשותף

הכפלה במכנה המשותף

עוד באתר:

זיהוי שיפוע הישר במשוואת הישר – פונקציה קווית

לפני שאנו לומדים כיצד למצוא שיפוע עלינו לדעת לזהות שיפוע כאשר אנו רואים אותו במשוואת הישר.

אם משוואת הישר היא:
y=mx+n
אז השיפוע הוא m.
השיפוע הוא המקדם של המשתנה X.

דוגמה:
נזהה את השיפוע בישרים הבאים:
ישר 1.
y=2x-5    – השיפוע הוא 2.

ישר 2.
y=-6x   – השיפוע הוא 6-.

ישר 3.
y=4+3x   – השיפוע הוא 3.

ישר 4.
y-x-8=0  – למשוואת ישר זו לא ניתן למצוא את השיפוע באופן מיידי ויש להעביר אותה למשוואת ישר מפורשת והיא:
y=x+8  –  השיפוע הוא 1.

ישר 5.
y = 4 ישר זה יכול להיכתב גם בצורה הזו:
y = 0x + 4
כלומר המקדם של x הוא 0 ולכן השיפוע הוא 0.

ישר 6.
x = -2
למשוואה זו אין y ולא ניתן לכתוב אותה בצורה y = .
לכן עבור ישר זה השיפוע אינו מוגדר.

תרגילים
מצאו את השיפוע של הישרים הבאים:

  1.  y = 3 – 5x
  2.  y = 0
  3. x = -4
  4. 2x + 4y – 10 = 0

פתרונות

הישר y = 3 – 5x
המקדם של x הוא 5-.
לכן 5- הוא השיפוע.

אם היינו משרטטים את הישר הוא היה נראה כך (ישר יורד):

הישר  y = 0
ישר זה יכול להיכתב גם בצורה:
y = 0x + 0
המקדם של x הוא 0 ולכן שיפוע הישר הוא 0.

אם היינו משרטטים את הישר הוא היה נראה כך (ישר שאינו עולה ואינו יורד) (נמצא על ציר ה x):

הישר x = -4
ישר זה לא כולל קשר בין x ל y ולכן השיפוע של ישר זה אינו מוגדר.

אם היינו משרטטים את הישר הוא היה נראה כך:

הישר 2x + 4y – 10 = 0
על מנת למצוא את השיפוע עלינו לסדר את הישר בצורה שבה y יהיה בצד אחד של המשוואה וכל שאר האיברים בצד השני.
2x + 4y – 10 = 0   / -2x + 10
4y = -2x + 10  / :4
y = -0.5x + 2.5
המקדם של x הוא 0.5-, לכן 0.5- הוא שיפוע הישר.

אם היינו משרטטים את הישר הוא היה נראה כך (ישר יורד).

עוד באתר: