מציאת תחומי חיוביות ושליליות של פונקציה קווית ומשוואת ישר

בדף זה נלמד שתי שיטות לקביעה מתי ישר חיובי ומתי שלילי:

  1. על ידי פתרון אי שוויון.
  2. על ידי גרף הישר.

חשוב לדעת
כאשר אומרים על ישר שהוא "חיובי" או "שלילי" תמיד מתכוונים לערך ה y של הישר.
ישר חיובי כאשר ערך ה y של הישר חיובי.
ישר שלילי כאשר ערך ה y של הישר שלילי.

כמו כן תמיד מתארים את התחום שבו הישר חיובי או שלילי בעזרת ערכי ה x.
למשל:
עבור x > 3  הישר המשורטט למטה חיובי.

1.חיוביות ושליליות על פי פתרון אי שוויון

דוגמה 1
מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הישר y = 2x – 3

פתרון
הישר חיובי כאשר ערך ה y של הישר חיובי
y > 0
2x – 3 > 0
2x – 3 > 0  / +3
2x > 3  / : 2
x > 1.5
תחום החיוביות של הישר הוא x > 1.5.

הישר שלילי כאשר ערך ה y של הישר שלילי
y < 0
2x – 3 < 0
2x – 3 < 0  / +3
2x < 3  / : 2
x  < 1.5
תחום השליליות של הישר הוא x < 1.5.

דוגמה 2
מצאו את התחום בו הישר y = -x + 4 שלילי.

פתרון
נפתור את האי שוויון:
y < 0
x + 4 < 0-
x < -4  / * -1-
x > 4
תשובה: הישר y = -x + 4 שלילי כאשר x > 4.

מקרים מיוחדים: ישרים מקבילים לצירים

1.ישר המקביל לציר ה x
ישר המקביל לציר ה x הוא מהצורה y שווה מספר.
למשל y = 4.
כיצד נקבע מתי הישר הזה חיובי ומתי שלילי?
יש שתי דרכים; דרך פתרון אי שוויון ודרך ההיגיון.

פתרון בעזרת אי שוויון
אם היו שואלים "מתי הישר y = 2x חיובי" היינו בונים את האי שוויון
y > 0
2x > 0
לכן כאשר שואלים "מתי y = 4 חיובי" עלינו לבנות את האי שוויון
y > 0
0 < 4
זה אי שוויון שנכון לכל x (נכון תמיד).
לכן הפתרון הוא: כל x, הישר חיובי לכל x (תמיד).

מתי הישר y = 4 שלילי?
האי שוויון המתאים לשאלה הוא:
0 > 4
זה אי שוויון שלא מתקיים אף פעם.
לכן הישר y = 4 אינו שלילי אף פעם.

פתרון בעזרת ההיגיון
הישר y = 4 שווה ל 4 תמיד.
ומכוון ש 4 הוא מספר חיובי הישר חיובי תמיד ואף פעם לא שלילי.

ניתן לראות זאת גם בגרף, הישר תמיד מעל ציר ה x (חיובי) ואף פעם לא שלילי (מתחת לציר ה x).

2.ישר המקביל לציר ה y
ישר מהצורה x = מספר לא ניתן לקבוע לו תחומים מתי הוא חיובי ומתי שלילי.
משום שעבור אותו ערך x הישר הוא פעם חיובי ופעם שלילי.

למשל הישר x = -2.
סימנתי שתי נקודות עליו.
בשתי הנקודות הללו ערך ה x הוא x = -2.
בנקודה A ערך ה y חיובי ובנקודה B ערך ה y שלילי.
לכן לא ניתן להגיד על ערך x כלשהו שערך ה y עבורו חיובי או שלילי.

לישרים מסוג זה אין תחומי חיוביות ושליליות.

2.חיוביות ושליליות של ישר על פי גרף

ערך ה y של ישר הוא חיובי כאשר הגרף של הישר נמצא מעל ציר ה x.
ערך ה y של ישר הוא שלילי כאשר הגרף של הישר נמצא מתחת לציר ה x.

דוגמה 1
y = 3x + 3 הוא הישר האדום החותך את ציר ה x בנקודה x = -1.
y = -x + 2 הוא הישר השחור החותך את ציר ה x בנקודה x = 2.
מבלי לבצע חישוב, קבעו מתי הישרים הללו חיוביים ומתי שליליים.

פתרון
נזכיר: לשאול מתי ישר חיובי זה לשאול מתי ערך ה y של ישר חיובי.
וערך  ה y של ישר חיובי כאשר הישר נמצא מעל ציר ה x.

הישר y = 3x + 3
חיתוך עם ציר ה x ב x = -1
רואים שגרף שהוא נמצא מעל ציר ה x כאשר x > -1.
לכן הישר חיובי כאשר x > -1.
הישר נמצא מתחת לציר ה x כאשר
x < -1
לכן ישר זה שלילי כאשר x < -1.

הישר y = -x + 2
חיתוך עם ציר ה x ב x = 2.
ישר זה נמצא מעל ציר ה x משמאל לנקודת החיתוך, כאשר x < 2.
x < 2 זה התחום שבו הישר חיובי.
הישר מתחת לציר ה x כאשר x > 2.
x > 2 זה התחום שבו הישר שלילי

דוגמה 2
נקודות החיתוך של הישרים הבאים עם ציר ה x הן:
ישר 1 בנקודה x = -1
ישר 2 בנקודה x = 0
ישר 3 בנקודה x = 3
מתי משוואות הישר המשורטטות בגרפים הבאים הן חיוביות ומתי שליליות?

שרטוט הגרפים

פתרון

גרף 1
חותך את ציר ה X כאשר x=-1 וזו פונקציה קווית יורדת.
ניתן לראות שהישר חיובי משמאל לנקודות החיתוך כאשר x<-1
ושלילי כאשר מימין לנקודת החיתוך כאשר x > -1.

גרף 2
חותך את ציר ה X כאשר X=0 וזו פונקציה קווית עולה.
ניתן לראות שהישר חיובי מימין לנקודות החיתוך כאשר x>0
ושלילי כאשר משמאל לנקודת החיתוך כאשר  x<0.

גרף 3
חותך את ציר ה X כאשר X=3 וזו פונקציה קווית עולה.
ניתן לראות שהישר חיובי מימין לנקודות החיתוך כאשר x>3
ושלילי כאשר משמאל לנקודת החיתוך כאשר  x<3.

פתרון התרגיל. סימון תחומי החיוביות על הגרף
סימון תחומי החיוביות על הגרף

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

5 מחשבות על “מציאת תחומי חיוביות ושליליות של פונקציה קווית ומשוואת ישר”

  1. יש משהו שלא הבנתי
    כשהצגת את דוגמה 2 הפחת את סימן הגדול קטן. מדוע?
    כלומר, מדוע התשובה היא לא x קטן מ 4?

    תודה מראש על תגובתך.

  2. שלום, נגיד יש לי פונקציה ואומרים לי לכתוב את התחום חיוביות ושליליות שלה, איך אני עושה את זה?
    תודה מראש.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום בועז
      זה מוסבר בפירוט בדף.
      אם למשל הפונקציה היא
      y = 2x + 3
      אז הפתרון של האי שוויון
      2x + 3 > 0
      הוא תחום החיוביות.

  3. היי קודם כל תודה רבה רבה על האתר !!!
    רציתי לדעת אם יש דף שעוסק בתחומי החיביות והשלילית בפונקציות ,לא רק בפרבולות ובקו ישר.
    תודה רבה רבה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      מצטער אבל אין. אבל כל פונקציה לומדים למצוא נקודות חיתוך עם ציר ה x.
      נושא החיוביות / שליליות תופס פחות נפח עם השנים.

להגיב על אנונימי ביטול התגובה

האימייל לא יוצג באתר.