מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה

בבתי ספר שונים משתמשים בשתי נוסחאות שונות למציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה.

  • y = mx + n    או y = ax + b
  • (y – y1 = m(x – x1  או  (y – y1 = a(x – x1

אם אתם לא לומדים בבית הספר ויש לכם אפשרות לבחור בין שתי הדרכים הדרך הראשונה היא בעיניי עדיפה.

בדף זה אנו נשתמש בנוסחה הראשונה:
y = mx + n
מי שמעוניין ללמוד על פי הנוסחה השנייה
(y – y1 = m(x – x1
יכל לעשות זאת בדף משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה והנוסחה (y – y1 = m(x – x1.

הערה:
y =mx + n
y = ax + n
y = ax + b
כל אלו הם אותה צורה של משוואת הישר.
בכול בית ספר משתמשים באותיות אחרות, אבל כל הצירופים הללו זו אותה משוואה.

דוגמאות

שלבי הפתרון הם:

  1. במשוואת ישר
    y = mx + n  או   y = ax + b
    יש שני משתנים:   m, n
  2. בשאלות בדף זה m יהיה נתון בשאלה.
    כך שיש לנו משתנה אחד (n) שצריך למצוא.
  3. נציב את ערכי  x,y של הנקודה במשוואת הישר ונקבל משוואה עם נעלם אחד שדרכה ניתן למצוא את n.

דוגמה 1
מצאו את משוואת הישר ששיפועו 2 ועובר בנקודה (4,1).

פתרון
משוואת הישר היא:
y = mx + n
נציב במשוואה:
m = 2
x = 4
y = 1

ונקבל
1 = 2 * 4 + n
1 = 8 + n
– 7 = n

משוואת הישר היא:
y = 2x – 7

דוגמה 2
מצאו את משוואת הישר ששיפועו 4 ועובר בנקודה (3,18).

פתרון
נציב את הנתונים במשוואת הישר
y = mx + n
18 = 4 *3 + n
18 = 12 + n
6 = n

משוואת הישר היא:
y = 4x + 6

שני שלבי מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה

שני שלבי הפתרון של מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה
שני שלבי הפתרון של מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה

2.שני מכשולים 

בשאלות קשות יותר לא יתנו לכם את הנקודה אלא תצטרכו למצוא אותה באחת מהדרכים הבאות.

  1. נקודה שהיא נקודת חיתוך של ישר אחר עם הצירים. (תרגיל 1).
  2. נקודה שהיא נקודת חיתוך בין שני ישרים. (תרגיל 2).

הסבר כיצד מתגברים על המכשולים הללו ניתן לקבל גם בוידאו שלמעלה או בטקסט שלמטה.

תרגיל 1
מצאו את משוואת הישר הישר ששיפועו 1 ועובר דרך נקודת החיתוך של הישר y= 2x-4 עם ציר ה x.

פתרון
שלב א: נמצא את נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה – x
על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה x נציב y=0 במשוואת הישר
y= 2x – 4.
2x-4=0 /+4
2x=4 /:2
x=2
נקודות החיתוך היא (0, 2).

שלב ב: נמצא את משוואת הישר
אנו יודעים נקודה דרכה עובר הישר (0, 2). ושיפוע m = 1.
נציב בנוסחה

y = mx + n
0 = 1*2 + n
0 = 2 + n
– 2 = n

משוואת הישר היא:
y = x – 2

y=x-2
y=x-2

תרגיל 2
מצאו את משוואת הישר ששיפועו 3- ועובר דרך נקודת החיתוך של הישרים
y=3x
y = x + 4

פתרון
נמצא את נקודת החיתוך של הישרים.
3x = x + 4
2x = 4
x = 2

נציב x= 2 במשוואת אחד הישרים ונמצא את ערך ה y של החיתוך:
y=3x
y = 3*2 = 6
נקודת החיתוך היא 2,6

נציב את הנקודה 2,6 ושיפוע 3- במשוואה הישר:

y = mx + n
6 = -3 * 2 + n
6 = – 6 + n
12 = n

משוואת הישר היא:
y = -3x + 12

תרגילים

תרגיל 1
מצאו את משוואת הישר העובר בנקודה (0,3) ושיפועו 6.

פתרון
שלב א: נציב במשוואת הישר
m = 6
x = 0
y = 3

y = mx + n
3 = 6 * 0 + n
3 = n

שלב ב: הצבת ערכי n,m
עכשיו אנו יודעים:
m = 6
n = 3
נציב את הערכים הללו במשוואת הישר

y = mx + n
y = 6x + 3
זו משוואת הישר

תרגיל 2
מצאו את משוואת הישר שבו השיפוע הוא 3- והוא עובר בנקודה (1,4).

פתרון
שלב א: נציב במשוואת הישר
m = -3
x = 1
y = 4

y = mx + n
4 = -3* 1 + n
4 = -3 + מ
7 = n

שלב ב: הצבת ערכי n,m
נציב:
m = -3
n = 7
במשוואת הישר

y = mx + n
y = -3x + 7
זו משוואת הישר

 

תרגיל 3
מצאו את הישר ששיפועו 2- ונקודת החיתוך שלו עם ציר x היא ב-  x=6.

פתרון
שלב א: נציב את הנתונים במשוואת הישר
ערך ה y בכל נקודות החיתוך עם ציר ה x הוא y = 0.

לכן עלינו למצוא את משוואת הישר העובר בנקודה 6,0.
הנתונים הם:
m = -2
x = 6
y = 0

y = mx + n
0 = -2*6 + n
0 = -12 + n /+12
n = 12

שלב ב: הצבת ערכי n,m במשוואת הישר
m = -2
n = 12

y = mx + n
y = -2x + 12
זו משוואת הישר

 

תרגיל 4
מצאו את משוואת הישר ששיפועו 2 והוא עובר בנקודת החיתוך של שני הישרים הבאים:

y = -3x+4
y = -x

פתרון
שלב א: נמצא את נקודת החיתוך של שני הישרים הנתונים

-3x + 4 = -x /+3x
4 = 2x /:2
x = 2

זה ערך ה x של נקודת החיתוך.
נציב x = 2 במשוואה y = -x ונמצא את ערך ה y של נקודת החיתוך.
y = -2

לכן (2,-2) היא נקודת החיתוך של הישרים.

שלב ב: נציב את הנתונים במשוואת הישר
m = 2
x = 2
y = -2

y = mx + n
-2 = 2*2 + n
-2 = 4 + n /-4
n = -6

שלב ג: הצבת ערכי n,m במשוואת הישר
m = 2
n = -6

y = mx + n
y = 2x – 6
זו משוואת הישר

 

עוד באתר:

 

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

46 מחשבות על “מציאת משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה”

  1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    היי, אפשר למצוא נעלם דרך משוואת ישר?
    כלומר אם יש לי שיפוע ורק Y של נקודה

    1. תודה רבה רבה אתה יודע להסביר כל כך טוב זה עוזר לי מאודד בזכותך אני יעבור את הבגרות..

      1. לומדים מתמטיקה

        בזכותך ולאחר השקעה והתמדה תצליח בבגרות, אמן.
        תודה על המחמאות ושמח להיות גלגל מסייע.

  2. שלום,
    תוכלו להראות לי דוגמא להצבה של הנקודות במשוואת הישר ?
    למשל : ( m=1 ( 3,-2
    משוואת הישר : (y-y=m(x-x

    ל

  3. ואווווו
    הסבר מדויקקקק!
    הרבה יותר ברור ממה שהמורה מלמדת😜😉
    אבל יש לי שאלה קטטנה שהסתבכתי….\
    בתרגיל מס 4 אני בכוונה מעתיקה אותו לפה כדי לרשום ליד מה לא הבנתי…

    תרגיל 4
    מצאו את משוואת הישר ששיפועו 2 והוא עובר בנקודת החיתוך של שני הישרים הבאים:

    y = -3x+4
    y = -x
    פתרון
    שלב א: נמצא את נקודת החיתוך של שני הישרים הנתונים

    -3x + 4 = -x /+3x -X עשיתי לפי הכללים ויצא לי

    4 = 2x /:2 Xאז איך אני מגיעה ל2
    x = 2

    חוצמזה הכל ממש מובן!
    אשריךךךךךך
    יאאא אלוףףףף!
    ממש תודה!
    פרסמתי תאתר הזה היום בסטורי😊 עשית לך קצת פרסומת!
    תודה שככה אתה אוהב לעזור ועושה את זה ללא תשלום…👌🙏🙏🙏👏👏👊👍

    1. לומדים מתמטיקה

      תודה רבה כיף לשמוע שאת מרוצה ושמח לשמוע שפרסמת.
      אם יצא לך x = 4 אז עשית משהו שלא לפי הכללים.
      בצד ימין יש x-
      וכאשר מוסיפים לו 3x הוא הופך ל 2x.
      בצד שמאל נשאר 4.
      כך שמתקבל
      2x = 4

      כאן בתגובות מאבד את הסדר של שמאל ימין.
      בפתרון יש בסך הכול 3 שורות. כתבי לי בין אלו שתי שורות הבעיה ואנסה לעזור.

  4. היי לגבי הסרטון האחרון, 5. משוואת ישר המקביל לצירים. מזה אומר שיפוע לא מוגדר? שכל פעם השיפוע שלו שונה משמע כל פעם זה יצא מספר אחר? ואיך אני יודעת שהשיפוע שלו לא מוגדר? איך אני יכולה לזהות זאת? תודה רבה :)

  5. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    יש לי שאלה אני צריך למצוא משוואת ישר עם שיפוע -3- שעוברת דרך נקודת חיתוך של y=4x+10 איך אני עושה את זה

    נ.ב אתר מעולההה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      עליך למצוא את נקודת החיתוך של הישר
      y=4x+10 עם הציר המבוקש (לא כתבת עם איזה ציר החיתוך).
      הסבר מפורט למציאת חיתוך כאן
      http://www.m-math.co.il/analytic-geometry/intersection-with-axis/
      ולאחר שתמצא את החיתוך מוצאים את משוואת הישר על פי שיפוע ונקודה.

      דוגמה לתרגיל דומה מאוד תמצא תחת הכותרת "כיצד ניתן לסבך את התרגילים" שזה נמצא לפני התרגילים ואחרי ההסבר הראשוני.
      בהצלחה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      יש הסבר. בסוף ההצבה במשוואת הישר אנו מוצאים את משוואת הישר המלאה.
      שהיא כוללת את a ו b.
      מה שיכול להיות שמבלבל הוא שבדף זה משוואות הישר מוגדרת כך
      y = mx + n
      ואת כנראה מכירה את ההגדרה:
      y = ax + b
      כאשר בדף זה מצאנו את n למעשה מצאנו את מה שאת קוראת לו b.
      כאשר מצאנו את m מצאנו את מה שאת קוראת לו a.
      בהצלחה

    1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

      שלום רציתי לשאול למה בסרטון דוגמא 2 יש את הנקודה (3,0-) ובמשוואה כתוב 3+ במקום 3-

      1. לומדים מתמטיקה

        שלום.
        את צודקת.
        ההצבה צריכה להתבצע כמו שכתבת.
        מה שצריך להיות רשום שם בהצבה מדויקת זה:
        (3-) –
        שהופך ל + וזה מה שרשום בסרטון. הוספתי הערה בגוף הסרטון לגבי השורה החסרה.
        תודה

להגיב על משתמש אנונימי (לא מזוהה) ביטול התגובה

האימייל לא יוצג באתר.