מציאת נקודת חיתוך של המעגל עם הצירים / חיתוך של ישר ומעגל

בדף זה נלמד 3 נושאים שהם בעצם נושא אחד:

1. מציאת נקודת חיתוך של מעגל עם הצירים.
2. מציאת נקודה על המעגל שאחד מערכי X / Y שלה ידוע ואחד חסר.
3. מציאת נקודת חיתוך של ישר המקביל לצירים עם המעגל.

מה משותף לשלושת הנושאים הללו? בשלושת המקרים הללו אנו נדע את משוואת המעגל וערך x או y של נקודה על המעגל. נציב את הערך הידוע במשוואת המעגל ונמצא את הערך השני.

הסבר וידאו

1.מציאת נקודת חיתוך של מעגל עם הצירים

כמו במשוואת ישר, פרבולה או פונקציה אחרת

1. חיתוך עם ציר ה x מוצאים על ידי הצבה y = 0 במשוואה.
2. חיתוך עם ציר ה y מוצאים על ידי הצבה x = 0 במשוואה.

תרגיל 1
נתונה משוואת המעגל x² + y² = 16. מצאו את נקודות החיתוך של המעגל עם הצירים.

פתרון
נציב x= 0 ונמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה y.
y² + 0² = 16
y² = 16
y = 4,  y = -4
נקודות החיתוך עם ציר ה y הן: (4-, 0)    (4, 0)

נציב y = 0  ונמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה x

x² + 0² = 16

x² = 16
x = 4,   x = -4

נקודת החיתוך עם ציר ה x הן: (0, 4-)    (0, 4)

תרגיל 2
נתונה משוואה המעגל x-2)²+(y-1)²=40)
מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים.
פתרון

חיתוך עם ציר ה y

נציב X=0  על מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה- Y.

(0 – 2)² + (y – 1)² = 40

y² -2y + 1 +4 = 40

y² – 2y + 5 = 40  / -40

y² – 2y – 35 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים.

ונקבל  Y=7 ו- Y=-5.

תשובה: נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה- Y הם: (5-, 0)  (0,7).

חיתוך עם ציר ה x
על מנת למצוא נקודות חיתוך עם ציר ה- X נציב במשוואת המעגל y=0.

x – 2)² + (0 -1)² = 40)

x²– 4x + 4 +1 = 40  /-40

x²– 4x – 35=0

פתרונות המשוואה הריבועית הם: 8.244 = X או x=-4.244.

תשובה: נקודות החיתוך עם ציר ה- X הן  (0, 4.244-)  (0, 8.244)

2.מציאת נקודה על המעגל שאחד מערכי x / y שלה ידוע ואחד חסר

על מנת לפתור שאלות אלו נציב את הערך הידוע במשוואת המעגל ונמצא את הערך השני.

תרגיל 1
הנקודה A ברביע הרביעי ועל המעגל x – 3)² + (y + 1)² = 20)
ערך ה x בנקודה A הוא x = 5.
מצאו את הנקודה A.

פתרון

עלינו למצוא את ערך ה y של הנקודה A.
לשם כך נציב את ערך ה x במשוואת המעגל:

y + 1)² + (5 – 3)² = 20)
y² + 2y + 1 +4 = 20  / -20
y² + 2y – 15 = 0

נציב בנוסחת השורשים:

נפתור את המשוואה ונקבל הפתרונות של המשוואה הריבועית:

y = -5,  y = 3

מכוון שאמרו ש A נמצאת ברביע הרביעי הערך המתאים הוא y = -5

תשובה: ( A (5, -5

תרגיל 2
על המעגל x + 2)² + y² = 13)   
נמצאות הנקודות A, B שבהן y = 2.
הנקודה A נמצאת ברביע הראשון והנקודה B ברביע השני.
מצאו את הנקודות A ו B.

פתרון
נציב y =2 במשוואת המעגל ונקבל:

x + 2)² +2² = 13)
x² + 4x + 4 + 4= 13  /  – 13
x² + 4x – 5 = 0

נציב בנוסחת השורשים:

נפתור את המשוואה ונקבל:

x = 1,  x = -5

תשובה: (A(1, 2)   B(-5, 2

3.מציאת נקודות חיתוך של ישר ומעגל

עושים זאת בדרך שכבר פתרנו איתה הרבה סעיפים: מציבים במשוואת המעגל.

הרבה פעמים לאחר ההצבה נקבל משוואה ריבועית שנצטרך לפתור.

מספר נקודות החיתוך בין הישר למעגל הוא כמספר הפתרונות של המשוואה הריבועית:

שתי פתרונות למשוואה הריבועית – שתי נקודות חיתוך.
פתרון אחד – נקודת מפגש אחת (הישר משיק למעגל)
0 פתרונות – הישר והמעגל לא נפגשים.

תרגיל 1
מצאו את נקודת החיתוך של המעגל x -2)² + (y -1)² = 20) עם הישר y = 3.

פתרון
נציב y= 3 במשוואת המעגל.

x – 2)²  + (3 -1)² = 20)

x² – 4x + 4 + 4 = 20   / -20

x² – 4x -12 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים:
כ

כאשר נפתור נקבל x = 6  או    x = -2

ערך ה y בנקודות הלל כבר ידוע לנו, כי הצבנו אותו y = 3.

תשובה: נקודות החיתוך של הישר y = 3
עם המעגל x -2)² + (y -1)² = 20)
הן:

(3, 6)   (3, 2-)

תרגיל 2
מצאו את נקודת החיתוך הנמצאת ברביע השלישי של הישר x = – 4 עם המעגל x + 1) + y² = 21.25).

פתרון
נציב x = -4 במשוואת המעגל.

y² + (-4 + 1)² = 21.25

y² + 9 = 21.25   / -9

y² = 12.25

y = 3.5   או   y=  -3.5

נקודות החיתוך הן (3.5-,  4-)   (3.5,  4-).

ביקשו מאיתנו למצוא נקודת חיתוך הנמצאת ברביע השלישי לכן רק הנקודה (3.5-,  4-) היא הפתרון.

מציאת נקודות חיתוך של ישר שאינו מקביל לצירים עם מעגל

במרבית בחינות הבגרות שבהן מופיע סעיף על חיתוך של מעגל וישר הישר הוא ישר המקביל לצירים.

אבל יתכן שבכיתה או בבחינת הבגרות שלכם שאלה הדורשת חיתוך של ישר שאינו מקביל לצירים.

כיצד מוצאים את נקודות החיתוך? בדיוק כפי שעשיתם עד עכשיו: מציבים את משוואת הישר בתוך משוואת המעגל.

תרגיל 3
מצאו את נקודת החיתוך של המעגל והישר הבאים:
x – 5)² + (y – 2)² = 20)
y = 7x + 1

פתרון
נציב את משוואת הישר במשוואת המעגל

x – 5)² + (y – 2)² = 20)

x – 5)² + (7x+1 -2)² = 20)

x²– 10x + 25 + (7x – 1)² = 20

x² – 10x + 25 + 49x² – 14x + 1 = 20 / -20

50x²– 24x + 6 = 0 / :2

25x² – 12x + 3 = 0

נבדוק על ידי חישוב ה"דלתא" אם למשוואה זו יש פתרונות.

3 * 25 * 4 – 12²

0 > 300 – 144

תשובה: הדלתא של משוואה ריבועית זו היא שלילית ולכן אין פתרונות למשוואה ואין נקודות חיתוך בין הישר למעגל.

הערה: במקום לחשב דלתא היינו יכולים לנסות לפתור משוואה ריבועית ולראות שאין למשוואה פתרונות.

עוד באתר:

• מעגל 3 יחידות (שאלון 382).
• מעגל 4 יחידות (שאלון 481).
• משוואת מעגל – דרכים נוספות למציאת משוואת מעגל.
• מתמטיקה לכיתה י – נושאים נוספים.