מספר הפתרונות של משוואה ריבועית

לדף זה 8 חלקים:

  1. הסבר וידאו.
  2. דברים שצריך לדעת על שורש.
  3. מספר הפתרונות של משוואה ריבועית.
  4. דוגמאות.
  5. המשמעות הגרפית של מספר הפתרונות.
  6. תקציר הדברים שלמדנו.
  7. פתרונות מהירים לתרגילים.
  8. תרגילים.

1.הסבר וידאו

2.דברים שצריך לדעת על שורש

כפי שאתם רואים נוסחת השורשים כוללת שורש.
ולפני שאנו מתקדמים יש 3 דברים שאתם צריכים לדעת על שורש.

1.למספר חיובי יש שורש יחיד.

לדוגמה:

√16 = 4

יש החושבים שגם 4 – הוא פתרון, אבל זה לא נכון.

התוצאה של פעולת השורש היא חיובית בלבד.

2.למספר שלילי אין שורש.

כלומר:

√-9

הוא ביטוי ללא פתרון.

וכל משוואה הכוללת שורש שלילי היא משוואה ללא פתרון.

למשל:

x + √-25 = 10

זו משוואה שאין לה פתרון.

3.השורש של 0 הוא 0.

√0 = 0

למשל:
x + √0 = 10
x + 0 = 10
x = 10

 

3.מספר הפתרונות של משוואה ריבועית

נסביר את מספר הפתרונות של משוואה ריבועית באמצעות נוסחת השורשים:

באמצע נוסחת השורשים יש את הסימן ±.

והמשמעות שלו היא שניתן לכתוב את נוסחת השורשים כשתי משוואות שונות.

שתי המשוואות הללו נותנות לנו את שני הפתרונות של נוסחת השורשים.

אבל:

כאשר הביטוי שבתוך השורש שלילי – אלו משוואות שלא ניתן לפתור ואין למשוואה הריבועית פתרון.

וכאשר בתוך השורש יש 0 אז
√0 = 0

ואין הבדל בין המשוואה שיש בה + למשוואה שיש בה -.

לכן שתי המשוואות מביאות לאותו פתרון ואנו מקבלים פתרון יחיד.

b² – 4ac
הוא הביטוי הנמצא מתחת לשורש ולכן ניתן לקבוע את מספר הפתרונות בדרך הבאה:

b² – 4ac > 0 יש שני פתרונות.
b²- 4ac = 0 יש פתרון אחד.
b²- 4ac < 0 אין פתרונות למשוואה הריבועית.

על ידי הביטוי b² – 4ac נוכל לדעת את מספר הפתרונות גם מבלי לפתור את המשוואה.

הביטוי b² – 4ac
נקרא הרבה פעמים דלתא או דיסקרימיננטה.

4.דוגמאות 

בחלק זה יש 4 דוגמאות:
(דוגמאות 3-4 מתאימות לתלמידי 4-5 יחידות).

  1. משוואה ריבועית ללא פתרון.
  2. משוואה ריבועית עם פתרון יחיד.
  3. מציאת מספר הפתרונות בלי לפתור את המשוואה הריבועית.
  4. בעיה עם פרמטר.

דוגמה 1 (משוואה ללא פתרון)

מצאו את הפתרונות של המשוואה:

x² + 2x + 10 = 0

פתרון
נוסחת השורשים היא:

ההצבה תהיה:

הביטוי בתוך השורש הוא שלילי ולכן אנו לא יכולים לפתור את המשוואה.

דוגמה 2 (משוואה עם פתרון יחיד)

x² + 6x + 9 = 0

פתרון
ההצבה במשוואה היא:

נפרק את הסימן ± לשתי משוואת שונות:

ואם הסימן מינוס נקבל:

בשתי הדרכים נקבל 3-.
כלומר יש פתרון אחד שהוא x = -3.

הערה
פתרון זה נכתב בצורה ארוכה על מנת להראות שבשתי הדרכים מתקבל אותו פתרון.

בפועל אתם יכולים לכתוב את הפתרון בצורה קצרה יותר בצורה הזו:

 

דוגמה 3 (מציאת מספר פתרונות ללא פתרון המשוואה).

x² – 6x + 9 = 0

פתרון
במשוואה זו:

a = 1,  b = -6,   c= 9

נחשב את הערך של:

b²- 4ac
(-6)² – 4 * 1 * 9 =
36 – 36 = 0

במשוואה זו מתקיים:

b²- 4ac = 0

לכן למשוואה זו יש פתרון יחיד.

דוגמה 4 (מציאת פרמטר)

ידוע כי למשוואה 2x² + bx + 10 = 0 אין פתרונות
מה טווח הערכים של b?

פתרון
צריך להתקיים:
b² – 4 *2 *10 < 0
b² < 80

-√80 < b < √80

זה טווח הערכים של b.

5.המשמעות הגרפית של מספר הפתרונות

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
מנוי נרכש בתשלום חד פעמי של 119 89 שקלים.
המנוי לקורס תקף עד 30.6.2022.

לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

9 מחשבות על “מספר הפתרונות של משוואה ריבועית”

  1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    היי
    תוכל לכוון אותי לעמוד שמסביר מה עושים כאשר יש משתנה נוסף?
    למשל במקום x^5+8x^4+16x^3
    זה יהיה
    x^5+8x^4+16x^3+20
    תודה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      למשוואה כמו שכתבת אין הסבר כאן באתר ולא נתקלתי במצב שתלמידי בית ספר צריכים לדעת לפתור אותה.

      1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

        יש דרך אולי לדעת כמה פתרונות יש למשוואה במקום מהם הפתרונות למשוואה?
        שוב תודה על העזרה

  2. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    אפשר הסבר איך פותרים את זה? אשמח שתסבירו במפורט
    כדי שאני אבין יותר

    x + 6x =-5 משוואה ריבועית

  3. כל הכבוד אני עושה מכינה להנדסה וזה עוזר לי מאוד.
    למרות שאני סטודנט רציתי לתרום 50 שקל זה לא הרבה אבל זה כדי להודות לכם.
    אין הרבה אתרים כאלה שמסבירים בחינם.

    הייתי מציע אוליי שתשימו לאתר מקום לתרומה מי שרוצה לתרום לכם.

    1. לומדים מתמטיקה

      היי.
      תודה רבה, באמת שמעריך את זה.
      האמת ששמנו כפתור לתרומה – וזה כפתור הווטסאפ שבאמצעותו ניתן לשלוח קישור והמלצה לאתר לאנשי הקשר שלך.
      זה מה שתורם ומשמח אותנו.
      תודה :)

להגיב על לומדים מתמטיקה ביטול התגובה

האימייל לא יוצג באתר.