בעיות תנועה עם פגישה סיכום

בדף זה נסכם את החומר עבור בעיות תנועה עם פגישה.
בבעיות שלנו הגופים יעצרו לאחר הפגישה ולא ימשיכו לנוע.
החומר מתאים לתלמידי כיתות ח-י.

נושאי הדף הם:

  1. שתי הדרכים בהם ניתן להיפגש.
  2. מה עושים כאשר הגופים "כמעט נפגשים" או "עוברים את נקודת הפגישה"
  3. תרגילי פגישה "אחד מול השני".
  4. תרגילי פגישה "יוצאים מאותה נקודה"
  5. קישורים.
  6. נספח: כיצד להתמודד עם בעיות בהגדרת הזמן.

1.שתי הדרכים בהם ניתן להיפגש

שני גופים יכולים להיפגש בשתי דרכים.

אפשרות ראשונה
הגופים יוצאים משתי נקודות שונות ונוסעים אחד מול השני.

הרעיון בעזרתו בונים משוואה
בסוג זה של פגישה סכום הדרכים ששני הגופים עברו שווה לדרך כולה.
אם למשל הגוף שמסומן בחץ השחור עבר 100 ק"מ.
והגוף המסומן בחץ הירוק עבר 200 ק"מ.
אז המרחק בין A ל B הוא 300 ק"מ.

 

אפשרות שנייה
יוצאים מאותה נקודה אך בזמנים שונים.
גף אחד יוצא "באחור" אך מהירותו גדולה יותר ולכן משיג את הגוף שיצא לפניו.

הרעיון בעזרתו בונים את המשוואה
מכוון ששני הגופים יצאו מאותה נקודה והגיעו לאותה נקודה אז הדרך שהם עברו שווה.
המשוואה תהיה:
הדרך של המכונית הירוקה = לדרך של המכונית השחורה

2.מה עושים כאשר הגופים "כמעט נפגשים" או "עוברים את נקודת הפגישה"

כאשר הגופים נעים אחד מול השני

אם שני גופים יוצאים משתי נקודות שהמרחק בניהם הוא 400 ק"מ ונפגשים אז אנו יודעים שהמרחק שהם עברו ביחד הוא 400 ק"מ.

אבל אם אומרים לנו ששני הגופים לא נפגשו אלא נעצרו 60 ק"מ לפני הפגישה.
אז מה נוכל לומר על סכום הדרכים של כלי הרכב?

במצב זה שני כלי הרכב עברו 60 ק"מ פחות ולכן סכום המרחקים שהם עברו הוא 340 ק"מ.
340 = 60 – 400

ואם הם נפגשו והמשיכו עד שהמרחק בניהם היה 100 ק"מ.
אז סכום הדרכים שהם עברו הוא 500.
500 = 100 + 400

כאשר הגופים יוצאים מאותה נקודה

אמרנו שכאשר שני גופים יוצאים מאותה נקודה ומגיעים אל אותה נקודה המרחקים שהם עוברים שווים.

אבל מה קורה אם גוף אחד נעצר 20 ק"מ לפני נקודת הפגישה?

במקרה זה נוכל לומר שהדרך שהחץ השחור עבר + 20 ק"מ = לדרך שהחץ הירוק עבר.

ואם גוף אחד עובר את נקודת הפגישה ב 30 ק"מ?

במקרה זה נוכל לומר שהדרך שהחץ הירוק עבר + 30 ק"מ = לדרך שהחץ השחור עבר.

זהו עם הדיבורים, ניגשים לפתור תרגילים!

3.תרגילי פגישה אחד מול השני

כפי שלמדנו בשאלות אלו עלינו לבטא בעזרת משתנה את המרחק שעבר כל גוף.
לכן כאשר נבחר משתנה נבחר משתנה כזה שבאמצעותה ניתן לחשב מרחקים.

תרגיל 1
משתי נקודות במרחק 600 ק"מ יצאו בו זמנית משאית ומכונית.
מהירות המכונית גדולה ב 30 קמ"ש ממהירות המשאית.
כעבור 4 שעות כלי הרכב נפגשו.
חשבו את מהירות המכונית ומהירות המשאית.

פתרון
נגדיר
מהירויות
x מהירות המשאית בקמ"ש
x + 30  מהירות המכונית בקמ"ש.

זמן
זמן הנסיעה של שניהם הוא 4 שעות.

דרך
4x  הדרך שעברה המשאית.
x + 30) * 4)  הדרך שעברה המכונית.

משוואה
סכום הדרכים הוא 600 לכן המשוואה היא:
4x + 4 (x +30) = 600
4x + 4x + 120 = 600
8x + 120 = 600  / -20
8x = 480  / : 8
x = 60

תשובה: המהירות שהמשאית נסעה בה היא 60 קמ"ש. המהירות של המכונית היא 90 קמ"ש.

אם היינו רוצים להיעזר בטבלה לפני בניית המשוואה זה היה נראה כך:

מהירות זמן דרך
משאית x 4 4x
מכונית x + 30 4 x + 30) *4)

תרגיל 2
בשעה 8 יצאה משאית מקריית שמונה לאילת מרחק של 370 ק"מ.
בשעה 9 יצאה מכונית מאילת לקריית שמונה במהירות הגדולה ב 20 קמ"ש ממהירות המכונית.
בשעה 11 המשאית והמכונית עדיין לא נפגשו והמרחק בניהן היה של 30 ק"מ.
חשבו את מהירות המכונית והמשאית.

פתרון
מהירות
x  מהירות המשאית בקמ"ש.
x + 20 מהירות המכונית בקמ"ש.

זמן
המשאית נסעה מ 8 עד 11.  3 שעות.
המכונית נסעה מ 9 עד 11.  2 שעות.

דרך
3x  הדרך של המשאית.
x + 20) * 2)  הדרך של המכונית.

המשוואה
שני כלי הרכב ביחד עברו 340 ק"מ.
340 = 30 – 370
לכן:
3x + 2 (x +20) = 340
3x + 2x + 40 = 340
5x + 40 = 340  / -40
5x = 300  / :5
x = 60
תשובה: מהירות המשאית 60 קמ"ש. מהירות המכונית 80 קמ"ש.

אם היינו רוצים לבנות טבלה לפני בניית המשוואה כך זה היה נראה:

מהירות זמן דרך
משאית x 3 3x
מכונית x + 20 2 x + 20) *2)

4.תרגילי פגישה "יוצאים מאותה נקודה"

תרגיל 1
הולך רגל יצא לדרך במהירות 6 קמ"ש.
שעתיים אחריו יצא חמור שמהירותו גדולה ב 3 קמ"ש מאותה נקודה ובאותו כיוון.

  1. כעבור כמה זמן ישיג החמור את האדם?
  2. מה המרחק בניהם יהיה 10 שעות לאחר יציאת הולך הרגל?

פתרון
מהירות
6 הולך רגל.
9 החמור.

זמן
x  הולך הרגל.
x – 2 החמור (מכוון שהוא יצא שעתיים אחרי).

הדרך
6x  הולך הרגל
x – 2) * 9)  החמור.

המשוואה
בסופו של דבר שניהם עשו את אותה הדרך ולכן המשוואה היא:
(6x = 9 (x – 2
6x = 9x – 18  / -9x
3x = – 18  / : -3-
x = 6

תשובה: 6 שעות לאחר צאת הולך הרגל החמור השיג אותו.

אם היינו רוצים להציג את הנתונים בטבלה לפני המשוואה זה היה נראה כך:

מהירות זמן דרך
הולך רגל 6 x 6x
חמור 9 x – 2 x – 2) *9)

סעיף ב
ניתן לחשב את המרחק ששניהם עבור 10 שעות לאחר יציאת הולך הרגל.
הולך הרגל עבר:
60 = 6 * 10

באותה נקודת זמן החמור הלך 8 שעות.
72 = 9 * 8
תשובה: המרחק בניהם יהיה 12 ק"מ.

תרגיל 2
הולך רגל יצא לדרך.
שעתיים אחריו יצא סוס במהירות הגדולה ב 4 קמ"ש ממהירות הולך הרגל.
הסוס השיג את הולך הרגל כעבור 5.5 שעות מזמן יציאתו של הולך הרגל.
חשבו את מהירותו של הולך הרגל.

פתרון
מהירות
x  מהירות הולך הרגל בקמ"ש.
x + 4 מהירות הסוס בקמ"ש.

זמן
5.5 שעות זמן הולך הרגל.
3.5 שעות זמן הסוס (יצא שעתיים אחריו).

דרך
5.5x  הדרך של הולך הרגל.
x + 4)* 3.5)  הדרך של הסוס.

המשוואה
הולך הרגל והסוס יצאו מאותו מקום והגיעו לאותו מקום.
לכן הדרך שלהם שווה.
(5.5x = 3.5 (x + 4
5.5x = 3.5x + 14  / -3.5x
2x = 14  / :2
x = 7
תשובה: המהירות של הולך הרגל היא 7 קמ"ש.

אם היינו רוצים להציג את הנתונים בטבלה לפני בניית המשוואה זה היה נראה כך:

מהירות זמן דרך
הולך רגל x 5.5 5.5x
סוס x + 4 3.5 x + 4) * 3.5)

*תרגיל 3
שתי רוכבות אופניים יצאו לרכיבה מאותה נקודה.
הרוכבת הראשונה יצאה ב 10 בבוקר במהירות 15 קמ"ש.
הרוכבת השנייה יצאה בשעה 11 בבוקר במהירות 20 קמ"ש.
באיזו שעה הרוכבת השנייה תשיג את הראשונה ב 15 ק"מ? (כלומר באיזו שעה הרוכבת השנייה תעבור 15 ק"מ יותר מהרוכבת הראשונה).

פתרון
שלב א: בחירת משתנה
אנו לא יודעים את הזמן של הרוכבת הראשונה לכן הוא יהיה המשתנה
t זמן הנסיעה של הרוכבת הראשונה בשעות עד לנקודה שבה הרוכבת השנייה השיגה אותה ב 15 ק"מ.
t – 1 זמן הנסיעה של הרוכבת השנייה.

שלב 2: בניית טבלה
הנתונים מופיעים בשחור, תוצאת החישוב באדום.

מהירות זמן דרך
רוכבת א 15 t 15t
רוכבת ב 20 t – 1 20t – 20

שלב ג: בניית משוואה
15t המרחק שעברה רוכבת א.
20t – 20  המרחק שעברה רוכבת ב.

רוכבת ב עברה 15 ק"מ יותר מרוכבת א לכן המשוואה היא:
20t – 20 – 15t = 15

הסבר למשוואה בעיות תנועה
הסבר למשוואה

אפשרות אחרת לבניית המשוואה היא לכתוב את המשוואה כסכום דרכים
המרחק שעברה רוכבת ב = 15 + המרחק שעברה רוכבת א
15t + 15 = 20t – 20

הסבר למשוואה
הסבר למשוואה

שלב ד: פתרון המשוואה
נפתור את המשוואה הראשונה
20t – 20 – 15t = 15
5t – 20 =15  / +20
5t = 35  /:5
t = 7

השאלה הייתה "באיזו שעה?" . 7 שעות לאחר השעה 10 זו השעה 17.
תשובה: בשעה 17 רוכבת ב תשיג את רוכבת א ב 15 ק"מ.

עוד באתר:

  1. בעיות תנועה עם טבלה.
  2. בעיות תנועה כיתות ח – ט – דף המציג בעיות מסוגים שונים באותה רמה.
  3. בעיות תנועה שוויון דרכים.
  4. בעיות תנועה סכום דרכים.
  5. בעיות תנועה – הדף המרכזי עם קישורים לדפים קשים יותר.
  6. מתמטיקה לכיתה ט.
  7. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
  8. בגרות במתמטיקה 5 יחידות.
  9. בעיות תנועה – דף הכולל בעיות קשות יותר.

נספח: כיצד להתמודד עם בעיות בהגדרת זמן

במקרה הקל תקבלו במפורש כמה שעות נסע כל כלי רכב. או שיגידו לכם שכלי רכב אחד נסע שעתיים יותר.

בתרגילים קשים יותר יגידו לכם כי כלי רכב אחד "יצא שעה אחרי" או "הגיע שעתיים לפני" ואתם תצטרכו להסיק מזה על הקשר בין הזמנים של כלי הרכב.

עלכם להבים את הכללים הבאים (אלו כללים הגיוניים):
(בכל המקרים נתייחס אל זמן נסיעת המשאית כ x)

  • אם מכונית יוצאת לדרך שעה אחרי משאית ושתיהן מגיעות ביחד ליעד אז זמן הנסיעה של המכונית הוא x -1.
  • אם מכונית יוצאת שעה לפני משאית והם מגיעות ביחד אז זמן הנסיעה של המכונית הוא x +1.
  • אם המכונית והמשאית יוצאות ביחד והמכונית מגיעה שעה לפני המשאית אז זמן נסיעת המכונית הוא x – 1.
  • אם המכונית והמשאית יוצאות ביחד והמכונית מגיעה שעה אחרי המשאית אז זמן נסיעת המכונית הוא x  + 1.

תרגיל 1
מכונית יצאה מירושלים לאילת.
2 שעות אחרי המכונית יצאה משאית.
המשאית והמכונית הגיעו ביחד לאילת.
הזמן שנסעה המכונית הוא x. מה הזמן שנסעה המשאית?

פתרון
המשאית יצאה אחרי המכונית. לכן הייתה שעתיים פחות בנסיעה.
x – 2 זה הזמן שנסעה המשאית.

תרגיל 2
מכונית יצאה מירושלים לאילת.
3 שעות לפני המכונית יצאה משאית.
המשאית והמכונית הגיעו ביחד לאילת.
הזמן שנסעה המכונית הוא x. מה הזמן שנסעה המשאית?

פתרון
המשאית יצאה לפני המכונית. לכן הייתה 3 שעות יותר בנסיעה.
x + 3 זה הזמן שנסעה המשאית.

תרגיל 3
מכונית יצאה מירושלים לאילת.
1 שעות לפני המכונית יצאה משאית.
המשאית הגיעה 3 שעות לאחר המכונית.
הזמן שנסעה המכונית הוא x. מה הזמן שנסעה המשאית?

פתרון
ביציאה המשאית נסעה 1 שעות יותר.
בהגעה המשאית נסעה 3 שעות יותר.
לכן בסך הכל המשאית נסעה 4 שעות יותר.
x + 4 זה הזמן שנסעה המשאית.

תרגיל 4
מכונית יצאה מירושלים לאילת.
1 שעות לאחר המכונית יצאה משאית.
המשאית הגיעה 2 שעות לפני המכונית.
הזמן שנסעה המכונית הוא x. מה הזמן שנסעה המשאית?

פתרון
ביציאה המשאית נסעה 1 שעות פחות.
בהגעה המשאית נסעה 2 שעות פחות.
סך הכל המשאית נסעה 3 שעות פחות.
x – 3 זה הזמן שנסעה המשאית

מכשול זמן נוסף

במקרים מסוימים גוף ינוע בשתי מהירויות, למשל 80 קמ"ש בדרך הלוך ו 90 קמ"ש בדרך חזור.
ומבחינת זמן נקבל מידע על הזמן של שתי הדרכים יחד. למשל הזמן הלוך חזור היה 8 שעות.

במקרה זה ניתן להגדיר שני נעלמים:
x  הזמן בשעות בדרך הלוך.
y הזמן בשעות בדרך חזור.
ואז
x + y = 8
וגם
80x  זו הדרך הלוך.
90y  זו הדרך חזור.

ומכוון שהדרכים שוות המשוואה השנייה היא:
80x = 90y

וניתן גם להגדיר נעלם אחד.
x הזמן בשעות בדרך הלוך.

זה הזמן בדרך חזור.

ובנוסף:
80x  הדרך הלוך

הדרך חזור.

ומכוון ששתי הדרכים שוות המשוואה היא:
(80x = 90(8 – x

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

4 מחשבות על “בעיות תנועה עם פגישה סיכום”

להגיב על משתמש אנונימי (לא מזוהה) ביטול התגובה

האימייל לא יוצג באתר.