משפט פיתגורס סיכום

בדף זה נסכם את סוגי השאלות העיקריות שיכולים לשאול אותכם בנושא משפט פיתגורס.
הסיכום מיועד לאלו שכבר יודעים את השימוש הבסיסי של משפט פיתגורס ומעוניינים להכיר שאלות קשות יותר.

סוגי השאלות הם:

  1. חישוב בסיסי של צלע.
  2. שני משולשים עם צלע משותפת.
  3. שילוב של יחס בין צלעות.
  4. משפט פיתגורס במשולש שווה שוקיים.
  5. שילוב משפט פיתגורס עם היקף משולש.
  6. שילוב משפט פיתגורס עם שטח משולש.
  7. משתנה אחד המגדיר שתי צלעות.
  8. דוגמאות למשפט פיתגורס במרובעים.

1.חישוב בסיסי של ניצב או יתר

משפט פיתגורס מאפשר לחשב צלע שלישית במשולש ישר זווית אם יודעים שתי צלעות.

אם הניצבים הם a ו- b והיתר הוא c אז על פי משפט פיתגורס:
a²+b²=c².
שימו כי שני הניצבים נמצאים בצד אחד של המשוואה והיתר נמצא לבד בצד השני של המשוואה.

משפט פיתגורס

2.שני משולשים עם צלע משותפת

לפעמים השרטוט שנקבל יכלול שני משולשים ישרי זווית עם צלע משותפת.
בתרגיל יבקשו מאיתנו לחשב  אורך של צלע במשולש שלא ניתן לבצע בו חישוב.

במקרה זה נבצע חישוב מקדים במשולש שבו כן ניתן לבצע חישוב ולאחר מיכן נמצא

דוגמה 1
על פי הנתונים שבשרטוט, כיצד נחשב את הצלע CD?

פתרון
הצלע CD שייכת למשולש ישר זווית ACD שבו אין לנו מספיק נתונים על מנת לבצע חישוב.
לכן:

  1. נחשב את AC במשולש ABC.
  2. במשולש ACD נדע את AC, AD וכך נחשב את CD.

שימו לב שלאחר שחישבנו את CD אנו יכולים גם לחשב את שטח משולש ABD.

דוגמה 2
בעזרת הנתונים שבשרטוט חשבו את שטח המרובע ABCD.

פתרון
נשים לב ששטח המרובע מורכב מחיבור של שטחי המשולשים ישרי הזווית
SABCD = SABC + SACD
את שטח משולש ABC כבר ניתן לחשב:

לאחר מיכון נחשב:

  1. את צלע AC במשולש ABC.
  2. את צלע CD במשולש ACD.
  3. ואז ניתן לחשב את שטח משולש ACD.

3.יחס בין צלעות

ניתן לפתור תרגילים גם אם יודעים צלע אחת בלבד במשולש ואת היחס בין שתי הצלעות האחרות.

דוגמה 1
היחס ביון שתי הניצבים במשולש ישר זווית הוא 2:3.
אורך היתר במשולש הוא 10 סנטימטר.
חשבו את אורכי הניצבים במשולש.

פתרון
המפתח בפתרון שאלות יחס הוא לדעת להגדיר משתנים.
נושא הגדרת המשתנים מוסבר ביסודיות בדף בעיות יחס.
במקרה זה נגדיר:
2x  אורך ניצב אחד בסנטימטרים.
3x אורך ניצב שני בסנטימטרים.

והמשוואה בעזרת משפט פיתגורס תהיה:
2x)² + (3x)² = 10²)
4x² + 9x² = 100
13x² = 100
x² = 7.7
x = 2.77 או x = -2.77
מכוון ש x הוא גודל חיובי של צלע התשובה היא:
x = 2.77

אורכי הניצבים הם:
AB = 2x = 2*2.77 = 5.54
BC = 3x = 3*2.77 = 8.31

דוגמה 2

במשולש ישר זוויות היחס בין היתר לבין ניצב הוא 5:2.
אורך הניצב השני הוא 4 סנטימטר.
מה היא המשוואה שנבנה בעזרת משפט פיתגורס?

פתרון
יחס 5:2 זה אומר שהגדרת המשתנים שלנו תהיה:
5x אורך היתר.
2x  אורך הניצב.
לכן המשוואה תהיה:

2x)² + 4² = (5x)²)

כך נראה המשולש:

4.משפט פיתגורס ומשולש שווה שוקיים

תכונה ראשונה
במשולש שווה שוקיים:
אם אנחנו יודעים את שלושת צלעות המשולש
אז ניתן למצוא את אורך הגובה לבסיס ואת שטח המשולש.

למשל ניתן למצוא את שטח המשולש שבשרטוט.

עושים זאת על ידי העברת גובה שהוא גם תיכון לצלע BC.
ואז ניתן לחשב את AD ואת שטח משולש ABC אם צריך.

AD² + 7² = 10²

תכונה שנייה
אם המשולש הוא שווה שוקים וישר זווית.
אז במידע ונדע צלע אחת של המשולש ולא חשוב איזו נוכל לדעת את שלושת הצלעות.

דוגמה 1
ידוע כי אורך היתר במשולש שווה שוקיים וישר זווית הוא 10 סנטימטר.

  1. מצאו את אורך השוקיים.
  2. חשבו את שטח המשולש.

פתרון
נגדיר את אורך כל אחד מהשוקיים כ x ונכתוב משוואה בעזרת פיתגורס.
x² + x² = 10²
בסופו של דבר נקבל:
x = √50

ושטח המשולש הוא 25 סמ"ר.

שימו לב להבדל בין שתי התכונות שלמדנו

  1. בכול המשולשים שהם שווה שוקיים ניתן למצוא את השטח עם יודעים את שלושת הצלעות.
  2. רק במשולשים שהם שווה שוקיים וישרי זווית ניתן למצוא בעזרת צלע אחת את שתי הצלעות האחרות.

5.שילוב של משפט פיתגורס עם שטח משולש

שטח משולש מחשבים תמיד כמכפלה של צלע בגובה חלקי 2.
אבל מכוון שיש 3 צלעות במשולש יש גם 3 דרכים לחשב את שטח המשולש.
בכל שלושת הדרכים שטח המשולש שנגיע אליו הוא אותו שטח.

התבוננו בשרטוט שלמטה ותגידו אם אתם יודעים כיצד ניתן למצוא את CD?

הדרך לפתרון:

  1. מוצאים את AB באמצעות משפט פיתגורס.
  2. משתמשים בזה ש CD * AB צריך להיות שווה ל AC * BC = 12. כדי למצוא את CD.

הפתרון המלא:
AB² = 3² + 4² = 25
AB = 5

שטח משולש ABC הוא:

ניתן לחשב את שטח משולש ABC גם כך:

נכפיל את המשוואה שקיבלנו פי 2 ונקבל:
5CD = 12
CD = 2.4
תשובה: אורכו של הגובה CD הוא 2.4 ס"מ.

6.שילוב של משפט פיתגורס עם היקף משולש

תרגיל
היקף משולש הוא 24 סנטימטר.
אורך אחד הניצבים הוא 6 סנטימטר.
מצאו את אורך שתי הצלעות הנוספות במשולש.

פתרון
נגדיר :
x אורך הניצב השני.
ולכן אורך היתר הוא:

עכשיו אנו יכולים לבנות בעזרת משפט פיתגורס משוואה:
x² + 6² = (18 – x)²
x² + 36 = 324 – 36x + x²
36x = 288  / :36
x = 8

8 הוא אורכו של הניצב השני, נמצא את אורכו של היתר

7.משתנה אחד המגדיר שתי צלעות

בשאלות מסוג זה יש לנו נתון על צלע במשולש שאינו ישר זווית.
כמו AB = 15 בשרטוט שלפנינו.
AB=15, BC = 12,  AC=9
CD⊥AB.
ואנו צריכים למצוא את אחת מהצלעות AD, DB, CD.

משפט פיתגורס, שרטוט התרגיל

פתרון
AB = 15 זה נתון שאנו לא יודעים איך להשתמש בו.
אבל אם נגדיר
BD = x
AD = 15 – x

נגדיר את CD בעזרת פיתגורס בשני המשולשים ישרי הזווית.
במשולש CDB נמצא משוואה ראשונה:
CD² = 12² – X²

במשולש CDA נמצא משוואה שנייה:
(CD² = 9²-(15-X)² = 9²-(15-X) * (15 – x
(CD² = 9² – (225 – 15x – 15x +x²
(CD² = 81-( 225 – 30X + X²
CD² = 30X – X² -144

קיבלנו שתי משוואות:
CD² = 12² – X²
CD² = 30X – X² -144
אנו יכולים להשוות בין שתי המשוואות ולקבל משוואה עם נעלם אחד:

30X – X² -144 = 12² – X²
30X = 144+144=288
X=9.6

נציב במשוואה הראשונה ונקבל:
CD² = 12² – X²
CD = 12²-9.6²=51.84
CD = 7.2 ס"מ.

לסיכום פתרנו את השאלה בשלושה שלבים:

  1. בחירת משתנה שמאפשר לנו להגדיר שתי צלעות.
  2. יצירת שתי משוואות הכוללות צלע משותפת לשני המשולשים (הצלע CD).
  3. השוואה בין שתי המשוואות.

8.משפט פיתגורס במרובעים

ניתן דוגמאות למשפט פיתגורס במרובעים.

הנתונים יוצגו בשרטוט ולאחר מיכן תוצג דרך למצוא את הצלע החסרה.

תרגיל 1
המרובע ABCD הוא טרפז ישר זווית.
מצאו את AB.

פתרון מקוצר
נוריד את הגובה AE.
AECD מלבן.
AE = DC = 6
EB = BC – AD = 4
על פי משפט פיתגורס במשולש ABE.
AB² = 4² + 6²

תרגיל 2
במלבן
CD = 9
BD = 15
CE = 3
חשבו את EB.

פתרון
במשולש DCB נוכל למצוא את CB.
CB² = 15² – 9²
לאחר שנעשה זאת נוכל למצוא את EB בצורה הזו:
EB = BC – EC

תרגיל 3
במעוין היחס גדלי האלכסונים הוא 2:3.
אורך צלע המעוין היא 10 סנטימטר.
מצאו את אורכי אלכסוני המעוין.
(זכרו כי אלכסוני המעוין מאונכים זה לזה וחוצים זה את זה).

פתרון
נגדיר
2x  אורכו של חצי אלכסון מעוין.
3x  אורכו של החצי השני.
המשוואה על פי פיתגורס תהיה:
2x)² + (3x)² = 10²)

לאחר שנמצא את x עלינו להכפיל את x ב 4 ו 6 על מנת למצוא את אורכי האלכסונים.
כי 2x, 3x  הוגדרו כחצי מאורכי האלכסונים.

כך נראה התרגיל והגדרת המשתנים בשרטוט.
AO = 2x
BO = 3x

9.סיכום של הסיכום

לאחר שאתם שולטים בהצלבה בסיסית בנוסחת משפט פיתגורס עליכם לדעת שבחלק מהשאלות עליכם להתמקד בזיהוי המשולש שבו יש לכם מספיק נתונים על מנת לבצע חישובים ורק כך תוכלו לבצע חישוב במשולש שבו אתם צריכים למצוא את הצלע.

עליכם לדעת להגדיר צלעות באמצעות משתנה אחד כאשר נתון לכם היחס בין הצלעות.

לדעת להשתמש בתכונה של משולש שווה שוקיים ומשולש שווה צלעות בהם הגובה הוא גם תיכון.

לדעת לעשות שימוש בהיקף על מנת לבטא אורך צלע ולדעת לעשות שימוש בחישוב שטח משולש בשילוב עם פיתגורס.

כאשר נתון לכם גודל של צלע שלא שייכת למשולש ישר זווית בדקו אם ניתן על ידי פיצול הצלע לשני חלקים כן לבצע חישובים.

10.קישורים

  1. משפט פיתגורס – דף עם תרגילים.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

2 מחשבות על “משפט פיתגורס סיכום”

  1. קיבלתי שאלה אל מציאת הניצבים בעצם נתון לי רק שהיתר שווה ל10 ס"מ.
    הביטוי של אורך אחד הניצבים הוא x ס"מ והביטוי של אורך הניצב השני הוא x-2 ס"מ.
    אני צריכה לחשב כמה הניצבים שווים אבל אני לא הצלחתי להבין איך לפתור אשמח לעזרה.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.