סדרות מתמטיות

לימוד סדרות על פי מספר יחידות לימוד

עבור תלמידי 3 יחידות:

• סדרה חשבונית שאלון 182 (801).
• סדרות שאלון 381 (802).

עבור תלמידי 4-5 יחידות:

1. סדרות 4 יחידות.
2. סדרות 5 יחידות.

לימוד סדרות על פי נושאים

סדרה חשבונית

1. שיעור ראשון: איך מוכיחים שסדרה היא סדרה חשבונית.
2. שיעור שני: נוסחת האיבר הכללי.
3. שיעור רביעי: בעיות מציאותיות.

סכום סדרה חשבונית

1. שיעור 1: סכום האיברים האחרונים בסדרה חשבונית.
2. שיעור 2: סכום האיברים במקומות הזוגיים או האי זוגיים.
3. שיעור 3: מספר האיברים החיוביים / שליליים בסדרה וסכומם (נושא חשוב פחות מהשניים הראשונים).
4. סכום סדרה חשבונית – דף מסכם.

סדרה הנדסית

1. שיעור 1: סדרה הנדסית (דף העוסק בעיקר בנוסחת האיבר הכללי).
2. שיעור 2: סדרה הנדסית סכום האיברים במקומות האחרונים.
3. שיעור 3: סדרה הנדסית סכום האיברים הזוגיים או האי זוגיים.
4. שיעור 4: סכום סדרה הנדסית מתכנסת (נושא חשוב!)
5. סכום סדרה הנדסית (דף מסכם).

לימוד יסודי של נושא סדרות אני ממליץ לעשות מהקישורים שלמעלה.
בהמשך הדף מידע בסיסי בלבד בנושא סדרות.

הגדרות ומונחים בסיסיים בנושא סדרות

המושג סדרה מתמטית מתייחס לקבוצה של מספרים המסודרים על פי מיקום. איבר ראשון, איבר שני וכו.

במבחני הבגרות בדרך כלל ההתייחסות היא לסדרה מתמטית שבה יש חוקיות מסוימת.

סימנים מקובלים עבור סדרות :

a₁ – האיבר הראשון של הסדרה.
n – מספר איברי הסדרה.
1,2,3…n – המיקום של של האיבר הספציפי בסדרה. למשל a₅ הוא האיבר החמישי בסדרה.
a_n – האיבר הכללי של הסדרה.
s_n – סכום איברי הסדרה.

בסדרה חשבונית :
d – ההפרש בין שני איברים סמוכים בסדרה.

בסדרה הנדסית :
q – המנה המתקבלת מחילוק שני איברים סמוכים בסדרה.

סדרה חשבונית

סדרה חשבונית היא סדרה בעלת איבר ראשון קבוע וכל איבר אחר שלה מתקבל על ידי הוספת מספר קבוע לאיבר שקדם לו.

למשל :
2,7,12,17,22
במקרה זה התוספת של 5 כל פעם.
נשים לב שבסדרה חשבונית כל איבר הוא הממוצע של שני האיברים הסמוכים לו.
אם x,y,z הם איברים בסדרה חשבונית אז מתקיים y=(x+z)/2.

נוסחאות סדרה חשבונית

בדרך כלל תרגילים בסדרות נפתרים על ידי פתרון שתי משוואות עם שני נעלמים. לכן חשוב מאוד להבין ולזכור את הנוסחאות, הם 50% מהפתרון.

נוסחת האיבר הכללי :
a_n = a₁ + (n-1)d

נוסחת האיבר הבא :
a_n+1 = a_n + d

סכום סדרה חשבונית :
s_n = (a₁ + a_n ) *n/2
זו הנוסחה היסודית של הסכום. הנוסחה בעצם אומרת שהסכום הוא האיבר הממוצע של הסידרה (a1+an)/2) כפול מספר איברי הסדרה.

כאשר נציב במקום an את a₁ + (n-1)d נקבל :
sn = (2a₁ + (n-1)d)*n/2

כאשר נציב במקום a₁ בנוסחה הראשונה את a_n – (n-1)d נקבל :
s_n = (2a_n – (n-1)d)n/2

איך מוכיחים שסדרה היא סדרה חשבונית ?

כדי להוכיח שסדרה היא סדרה חשבונית צריך להוכיח שהפרש בין שני איברים סמוכים הוא מספר קבוע ואינו משתנה כאשר האיברים משתנים.

או בניסוח מתמטי :
צריך להוכיח שלכל n טבעי מתקיים
an – an-1 = k
כאשר k מספר קבוע.

תרגילים בסדרה חשבונית

התרגילים הם תרגילים בסיסיים ונועדו להמחיש לכם עד כמה הכרת המשוואות מובילה אותכם אל הפתרון, כמעט בלי צורך בידע נוסף.

תרגיל 1
בסדרה חשבונית האיבר השביעי גדול פי 4 מהאיבר השלישי וסכום האיברים השלישי והרביעי גדול ב 1 מהאיבר החמישי. מצא את הפרש הסדרה החשבונית.

פתרון
שני המשתנים שאנו לא יודעים בסדרה החשבונית הזאת (ובהרבה שאלות נוספות) הם האיבר הראשון של הסדרה והפרש הסדרה החשבונית. לכן נגדיר :

a₁ – האיבר הראשון בסדרה.
d – הפרש הסדרה.
עכשיו אנחנו צריכים לבנות שתי משוואות על מנת למצוא את שני הנעלמים שלנו.

מהו האיבר השלישי ?
a3 = a1 + 2d
מהו האיבר השביעי ?
a7 = a1 + 6d

לכן על פי הנתונים המשוואה הראשונה היא :
a1 + 2d)*4 = a1 + 6d)
4a₁ + 8d = a₁ + 6d
2d = -3a₁
d = -1.5a₁

האיבר הרביעי הוא :
a4 = a1 + 3d
האיבר החמישי הוא :
a5 = a1 + 4d
לכן המשוואה השנייה היא :
a1 + 3d + a1 + 2d = a1 + 4d +1
2a₁ + 5d= a₁ + 4d +1
d = -a₁ + 1

נפתור את שני המשוואות
d = -1.5a₁
d = -a₁ + 1

נקבל:
a₁ +1= -1.5a₁–
0.5a₁ = -1
a₁ = -2

נציב במשוואה
d = -1.5a₁
ונקבל:
d = -1.5 * (-2) = 3
תשובה: הפרש הסדרה הוא 3

תרגיל 2
רוכב אופניים רכב 10 מקצים בתחרות. כל מקצה היה ארוך מקודמו ב – 5 ק”מ. המקצה העשירי היה גדול פי 10 מהמקצה הראשון. מצא את אורכו של המקצה העשירי.

פתרון
בין מקצי הרכיבה השונים קיים הפרש קבוע (5), לכן אורכי המקצים הם סדרה חשבונית.
בשאלה זו אנו לא יודעים את האיבר הראשון, לכן נגדיר :

a₁ – אורכו של המקצה הראשון.
אורכו של המקצה העשירי הוא :

a10 = a1 + 9d = a1 + 45
המשוואה שלנו היא :
10a1 = a1 + 45
נפתור את המשוואה ונקבל :
a1 = 5
a10 = a1 + 45 = 50
תשובה : אורך המקצה העשירי הוא 50 קילומטר.

תרגיל 3
מצאו את הסכום של 20 האיברים הראשונים בסדרה חשבונית שבה האיבר הרביעי קטן ב 6 מאיבר השישי אם נתון שהאיבר הראשון הוא 4.

פתרון
נתון :
a1= 4
n=20
s20 = ?
האיבר הרביעי :
a4 = a1 + 3d
האיבר השישי :
a6 = a1 + 5d

המשוואה הראשונה היא :
a4 + 6 = a6
a1 + 3d + 6 = a1 + 5d
נפתור ונקבל d=3
s20 = (2a1 + 19d)*10 = (2*4 + 57)*10 =650
תשובה : סכום 20 האיברים הראשונים של הסדרה הוא 650.