חוקי חזקות סיכום

בדף זה נסכם את היסודות של חוקי חזקות.

1.ארבעת חוקי החזקות החשובים

מה הם חוקי חזקות?
חוקי החזקות הם החוקים שמאפשרים לנו לבצע פעולות חשבון בין חזקות.
לכפול, לחלק, לפתוח סוגריים ועוד.

מה הם חוקי החזקות החשובים?
ארבעת החוקים החשובים ביותר הם אלו המאפשרים לנו לחשב את הפעולות הבסיסיות ביותר:
כפל, חילוק, חזקה של חזקה ופתיחת סוגריים.

1.כפל חזקות
am * an = am + n

דוגמה:
34 * 32 = 34+2 = 36

2.חילוק חזקות

דוגמה:

3.חזקה של חזקה
am)n = am * n)

דוגמה:

(42)3 = 42 * 3 = 46

4.פתיחת סוגריים
a*b*c)m = am * bm * cm)

דוגמה:

(2 * 3 * 4)10 = 210 * 310 * 410

לכל 4 החוקים הללו דברים משותפים ואנו נלמד את ארבעת החוקים יחד.

התנאים שמאפשרים את חוקי החזקות

לחוקי החזקות יש תנאים:

כפל וחילוק ניתן לבצע בין חזקות רק שבסיס החזקה הוא אותו בסיס.
34 * 42 =
לא ניתן להשתמש בחוק של כפל חזקות עבור תרגיל זה

פתיחת סוגריים ניתן לבצע רק כשיש כפל בין כל האיברים שבתוך הסוגריים.
(2 * 3 – 4)10 =
לא ניתן להשתמש בחוק של פתיחת סוגריים עבור תרגיל זה.

שגיאה נפוצה

השגיאה הנפוצה היא שאנו מבצעים את הפעולה שאנו רואים ולא את הפעולה שכתובה בחוק.

למשל בכפל חזקות אנו צריכים לחבר את מעריכי החזקה.
am * an = am + n

והטעות היא שאנשים רואים את פעולת הכפל ולכן הם כופלים את מעריכי החזקה
  am * an ≠ am * n

כך זה גם בחזקה של חזקה.
הפעולה שהחוק אומר לעשות היא כפל של המערכים.
am)n = am * n)

ואילו הטעות שאנשים עושים היא לבצע חזקה לחזקה.

2.סוגים של תרגילים

am * an = am + n

am)n = am * n)

a*b*c)m = am * bm * cm)

1.בחזקה יש מספר

תרגיל כפל:
x5 * x2 = x2+5 = x7

תרגיל חילוק:

ניתן ליישם את החוקים גם לתרגילים בהם יש יותר משני איברים:
910 = 92+5+3 = 93 * 95 * 92

2.החזקה היא משתנה

תרגיל כפל
4x * 42x = 4x + 2x = 43x

תרגיל חזקה של חזקה
(62a)5 = 62a * 5 = 610a

3.תרגילים המשלבים גם מספרים ללא חזקות

כאשר בתרגיל יש לנו מספרים ללא חזקות אנו מתייחסים אל הביטויים הכוללים חזקות בנפרד ושאינם כוללים חזקות בנפרד.

כפל חזקות
= 5x4 * 3x3

x4 * x3 * 5 * 3
x4+3 * 15 = 15x7

חילוק חזקות

4.תרגילים המשלבים בין חוקים שונים

לרוב אלו יהיו תרגילים עם מונה ומכנה.
בתרגילים הללו נבצע את הפעולות במונה בנפרד, במכנה בנפרד ואז נחשב את פעולת החילוק.

 

 

 

5.תרגילים המשלבים בין פתיחת סוגריים לחזקה של חזקה

לא פתרנו עוד תרגילים עם החוק של פתיחת סוגריים לכן נחזור על חוק זה:

a*b*c)m = am * bm * cm)

דוגמאות:

2x)5 = 25x5)

x*2*y)7 = x7*27*y7)

3x)² * 2x = 3²x² * 2x = 18x³)

כאשר החוק משולב עם החוק "חזקה של חזקה" זה מוסיף קושי ויכולות להיגרם טעויות.
am)n = am * n)

דוגמה 1

(2x6y)4 = 24 * (x6)4 * y4 =

24 * x6*4 * y4 = 24 * x24 * y4

דוגמה 2
 (x3*y2*z)5 = (x3)5 * (y2)5 * z5

x3*5*y2*5*z5 = x15y10z5

חוקי חזקות ל 0 ו 1

יש שני דברים שאתם צריכים לזכור:

המספר 1 במעריך החזקה
כאשר אנו לא רואים חזקה מעל מספר זו בעצם החזקה 1.
7¹ = 7
x = x¹

לכן פתרון של תרגיל יכול להראות כך:
6 * 68 = 61 * 68 = 69

המספר 0 במעריך החזקה
כל מספר בחזקת 0 שווה ל 1.
1 = 60
x0 = 1

מלבד 00 שהוא ביטוי לא מוגדר.

בנוסף יש עוד שני דברים שנובעים ממה שלמדנו עד עכשיו והם לא מיוחדים ל 0 או 1.

המספר 1 בבסיס החזקה
המספר 1 בחזקת כל מספר שווה ל 1.
1 = 1*1*1 = 1³
1 = 1100

המספר 0 בבסיס החזקה
0 בחזקת כל מספר שווה ל 0.
מלבד 00 שהוא ביטוי לא מוגדר.

0 = 0*0 = 0²
0 = 057

חוקי חזקות נוספים 

החוק של חזקה שלילית:

וגם הכלל ההפוך:

 

דוגמה 1

דוגמה 2

החוק של חזקה על שבר

דוגמה:

חיבור חזקות

באופן רגיל חיבור וחיסור אלו הן הפעולות הקלות ביותר.
אבל כאשר מדובר בחזקות הן גורמות אצל חלק מהתלמידים לבלבול.

במקרה ואתם לא מבינים אני ממליץ ללמוד מהסרטון או מהקישור חיבור חזקות.

חיבור חזקות וחיסור חזקות אלו הן פעולות האפשרית רק במצב אחד:
כאשר גם בסיס החזקה וגם מעריך החזקה שווים.

x4 + x4 = 2x4
3x7 + 2x7 = 5x7
6x5 – 4x5 = 2x5

ניתן להבין את הנושא של חיבור וחיסור חזקות גם על ידי הוצאת גורם משותף.

6x5 – 4x5 = x5 (6 – 4)
x5 * 2 = 2x5

דוגמאות למקרים שאסור לעשות חיבור / חיסור חזקות:

x4 + x2 = x6
(בגלל שמעריכי החזקה לא שווים)

= y2 + x2
(בגלל שבסיסי החזקה לא שווים)

3x²y – 2x²y²
(בגלל שהחזקה של ה y היא לא אותה חזקה)

3x²y – 2x²yz
(בגלל שאלו לא ביטויים זהים, ביטוי אחד כולל את z והשני לא).

אוסף תרגילים

  1.    = a4 *a2 * a7  
  2.    =  ax * a1.5x
  3.  
  4.  
  5.   = x3)7)
  6.  
  7.   =   3x)² * 2x )
  8.   =  x-4*y5*z)4 )

תרגילים קשים יותר:

 

פתרונות

תרגיל 1
a4 *a2 * a7  = a4+2+7 = a13

תרגיל 2
ax * a1.5x = ax + 1.5x = a2.5x

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

x3)7 = x3 * 7 = x21)

תרגיל 6

תרגיל 7

3x)² * 2x = 3²x² * 2x = 18x³)

תרגיל 8

x-4*y5*z)4 = x-4*4*y4*5*z4 = x-16y20z4)

 

פתרונות לתרגילים הקשים יותר:

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

4 מחשבות על “חוקי חזקות סיכום”

  1. אני רושם באנגלית כי הנטקוד של האתר הזה לא מאפשר לרשום בעברית עם מספרים
    how did you get from:
    5^(x+1)
    to:
    5^2 * 5^(x-1)
    ?
    because if: a^m * a^n = a^(m + n)
    then: 5^1 * 5^x

  2. יש לי שאלה לגבי חזקות וסוגריים. כאשר יש מינוס בסוגריים מה עושים?
    למשל: 2^(x-4)
    תחילה חשבתי לפרק את הסוגריים בדרך שחשבתי שהיא הנכונה: x^2+16
    ואז, ניסיתי להציב באיקס חמש.
    1=2^1=2^(5-4)
    אבל אם פותרים לפי הדרך שפירקתי את הסוגריים מקודם – התוצאה לא זהה:
    (5-4)^2=25+16=41
    איך פותרים תרגילים מהסוג הזה?

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.