חזקה שלישית: נוסחאות הכפל המקוצר

בדף זה שני חלקים:

  1. נוסחאות הכפל המקוצר לחזקה שלישית.
  2. נוסחאות להפרש וסכום חזקות.

כל חלק כולל 3 דוגמאות.

1.נוסחאות הכפל המקוצר לחזקה שלישית

נוסחאות הכפל המקוצר לחזקה השלישית הן:

a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³)
a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³)

דוגמה 1
= x + 2)³)

פתרון
נשתמש בנוסחה:
a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³)
x + 2)³ = x³ +3x²*2 + 3x*2² + 2³)
x³ +6x² + 12x + 8

דוגמה 2
= x – 5)³)

פתרון
נשתמש בנוסחה:
a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³)
x – 5)³ = x³ – 3x²*5 + 3x*5² – 5³)
x³ – 15x² + 75x -125

דוגמה 3
= 2x + 4)³)

פתרון
נשתמש בנוסחה:
a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³)
x + 4)³ = (2x)³ +3*(2x)²*4 + 3*2x*4² + 4³)
8x³ +3 * 4x² *4 + 96x + 64
8x³ + 48x²  + 96x + 64

2.נוסחאות להפרש וסכום חזקות

אלו שתי נוסחאות העוזרות לנו לפרק לגורמים חזקה שלישית:

(a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²
(a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²

בדוגמאות הבאות נקבל ביטוי ונבצע לו פירוק לגורמים.

דוגמה 1
= x³ + 8

פתרון
x³ + 8 = x³ + 2³
נשתמש בנוסחה:
(a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²
(x³ + 2³ = (x +2) (x² – 2x +2²

דוגמה 2
= x³ – 27

פתרון
x³ – 27 = x³ – 3³
נשתמש בנוסחה:
(a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²
(x³ – 3³ = (x -3) (x² + 3x + 3²

דוגמה 3
מצאו לכמה שווה:
x³ + y³
אם ידוע כי:
xy = 10
x + y = 7

פתרון
לפני שנפתור את התרגיל יש טכניקה שצריך לדעת והיא תשמש אותכם בתרגיל זה ובתרגילים דומים.
[x² – xy + y²) = [(x² + 2xy + y²) – 3xy)
[(x + y)² – 3xy)] זה עיקר "התחכום האלגברי" שאתם צריכים להבין.
מה שעשינו בפעולה זו הוא לקחת את הביטוי
x² – xy + y²
ולהוסיף לו 3xy וגם לחסר ממנו 3xy כך שיתאים לפתיחת סוגריים על פי הנוסחה לדו איבר בריבוע:
x + y)² = x² + 2xy + y²)
ועשינו זאת כי ידוע לנו בנתונים לכמה שווה x + y.

פתרון
המטרה שלנו תהיה לבטא את x³ + y³ בעזרת שני הביטויים:
xy = 10
x + y = 7
ואז להציב מספרים.

(x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²
(x + y) (x² + 2xy + y² – 3xy)
[x + y) [(x² + 2xy + y²) -3xy)

[x + y) [(x + y)² – 3xy)
עכשיו אנו יודעים את הערך של כל הביטויים ואנו יכולים להציב מספרים.
= [10*3 – 7²] * 7
= [30 – 49] * 7
133 = 19 * 7

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

4 מחשבות על “חזקה שלישית: נוסחאות הכפל המקוצר”

  1. חשוב לי לכתוב לך תודה!
    אני לא תלמידת תיכון, אלא סטודנטית וכחלק מההכנה לתואר לקחתי מכינה למתמטיקה קדם אקדמית
    והיא פשוט לא עזרה לי…
    לעומת זאת האתר שלך עזר לי להבין דברים
    שהייתי בוכה עליהם ימים שלמים.

    תודה רבה לך, הצלת אותי!

  2. פרסי ג'קסון

    האתר הזה מאוד מועיל לי! יש לי מבחן במתמטיקה, ואני לא מבינה את כל הדברים והאתר הזה פשוט עוזר לי מאוד!

להגיב על Shir ביטול התגובה

האימייל לא יוצג באתר.