נוסחת השורשים

דף זה הוא החלק הראשון בנושא לימוד משוואה ריבועית.
יחד עם הדף בנושא טרינום הוא גם הדף החשוב ביותר.

לדף זה 6 חלקים:

  1. סיכום וידאו.
  2. נסביר מדוע נדרשת דרך מיוחדת לפתרון המשוואה הריבועית.
  3. כיצד מזהים את הפרמטרים.
  4. הצבת מספרים ופתרון.
  5. מספר הפתרונות של נוסחת השורשים.
  6. שגיאות נפוצות בשימוש בנוסחת השורשים.
  7. תרגילים.
  8. תרגילים קשים יותר.
  9. נספח: דרכים קצרות יותר לפתרון משוואה ריבועית.

1.סיכום וידאו

ניתן ללמוד את החומר מסיכום זה או מהסרטונים והדברים שכתובים בהמשך הדף.

2.מדוע משוואה ריבועית צריכה נוסחה מיוחדת

כאשר אנו מקבלים משוואה "רגילה" כזו:

2x + 3 = 13

אנו מבודדים את x ומוצאים
x = 5

אבל אם נקבל משוואה ריבועית כזו:

x²+7x+12=0

לא נוכל בעזרת הכלים של תלמידי תיכון לבודד את x.

לכן יש לנו את נוסחת השורשים שמאפשרת לפתור משוואה ריבועית.

יתרונה של נוסחת השורשים הוא שהיא מאפשרת להגיע לתשובה בכל משוואה ריבועית.

אבל קיימים גם דרכי פתרון אחרים שעובדים רק בחלק מהמקרים והם קצרים יותר.
ניתן ללמוד אותם במשוואה ריבועית דרכי קיצור.

נוסחת השורשים נראית כך:

נוסחת השורשים

בשלב הבא נכיר את a,b,c ונלמד להציב בצורה נכונה.

דברים שצריך לדעת על שורש

כפי שאתם רואים נוסחת השורשים כוללת שורש.
ולפני שאנו מתקדמים יש 3 דברים שאתם צריכים לדעת על שורש.

1.למספר חיובי יש שורש יחיד.

לדוגמה:

√16 = 4

יש החושבים שגם 4 – הוא פתרון, אבל זה לא נכון.

התוצאה של פעולת השורש היא חיובית בלבד.

2.למספר שלילי אין שורש.

כלומר:

√-9

הוא ביטוי ללא פתרון.

וכל משוואה הכוללת שורש שלילי היא משוואה ללא פתרון.

למשל:

x + √-25 = 10

זו משוואה שאין לה פתרון.

3.השורש של 0 הוא 0.

√0 = 0

למשל:
x + √0 = 10
x + 0 = 10
x = 10

 

3.זיהוי הפרמטרים של משוואה ריבועית

ax² + bx + c = 0

זה המבנה כללי של משוואה ריבועית.
a,b,c הם מספרים שבכול משוואה ריבועית מקבלים ערך אחר. קוראים להם פרמטרים.

a  הוא המספר הנמצא לפני x².
b  הוא המספר הנמצא לפני x.
c הוא המספר החופשי (המספר שאין x שצמוד אליו).

לדוגמה, במשוואה:

x² + 10x + 9 = 0

המקדמים הם:

a = 1,   b = 10,   c = 9

שני מכשולים שיכולים להיות בקביעת הפרמטרים
1.כאשר פרמטר לא מופיע במשוואה זה אומר שהוא שווה ל 0.

למשל במשוואה:
x² – 30 = 0

הפרמטר b לא מופיע והמשמעות היא ש b = 0.

שימו לב שאת המשוואה הזו ניתן לכתוב גם כ:

x² + 0x – 30 = 0

וכאן רואים כי b = 0.

2.כאשר המשוואה לא מסודרת צריך לסדר אותה לפני קביעת הפרמטרים.

על מנת לקבוע את הפרמטרים כל איברים המשוואה צריכים להיות בצד אחד ובצד השני צריך להיות 0.

למשל:

x² = 9x + 1

לא ניתן לקבוע או לפתור את המשוואה בצורה הזו.
נעביר את כל האיברים לצד אחד של המשוואה:

x² = 9x + 1
x² – 9x – 1 = 0

הפרמטרים הם:
a = 1,   b = -9,   c = -1.

תרגילים

זהו את הפרמטרים במשוואות הבאות:

תרגיל 1
מה הם הפרמטרים a,b,c של המשוואה הבאה:
x² + 2x – 9 = 0

לחצו לצפייה בפתרון

a = 1, b = 2, c = -9

תרגיל 2
מה הם הפרמטרים a,b,c של המשוואה הבאה:
3x² – 5x – 1 = 0

לחצו לצפייה בפתרון

a = 3, b = -5, c = -1

תרגיל 3
מה הם הפרמטרים a,b,c של המשוואה הבאה:
2x² + 5 = 0

לחצו לצפייה בפתרון

(הערה: כאשר אין x בחזקת 1 זה אומר ש b = 0).

a = 2, b = 0, c = 5

תרגיל 4
מה הם הפרמטרים a,b,c של המשוואה הבאה:
3x² + 8x = 0

לחצו לצפייה בפתרון

(הערה: כאשר אין מספר חופשי c = 0).

a = 3, b = 8, c = 0

תרגיל 5
מה הם הפרמטרים a,b,c של המשוואה הבאה:
4x² = -3x + 6

לחצו לצפייה בפתרון

נסדר את המשוואה לפני שנקבע את הפרמטרים:

4x² = -3x + 6
4x² + 3x – 6 = 0

a = 4, b = 3, c = -6

4.הצבת מספרים ופתרון

לאחר שיש לנו את המספרים a,b,c אנו מציבים אותם במשוואת השורשים.

אם המשוואה הריבועית הוא ax² + bx + c=0
אז נוסחת השורשים היא:

נוסחת השורשים
נוסחת השורשים

נשים לב שבמרכז המונה יש את הסימן ± והמשמעות שלו היא שפעם אחת משתמשים בסימן + וזה הפתרון הראשון של המשוואה.
ופעם שנייה משתמשים בסימן – וזה הפתרון השני השל המשוואה.

כלומר ניתן לכתוב את נוסחת השורשים כשתי המשוואות הללו:

כל אחת מהמשוואות הללו נותנת פתרון אחד של המשוואה הריבועית.

סך הכול יכולים להיות למשוואה עד שני פתרונות.

דוגמאות להצבה ופתרון:

דוגמה 1
פתרו בעזרת נוסחת השורשים את המשוואה הבאה:

x² + 10x + 9 = 0

פתרון
עבור משוואה זו:
a = 1,   b = 10,   c = 9

וההצבה נראית כך:

נמצא כל פתרון בנפרד:

הפתרונות הם:  x = -1,   x = – 9.

 

דוגמה 2
פתרו בעזרת נוסחת השורשים את המשוואה הבאה:

x² + 7x + 6 = 0

פתרון
עבור משוואה זו:
a = 1,   b = 7,   c = 6

וההצבה נראית כך:

הפתרונות הם:  x = -1,   x = -6.

 

דוגמה 3
פתרו בעזרת נוסחת השורשים את המשוואה הבאה:

x² – 6x + 5 = 0

פתרון
עבור משוואה זו:
a = 1,   b = -6,   c = 5

וההצבה נראית כך:

נפצל את המשוואה לשני פתרונות:

כאשר ה a שונה מ 1

ברוב המקרים המקדם של x² הוא 1.

אבל בחלק מהמקרים המקדם של x² שונה מ 1.

במקרים מסוימים ניתן לחלק את כל המשוואה ולהגיע למשוואה שבה a = 1.

זה יסייע לנו כי כך נעבוד עם מספרים יותר קטנים.

במקרים אחרים אם נרצה לחלק נקבל מספרים שלא נוח להציב ולכן נציב את המספרים כמו שהם.

אלו יהיו שתי הדוגמאות שנציג.

דוגמה 1 (אפשר לחלק)
4x² – 12x + 16 = 0

פתרון
ניתן לחלק את כל המספרים במשוואה ב 4.

4x² – 12x + 16 = 0  / :4
x² – 3x + 4 = 0

ועכשיו ההצבה בנוסחת השורשים תראה כך:

הערה
גם אם היינו מציבים את המספרים של המשוואה המקורית
4x² – 12x + 16 = 0
היינו מקבלים את אותם פתרונות, אבל החישובים היו נעשים במספרים גדולים יותר.

דוגמה 2 (מקרה שבו לא נוח לחלק)

4x² – 3x + 5 = 0

פתרון
במקרה זה אם נחלק ב 4 נקבל שברים שלא נוח לעבוד איתם.

לכן נציב את המספרים במשוואה כמו שהיא:

a = 4,   b = -3,   c = 5

 

5.מספר הפתרונות של נוסחת השורשים

6.שגיאות נפוצות בשימוש בנוסחת השורשים

יש מספר שגיאות שחוזרות על עצמם כאשר מציבים בנוסחת השורשים:

1.התעלמות מה a שנמצא במכנה או ה 2 שבמכנה.

ברוב המשוואות שנפתור המקדם של x² יהיה 1.

לפעמים אנו מתרגילים לכך, וכאשר a ≠ 1 אנו לא מציבים זאת בנוסחה.

2.רישום b – בצורה נכונה.

בעיקר יש לנו משוואות ריבועיות שבהם b הוא שלילי.
כמו:

x² – 2x + 10 = 0

אנו עלולים לא לזכור לרשום מינוס b כפי שצריך.
ברישום נכון נקבל במקרה זה מינוס מינוס.

 

3.בתוך השורש יש b² והחזקה היא על כל b.

אם b = -2 אז החזקה שבתוך השורש צריכה להיות גם על המינוס.

דוגמה להצבה b = -2 בנוסחת השורשים.

4.בתוך השורש יכול להיות כפל של 3 מינוסים

אם a,c הם שליליים אז הביטוי שבתוך השורש

-4ac

יכלול כפל של 3 מינוסים.
עלינו לשים לב שאנו מגיעים לתשובה ולסימן הנכון.

כפל של 3 מינוסים ⇐ תוצאה שלילית.
כפל של 2 מינוסים ⇐ תוצאה חיובית.

דוגמה להצבה a = -1,  c = -3

7. תרגילים

מצורפים 5 משוואות ריבועיות. לאחריהן מופיעים התשובות הסופיות של התרגילים ולאחריהן יש את הפתרונות המלאים של התרגילים.
פתרו את המשוואות הריבועיות הבאות:

  1. x²+7x+12=0
  2. x²-3x-10=0
  3. 4x²-7x+2=0-
  4. 4x²-12x+9=0
  5. x²+6x-10=0-

תשובות סופיות וזיהוי הפרמטרים:

תרגיל 1
x²+7x+12=0
a=1,  b=7,   c=12
x1= -4, x2= -3

תרגיל 2
x²-3x-10=0
a=1, b=-3, c=-10
תשובה: x1=5, x2=-2.

תרגיל 3
4x²-7x+2=0-
a=-4, b=-7, c=2
x1=-2, x2=0.25

תרגיל 4
4x²-12x+9=0
a=4, b=-12, c=9
x=1.5

תרגיל 5
x²+6x-10=0-
a=-1,  b=6,  c=-10
פתרונות: למשוואה זו אין פתרונות (כי הביטוי שבתוך השורש שלילי, כפי שנראה בפתרון המלא).

פתרונות מלאים לתרגילים

תרגיל 1
פתרו את המשוואה הריבועית
x²+7x+12=0

פתרון
הפרמטרים הם:
a=1, b=7, c=12
נציב את הפרמטרים בנוסחת השורשים

נוסחת השורשים
נוסחת השורשים

פתרון: x1 = -3,   x2 = -4

תרגיל 2
פתרו את המשוואה הריבועית
x²-3x-10=0

פתרון
הפרמטרים הם:
a=1, b=-3, c=-10
נציב את הפרמטרים בנוסחת השורשים

נוסחת השורשים
נוסחת השורשים

תשובה: x1 = 5,   x2 = -2.

תרגיל 3
פתרו את המשוואה הריבועית
4x²-7x+2=0-

פתרון
הפרמטרים הם:
a=-4, b=-7, c=2
נציב בנוסחת השורשים:

נוסחת השורשים
נוסחת השורשים

תשובה: x1 = -2,   x2 = 0.25.

תרגיל 4
פתרו את המשוואה הריבועית
4x²-12x+9=0

פתרון
הפרמטרים הם:
a=4, b=-12, c=9
נציב בנוסחת השורשים:

נוסחת השורשים
נוסחת השורשים

תשובה: למשוואה זו פתרון אחד בלבד והוא x = 1.5.

תרגיל 5
פתרו את המשוואה הריבועית
x²+6x-10 = 0-

פתרון
הפרמטרים הם:
a= -1, b=6, c=-10
נציב בנוסחת השורשים:

נוסחת השורשים
נוסחת השורשים

בתוך השורש נמצא הביטוי
4-√ = (40 – 36)√
למספר שלילי אין שורש, לכן למשוואה הריבועית אין פתרון.

8.פתרון משוואות ריבועיות קשות יותר

חלק זה מיועד לתלמידים טובים בהקבצה א בכיתה ט.

במשוואות הריבועיות הקודמות קיבלנו משוואה והפעולה הראשונה שלנו הייתה לזהות את הפרמטרים ולהציב אותם בנוסחת השורשים.

בחלק הזה של הדף נפתור משוואות ריבועיות שצריך לפתוח סוגריים, לכנס איברים ולהעביר אגפים ורק אז לפתור את המשוואה שהתקבלה.

תרגילים

  1. 2x² – 2x + 1 = (x+ 2)²
  2. x – 3)² + 2x² = (x + 2)²)
  3. 2x +1)² – 8x  = (3x -1)²)
  4.   x² + (x + 9) (x + 1)  = (x + 5)²

שלושת השלבים של פתרון משוואה מסוג זה הם:

  1. פתיחת סוגריים.
  2. כינוס איברים בכל צד של המשוואה.
  3. העברת כל האיברים לצד אחד של המשוואה, כך שנקבל משוואה ריבועית.

 

פתרונות

תרגיל 1
2x² – 2x + 1 = (x+ 2)²
2x² – 2x +1 = x² + 4x + 4    / -x² – 4x -4
x² – 6x -3 = 0
הפרמטרים של המשוואה הריבועית הם:
a = 1,  b = -6,  c = -3
פתרון התרגיל

תרגיל 2:
x – 3)² + 2x² = (x + 2)²)
x² – 6x + 9 + 2x² = x² + 4x + 4
3x² – 6x + 9 = x² + 4x + 4    / -x² – 4x – 4
2x² -10x + 5 = 0
הפרמטרים שלנו הם:   a = 2,   b = -10,   c = 5

תרגיל 3: 
2x +1)² – 8x  = (3x -1)²)
4x² + 4x + 1 – 8x = 9x² -6x +1
4x² – 4x + 1 = 9x² -6x +1 / -4x² + 4x – 1
5x² -2x = 0

במקום להשתמש בנוסחת השורשים ניתן להוציא x גורם משותף.
x (5x – 2) = 0
x  = 0,   5x – 2 = 0
x = 0,   x = 0.4

תרגיל 4

  x² + (x + 9) (x + 1)  = (x + 5)²

נפתח את הסוגריים בשני הצדדים ונקבל:
x² + x + 9x + 9 + x² = x² + 10x + 25
2x² + 10x + 9 = x² + 10x + 25

x² – 16  =0

את המשוואה הריבועית הזו ניתן לפתור בכמה דרכים.

1.נוסחת השורשים: זו הדרך הארוכה
נציב
a = 1,  b = 0,  c = -16
בנוסחת השורשים ונפתור.

2.העברת אגפים
x² – 16  =0
x² = 16
x = 4  או   x = -4.

3.שימוש בנוסחה להפרש ריבועיים

חלק מאיתנו יזהו שהביטוי מתאים לנוסחה להפרש ריבועיים:

a² – b² = (a – b) (a + b)

x² – 16  = (x – 4) ( x + 4) = 0

ומכאן הפתרון:
x = 4  או   x = -4.

הדרך הקצרה יותר היא לשים לב ש 10x מתבטל בשני הצדדים, ולכן ניתן לפתור בדרך קצרה יותר.
נבודד את x² בריבוע בצד אחד ואת המספרים בצד השני.

2x² + 10x + 9 = x² + 10x + 25   / -x² – 10x – 9
x² = 16
x² – 16  =0

9.נספח: מקרים בהם ניתן לפתור בדרך יותר קצרה מנוסחת השורשים

(תוכלו ללמוד על הדרכים הללו בפירוט בקישור הנמצא 2 שורות למעלה)

נוסחת השורשים היא דרך בה תוכלו לפתור כל משוואה ריבועית.

אבל יש מקרים בהם ניתן לפתור משוואה ריבועית בדרך קצרה יותר.

פתרון משוואה ריבועית עם פרמטרים חסרים

ax² + bx + c = 0
זה המראה הכללי של משוואה ריבועית.
כאשר a=0 נשארים עם:
bx + c = 0 וזו לא משוואה ריבועית, זו משוואה רגילה.

כאשר b או c שווים ל 0 אנו נשארים עם:
ax² + bx = 0
ax² + c = 0
ואלו כן משוואות ריבועיות שניתן לפתור בדרך קלה יותר.

למשל   ax² + c = 0
במקרה הזה נבודד את ax² בצד אחד של המשוואה ואת c בצד השני.
x² – 9 = 0   / +9
x² = 9
x = 3,   x = -3
(זכרו שלביטוי x² = k  יש שני פתרונות).

דוגמה נוספת:
2x² + 50 = 0  / -50
2x² = -50  / :2
x²  = -25
מספר בריבוע לא יכול להיות שלילי לכן למשוואה הזו אין פתרונות (ותחשבו כמה זמן היה לוקח להגיע למסקנה הזו דרך נוסחת השורשים).

דוגמאות ל: ax² + bx = 0
מצב זה מתקבל כאשר c = 0.
במצב זה נוציא את x גורם משותף.
ונשען על הכלל האומר שאם מכפלת שני ביטויים היא 0 אז אחד מיהם לפחות צריך להיות שווה ל 0.
אם a * b = 0 אז:
a = 0 או b = 0.

x² + 3x = 0
x (x + 3) = 0
x = 0, או  x + 3 = 0
x = 0 או   x = -3

3x² -5x = 0
x (3x – 5) = 0
x = 0  או 3x – 5 = 0
x = 0 או   x = 1.666

סוג שני של פתרון: כאשר משני צדדי המשוואה יש איברים בריבוע

משוואה כמו:
x – 2)² = 4²)
במקרה זה אין צורך לפתוח סוגריים, לכנס איברים, להעביר אגפים…. . אלא ניתן להגיד
x – 2 = 4   או x – 2 = -4
x = 6  או  x = -6.
דוגמאות נוספות ויותר קשות תוכלו למצוא בדף השלמה לריבוע.

סוג שלישי של פתרון: פירוק הטרינום

סוג זה של פתרונות קשה להסבר קצר ותוכלו למצוא הסבר מפורט בדף פירוק הטרינום.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

60 מחשבות על “נוסחת השורשים”

  1. הי תודה על האתר
    רציתי לשאןל איך פותרים את התרגיל:
    איקס ועוד 4 שהם בסוגריים ועל הסוגריים יש חזקת שתיים שווה לעשרים וחמישה איקס בריבוע
    האם תרגיל זה דורש רק נוסחת שורשים ואיך פותרים אותו . תודה רבה

    1. לומדים מתמטיקה

      עניתי בתגובה למטה.
      המשוואה עובדת כאשר צד אחד הוא 0 כי אם זה לא היה כך היה ניתן לכתוב את אותה משוואה במספר צורות.

      1. לומדים מתמטיקה

        שלום
        פלוס מינוס זה חיבור של מספר שלילי שהוא למעשה חיסור.
        אני ממליץ לנסות להבין ואם לא מצליח לזכור את הכלל בכל מקרה. ההבנה כאן לא מאוד חשובה, לעומת זאת הידיעה מאוד חשובה.

  2. אפשר הסבר יותר ארוך חלמה משתמשים הנוסחאות השורשים? למה זה כזה מסובך וארוך? למה הוא עובד רק שהy שווה לאפס…

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום ליה
      על מנת לפתור משוואה עם נעלם אחד בודדנו את המשתנה. במשוואה ריבועית לא ניתן לבודד את המשתנה ונמצאה דרך לפתור בעזרת נוסחת השורשים.
      נוסחת השורשים מתאימה נותנת פתרונות נכונים במצב מסוים ובו y = 0.

      1. אבל למה אז הנוסחא עובדת רק שהy שווה לאפס ולא לשאר המספרים? איך אנחנו יודעים

        1. לומדים מתמטיקה

          כי אם ה y לא שווה ל 0 ושווה למספר אחר אז ה c יכול להיות כל מצב.
          אם ה Y שונה מ 0 זה משנה ערכים אחרים.
          הנוסחה עובדת כאשר כל המספרים מכונסים בצד אחד.
          לא הבנתי את המשפט איך אנו יודעים.

          1. למה בעצם הנוסחא הזאת עובדת רק שהy שווה לאפס ואי אפשר להשתמש בה לחישוב כל פונקציה, מה הקשר לc

            1. לומדים מתמטיקה

              x² – 5x + 10 = 0
              x² – 5x + 12 = 2

              אלו שתי משוואות עם אותו פתרון.
              אבל פרמטרים a.b.c שונים. כלומר אם היינו מציבים את a,b,c בנוסחת השורשים היינו מקבלים פתרון אחר.
              על מנת ש a,b,c יהיו אחידים עבור משוואות עם אותו פתרון צריך שה y = 0.

  3. היי
    איך פותרים תרגילים עם דברים למשל:
    1/2x²+7x+20=0?
    תודה מראש ותודה על האתר הזה הוא עוזר לי מלא

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אפשרות ראשונה
      להציב בנוסחת השורשים
      a = 0.5, b = 7, c = 20

      אפשרות שנייה
      להכפיל את המשוואה פי 2 ולקבל
      x²+14x+40=0
      ולפתור.
      את התרגיל הזה ניתן לפתור גם בעזרת נוסחת השורשים וגם בטרינום.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לא פותרים כאן פתרונות מלאים אבל אתן את הערכים שנראים לי יותר מכשילים.
      רק אגיד שבתוך השורש צריך להיות לך 100 פחות 96
      ובמכנה 2*4
      הפתרונות הם 1.5 ו 1.

  4. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    היי, האם תוכל להסביר לעומק את תרגיל 4 בחלק של השאלות הקשות יותר? לא הבנתי כל כך איך הוא נעשה! תודה רבה לך

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אשמח להסביר אבל אני צריך שאלה מדוייקת יותר על מנת להסביר.
      איזה שלב בשאלה לא ברור.
      בכל אופן אכתוב מספר דגשים ובנוסף יש כאן דף העוסק רק במשוואות מסוג זה, ויש שם הסברים מפורטים יותר כולל וידאו.
      https://www.m-math.co.il/algebra/equations/quadratic-equation-organize/
      ואם השאלה היא על הדרך המקוצרת של הפתרון אז יש כאן 4 שיטות לפתרון מקוצר של משוואה ריבועית
      https://www.m-math.co.il/algebra/equations/quadratic-equation-shortcuts/

      1. היי,
        מצטרף גם לשאלה בנוגע לפתרון של שאלה זו.

        לא הצלחתי להבין את הדרך שבה נפתחו הסוגריים, ניסיתי כמה דרכים אך לא הגעתי לפתרון שלך..

        1. לומדים מתמטיקה

          שלום
          מתנצל הייתה שם תקלה.
          מסיבה שאיני מבין אותה מה שאני ראיתי במערכת הניהול של האתר זה לא מה שראו הגולשים ולכן הפתרון היה לא מובן.
          סידרתי את זה.
          תודה על התיקון.

  5. האם משנה מהו x1 ומהו x2בהרבה מהתרגילים עם פתרונות הx1 שלהם הוא הx2 שיצא לי . והא2 שלהם הוא פתרון בא 1 שלי

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אין משמעות לסדר.
      אלו שני פתרונות ולא משנה איך הם מסודרים.

  6. אנונימית

    היי, יש עוד דרכים לפתור משוואה ריבועית? או דרך יותר קלה בלי לשנן את הנוסחה?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      היתרון של נוסחת השורשים הוא שהיא פותרת את כל המשוואות הריבועיות שיש להן פתרון.
      כלומר, חייבים לדעת אותה.
      אבל יש עוד גרכים לפתור שהן קצרות יותר אבל עובדות רק בחלק מהמקרים.
      ניתן למצוא אותן כאן בדף: 4 דרכי קיצור לפתרון משוואה ריבועית
      https://www.m-math.co.il/algebra/equations/quadratic-equation-shortcuts/

  7. משתמש אנונימי

    שלום
    אם בנוסחת השורשים a=0. אז אין פתרון?
    כי מחלקים את החלק העליון של הנוסחא ב 0 ואי אפשר לחלק ב 0.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם a = 0 זו הופכת למשוואה שאינה ריבועית כי אין בה איקס בריבוע.
      במקרה זה (שבו a = 0) פותרים כמו משוואה עם נעלם אחד רגילה ולא משוואה ריבועית.

  8. הי, יש סיכוי שהמורה שלי בחרה ללמד דווקא את הפתרון עם הטרינום? ואם אני אלמד דווקא את נוסחת השורשים שנראת לי יותר קלה בשבילי זה יבלבל אותי?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום שיר
      כל התלמידים צריכים לדעת את נוסחת השורשים.
      ורוב התלמידים צריכים לדעת גם את הטרינום.

      איני יודע מה סדר הלימוד של המורה שלך – כדאי לשאול אותה.
      אבל בסופו של דבר צריך לדעת את נוסחת השורשים. יש תרגילים שהיא פותרת ולא ניתן לפתור בעזרת טרינום.

  9. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    במשוואות הקשות יותר
    יש את תרגיל 1
    בהעברת האגפים ופיתרון
    2x-4x-
    זה יוצא 8x-
    ולא 6x-

  10. היי.
    קודם כל תודה רבה על האתר המדהים!
    דבר שני, לא מצאתי כל כך דוגמא לנוסחת השורשים במשוואה עם פרמטרים. האם זה דבר אפשרי בכלל?
    במידה וכן אפשר לקבל דוגמא/הסבר?
    תודה רבה.

  11. בפיתרון של תרגיל 3:
    2^(1-×3) = ×8 – 2^(1+×2)
    1 + ×6 – 2^×9 = ×8 – 1 + ×4 + 2^×4
    מאיפה ה×4 וה×6 באו?

      1. שלום
        בתרגיל הזה,
        בשלב זה- 1 + ×6 – 2^×9 = ×8 – 1 + ×4 + 2^×4
        המשכת לפתרון כך:
        4x² + 4x + 1 – 8x = 9x² -6x +1 / -4x² – 4x – 1
        מדוע לעשות 4x-? הרי יש בצד שמאל של המשוואה 4X- ובצד ימין 6X- ?

        תודה!

        1. לומדים מתמטיקה

          תודה, הייתה שם טעות. לא התחשבתי ב 8x-
          תיקנתי והפתרון נראה כך:
          4x² + 4x + 1 – 8x = 9x² -6x +1 
          4x² – 4x + 1 = 9x² -6x +1 / -4x² + 4x – 1
          5x² -2x = 0  

  12. אנונימית...

    היי, קודם כל תודה רבה על האתר המדהים הזה הוא עוזר לי ממש כשאני לומדת למבחנים ,תודה רבה (:
    שאלה:
    אם ה b הוא שלילי -לכתוב אותו בשורש [b^2] בסוגריים או ללא סוגריים ואם כן איפה צריך להיות המינוס והחזקה- בתוך הסוגריים או מחוץ להן?
    אשמח לתשובה!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם ה b שלילי אז הוא שלילי.
      כלומר צריך להציב מספר שלילי בנוסחה.
      המספר השלילי צריך להיות בתוך הסוגריים כאשר גם המינוס נמצא בתוך הסוגריים ומועלה בריבוע.
      למשל אם b = -7 אז b^2 = 49
      בהצלחה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום יואב.
      ניתן להציב a שלילי בנוסחת השורשים, אין בזה בעיה מתמטית.
      אבל a שלילי לפעמים גרם לשגיאות בגלל חוסר תשומת לב למינוס.
      לכן יש כאלו המכפילים את כל המשוואה ב 1- על מנת לקבל a חיובי, וכמובן שגם את זה צריך לעשות בזהירות ולשנות את הסימן לכל האיברים.
      מקווה שעזרתי

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      משתמשים בנוסחת השורשים כאשר רוצים לפתור משוואה ריבועית.
      נוסחת השורשים פותרת כל משוואה ריבועית.
      אבל יש דרכים קלות יותר שיכולות לפתור חלק מהמשוואות הריבועיות. היתרון של הדרכים הללו הוא שהן קצרות יותר אבל חסרונן הוא שהן פותרות רק חלק מהמשוואות הריבועיות.
      מידע על הדרכים הללו כאן:
      http://www.m-math.co.il/algebra/equations/quadratic-equation-shortcuts/

      בקיצור משתמשים כאשר רוצים לפתור משוואה ריבועית אבל כדאי לדעת גם דרכים נוספות.
      מקווה שעזרתי.

  13. טעות נפוצה מספר 5 :

    לחשב את החזקה ומייד לאחר מכן לחסר 4.
    ואז לכפול את ac

    גם זו טעות שראיתי תלמידים מבצעים

  14. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    תרגיל 5

    -x²+6x-10=0

    מדוע, יש מינוס אחרי ה-0, האם זה חוקי במשוואה ריבועית?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום.
      תודה על ההערה. מדובר בטעות כתיב שתיקנתי עכשיו.
      המינוס צריך להיות על ה x בריבוע ולא על ה 0.
      תודה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום יואב.
      הוספתי הקדמה שמסבירה מה הרעיון של נוסחת השורשים.
      תראה עם זה עוזר.
      אם לא אשמח אם תשאיר כאן עוד שאלה אבל יותר ממוקדת לגבי הנקודה שאתה לא מבין.
      בחר משהוא מהאפשרויות הבאות.
      1) למה משתמשים בנוסחת השורשים.
      2) איך מוצאים את המספר a,b,c.
      3) איך מציבים את a,b,c בנוסחת השורשים.
      4) מה עושים לאחר שמציבים את a,b,c בנוסחת השורשים.
      5) מהמשמעות הפתרון שיוצא בסוף נוסחת השורשים.
      6) משהוא אחר שלא כתוב כאן.
      תודה

להגיב על אני ביטול התגובה

האימייל לא יוצג באתר.