הוצאת גורם משותף

על מנת להצליח בנושא גורם משותף עליכם לדעת:

  1. פתיחת סוגריים (לדעת ב 100%).
  2. כפל חזקות ברמה בסיסית (הכרת הנוסחה  am+n = am * an.).

בדף זה 4 חלקים:

  1. דוגמאות והסבר להוצאת גורם משותף.
  2. תרגילים: גורם משותף שהוא מספר.
  3. תרגילים: גורם משותף שהוא משתנה.
  4. תרגילים: מכנה משותף שהוא משתנה ומספר ביחד.

חלקים נוספים בדף שהם מעבר לנדרש כידע ראשוני:
5.פתרון משוואות בעזרת גורם משותף.
6.צמצום שברים בעזרת גורם משותף.

1.הסבר ודוגמאות

הוצאת גורם משותף שהוא משתנה מבוססת על חוק חזקות האומר:
am+n = am * an
בעזרת חוק חזקות זה אנו יכולים לרשום למשל:
x5 = x3 * x2

ניתן להוציא משתנה כגורם משותף למספר ביטויים רק אם כל הביטויים כוללים את המשתנה.
הגורם המשותף תמיד יהיה החזקה הקטנה ביותר שנמצאת על המשתנה.

דוגמה 1
2x4 – 7x²

פתרון
החזקה הקטנה היא x² לכן היא הגורם המשותף.
2x4 – 7x² = 2x² * x² – 7* x²
(x²(2x² – 7 =

דוגמה 2
5x6  + 8x4

פתרון
החזקה הקטנה ביותר היא x4.
נוציא את  x4 כגורם משותף.
(5x2 * x4 + 8 * x4 = x4 (5x² + 8

דוגמה 3 (גורם משותף שהוא מספר)
3x2 + 6a2

פתרון
הגורם המשתף של המספרים הוא 3.
3 הוא הגורם המשותף ולכן ניתן לכתוב:
(3x2 + 3*2a2 = 3(x2 + 2a2

דוגמה 4 (שלושה איברים)
הוציאו גורם משותף בתרגיל הבא:
2a5 + 8a6 + 4a3

פתרון
a³ הוא הגורם המשותף של החזקות.
2 הוא הגורם המשותף של המספרים.
2a³  הוא הגורם המשותף.

נכתוב את התרגיל כך:
2a3 * a2  +  2a3 * 4a3   +  2 * 2a3
הגורם המשותף הוא:
2a3
והתרגיל לאחר הוצאת הגורם המשותף נראה כך:
(2a3 (a2 + 4a3 +2

דוגמה 5
הוציאו גורם משותף לשלושת האיברים בתרגיל הבא:
x3 + x2 + 7

פתרון
בתרגיל זה לא ניתן להוציא גורם משותף לשלושת האיברים.
כי באיבר האחרון אין x, ועל מנת להוציא גורם משותף האיבר צריך להיות משותף לכל האיברים.

כאשר בתוך הסוגריים נשאר המספר 1

דוגמה 1
הוציאו גורם משותף בתרגיל הבא:
x3 + 2x5

פתרון
x³ היא החזקה המשותפת.
לכן אנו יכולים לכתוב את התרגיל גם כך:
x3 * 1 + x3 * 2x2
אנו רואים ה x3 משותף לשני האיברים לכן ניתן להוציא אותו כגורם משותף.
(x3 (1 + 2x2

כיצד נדע שהגענו לתשובה הנכונה?
אם נפתח סוגריים נגיע אל הביטוי המקורי:
x3 (1 + 2x2 ) = x3 + 2x5

*הערה
יש תלמידים שלא ברור להם למה אנו צריכים את המספר 1 בביטוי כאן:
(x3 (1 + 2x2
והתשובה היא שאם נשמיט את ה 1 כאשר נפתח סוגריים לא נחזור לביטוי המקורי.
x3 * ( 2x2 ) =  x5
זו תשובה שגויה.
ה 1 קיים כי:
x3 * 1 = x3

דוגמה 2
הוציאו גורם משותף בתרגיל הבא:
x – x10

פתרון
אנו יודעים כי:
x = x1
x1 היא החזקה המשותפת. לכן ניתן לכתוב את התרגיל המקורי כך:
x1 – x1 * x9

אנו רואים כי הגורם המשותף הוא x1
(x1 * 1 – x1 * x9 = x1 (1 – x9

דוגמאות מהירות להוצאת גורם משותף

בחלק זה דוגמאות ללא הסברים.

דוגמה 1
2x4 + 3x2 = x2 * 2x2 + x2 * 3
(x2(2x2 + 3

דוגמה 2
4x5 + 8x2 = 4x² *x² + 4x² *2
(4x² (x³ + 2

דוגמה 3
6x10 – 2x12 =3 * 2x10 – x² * 2x10
(2x10(3 – x²

דוגמה 4
4x³ – 8x5 = 4x³ * 1 – 4x³ * 2x²
(4x³(1 – 2x²

2.תרגילים: הוצאת גורם משותף שהוא מספר

  1. 5x+15
  2. 6-4x
  3. 4x+4y-8
  4. 6x-3y+9
  5. 2x-10y-6-

פתרונות

תרגיל 1
5x+15

פתרון
(5x+15 = 5(x+3

תרגיל 2
6-4x

פתרון
(6-4x= 2(3 – 2x

תרגיל 3
4x+4y-8

פתרון
(4x + 4y – 8 = 4 (x + y – 2

תרגיל 4
6x-3y+9

פתרון
(6x – 3y + 9 = 3( 2x – y + 3

3.תרגילים: הוצאת גורם משותף שהוא משתנה

  1. x² + x
  2. x³ + x6
  3. x7 – x6 + x
  4. x³a² + x4a6 – x²a³-
  5. x7y5 – x10

פתרונות

תרגיל 1
x² + x

פתרון
(x²+x = x(x+1

תרגיל 2
x3+x6

פתרון
(x3+x6 = x³ (1+x³

תרגיל 3
x7 – x6 + x

פתרון
(x7-x6 + x= x(x6– x5+1

תרגיל 4
x³a² + x4a6 – x²a³-

פתרון
(x³a² + x4a6 – x²a³ = x²a²( -x + x²a4 – a-

תרגיל 5
x7y5 – x10

פתרון
(x7y5 – x10y³ = x7y³ (y²-x³

4.תרגילים: הוצאת גורם משותף של מספרים ומשתנים ביחד

  1. 3x³- 3x
  2. 10x4– 2x5
  3. 7x² + 21x²-
  4. 20x³ -12x3– 8x5

פתרונות

תרגיל 1
3x³ – 3x

פתרון
(3x³ – 3x = 3x(x²-1

תרגיל 2
10x4– 2x

פתרון
(10x4– 2x5 = 2x4 (5 – x

תרגיל 3
7x²+21x²-

פתרון
מכוון שלשני האיברים יש את אותו בסיס חזקה ואותו מעריך חזקה אז תרגיל זה אינו הוצאת גורם משותף אלא חיסור איברים.

7x²+21x² = 14x²-

תרגיל 4
20x³-12x3– 8x5

פתרון
(20x³ – 12x3– 8x5 = 4x³ (5 – 3 – 2x²)= 4x³(2 – 2x²

תרגיל 5
20x³ -12x3– 8x5

פתרון
20x³ -12x3– 8x= 8x³ – 8x5
(8x³ (1 – x²

5.תרגילים: פתרון משוואות בעזרת הוצאת גורם משותף

הקדמה
כאשר יש מכפלת שני מספרים או משתנים שמכפלתם שווה ל 0.
אז אחד מיהם צריך להיות 0 כדי שהמשוואה תהיה נכונה.

כלומר אם:
x * y = 0
אז או ש x = 0 או ש y = 0.

לא בטוחים?
נסו לחשוב על שני מספרים שאינם 0 ומכפלתם 0.

תרגילים

  1. x(x+4)=0
  2. 3x -12x²=0
  3. 18x² – 6x=0
  4. 3x² + 4x = 6x

פתרונות

תרגיל 1
x(x+4)=0

פתרון
x(x+4)=0
x=0
או x+4=0
x=-4.

תרגיל 2
3x-12x²=0

פתרון
3x-12x²=0
3x(1-4x)=0
3x=0
x=0
או
1-4x=0
x=0.25

תרגיל 3
9x²-5x=0

פתרון
9x²-5x=0
x(9x-5)=0
x=0
או
9x-5=0
9x=5
x=5/9,

תרגיל 4
3x² + 4x = 6x

פתרון
נכנס איברים לצד אחד.
3x² + 4x – 6x = 0
3x² – 2x = 0
x(3x – 2) = 0

x =0
או
3x – 2 = 0
3x = 2
x = 0.66

6.תרגילים הכוללים צמצום שברים

תרגילים 1-4 כוללים הוצאת מספר כגורם משותף.
תרגילים 5-7 כוללים הוצאת מספר ומשתנה כגורם משותף.
תרגילים 8-11 כוללים הוצאת גורם משותך של 3 איברים.

1.צמצום שברים אלגבריים

2.צמצום שברים אלגבריים

3.צמצום שברים אלגבריים

4.

5.צמצום שברים אלגבריים

6. צמצום שברים אלגבריים

7. צמצום שברים אלגבריים

8.

9.

10.

11.

פתרונות

תרגיל 1

צמצום שברים אלגבריים

פתרון

מוציאים 4 כמבנה משותף במונה, מצמצמים ב- 2
מוציאים 4 כמבנה משותף במונה, מצמצמים ב- 2

תרגיל 2

צמצום שברים אלגבריים

פתרון

מוצאים 5 מכנה משותף ומצמצמים
מוצאים 5 מכנה משותף ומצמצמים

תרגיל 3

צמצום שברים אלגבריים

פתרון

מוציאים 6 כגורם משותף ומצמצמים
מוציאים 6 כגורם משותף ומצמצמים

הפירוט של 2*6 = 12 נועד לשם הסבר מפורט יותר.
כאשר אתם פותרים תרגילים ניתן לחשב ישירות 6 חלקי 12 ולקבל 2 במכנה.

תרגיל 4

פתרון

מוציאים 4 כמכנה משותף ומצמצמים
מוציאים 4 כמכנה משותף ומצמצמים

הפירוט של 2*6 = 14  נועד לשם הסבר מפורט יותר.
כאשר אתם פותרים תרגילים ניתן לחשב ישירות 4 חלקי 14 ולקבל 7 במכנה.

תרגילים הדורשים הוצאת מספר ומשתנה כגורם משותף

תרגיל 5

צמצום שברים אלגבריים

פתרון

הוצאת 3x כמכנה משותף וצמצום
הוצאת 3x כמכנה משותף וצמצום

תרגיל 6

צמצום שברים אלגבריים

פתרון

הוצאת x בריבוע כגורם משותף וצמצום ב- x
הוצאת x בריבוע כגורם משותף וצמצום ב- x

תרגיל 7

צמצום שברים אלגבריים

פתרון

הוצאת 12x כגורם משותף וצמצום ב- 6x-
הוצאת 12x כגורם משותף וצמצום ב- 6x-

הוצאת גורם משותף ל 3 איברים

תרגיל 8

פתרון

תרגיל 9

פתרון

תרגיל 10

פתרון

תרגיל 11

פתרון

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

12 מחשבות על “הוצאת גורם משותף”

  1. מסתבך לי תמיד הוצאת גורם משותף עם חזקה בריבוע, איך אתה מוציא את זה? למשל בתרגילים 5 6 בדף זה, אם אני לא יודע כמה הוא X איך אני יכול להוציא החוצה?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      1.כאשר יש x על כל האיברים ה x שיוצא החוצה הוא ה x אם החזקה הקטנה ביותר.
      2.כאשר x הוא לא על כל האיברים ה x לא יוצא כגורם משותף.
      הוצאת גורם משותף מבוססת על כפל חזקות. אם תבין את זה זה יקל עליך
      https://www.m-math.co.il/math-9th-grade/multiplying-exponents/
      אם התשובה לא עזרה חזור אליי.

      1. כפל חזקות והוצאת גורם משותף אני יודע, מה שהתכוונתי זה למקרים שיש במשוואה X ו-X^2, [כמו בתרגיל 5 של השברים בדף הזה] ואני רואה שמוציאים אותו בX גורם משותף, ואני לא מבין איך זה יוצא, כי X^2 זה לא 2X, אלא מספר כלשהו שאיני יודע מהו והוא נכפל בעצמו, ולכאורה אין לי שום דרך לדעת מה הוא ה-X?!

        1. לומדים מתמטיקה

          אתה לא יודע את הערך המספרי של מה שאתה מוציא אלא אתה יודע שגודלו x.
          כמו שבפתרון משוואה עם נעלם אחד לפעמים מוסיפים 2x לשני צדדי המשוואה, לא יודעים בדיוק כמה מוסיפים אלא יודעים שהגודל הוא 2x.
          אם זה מה שאמרת, לא בטוח שהבנתי.

          1. אכתוב את הדוגמא שהסתבכתי בה,בתרגיל 5 למעלה – הוצאת גורם משותף בשברים.
            (3X+6X^2 = 3x(1+2X
            איך ה- 6X^2 נהפך להנ"ל?

            1. היה חסר לי כינוס איברים עם חזקות ולכן לא הבנתי את הנ"ל.
              תודה רבה לך אני לומד באופן עצמאי וממש מחכים מהאתר שלך, האתר הזה מדהים ועוד יותר מדהים שכל החומר בחינם.

              1. את/ה בעצם מפרק/ת את המשוואה ומחבר/ת אותה מחדש ואז יוצא לך 3 * 2 * x * x
                3 * 2 זה 6 ו x * x זה x^2 את/ה מכפיל את שניהם כי יש ביניהם כפל ויוצא לך 6x^2 מקווה שעזרתי😁

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      תחום הצבה במשוואה או באי שוויון אלו הם קבוצת מספרים אשר ניתן להציב אותם במשואה והמשוואה תהיה מוגדרת.

      מתי משוואה לא מוגדרת? למשל עם מכנה המשוואה שווה ל 0. זה הופך את המשוואה ללא מוגדרת.

      איך מוצאים את תחום ההצבה? במשוואות הראשונות שלומדים בכיתה ח משווים את המכנה ל 0. כאשר x גורם למכנה להיות שווה ל 0 זה ערך שלא נמצא בתחום ההצבה.
      מידע מפורט יותר ודוגמאות תמצאי בקישור
      http://www.m-math.co.il/math-8th-grade/domain-of-equation/
      מקווה שעזרתי

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.