בעיות הספק

דף זה הוא הכנה לבחינת הבגרות ברמת 5 יחידות בנושא בעיות הספק.
בעיות הספק הן בעיות הדומות מאוד במבנה שלהם לבעיות תנועה.
אבל בעיות הספק קשות יותר כי המושגים שלמהירות, זמן, דרך הם חלק מהעולם היום יומי שלנו. לעומת המושג של הספק שבו אנו משתמשים פחות.

החלקים של דף זה הם:

1. הסבר קצר מהו הספק.
2. שאלות בסיסיות.
3. שאלות בהן אנו לא יודעים מה כמות המדויקת של העבודה שבוצעה.
4. טיפים ברמת בגרות.
5. שאלות מהבגרות עצמה.

1.מהוא הספק

הספק הוא כמות עבודה שאנו מבצעים ביחידת זמן.
אם מכונה מייצרת 3 כיסאות בשעה אז ההספק שלה הוא 3 בשעה.
גנן השותל 6 צמחים ביום ההספק שלו הוא 6 ביום.
ברז הממלא 100 ליטרים ב 20 שעות ההספק שלו הוא
5 = 20 : 100
הספק הברז הוא 5 ליטרים בשעה.

אבל.
אם ברז ממלא בריכה ב 12 יום, מהוא ההספק שלו?
פתרון
את יחידת הזמן תמיד ניקח מהשאלה.
במקרה זה מדברים על ימים.

אם הברז ממלא בריכה ב 12 יום אז ההספק שלו הוא 1/12 מהבריכה ביום.

אם פועל חופר בור ב 4 ימים אז ההספק שלו הוא 1/4 בור ביום.

הנוסחה שבה משתמשים בבעיות הספק

הספק x זמן העבודה = העבודה שבוצעה

שימו לב לדמיון שבין הנוסחה הזו לנוסחה שבה אנו משתמשים בבעיות תנועה.
מהירות x זמן = דרך.

מהירות רכב היא כמו ההספק.
זמן הוא זמן.
והדרך שעובר הרכב היא כמו העבודה שנעשתה.

טיפ לבחירת משתנה

שלב ראשון בפתרון בעיות הספק, כמו כל סוגי הבעיות האחרות הוא בחירת משתנה.
ברוב המוחלט של השאלות המשתנה הוא ההספק או הזמן.

כאשר אתם קוראים שאלה בדקו אם ההספק נתון לכם.
אם ההספק לא ידוע ההספק הוא המשתנה.
אם ההספק ידוע אז הזמן הוא המשתנה.

2.שאלות בסיסיות 

תרגילים 1-3 הם תרגילים בסיסיים.
תרגילים 4-5 קשים יותר.

תרגיל 1

נגר מייצר 4 כיסאות ביום. כמה כיסאות הנגר ייצר ב 10 ימים?

פתרון
הנוסחה שלנו היא:
כמות = זמן * הספק
לכן:
40 = 10 * 4
תשובה: הנגר יצר 40 כיסאות ב 10 ימים.

תרגיל 2

נגר מנסה לייצר 60 כיסאות.
פעם אחת הנגר יצר כיסא אחד יותר בכול יום ולכן סיים את העבודה 5 ימים לפני.
כמה כיסאות הנגר מייצר ביום עבודה רגיל?

פתרון
נגדיר:
x כמות הכיסאות שהנגר מיצר ביום רגיל.
x + 1   כמות הכיסאות שהנגר יצר ביום כאשר שינה את הקצב.

הזמנים:
זה מספר הימים שהנגר עובד בקצב הרגיל

זה מספר הימים שהנגר עובד כאשר האיץ את הקצב

בטבלה הנתונים נראים כך:

	קצב	זמן	עבודה
רגיל	x		60
מהיר	x + 1		60

המשוואה:
הקצב האיטי היה איטי ב 5 ימים לכן המשוואה היא:

נכפיל במכנה המשותף שהוא:
(x(x + 1

60x + 60 – 5x(x +1) = 60x  / -60x
5x² – 5x + 60 = 0  / : -5-
x² + x – 12 = 0
הפתרונות של המשוואה הריבועית הם:
x = 3  או x = -4
x הוא גודל חיובי לכן התשובה היא:
x = 3
תשובה: הנגר מיצר ביום רגיל 3 כיסאות.

תרגיל 3

פועל אחד שותל 6 פרחים בשעה.
פועל שני שותל 4 פרחים בשעה.
שני הפועלים היו צריכים לשתול את אותה כמות פרחים.
על מנת לעשות זאת הפועל האיטי עבד 4 שעות יותר.
מצאו את כמות הפרחים שכל אחד מהפועלים שתל.

פתרון
נגדיר:
t   הזמן שהפועל האיטי עבד.
t +4 הזמן שהפועל האיטי עבד.

שני הפועלים שתלו את אותה כמות לכן המשוואה היא:
(6t = 4(t +4
6t = 4t + 16
2t = 16
t = 8

הפועל המהיר שתל:
48= 6 * 8
תשובה: כל אחד מהפועלים שתל 48 פרחים.

פתרון בדרך שנייה
x כמות הפרחים שכל אחד מהפועלים שתל.

לכן הזמנים הם:
x : 6  זה הזמן שעבד הפועל ששותל 6 פרחים.
x : 4 זה הזמן שעבד הפועל ששותל 4 פרחים.

המשוואה היא:

נכפיל את המשוואה פי 12 ונקבל:
3x = 2x + 48
x = 48
תשובה: כל אחד מהפועלים שתל 48 פרחים.

תרגיל 4

שני גננים צריכים לשתול כל אחד 120 עצים.
הקצב של המהיר גדול ב 2 עצים לשעה מהקצב של של האיטי.
לאחר 10 שעות עבודה המהיר הפסיק ל 3 שעות ולאחר מיכן המשיך בקצב כפול מהקצב שבו התחיל.
כתוצאה מכך זמן העבודה של המהיר (כולל המנוחה) היה חצי מזמן העבודה של האיטי.
מצאו את קצב השתילה של כל אחד מהגננים.

פתרון
נגדיר:
x כמות העצים בשעה ששותל האיטי.
x + 2 כמות העצים בשעה ששותל המהיר.

הזמנים
הפועל האיטי עובד בקצב קבוע כל הזמן וזה זמן העבודה שלו.

הפועל המהיר עובד 10 שעות, נח 3 שעות ובקטע האחרון קצב העבודה שלו הוא:
2x + 4
וזמן העבודה שלו בחלק האחרון הוא:

בטבלה הנתונים נראים כך:

	קצב	זמן	עבודה
איטי	x		120
מהיר התחלה.	x + 2	10	10x +20
מהיר מנוחה	0	3	0
מהיר סוף	2x + 4

המשוואה
הפועל המהיר עבד חצי מהזמן של הפועל האיטי ולכן המשוואה שלנו היא:

נכפיל במכנה המשותף
x(x + 2)

50x – 5x² + 13x(x +2) = 60(x + 2)
50x – 5x² +13x² + 26x = 60x + 120
8x² + 16x -120 = 0
x² +2x – 15 = 0
(x + 5)(x – 3) = 0

x = -5  או   x = 3

מכוון ש x הוא כמות של שתילת עצים x צריך להיות מספר חיובי.
הפתרון המתאים לבעיה הוא x = 3.

לכן:
3 עצים בשעה זה קצב השתילה של הפועל האיטי.
5 עצים בשעה זה קצב השתילה של הפועל המהיר.

תרגיל 5

שני פועלים צריכים ליצר יחד 70 כיסאות.
יום אחד הפועל המהיר עבד 2 שעות לבדו ואז שני הפועלים המשיכו יחד 10 שעות וסיימו את העבודה.
יום אחר עם התחילו לעבוד יחד למשך 3.5 שעות הפועל המהיר יצא להפסקה של 1 שעה, חזר ואת יתר העבודה הם סיימו יחד תוך 8 שעות.
מצאו את קצב יצור הכיסאות של כל אחד מהעובדים.

פתרון
בשאלה הזו אין קשר בין קצב העבודה של הפועלים ולכן צריך להשתמש בשני נעלמים על מנת לפתור.
x  מספר הכיסאות בשעה שמייצר הפועל המהיר.
y  מספר הכיסאות בשעה שמייצר הפועל האיטי.

נבנה משוואה עבור כל אחד מהימים.
ביום הראשון הפועל המהיר עבד 12 שעות ואילו האיטי עבד 10 שעות.
לכן המשוואה היא:
12x + 10y = 70

ביום השני הפועל המהיר עבד 11.5 שעות ואילו האיטי 12.5 שעות ולכן המשוואה היא:
11.5x + 12.5y = 70

אלו שתי המשוואות שקיבלנו.
12x + 10y = 70
11.5x + 12.5y = 70

נפתור בשיטת השוואת מקדמים.
נכפיל את המשוואה הראשונה פי 5 ואת המשוואה השנייה פי 4.
60x + 50y = 350
46x + 50y = 280
נחסר את המשוואה השנייה מהראשונה.
14x = 70
x = 5
נמשיך את הפתרון ונמצא y= 1.
תשובה: המהיר מיצר 5 כיסאות בשעה והאיטי מיצר 1 כיסאות בשעה.

עוד באתר:

• בעיות תנועה 5 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

3.שאלות בהן אנו לא יודעים מה כמות המדויקת של העבודה שבוצעה

בשאלות קשות יותר לא ידברו על כמות מסוימת של עבודה, אלא הכמות תהיה 1.
המקרה הנפוץ ביותר בשאלות: ברז ממלא בריכה.
מה כמות העבודה שהברז בסך הכל עושה? 1 בריכה.
ואם הוא ממלא את הבריכה ב x שעות אז מה ההספק של הברז?

זכרו זאת היטב.
ברוב השאלות זאת תהיה יחידת העבודה הבסיסית שלכם.
אם למשל הברז ממלא את הבריכה במשך 4 שעות אז כמות העבודה שביצע היא:

תרגיל 1
ברז א ממלא בריכה תוך 40 שעות.
ברז ב ממלא בריכה תוך 50 שעות.
תוך כמה שעות ימלאו שני הברזים יחד את הבריכה?

פתרון

זמן העבודה	קצב העבודה	כמות העבודה
40	1/40	1
50	1/50	1

1/40 זה קצב העבודה של ברז א.
1/50 זה קצב העבודה של ברז ב.
t הוא הזמן בשעות שלוקח לשני הברזים ביחד למלא את הבריכה.
המשוואה היא:

נכפיל במכנה המשותף שהוא 200 ונקבל:

5t + 4t = 200
9t = 200
t=22.22
שני הברזים יסיימו את העבודה תוך 22.22 שעות.

אם נרצה לתת תשובה מדויקת גם עם דקות עלינו להפוך את 0.22 לדקות:
13.2 = 60 * 0.22
תשובה: שני הברזים ימלאו את הבריכה תוך 22 שעות ו 13.2 דקות.

תרגיל 2
אבי ואיציק, שני שחקני כדורגל מבקיעים מספיק שערים כדי שקבוצתם תעלה ליגה תוך 8 מחזורי ליגה.
אבי לבדו מבקיע מספיק שערים כדי שקבוצתו תעלה ליגה ב 12 מחזורים פחות מאשר איציק לבדו.
תוך כמה מחזורים כל אחד מהשחקנים מבקיע מספיק שערים כדי שהקבוצה תעלה ליגה?