בגרות במתמטיקה 4 יחידות שאלון 482 חורף 2021

על מנת למצוא את a₁, b₁ נציב  1 = n בנוסחאות שקיבלנו.

נחשב:

a_n+1 – a_n

_bn+1 – b_n

ציב את הנתונים בנוסחת הסכום הבאה ונקבל משוואה עם נעלם אחד:

Hidden content

נמצא את c_n:

בעזרתו נמצא את c_n+1.

ולאחר מיכן נחשב:

c_n+1 – c_n

נשים לב כי למעשה מתקיים:

S_c = S_a – S_b

סעיף א1

a₁ = 5

b₁  = 7

סעיף א2

b_n סדרה חשבונית בעלת  2- = d

a_n סדרה חשבונית שבה d = 4

סעיף ב1

k = 20

סעיף ב2

S₂₀ = -240

סעיף ג

c_n סדרה חשבונית בעלת  6 = d

סעיף ד

1100

דרך הפתרון היא:

נתונות לנו נוסחאות האיבר הכללי נציב בהן n = 1 ונמצא את a₁, b₁.

פתרון

נתון

a_n = 4n + 1

b_n = 9 – 2n

על מנת למצוא את a₁, b₁ נציב  1 = n:

a_n = 4n + 1
a₁ = 4 * 1 + 1 = 5

b_n = 9 – 2n
b₁ = 9 – 2 * 1 = 7

דרך הפתרון היא:

נראה שההפרש בין שני איברים סמוכים בסדרות a,b הוא קבוע.

פתרון

על מנת להוכיח שסדרה היא חשבונית נראה כי ההפרש בין האיבר הכללי לבין האיבר הכללי הבא אחריו קבוע, כלומר:

a_n+1 – a_n
הוא ביטוי קבוע שאינו תלוי במיקום.

עבור הסדרה a

נמצא את a_n+1 

a_n = 4n + 1
a_{n + 1} = 4(n + 1) + 1 = 4n + 5

נחשב את a_n+1 – a_n 

a_n+1 – a_n = 4n + 5 – (4n + 1) = 4

מצאנו כי ההפרש בין שני איברים סמוכים הוא קבוע ולא לוי במיקום האיברים.
לכן זו סדרה חשבונית שבה d = 4.

עבור הסדרה b

נמצא את b_{n + 1}

b_n = 9 – 2n
b_{n + 1} = 9 – 2(n + 1) = 7 – 2n

נחשב את _bn+1 – b_n

_bn+1 – b_n = 7 – 2n – (9 – 2n) =
7 – 2n – 9 +2n = -2

כלומר b_n סדרה חשבונית בעלת  2- = d.

דרך הפתרון היא:

נציב את הנתונים בנוסחת הסכום הבאה ונקבל משוואה עם נעלם אחד:

פתרון

נתון כי סכום k האיברים הראשונים בסדרה a_n הוא 860. נביע את סכום k האיברים הראשונים בעזרת k ונשווה ל- 860, כך נוכל לחלץ מהמשוואה את k:

נכפיל ב- 2 את שני אגפי המשוואה, ונציב את a₁ שמצאנו בסעיף א'(1):

(2 * 5 + 19 * 4)k = 1720

86k = 1720

k = 20

דרך הפתרון היא:

נמצא תחילה את b₂₀ ונציב את הנתונים בנוסחה:

פתרון

נמצא את b₂₀:

 b₂₀ = b₁ + d_b(20 – 1) = 7 + (-2) * 19 = -31

נמצא את S_20:

נציב את b₁, b₂₀:

S₂₀ = 10(7 – 31) = 10 * (-24) = -240

דרך הפתרון היא:

נראה שההפרש בין שני איברים סמוכים בסדרה c הוא קבוע.

פתרון

על מנת להוכיח שסדרה היא חשבונית נראה כי ההפרש בין האיבר הכללי לבין האיבר הכללי הבא אחריו קבוע, כלומר:

c_n+1 – c_n
הוא ביטוי קבוע שאינו תלוי במיקום.

נמצא את c_n:

c_n = a_n – b_n

c_n = a₁ + (n – 1)d_a – (b₁ + (n – 1)d_b)

(c_n = 5 + (n – 1)4 – (7 + (n – 1) * (-2)

c_n = 5 + 4n – 4 – (7 – 2n + 2)

c_n = 1 + 4n  – 9 + 2n

c_n = -8 + 6n

נמצא את c_n+1:

נמצא בעזרת c_n = -8 + 6n

c_{n + 1} = -8 + 6(n + 1)
= 6n – 2

c_n+1 – c_n =  6n – 2 – (-8 + 6n)

c_n+1 – c_n = 6

כלומר c_n סדרה חשבונית בעלת  6 = d.

על מנת למצוא את סכום 20 האיברים הראשונים בסדרה c_n, ניעזר בסעיפים קודמים.

נשים לב כי למעשה מתקיים:

S_c = S_a – S_b

לכן עבור 20 האיברים הראשונים נקבל:

S_c(20) = S_a(20) – S_b(20) = 860 – (-240) = 1100

Hidden content

Hidden content

פיתגורס.

נוריד גובה לבסיס הפירמידה ונמצא את הזוויות בין מקצוע צדדי בפירמידה ובין בסיס הפירמידה.

ניתן להסתכל על משולש SOC.

ניעזר בנוסחה הטריגונומטרית לחישוב שטח משולש:

• נמצא תחילה את זווית ASB.
• נשתמש במשפט הקוסינוסים במשולש ASD.

ניעזר בנוסחה הטריגונומטרית לחישוב שטחי המשולשים ASB, ASD.

סעיף א

AC = √40

סעיף ב1

∠ACS = 37.76º

סעיף ב2

S_ASC = 7.75

סעיף ג1

28.96º , 97.18°

סעיף ג2

23.62

נתון כי SABCD פירמידה ישרה שבסיסה מלבן, כלומר ABCD מלבן ולכן זוויותיו ישרות, נעביר את האלכסון AC ונשתמש במשפט פיתגורס במשולש ABC:

AC² = AB² + BC²

AC² = 6² + 2² = 36 + 4 = 40

AC = √40

דרך א’:

דרך הפתרון:

נוריד גובה לבסיס הפירמידה ונמצא את הזוויות בין מקצוע צדדי בפירמידה ובין בסיס הפירמידה.

פתרון:

הגובה בפירמידה ישרה שבסיסה ריבוע נופל במפגש האלכסונים.

במלבן האלכסונים  חוצים זה את זה ושווים זה לזה, לכן מתקיים:

AO = OC = DO = OB = AC / 2

AO = OC = DO = OB = √40 / 2 = √10

כמו כן בפירמידה ישרה כל המקצועות הצדדיים שווים זה לזה

AS = BS = CS = DS = 4

נשתמש בטריגונומטריה במשולש SOA:

 cos(∠SAO) = OA / SA

 cos(∠SAO) = √10 / 4

∠SCO = 37.76º

כלומר הזווית בין מקצוע צדדי בפירמידה ובין בסיס הפירמידה הינו 37.76º.

זה המשולש בו חישבנו את הפתרון:

דרך ב’:

מכיוון שהפירמידה ישרה מתקיים:

AS = BS = CS = DS = 4

נשתמש במשפט הקוסינוסים במשולש ACS:

AS² = AC² + SC² – 2 * AC * SC * cos (∠ACS)

4² = (√40)² + 4² – 2 * √40 * 4 * cos(∠ACS)

-40 = -8√40 * cos(∠ACS)

cos(∠ACS) = 40 / 8√40

∠ACS = 37.76º

ניעזר בנוסחה הטריגונומטרית לחישוב שטח משולש:

S_ASC = 0.5 * AC * SC * sin(∠ACS)

S_ASC = 0.5 * √40 * 4 * sin(37.76º)

S_ASC = 7.75

נמצא תחילה את זווית ASB:

ניעזר במשפט הקוסינוסים במשולש ABS:

AB2 = AS2 + SB2 – 2 * AS * SB * cos (∠ASB)

62 = 42 + 42 – 2 * 4 * 4 * cos(∠ASB)

4 = -32 * cos(∠ASB)

cos(∠ASB) = -4 / 32

∠ASB = 97.18º

מכיוון שנתון כי ABCD מלבן מתקיים 2 = AB = DC = 6, AD = BC

.לפי צ.צ.צ ,ASD ≅ BSC  -ו ASB ≅ DSC לכן

לכן מתקיים:

∠ASB = ∠DCS = 97.18º

כעת נמצא את זווית BSC וזווית ASD:

נשתמש במשפט הקוסינוסים במשולש ASD

AD2 = AS2 + SD2 – 2 * AS * SD * cos (∠ASD)

22 = 42 + 42 – 2 * 4 * 4 * cos(∠ASD)

-28 = -32 * cos(∠ASD)

cos(∠ASD) = 28 / 32

∠ASD = 28.96º

מחפיפת המשולשים שהראנו קודם נובע

∠ASD = ∠BSC = 28.96º

דרך הפתרון:

שטח המעטפת הוא שטח 4 המשולשים.

נשים לב שארבעת המשולשים הם בעצם שני זוגות של

ניעזר בנוסחה הטריגונומטרית לחישוב שטחי המשולשים ASB, ASD:

:S_ASB

S_ASB = 0.5 * AS * SB * sin(∠ASB)

S_ASB = 0.5 * 4 * 4 * sin(97.18º)

S_ASB = 7.94

:S_ASD

S_ASD = 0.5 * AS * SD * sin(∠ASD)

S_ASD = 0.5 * 4 * 4 * sin(28.96º)

S_ASD = 3.87

מחפיפת המשולשים נובע:

S_ASD = S_BSC = 3.87 ,S_ASB = S_DSC = 7.94

לכן שטח המעטפת:

S = S_ASD + S_BSC + S_ASB + S_DSC = 7.94 + 7.94 + 3.87 + 3.87 = 23.62

סעיף א

מקסימום:

x = -π/3, x =  π/3

מינימום:

x = -π, x = 0, x = π

סעיף ב1

c = 0.5

סעיף ב2

(-π, -1)

(0, 1)

(π, -1)

סעיף ג

c = -1

או

c = -0.75

או

c = 1.25

על מנת למצוא את שיעורי ה- x של נקודות הקיצון של הפונקציה נגזור אותה ונשווה ל- 0:

f(x) = -0.5cos(2x) + cos x + c

f ‘(x) = -0.5 * -sin(2x) * 2 – sin x = 0

sin (2x) – sin x = 0

נשתמש בזהות הטריגונומטרית:

2 * sin x * cos x = sin 2x

ונקבל:

2 * sin x * cos x – sin x = 0

sin x * (2cos x – 1) = 0

למשוואה יש פתרונות כאשר:

sin x = 0  או  2cos x – 1 = 0

sin x = 0:

הפתרון הכללי למשוואה הינו

x = πk

2cos x – 1 = 0:

cos x = 0.5

הפתרונות הכללים למשוואה הינם:

x = π/3 + 2πk

x = -π/3 + 2πk

לכן בתחום π ≤ x ≤ π- פתרונות המשוואות מתקבלים רק כאשר k = 0:

x = -π, x = -π/3, x = 0, x =  π/3, x = π

לסיכום:

מקסימום:

x = -π/3, x =  π/3

מינימום:

x = -π, x = 0, x = π

דרך פתרון:

נתון כי הישר 1.25 = y משיק לגרף הפונקציה f(x) בנקודות המקסימום שלה, כלומר ב- π/3 = x, π/3 = x-.

נציב את אחת מהנקודות הללו ב- f(x), ונשווה את התוצאה ל- 1.25.

פתרון:

f(π/3) = -0.5 * cos (2 * π/3) + cos (π/3) + c = 1.25

-0.5 * -0.5 + 0.5 + c = 1.25

0.25 + 0.5 + c = 1.25

c = 0.5

דרך פתרון:

מצאנו כי c = 0.5, לכן מתקיים:

f(x) = -0.5 * cos(2x) + cos x + 0.5

כעת נציב את שיעורי ה- x של נקודות המינימום וכך למעשה נמצא את שיעורי נקודות המינימום.

פתרון:

:x = -π

f(-π) = -0.5 * cos(2 * (-π)) + cos (-π) + 0.5 =
-0.5 * cos (-2π) – 1 + 0.5 =
-0.5 * 1 – 0.5 = -1

(-π, -1)

:x = 0

f(0) = -0.5 * cos(2 * 0) + cos (0) + 0.5 =
-0.5 * cos (0) + 1 + 0.5 =
-0.5 * 1 + 1.5 = 1

(0, 1)

:x = π

f(π) = -0.5 * cos(2 * π) + cos (π) + 0.5 =
-0.5 * cos (2π) – 1 + 0.5 =
-0.5 * 1 – 0.5 = -1

(π, -1)

דרך פתרון:

על מנת שהישר y = 0.25 ישיק לפונקציה g(x) על ערכי ה- y של נקודות הקיצון להיות שוות ל- 0.25.

ישנן 3 אפשרויות לכך:

פתרון:

אפשרות א’:

ערכי ה- y של נקודות המקסימום שוות ל- 0.25 (נזכיר כי שיעורי ה- x של נקודות המקסימום הינם x = -π/3, x = π/3).

g(x) = f(x) + c

g(π/3) = f(π/3) + c = 0.25

1.25 + c = 0.25

c = -1

אפשרות ב’:

ערכי ה- y של נקודת המינימום המקומית שווה ל- 0.25 (נזכיר כי שיעור ה- x של נקודת המינימום המקומית הינו x = 0).

g(x) = f(x) + c

g(0) = f(0) + c = 0.25

1 + c = 0.25

c = -0.75

אפשרות ג’:

ערכי ה- y של נקודות המינימום המוחלטות שוות ל- 0.25 (נזכיר כי שיעורי ה- x של נקודות המינימום המוחלטות הינם

x = -π, x = π).

g(x) = f(x) + c

g(-π) = f(-π) + c = 0.25

-1 + c = 0.25

c = 1.25

על מנת למצוא את תחום ההגדרה נדרוש שהמכנה לא יתאפס.

לאחר מכן על מנת למצוא את האסימפטוטה נבדוק אם נקודות אי ההגדרה מאפסות רק את המכנה.

ערכי ה y של הקיצון שמצאנו בעזרת הפרמטר שווים לערכי ה y של הנקודה שקיבלנו.

צריך לחשוב כיצד ההזזה משנה את ערכי ה y של הנקודות.

סעיף א1

תחום ההגדרה: x ≠ ln(a).

x = ln(a)  אסימפטוטה אנכית.

סעיף א2

סעיף ב

תחומי הירידה:

x ≠ ln(a).

תחומי העלייה: אין

סעיף ג

a = 2

סעיף ד

סעיף ה

(2, 0)

על מנת למצוא את תחום ההגדרה נדרוש שהמכנה לא יתאפס.

לאחר מכן על מנת למצוא את האסימפטוטה נבדוק אם נקודות אי ההגדרה מאפסות רק את המכנה.

פתרון:

מציאת תחום הגדרה:

e^x – a ≠ 0

e^x ≠ a

x ≠ ln(a)

תחום ההגדרה: x ≠ ln(a).

מציאת אסימפטוטה

הערך x = ln(a) מאפס את המכנה אך לא מאפס את המונה.
לכן הפונקציה שואפת לאינסוף מינוס אינסוף בערך זה.

x = ln(a)  אסימפטוטה אנכית.

נציב את נקודת אי ההגדרה בפונקציה:

נמצא תחילה נקודת חיתוך של הפונקציה עם ציר ה- y, לשם כך נציב בפונקציה 0 = x:

נמצא כעת נקודת חיתוך של הפונקציה עם ציר ה- x, לשם כך נשווה את הפונקציה ל- 0:

 ae^x = 0

 a = 0            או               e^x = 0

אין פתרון                          נתון a > 0 לכן תשובה זו נפסלת

כלומר הפונקציה f(x) לא חותכת את ציר ה- x.

על מנת למצוא את תחומי הירידה של הפונקציה נגזור את הפונקציה ונשווה לאפס (נזכיר כי כאשר הנגזרת שלילית הפונקציה יורדת, לכן נמצא למעשה את תחומי השליליות של הנגזרת):

נכפול את שני אגפי המשוואה ב- ²(e^x – a) ונקבל

ae^x(e^x – a) – ae^xe^x = 0

e^x(ae^x – a² – ae^x) = 0

-a²e^x = 0

e^x הוא ביטוי חיובי תמיד.

a²- הוא ביטוי שלילי תמיד כי נתון a > 0.

לכן הנגזרת היא שלילית תמיד והפונקציה יורדת לכל x.

לסיכום, תחומי הירידה של f(x):

x ≠ ln(a).

נתון כי נקודת החיתוך של הפונקציה f(x) עם ציר ה- y הינו (2-, 0).

ניזכר כי בסעיף א’ מצאנו את שיעורי נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה- y כתלות ב- a

נוכל להשוות בין הביטויים ולחלץ את a:

a = -2(1 – a)

a = -2 + 2a

a = 2

דרך א’ (גרפית):

הפונקציה |g(x) = |f(x).

הנקודה (2-, 0)  היא נקודת הקיצון בפונקציה בפונקציה f (x)  כאשר נבצע ערך מוחלט הנקודה המתאימה תהיה (2, 0).

דרך ב’ (אלגברית):

g(x) = |f(x)|

g(0) = |f(0)| = |-2| = 2

לכן נקודת החיתוך של g(x) עם ציר ה- x הינה (2, 0).

• על מנת שהפונקציה g(x) תהיה מוגדרת נדרוש כי הביטוי בתוך ה- ln יהיה חיובי
• כלומר נדרוש 0 < f(x), לפי סעיף קודם נקבל כי תחום ההגדרה הינו:

צריך לבדוק את כיצד הפונקציה מתנהגת בנקודות אי ההגדרה x = 2,  x = -2.

עלינו להציב
x = 0
y = 0

ולפני כן עלינו לבדוק אם הפונקציה מוגדרת בנקודות הללו.

עלינו לקבוע את התחומים של הפונקציה ואז למצוא את ערך הנגזרת בתחומים הללו.

על מנת למצוא את התחומים עלינו לבדוק אם לפונקציה יש קיצון.

שרטט גרף על פי הדברים הבאים:

תחום ההגדרה הינו:

x > 2, x < -2

האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה הינם:

x = -2, x = 2

שיעורי נקודות החיתוך עם ציר ה- x הם:

(-√5, 0), (√5, 0)

תחומי עלייה וירידה:

סעיף א1

(2, 0), (-2, 0)
(0, -4)

סעיף א2

תחומי חיוביות:

x > 2, x < -2

תחומי שליליות:

-2 < x < 2

סעיף ב1

x > 2, x < -2

סעיף ב2

x = -2, x = 2

סעיף ב3

(-√5, 0), (√5, 0)

סעיף ב4

עלייה: x > 2

ירידה: x < -2

סעיף ב5

נמצא תחילה נקודות חיתוך עם ציר ה- x, לשם  כך נשווה את הפונקציה ל- 0:

f(x) = x² – 4 = 0

(x – 2)(x + 2) = 0

x = 2  או  x = -2

כלומר נקודות החיתוך של f(x) עם ציר ה- x:

(2, 0), (-2, 0)

כעת נמצא נקודות חיתוך עם ציר ה- y לשם כך נציב  0 = x:

f(0) = 0² – 4 = -4

כלומר נקודות החיתוך של f(x) עם ציר ה- y:

 (0, -4)

הפונקציה f(x) הינה פרבולה מחייכת (סקיצה של הגרף שלה נתונה) לכן:

תחומי חיוביות:

x > 2, x < -2

תחומי שליליות:

-2 < x < 2

על מנת שהפונקציה g(x) תהיה מוגדרת נדרוש כי הביטוי בתוך ה- ln יהיה חיובי, כלומר נדרוש 0 < f(x), לפי סעיף קודם נקבל כי תחום ההגדרה הינו:

x > 2, x < -2

נבדוק את גבולות הפונקציה בנקודות האי הגדרה:

כאשר x שואף ל 2.

כאשר x שואף ל 2-.

לכן האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה הינם:

x = -2, x = 2

לשם מציאת נקודות חיתוך של הפונקציה g(x) עם ציר ה – x נשווה את הפונקציה ל- 0:

g(x) = ln ( f(x) ) = ln (x² – 4) = 0

x² – 4 = e⁰ = 1

x² = 5

x = -√5, x = √5

לכן שיעורי נקודות החיתוך עם ציר ה- x הם:

(-√5, 0), (√5, 0)

על מנת למצוא את תחומי הירידה והעליה של הפונקציה נגזור את הפונקציה ונשווה לאפס.

g(x) = ln ( f(x) )

נגזור על פי נגזרת מורכבת של פונקציה לוגריתמית.

לכן הגזירה של g(x) = ln ( f(x) ) תראה כך:

על מנת לחלק את הפונקציה לתחומים נבדוק אם לפונקציה יש קיצון:

2x = 0

x = 0

נפסל, לא נמצא בתחום ההגדרה.
לכן לפונקציה אין נקודות קיצון.

התחומים שבהם עלינו אם הפונקציה עולה או יורדת הם:

על מנת למצוא את תחומי החיוביות והשליליות של g ‘ (x) נציב בכל תחום ערך מספרי:

x < -2:

נציב 3- = x

לכן הפונקציה יורדת בתחום

2 < x:

נציב 3 = x

הפונקציה עולה בתחום זה.

הטבלה מסכמת את תחומי העלייה והירידה:

נשרטט גרף על פי הדברים הבאים:

תחום ההגדרה הינו:

x > 2, x < -2

האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה הינם:

x = -2, x = 2

שיעורי נקודות החיתוך עם ציר ה- x הם:

(-√5, 0), (√5, 0)

תחומי עלייה וירידה: