פתרון בגרות במתמטיקה חורף 2019 שאלון 482

סעיף א

a₁ = 2
q = 3

סעיף ב

מספר האיברים האי זוגיים בסדרה הוא 4.

סעיף ג

סכום האיברים הזוגיים הוא 546.

סעיף ד1

מנת הסדרה החדשה היא 1/3.

סעיף ד2

סכום הסדרה האינסופית המתכנסת הוא 3.75

דרך הפתרון היא שימוש בנוסחת האיבר הכללי של סדרה הנדסית:
a_n = a₁*q^n-1
ופתרון מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים.

נשתמש בנוסחת האיבר הכללי בסדרה הנדסית:

a_n = a₁*q^n-1

נציב n = 2:

a₂ = a₁*q^2-1
a₂ = a₁*q

נציב a₂ = 6:

a₂ = a₁*q
6 = a₁*q

נציב n = 5 בנוסחת האיבר הכללי:

a_n = a₁*q^n-1
a₅ = a₁*q^5-1
a₅ = a₁*q⁴

נציב a₅ = 162:

a₅ = a₁*q⁴
162 = a₁*q⁴

קיבלנו שתי משוואות עם שני נעלמים:

6 = a₁*q
162 = a₁*q⁴

נחלק את המשוואה השניה בראשונה:

q³ = 27
q = 3

נציב q = 3 במשוואה הראשונה:

6 = a₁*q
6 = a₁*3
a₁ = 2

תשובה:
a₁ = 2
q = 3

דרך הפתרון היא שימוש בנוסחת סכום סדרה הנדסית:

מנת סדרת האי זוגיים היא ריבוע מנת הסדרה המקורית:

q_new = q² = 3² = 9

נסמן את מספר האיברים האי זוגיים כ – k.

האיבר האי זוגי הראשון הוא a₁ = 2 שמצאנו בסעיף הקודם.

נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית:

6560 = 9^k – 1
9^k = 6561
log₉(9^k) = log₉(6561)
k = 4

תשובה:
מספר האיברים האי זוגיים בסדרה הוא 4.

דרך הפתרון היא שוב שימוש בנוסחת סכום סדרה הנדסית.

נתון כי מספר האיברים בסדרה הוא אי זוגי.
כלומר מספר האיברים האי זוגיים בסדרה גדול ב – 1 ממספר הזוגיים.
לכן מספר האיברים הזוגיים הוא 3.

מנת הסדרה של סדרת הזוגיים זהה למנת הסדרה של האי זוגיים (מנת הסדרה המקורית)

האיבר הראשון בסדרת הזוגיים הוא a₂ = 6 (נתון)

נשתמש שוב בנוסחת הסכום של סדרה הנדסית:

תשובה:
סכום האיברים הזוגיים הוא 546.

דרך הפתרון היא מציאת מנת הסדרה החדשה באמצעות חלוקה של שני איברים עוקבים.

נמצא את b₁:

b₁ = 2.5

נמצא את b₂:

נמצא את מנת הסדרה b_n על ידי חלוקה של b₂ ב – b₁:

תשובה:
מנת הסדרה החדשה היא 1/3.

דרך הפתרון היא שימוש בנוסחה לסדרה הנדסית אינסופית:

נשתמש בנוסחה לסכום סדרה הנדסית אינסופית:

תשובה:
סכום הסדרה האינסופית המתכנסת הוא 3.75

סעיף א1

AC = √2a

סעיף א2

הזווית בין האלכסון ‘AC למישור ABCD היא 35.264.

סעיף ב

AC’ = √3a

סעיף ג

הזווית החדה בין האלכסונים ‘AC ו – ‘BD היא 70.528.

סעיף ד

S = 0.353a²

סעיף ה

a = 4.003 ≈ 4

דרך הפתרון היא שימוש במשפט פיתגורס במשולש ABC.

נתבונן במשולש ABC, משולש ישר זווית ושווה שוקיים:

נשתמש במשפט פיתגורס:

AC² = AB² + BC²
AC² = a² + a²
AC² = 2a²
AC = ±√2a

נבחר בפתרון החיובי מכיוון ש – AC היא צלע:

AC = √2a

תשובה:
AC = √2a

דרך הפתרון היא שימוש בפונקציית הטנגנס במשולש ‘ACC.

נתבונן במשולש ‘ACC:

מדובר במשולש ישר זווית מכיוון שהצלע ‘CC מאונכת למישור הבסיס.
הזווית המבוקשת היא:

∠CAC’

נשתמש בפונקציית הטנגנס על מנת למצוא אותה:

∠CAC’ = 35.264

תשובה:
הזווית בין האלכסון ‘AC למישור ABCD היא 35.264.

דרך הפתרון היא שימוש במשפט פיתגורס במשולש ‘ACC.

נתבונן שוב במשולש ‘ACC:

נשתמש במשפט פיתגורס:

AC’² = AC² + CC’²
AC’² = a² + (√2a)²
AC’² = a² + 2a²
AC’² = 3a²
AC’ = ±√3a

נבחר בפתרון החיובי מכיוון ש – ‘AC היא צלע:

AC’ = √3a

תשובה:
AC’ = √3a

דרך הפתרון היא הורדת הגובה OE לבסיס במשולש AOB  שימוש בפונקציית הסינוס במשולש EOB.

נתבונן במשולש AOB:

מדובר במשולש שווה שוקיים מכיוון שאלכסוני הקוביה שווים זה לזה וחוצים זה את זה לכן:

AO = BO = 0.5AC’

נוריד גובה מהנקודה O לבסיס AB, נסמן את נקודת המפגש כ – E.
מכיוון שמדובר במשולש שווה שוקיים הגובה הוא גם חוצה זווית והנקודה E היא אמצע הקטע AB.

נשתמש בפונקציית הסינוס במשולש OEB:

∠AOB = 70.528

תשובה:
הזווית החדה בין האלכסונים ‘AC ו – ‘BD היא 70.528.

דרך הפתרון היא שימוש בנוסחה:

נשתמש בנוסחה הטריגונומטרית לחישוב שטח משולש:

כאשר a ו – b הן שתיים מצלעות המשולש ו – β היא הזווית בינהן.

S = 0.353a²

תשובה:
שטח המשולש הוא:
S = 0.353a²

נשווה את הביטוי שמצאנו בסעיף הקודם לשטח הנתון:

S = 0.353a²
4√2 = 0.353a²
a² = 16.025
a = ±4.003 ≈ ±4

מכיוון ש – a הוא גודל צלע הקובייה נבחר בפתרון החיובי:

a = 4.003 ≈ 4

סעיף א

נקודת החיתוך עם ציר y:
(0,6)
נקודות חיתוך עם ציר x:
אין.

סעיף ב

min(-π,6)
max(-0.5π,7)
min(0,6)
max(0.5π,7)
min(π,6)

סעיף ג

סעיף ד1

סעיף ד2

השטח המבוקש הוא S = 1 יח”ש

דרך הפתרון היא להשתמש בכך שבנקודות החיתוך עם ציר x מתקיים y = 0 ובחיתוך עם ציר y מתקיים x = 0.

בנקודת החיתוך עם ציר y מתקיים x = 0 לכן נציב x =0 בפונקציה על מנת למצוא אותה:

f(x) = sin²(x) + 6
f(0) = sin²(0) + 6
f(0) = 6

לכן נקודת החיתוך עם ציר y היא:
(0,6)

בנקודות החיתוך עם ציר x מתקיים y = 0 לכן נציב f(x) = 0 בפונקציה על מנת למצוא אותן:

f(x) = sin²(x) + 6
0 = sin²(x) + 6
sin²(x) = -6

למשוואה זו אין פתרון מכיוון שמספר ממשי בריבוע לא יכול להיות שלילי.
לכן אין נקודות חיתוך עם ציר x.

תשובה:
נקודת החיתוך עם ציר y:
(0,6)
נקודות חיתוך עם ציר x:
אין.

דרך הפתרון היא השוואת הנגזרת לאפס על מנת למצוא את הנקודות החשודות לקיצון וסיווגן באמצעות טבלה.

נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת לאפס על מנת למצוא את הנקודות החשודות לקיצון:

f(x) = sin²(x) + 6
f ‘ (x) = 2sin(x)*cos(x) = 0

נשתמש בזהות לזווית כפולה:
sin(2x) = 2sin(x)*cos(x)

f ‘ (x) = sin(2x) = 0
2x = πk
x = 0.5πk

k = -2:

x = 0.5πk
x = 0.5π*(-2)
x = -π

k = -1:

x = 0.5πk
x = 0.5π*(-1)
x = -0.5π

k = 0:

x = 0.5πk
x = 0

k = 1:

x = 0.5πk
x = 0.5π*1
x = 0.5π

k = 2:

x = 0.5πk
x = 0.5π*2
x = π

נשתמש בטבלה על מנת לסווג את הנקודות החשודות שקיבלנו:

נציב ערכי x בנגזרת הנמצאים בתחומים המוצגים בטבלה על מנת למלא אותה:

:-π < x < -0.5π

f ‘ (x) = sin(2x)
f ‘ (-0.75π) = sin(2*(-0.75π)) = sin(-1.5π) = 1 > 0

לכן בתחום זה הנגזרת חיובית והפונקציה עולה.
ב – x = -π נקודת מינימום.
נציב x = -π בפונקציה:

f(x) = sin²(x) + 6
f(-π) = sin²(-π) + 6
f(-π) = 6

:-0.5π < x < 0

f ‘ (x) = sin(2x)
f ‘ (-0.25π) = sin(2*(-0.25π)) = sin(-0.5π) = -1 < 0

לכן בתחום זה הנגזרת שלילית והפונקציה יורדת.
ב – x = -0.5π נקודת מקסימום.
נציב x = -0.5π בפונקציה:

f(x) = sin²(x) + 6
f(-0.5π) = sin²(-0.5π) + 6
f(-0.5π) = 7

:0 < x < 0.5π

f ‘ (x) = sin(2x)
f ‘ (0.25π) = sin(2*(0.25π)) = sin(0.5π) = 1 > 0

לכן בתחום זה הנגזרת חיובית והפונקציה עולה.
ב – x = 0 נקודת מינימום.
ערך הפונקציה בנקודה זו כבר ידוע לנו מסעיף א:

f(0) = 6

0.5π < x < π:

f ‘ (x) = sin(2x)
f ‘ (0.75π) = sin(2*(0.75π)) = sin(1.5π) = -1 < 0

לכן בתחום זה הנגזרת שלילית והפונקציה יורדת.
ב – x = 0.5π נקודת מקסימום וב -x = π נקודת מינימום.
נציב x = 0.5π בפונקציה:

f(x) = sin²(x) + 6
f(0.5π) = sin²(0.5π) + 6
f(-0.5π) = 7

נציב x = π בפונקציה:

f(x) = sin²(x) + 6
f(π) = sin²(π) + 6
f(π) = 6

תשובה:
min(-π,6)
max(-0.5π,7)
min(0,6)
max(0.5π,7)
min(π,6)

דרך הפתרון היא שימוש במידע שאספנו על הפונקציה בסעיפים הקודמים.

שיקולים לגרף:

אין חיתוך עם ציר x.

חיתוך עם ציר y:
(0,6)

נקודות קיצון:
min(-π,6)
max(-0.5π,7)
min(0,6)
max(0.5π,7)
min(π,6)

דרך הפתרון היא שימוש במידע שאספנו בסעיפים הקודמים.

שיקולים לגרף:

בתחום הנתון הנגזרת מתאפסת בנקודות:

x = 0
x = 0.5π
x = π

על פי הטבלה מסעיף ב תחום החיוביות של הנגזרת הוא:

0 < x < 0.5π

תחום השליליות של הנגזרת הוא:

0.5π < x < π

דרך הפתרון היא שימוש באינטגל על מנת למצוא את השטח המבוקש.
נזכור כי האינטגרל של הנגזרת הוא הפונקציה המקורית.

נסמן בגרף את השטח המבוקש:

נחשב את השטח בעזרת אינטגרציה.
תחום האינטגרציה הוא  מ – 0 ל – 0.5π.
נזכור כי:
f(0) = 6
f(0.5π) = 7

S = f(0.5π) – f(0)
S = 7 – 6
S = 1

תשובה:
השטח המבוקש הוא S = 1 יח”ש

סעיף א

כל x

סעיף ב

תחום החיוביות של הפונקציה הוא:
x > -2

סעיף ג

min(-3,-1)

סעיף ד

סעיף ה

a = 1.5

f(x) היא מכפלה של פולינום ופונקציה מעריכית לכן היא מוגדרת לכל x.

תשובה:
הפונקציה מוגדרת לכל x.

דרך הפתרון היא שימוש באי שיוויון

נדרוש שהפונקציה תהיה גדולה מאפס:

f(x) > 0
(x + 2)*e^x+3 > 0

הביטוי e^x+3 תמיד חיובי מכיוון שהתוצאה של העלאת מספר חיובי בכל חזקה בהכרח גדולה מאפס.
לכן על מנת שאי השיווין הנ”ל יתקיים דרוש:

x + 2 > 0
x > -2

תשובה:
תחום החיוביות של הפונקציה הוא:
x > -2

דרך הפתרון היא השוואת הנגזרת לאפס על מנת למצוא את הנקודות החשודות לקיצון, וסיווגן באמצעות טבלה.

נגזור אתהפונקציה ונשווה את הנגזרת לאפס על מנת למצוא את הנקודות החשודות לקיצון:

f(x) = (x + 2)*e^x+3
f ‘ (x) = 1*e^x+3 + e^x+3(x + 2)
f ‘ (x) = e^x+3(1 + x + 2)
f ‘ (x) = e^x+3(x + 3) = 0

נקבל שני פתרונות:

פתרון 1:

e^x+3 = 0
למשוואה זו אין פתרון מכיוון שכל העלאה בחזקה של מספר שונה מאפס בהכרח שונה מאפס.

פתרון 2:

x + 3 = 0
x = -3

נסווג את הנקודה החשודה שמצאנו באמצעות טבלה:

נציב בנגזרת ערכי x הנמצאים בתחומים המוצגים בטבלה על מנת למלא אותה.

x < -3:

f ‘ (x) = e^x+3(x + 3)
f ‘ (-4) = e^-4+3(-4 + 3)
f ‘ (-4) = e^-1*(-1) = -e^-1 < 0

לכן בתחום זה הנגזרת שלילית והפונקציה המצאת בירידה.

x > -3:

f ‘ (x) = e^x+3(x + 3)
f ‘ (0) = e⁰⁺³(0 + 3)
f ‘ (0) = 3e³ > 0

לכן בתחום זה הנגזרת חיובית והפונקציה עולה.
ב – x = -3 נקודת מינימום.

נציב בפונקציה x = -3:

f(x) = (x + 2)*e^x+3
f(-3) = (-3 + 2)*e^-3+3
f(-3) = -1*e⁰
f(-3) = -1*1 = -1

תשובה:
min(-3,-1)

דרך הפתרון היא שימוש במידע שאספנו בסעיפים הקודמים

שיקולים לגרף:

נקודת קיצון:
min(-3,-1)

תחום חיוביות:
x > -2

דרך הפתרון היא השוואת של ערך ה – y בנקודת ההשקה לישר הנתון.

g(x) = f(x) + a

נתון כי הישר y = 0.5 משיק ל – g(x).
זהו ישר בעל שיפוע אפס, לכן הוא משיק ל – g(x) בנקודה בה הנגזרת שלה מתאפסת.
הנגזרת של g(x) מתאפסת בנקודה בה הנגזרת של f(x) מתאפסת מכיוון ש – g(x) היא רק הוספה של קבוע ל – f(x).
לכן:

g(-3) = 0.5

נזכור כי:
f(-3) = -1

g(-3) = 0.5
g(-3) = f(-3) + a = 0.5
-1 + a = 0.5
a = 1.5

תשובה:
a = 1.5

סעיף א

x > 0

סעיף ב

(√e,0)

סעיף ג

הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה.

סעיף ד

סעיף ה

בפונקציה יש לנו שני ביטויי ln, נדרוש ששני הביטויים בתוך ה – ln יהיו גדולים מאפס:

ביטוי 1:

x > 0

ביטוי 2:

x² > 0
x ≠ 0

החיתוך בין שתי התוצאות שקיבלנו הוא:
x > 0

תשובה:
תחום ההגדרה של הפונקציה הוא:
x > 0

דרך הפתרון היא השוואת הפונקציה לאפס ופתרון של המשוואה הלוגריתמית המתקבלת בעזרת שימוש בכלל הלוגריתמים:
ln(a) + ln(b) = ln(a*b)

בנקודות החיתוך עם ציר ה – x מתקיים y = 0, לכן נציב f(x) = 0 בפונקציה:

f(x) = 2ln(x) + 2ln(x²) – 3
0 = 2ln(x) + 2ln(x²) – 3
2ln(x) + 2ln(x²) = 3
ln(x) + ln(x²) = 1.5

נשתמש בכלל הלוגריתמים:

ln(a) + ln(b) = ln(a*b)

ln(x) + ln(x²) = 1.5
ln(x*x²) = 1.5
ln(x³) = 1.5
e^ln(x³) = e^1.5
x³ = e^1.5
x = √e

לכן נקודת החיתוך עם ציר x היא:

(√e,0)

תשובה:
נקודת החיתוך עם ציר x היא:

(√e,0)

דרך הפתרון היא גזירת הפונקציה ומציאת תחומי החיוביות והשליליות שלה.

נגזור את הפונקציה:
נשתמש בכלל הגזירה:

f(x) = 2ln(x) + 2ln(x²) – 3

מכיוון שתחום ההגדרה של הפונקציה הוא x > 0, הנגזרת תמיד חיובית.
לכן הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה.

תשובה:
הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה.

דרך הפתרון היא שימוש במידע מסעיפים קודמים לבניית הגרף.

שיקולים לגרף:

נקודת חיתוך עם ציר x:

(√e,0)

הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה.

נראה בעזרת טבלה כי לפונקציה יש אסימפטוטה ב – x = 0:

נציב את ערכי ה – x מהטבלה בפונקציה:

x = 0.0001:

f(x) = 2ln(x) + 2ln(x²) – 3
f(0.0001) = 2ln(0.0001) + 2ln(0.0001²) – 3 = -58.26

x = 0.001:

f(x) = 2ln(x) + 2ln(x²) – 3
f(0.001) = 2ln(0.001) + 2ln(0.001²) – 3 = -44.44

x = 0.001:

f(x) = 2ln(x) + 2ln(x²) – 3
f(0.001) = 2ln(0.01) + 2ln(0.01²) – 3 = -30.63

ניתן לראות כי ככל שערכי x מתקרבים לאפס הפונקציה שואפת למינוס אינסוף.
לכן ב – x = 0 אסימפטוטה אנכית.

הפונקציה f(x)- היא שיקוף של הפונקציה המקורית סביב ציר ה – x(הן סימטריות סביב ציר x):