בגרות במתמטיקה 4 יחידות שאלון 482 מועד חורף 2018

סעיף א1

ציר x:
(π/2 , 0) , (π/2 , 0-)
ציר y:
(3- , 0)

סעיף א2

מקסימום: (π , 3) , (π , 3-)
מינימום: (3- , 0)

סעיף ב

סעיף ג

השטח הכלוא שווה ל – 3 יחידות ריבועיות.

חקרו את הפונקציה
(f (x) = 3sin (x – 0.5π

בתחום:

נקודות חיתוך עם הצירים:
ציר x :  נפתור את המשוואה : f(x) = 0.
3sin(x – π/2) = 0
sin(x – π/2) = 0
פתרון כללי למשוואה :
x – π/2 = 0 + π*k
x = π/2 + π*k
(כאשר  …,k = -1,0,1,2)

הפתרונות (בתחום שלנו):
1. עבור k  = 0 :
x = π/2
2. עבור  k = -1 :
x = -π/2

ציר y: נציב x = 0 בפונקציה:
(f(0) = 3 * sin(0 – π/2
(f(0) = 3*sin(-π/2
sin(-π/2) = -1
לכן:
f(0) = -3

לכן, נקודות החיתוך הן:
ציר x:
(π/2 , 0) , (π/2 , 0-)
ציר y:
(3- , 0)

נקודות קיצון:
על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון, נגזור את הפונקציה ונשווה ל – 0:
f ‘ (x) = 3*cos(x – π/2) = 0
cos(x – π/2) = 0
פתרון כללי למשוואה:
x – π/2 = π/2 + π*k
x = π + π*k
(כאשר  …,k = -2,-1,0,1,2)

הפתרונות (בתחום שלנו):
1. עבור k  = 0 :
x = π
2. עבור  k = -1 :
x = 0
3. עבור k = -2 :
x = -π

אלו הנקודות החשודות לקיצון.
נבדוק האם הן נקודות קיצון (ואם כן, את סוג הנקודה), בעזרת טבלה:

הערה: עבור נקודות הקצה, יש לבדוק רק את הצד שנמצא בתחום, ולפיו לקבוע את סוג הנקודה.
(אם, למשל, מימין לנקודה הפונקציה יורדת – אזי היא נקודת מקסימום)

תשובה:
מקסימום: (π , 3) , (π , 3-)
מינימום: (3- , 0)

סקיצה של הפונקציה:

השטח המוגבל אותו אנו נדרשים לחשב:

השטח המוגבל נתון ע”י האינטגרל:

נפתור את האינטגרל:

תשובה לסעיף ג’:
השטח הכלוא שווה ל – 3 יחידות ריבועיות.

סעיף א1

כל x

סעיף א2

ציר x :
(0 , 0.5)
ציר y:
(2- , 0)

סעיף א3

נקודת מינימום: (2.25- , 0.5-)

סעיף ב1

נקודת מקסימום: (4.5 , 0.5-)

סעיף ב2

y = – 2

סעיף ב3

חקרו את הפונקציה
f (x) = 4^2x – 4^x -2

תחום ההגדרה:
בפונקציה זו אין x עבורו הפונקציה אינה מוגדרת.
לכן תחום ההגדרה הוא לכל x.

נקודות חיתוך עם הצירים:
ציר x: נפתור את המשוואה f(x) = 0.
4^2x – 4^x – 2 = 0
על מנת לפתור את המשוואה, נציב 4^x = t.
נקבל:
t² – t – 2 = 0t – 2) * (t + 1) = 0)
t₁ = 2 , t₂ = -1
נחזור למשתנה המקורי, x :
– עבור t₁:
4^x = 2
x₁ = 0.5 (חזקת חצי היא בעצם שורש ריבועי, וכידוע, השורש הריבועי של 4 הוא 2)
– עבור t₂:
4^x = -1
אין פתרון – מכיוון שאף חזקה של המספר 4 לא תניב לנו מספר שלילי.

ציר y:
נציב x = 0 במשוואת הפונקציה:
f(0) = 4⁰ – 4⁰ – 2
f(0) = 1 – 1 – 2
f(0) = -2

לכן, נקודות החיתוך:
ציר x :
(0 , 0.5)
ציר y:
(2- , 0)

נקודות קיצון:
על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון, נגזור את הפונקציה ונשווה ל – 0.
תזכורת – נגזרת של פונקציה מעריכית:
(a^x) ‘ = a^x * ln(a)

f ‘ (x) = 4^2x * ln(4)*2  –  4^x * ln(4) = 0
נחלק ב – (ln(4 :
4^2x *2 – 4^x = 0
נחלק ב – 4^x (שונה מ – 0 לכל x) :
4^x *2 – 1 = 0
4^x = 1/2
(x = log₄ (1/2
x = -0.5

נבדוק האם היא נקודת קיצון בעזרת טבלה:

תשובה:
נקודת מינימום: (2.25- , 0.5-)

 (g(x) = -2*f(x
לפונקציה (g(x יש אסימפטוטה שמשוואתה y = 4.

1. נקודת קיצון:
אם נגזור את המשוואה הנ”ל , נקבל:
(g ‘ (x) = -2 * f ‘ (x
כלומר, יש הבדל של קבוע בין שתי הנגזרות.
לכן, שיעור ה- x של נקודת הקיצון הוא זהה בין הפונקציות: x = -0.5.
(g(x) = -2*f(x , ולכן שיעור ה – y של הנקודה יהיה מוכפל ב – 2-.
כלומר:  y = -2 * -2.25 = 4.5

ניתן לראות מהשרטוט הנתון כי זוהי נקודת מקסימום.
תשובה: נקודת מקסימום: (4.5 , 0.5-)

אסימפטוטה אופקית של (f(x:

האסימפטוטה האופקית של (g(x היא y = 4.
כלומר, כאשר x שואף למינוס אינסוף, הפונקציה שואפת ל – 4.
(g(x) = -2 * f(x , ולכן :
(f(x) = -0.5 * g(x

לכן, עבור (f(x , כאשר x ישאף למינוס אינסוף – הפונקציה תשאף ל :
y = 4*-0.5
y = -2

סקיצה של (f(x :

סעיף א1

x > 0

סעיף א2

(0,e^-1.5)

סעיף א3

הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה, כלומר לכל x > 0.

סעיף א4

x = 0

סעיף א5

סעיף ב1

x = 0 – אסימפטוטה אנכית.

y = 0 – אסימפטוטה אופקית.

סעיף ב2

סעיף ג

b = 8

חקרו את הפונקציה

תחום הגדרה:
תחום ההגדרה של הפונקציה (ln(x הוא x > 0.
לכן, תחום ההגדרה של (f(x הוא x > 0.

נקודות חיתוך עם הצירים:
ציר x : נפתור את המשוואה f(x) = 0.
2lnx + 3) / 3 = 0)
2lnx + 3 = 0
2lnx = -3
lnx = -1.5
x = e^-1.5

ציר y:  הפונקציה לא חותכת את ציר y מכיוון ש x = 0 מחוץ לתחום הגדרתה.

נקודות החיתוך: 
ציר x :
(0,e^-1.5)
ציר y : אין.

תחומי עלייה וירידה:
ראשית נבדוק האם יש נקודות קיצון:
f ‘ (x) = 2 / 3x = 0
אין x המקיים את המשוואה, ולכן לפונקציה אין נקודות קיצון.A
לכן הפונקציה עולה או יורדת בכל תחום הגדרתה.

על מנת לבדוק אם עולה/יורדת, נציב בנגזרת נקודה כלשהי בתחום ההגדרה:
f ‘ (1) = 2 / 3 > 0

כלומר, הנגזרת חיובית בכל תחום ההגדרה.
לכן, הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה, כלומר לכל x > 0.

אסימפטוטה אנכית:
מכיוון שהפונקציה מורכבת מפונקציית ה – ln ,
הפונקציה תשאף למינוס אינסוף כאשר x שואף ל – 0.
לכן, האסימפטוטה האנכית של הפונקציה היא x = 0.

סקיצה של הפונקציה:

אסימפטוטות של (f ‘ (x :

כבר מצאנו את הנגזרת:
f ‘ (x) = 2/3x

אסימפטוטה אנכית:
נשים לב כי כאשר x שואף ל – 0, המכנה שואף ל-0 והמונה הוא מספר קבוע,
ולכן הפונקציה שואפת לאינסוף.
לכן x = 0 – אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטה אופקית:
כאשר x שואף לאינסוף, המכנה ישאף לאינסוף והמונה הוא מספר קבוע,
ולכן הפונקציה שואפת ל – 0.
לכן y = 0 – אסימפטוטה אופקית.

סקיצה של (f ‘ (x:

b > 1 הוא פרמטר.

השטח הכלוא שווה ל – (ln(4.

השטח הכלוא נתון ע”י האינטגרל:

אנו כבר יודעים מהי הפונקציה הקדומה – מכיוון שאנו עושים אינטגרל על הנגזרת של הפונקציה המקורית.
לכן הפונקציה הקדומה היא (f(x.
נפתור את האינטגרל:

נתון כי השטח הכלוא שווה ל – (ln(4.
כעת נשווה בין השטח שמצאנו לבין השטח הנתון:
(2ln(b) / 3 = ln(4
לפי חוקי לוגריתמים:
(a * ln(x) = ln(x^a
לכן:
(ln(b^2/3) = ln(4
b^2/3 = 4
b = 4^3/2
b = 8