פתרון בגרות במתמטיקה קיץ 2019 שאלון 482

סעיף א

d_b = 12

סעיף ב

הוכחה

סעיף ג1

c₁ = 9

סעיף ג2

S₂₀ = 3220

דרך הפתרון היא לבטא את האיבר במקום ה – n ובמקום ה – (n + 1) בסדרה b_n ולהראות כי ההפרש ביניהם הוא קבוע ואינו תלוי ב – n.

נמצא נוסחת איבר כללי לסדרה a_n:
נשתמש בנוסחת האיבר הכללי לסדרה חשבונית:

a_n = a₁ + (n – 1)d
a_n = a₁ + (n – 1)4
a_n = a₁ – 4 + 4n

נמצא כעת נוסחת איבר כללי ל – b_n:

b_n = a_n + 8n

נציב את נוסחת האיבר הכללי שמצאנו עבור a_n:

b_n = a_n + 8n
b_n = a₁ – 4 + 4n + 8n
b_n = a₁ – 4 + 12n

נמצא ביטוי עבור האיבר במקום ה – (n + 1) בסדרה b_n:

b_n = a₁ – 4 + 12n
b_n+1 = a₁ – 4 + 12(n + 1)
b_n+1 = a₁ + 8 + 12n

נראה כעת כי ההפרש בין האיבר במקום ה – n לאיבר במקום ה – (n + 1) הוא קבוע ואינו תלוי ב – n:

b_n+1 – b_n = a₁ + 8 + 12n – (a₁ – 4 + 12n)
b_n+1 – b_n = 12

קיבלנו כי ההפרש הוא קבוע:
d_b = 12
לכן הסדרה b_n היא סדרה חשבונית.

תשובה:
d_b = 12

דרך הפתרון היא להראות כי ההפרש בין כל שני איברים צמודים בסדרה הוא קבוע.

נתון:
c_n = a_n + b_n

לכן האיבר במקום ה – (n + 1) בסדרה c_n הוא:

c_n+1 = a_n+1 + b_n+1

נראה כי ההפרש בין האיבר במקום ה – (n + 1) לאיבר במקום ה – n הוא קבוע ואינו תלוי ב  – n:

c_n+1 – c_n = a_n+1 + b_n+1 – (a_n + b_n)
c_n+1 – c_n = (a_n+1 – a_n) + (b_n+1 – b_n)
c_n+1 – c_n = d_a + d_b
c_n+1 – c_n = 4 + 12
c_n+1 – c_n = 16

מכיוון שההפרש קבוע ואינו תלוי ב  – n הסדרה c_n היא סדרה חשבונית.

דרך נוספת:

נבטא את נוסחת האיבר הכללי בסדרה c_n:

c_n = a_n + b_n
c_n = a₁ – 4 + 4n + a₁ – 4 + 12n
c_n = 2a₁ – 8 + 16n

נבטא את האיבר במקום ה – (n + 1) בסדרה c_n:

c_n = 2a₁ – 8 + 16n
c_n+1 = 2a₁ – 8 + 16(n + 1)
c_n+1 = 2a₁ + 8 + 16n

נראה כי ההפרש בין האיבר במקום ה – (n + 1) לאיבר במקום ה – n הוא קבוע ואינו תלוי ב  – n:

c_n+1 – c_n = 2a₁ + 8 + 16n – (2a₁ – 8 + 16n)
c_n+1 – c_n = 16

מכיוון שההפרש קבוע ואינו תלוי ב  – n הסדרה c_n היא סדרה חשבונית.

דרך הפתרון היא הצבת n = 1 בנוסחת האיבר הכללי של הסדרה.

נציב n = 1 ו – a₁ = 0.5 בנוסחת האיבר הכללי של c_n שמצאנו בסעיף הקודם:

c_n = 2a₁ – 8 + 16n
c₁ = 2*0.5 – 8 + 16*1
c₁ = 1 – 8 + 16
c₁ = 9

תשובה:
c₁ = 9

דרך הפתרון היא שימוש בנוסחת הסכום של סדרה חשבונית:

נשתמש בנוסחה לסכום סדרה חשבונית:

נזכור כי מצאנו בסעיף ב’ כי הפרש הסדרה c_n הוא 16 וכי – c₁ = 9:

S₂₀ = 10(18 + 19*16)
S₂₀ = 10*322
S₂₀ = 3220

תשובה:
S₂₀ = 3220

סעיף א

CB = 8.735

סעיף ב

הסבר

סעיף ג

הזווית בין ‘DA לבסיס המנסרה היא 49.07 מעלות.

סעיף ד

נפח המנסרה הוא 724.83 יחידות נפח.

דרך הפתרון היא התבוננות במשולש ACB ושימוש בפונקציית הטנגנס

נתבונן במשולש CAB:

מכיוון ש – D היא אמצע הקטע CB והמשלוש CAB הוא שווה שוקיים (AC = AB), הקטע AD הוא גובה וחוצה זווית.
נשתמש בפונקציית הטנגנס במשולש ABD:

BD = 12*tan(20)

מכיוון ש – D היא אמצע הקטע CB מתקיים:

CB = 2BD
CB = 2*12*tan(20)
CB = 24tan(20)
CB = 8.735

תשובה:
CB = 8.735

מכיוון ש – AC = AB ומדובר במנסרה ישרה, הפאות AA’B’B ו  – AA’C’C הם שני מלבנים הזהים זה לזה.
לכן האלכסונים שלהם שווים זה לזה – A’B = A’C , לכן המשולש A’BC הוא משולש שווה שוקיים.

דרך הפתרון היא מציאת A’D בעזרת הנתון על שטח המשולש CA’B, ולאחר מכן מציאת הזווית המבוקשת בעזרת שימוש בפונקציית הקוסינוס במשולש AA’D.

נתבונן במשולש CA’B:

מכיוון שהמשולש הוא שווה שוקיים – A’B = A’C, לכן A’D הוא הגובה לבסיס.
נחשב את שטח המשולש:

S_CA’B = 0.5*A’D*CB
S_CA’B = 0.5*8.735*A’D

נשתמש בנתון על שטח המשולש:

S_CA’B = 0.5*8.735*A’D
80 = 0.5*8.735*A’D
A’D = 18.317

נתבונן במשולש AA’D:

הזווית המבוקשת היא:

∠A’DA

נשתמש בפונקצית הקוסינוס על מנת למצוא זווית זו:

∠A’DA = cos^-1(0.655)
∠A’DA = 49.07

תשובה:
הזווית בין ‘DA לבסיס המנסרה היא 49.07 מעלות.

דרך הפתרון היא מציאת גובה המנסרה וחישוב הנפח שלה – שטח הבסיס כפול הגובה.

נתבונן שוב במשולש AA’D:

נמצא את ‘AA בעזרת שימוש בפונקציית הטנגנס:

AA’ = 12tan(49.07)
AA’ = 13.83

נפח המנסרה שווה לשטח הבסיס כפול הגובה:

V = S_ABC*AA’

שטח המשולש ABC שווה לגובה כפול הבסיס חלקי 2:

V = S_ABC*AA’
V = 0.5*AD*BC*AA’
V = 0.5*12*8.735*13.83
V = 724.83

תשובה:
נפח המנסרה הוא 724.83 יחידות נפח.

סעיף א

f(x) = 1.5cos(2x) – 0.75

סעיף ב

(π/6,0)
(5π/6,0)

סעיף ג

max(0,0.75)
min(0.5π,-2.25)
max(π,0.75)

סעיף ד

סעיף ה

יחידות שטח

דרך הפתרון היא שימוש באינטגל על מנת למצוא פונקציה קדומה.

נשתמש באינטגרציה על מנת למצוא את f(x):

f(x) = ∫f ‘ (x)dx
f(x) = ∫-3sin(2x)dx
f(x) = -3*0.5*(-cos(2x)) + C
f(x) = 1.5cos(2x) + C

נציב בביטוי שקיבלנו את הנתון:
f(0) = 0.75

f(x) = 1.5cos(2x) + C
f(0) = 1.5cos(0) + C
f(0) = 1.5 + C = 0.75
C = -0.75

ולכן הפונקציה היא:
f(x) = 1.5cos(2x) – 0.75

תשובה:
f(x) = 1.5cos(2x) – 0.75

דרך הפתרון היא שימוש בכך שבנקודות החיתוך עם ציר x מתקיים y = 0

בנקודות החיתוך עם ציר x מתקיים y = 0 לכן נציב f(x) = 0 בפונקציה:

f(x) = 1.5cos(2x) – 0.75
0 = 1.5cos(2x) – 0.75
1.5cos(2x) = 0.75
cos(2x) = 0.5

נקבל שני פתרונות:

2x = π/3 + 2πk
או:
2x = -π/3 + 2πk

נתבונן הפתרון הראשון:

2x = π/3 + 2πk
x = π/6 + πk

k = 0:

x = π/6 + πk
x = π/6

עבור ערכי שונים מאפס נקבל ערכי x מחוץ לתחום.
קיבלנו את הנקודה:

(π/6,0)

נתבונן בפתרון השני:

2x = -π/3 + 2πk
x = -π/6 + πk

k = 0:

x = -π/6 + πk
x = -π/6 (מחוץ לתחום)

k = 1:

x = -π/6 + πk
x = -π/6 + π
x = 5π/6

קיבלנו את הנקודה:

(5π/6,0)

תשובה:

(π/6,0)
(5π/6,0)

דרך הפתרון היא להשוות את הנגזרת לאפס על מנת למצוא את הנקודות החשודות, ולסווג את הנקודות החשודות באמצעות טבלה.

נשווה את הנגזרת לאפס על מנת למצוא את הנקודות החשודות לקיצון:

f ‘ (x) = 0
-3sin(2x) = 0
sin(2x) = 0
2x = πk
x = 0.5πk

k = 0:

x = 0.5πk
x = 0

k = 1:

x = 0.5πk
x = 0.5π

k = 2:

x = 0.5πk
x = π

נשתמש בטבלה על מנת לסווג את הנקודות החשודת שמצאנו:

נציב בנגזרת ערכי x הנמצאים בתחומים המוצגים בטבלה על מנת למלא אותה:

:0 < x < 0.5π

f ‘ (x) = -3sin(2x)
f ‘ (0.25π) = -3sin(2*0.25π)
f ‘ (0.25π) = -3sin(0.5π)
f ‘ (0.25π) = -3 < 0

לכן בתחום זה הנגזרת שלילית והפונקציה יורדת.
ב – x = 0  נקודת מקסימום.

0.5π < x < π:

f ‘ (x) = -3sin(2x)
f ‘ (0.75π) = -3sin(2*0.75π)
f ‘ (0.75π) = -3sin(1.5π)
f ‘ (0.75π) = -3*(-1) = 3 > 0

לכן בתחום זה הנגזרת חיובית והפונקציה עולה.
ב – x = 0.5π נקודת מקסימום
נציב x = 0.5π בפונקציה:

f(x) = 1.5cos(2x) – 0.75
f(0.5π) = 1.5cos(2*0.5π) – 0.75
f(0.5π) = 1.5cos(π) – 0.75
f(0.5π) = -1.5 – 0.75 = -2.25

ב – x = π  נקודת מקסימום.
נציב x = π בפונקציה:

f(x) = 1.5cos(2x) – 0.75
f(x) = 1.5cos(2π) – 0.75
f(x) = 1.5 – 0.75 = 0.75

נקודות הקיצון הן:
max(0,0.75)
min(0.5π,-2.25)
max(π,0.75)

תשובה:
max(0,0.75)
min(0.5π,-2.25)
max(π,0.75)

דרך הפתרון היא שימוש במידע שאספנו בסעיפים הקודמים.

שיקולים לגרף:

נקודות חיתוך עם ציר x

(π/6,0)
(5π/6,0)

נקודות קיצון:

max(0,0.75)
min(0.5π,-2.25)
max(π,0.75)

נסמן בגרף את השטח המבוקש:

נשתמש באינטגרציה על מנת לחשב את השטח המבוקש:
תחום האינגרציה הוא מ – π/6 ל – 5π/6:

תשובה:

יחידות שטח

סעיף א

כל x

סעיף ב

(0,6)
(ln(2),0)

סעיף ג

max(0,6)

סעיף ד

סעיף ה1

min(0,-3)

סעיף ה2

נפשט את הפונקציה:

f(x) = -3e^x(2e^x – 4)
f(x) = -6e^2x + 12e^x

מכיוון שמדובר בסכום של שתי פונקציות מערכיות הפונקציה מוגדרת לכל x.

תשובה:
הפונקציה מוגדרת לכל x.

דרך הפתרון היא שימוש בכך שבחיתוך עם ציר y מתקיים x = 0 ובחיתוך עם ציר x מתקיים y = 0.

בנקודת החיתוך עם ציר y מתקיים x = 0 לכן על מנת למצוא את החיתוך עם ציר y נציב x = 0 בפונקציה:

f(x) = -3e^x(2e^x – 4)
f(0) = -3e⁰(2e⁰ – 4)
f(0) = -3(2 – 4)
f(0) = -3*(-2)
f(0) = 6

לכן החיתוך עם ציר y הוא:

(0,6)

בנקודות החיתוך עם ציר x מתקיים y = 0 לכן נציב f(x) = 0 בפונקציה על מנת למצוא אותן:

f(x) = -3e^x(2e^x – 4)
0 = -3e^x(2e^x – 4)

נקבל שני פתרונות:

-3e^x = 0
:או
2e^x – 4 = 0

הפתרון הראשון הוא קבוצה ריקה מכיוון ש – e^x ≠ 0 לכל x.

נתבונן בפתרון השני:

2e^x – 4 = 0
2e^x = 4
e^x = 2
ln(e^x) = ln(2)
x = ln(2)

לכן החיתוך עם ציר x הוא:

(ln(2),0)

תשובה:
נקודות החיתוך עם הצירים הן:

(0,6)
(ln(2),0)

דרך הפתרון היא מציאת הנקודות החשודות באמצעות השוואת הנגזרת לאפס, וסיווגן באמצעות טבלה.

נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת לאפס על מנת למצוא את הנקודות החשודות לקיצון:

f(x) = -3e^x(2e^x – 4)
f(x) = -6e^2x + 12e^x
f ‘ (x) = -12e^2x + 12e^x = 0
e^x – e^2x = 0
e^x(1 – e^x) = 0

נקבל שני פתרונות:

e^x = 0
או:
e^x – 1 = 0

הפתרון הראשון הוא קבוצה ריקה מכיוון ש – e^x ≠ 0 לכל x.

נתבונן בפתרון השני:

e^x – 1 = 0
e^x = 1
ln(e^x) = ln(1)
x = 0

נשתמש בטבלה על מנת לסווג את הנקודה החשודה שמצאנו:

נציב ערכי x הנמצאים בתחומים המוצגים בטבלה על מנת למלא אותה:

x < 0:

f ‘ (x) = -12e^2x + 12e^x
f ‘ (-1) = -12e^2*(-1) + 12e^-1 = 2.79 > 0

לכן בתחום זה הנגזרת חיובית והפונקציה עולה.

x > 0:

f ‘ (x) = -12e^2x + 12e^x
f ‘ (-1) = -12e^2*1 + 12e¹ = -56.04 < 0

לכן בתחום זה הנגזרת שלילית והפונקציה יורדת.

לכן ב – x = 0 נקודת מקסימום.
שיעור ה – y בנקודת המקסימום ידוע לנו מהחיתוך עם ציר y:

f(0) = 6

לכן נקודת הקיצון היא:
max(0,6)

תשובה:
max(0,6)

דרך הפתרון היא שימוש במידע שאספנו בסעיפים הקודמים.

שיקולים לגרף:

נקודות החיתוך:

(0,6)
(ln(2),0)

נקודת המקסימום:

max(0,6)

תחומי ירידה:

x > 0

תחומי עליה:

x < 0

דרך הפתרון היא חקירת g(x) באמצעות המידע שיש לנו על f(x).

g(x) = -0.5f(x)

מכיוון ש – g(x) היא הכפלה במינוס חצי של f(x) היא תמונת ראי “מכווצת” שלה סביב ציר x לכן ל – g(x) יש נקודת מינימום:

min(0,-3)

דרך נוספת:

נגזור ונשווה לאפס על מנת למצוא את הנקודה החשודה:

g(x) = -0.5f(x)
g ‘ (x) = -0.5f ‘ (x) = 0
f ‘ (x) = 0

על פי סעיף ג הפתרון למשוואה זו הוא:

x = 0

נסווג את הנקודה באמצעות טבלה:

נציב בנגזרת ערכים הנמצאים בתחומים המוצגים בטבלה על מנת למלא אותה:

x < 0:

g ‘ (x) = -0.5f ‘ (x)
g ‘ (-1) = -0.5f ‘ (-1)

על פי סעיף ג:

g ‘ (-1) = -0.5*(2.79) < 0

לכן בתחום זה הנגזרת שלילית והפונקציה יורדת.

x < 0:

g ‘ (x) = -0.5f ‘ (x)
g ‘ (1) = -0.5f ‘ (1)

על פי סעיף ג:

g ‘ (1) = -0.5*(-56.04) > 0

לכן בתחום זה הנגזרת חיובית והפונקציה עולה.

לכן ב -x = 0 יש ל – g(x) נקודת מינימום.

נציב x = 0 בפונקציה, נזכור כי f(0) = 6:

g(x) = -0.5f(x)
g(0) = -0.5f(0)
g(0) = -0.5*6 = -3

תשובה:
min(0,-3)

שיקולים לגרף:

g(x) היא תמונת ראי מכווצת של f(x) סביב ציר ה – x.

סעיף א

הוכחה

סעיף ב

a = 3

סעיף ג

max(1.5,ln(2.25))

סעיף ד1

(2.61,0)
(0.38,0)

סעיף ד2

x = 0
x = 3

סעיף ד3

דרך הפתרון היא מציאת הנקודה החשודה באמצעות השוואת הנגזרת לאפס.

נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת לאפס.
נשתמש בכלל הגזירה:

f(x) = ln(-x² + ax)

-2x + a = 0
2x = a
x = 0.5a

מכיוון שהתקבלה אך ורק נקודה חשודה אחת, ונתון כי ל – f(x) יש נקודת קיצון, בהכרח שהנקודה החשודה היא נקודת קיצון.

דרך הפתרון היא הצבת x = 0.5a בפונקציה.

נציב x = 0.5a בפונקציה:

f(x) = ln(-x² + ax)
f(0.5a) = ln(-(0.5a)² + a*0.5a)
f(0.5a) = ln(-0.25a² + 0.5a²)
f(0.5a) = ln(0.25a²)

נשווה את הביטוי שמצאנו לנתון:

f(0.5a) = ln(0.25a²) = ln(2.25)
0.25a² = 2.25
a² = 9
a = ±3

נתון a > 0 לכן נבחר בפתרון החיובי:

a = 3

תשובה:
a = 3

דרך הפתרון היא מציאת סוג נקודת הקיצון באמצעות טבלה.

נציב a = 3 בנגזרת:

על פי סעיף א נקודת הקיצון היא:

x = 0.5a
x = 0.5*3 = 1.5

נמצא את סוגה של הנקודה באמצעות טבלה:

נציב ערכי x הנמצאים בתחומים המוצגים בטבלה על מנת למלא אותה:

:0 < x < 1.5

לכן בתחום זה הנגזרת חיובית והפונקציה עולה.

:1.5 < x < 3

לכן בתחום זה הנגזרת שלילית והפונקציה יורדת.
ב – x = 1.5 נקודת מקסימום.
ערך הפונקציה בנקודה נתון

תשובה:
max(1.5,ln(2.25))

דרך הפתרון היא שימוש בכך שבחיתוך עם ציר x מתקיים y = 0.

בנקודות החיתוך עם ציר x מתקיים  y = 0 לכן נציב f(x) = 0 בפונקציה על מנת למצוא אותן:

f(x) = ln(-x² + 3x)
0 = ln(-x² + 3x)
e⁰ = e ^{ln(-x² + 3x)}
1 = -x² + 3x
x² – 3x +1 = 0

נקבל שני פתרונות:

לכן נקודות החיתוך עם ציר x הן:

(2.61,0)
(0.38,0)

תשובה:

(2.61,0)
(0.38,0)

דרך הפתרון היא שימוש בטבלאות על מנת לבדוק האם בקצוות תחום ההגדרה יש אסימפטוטות אנכיות.

על פי הנתון תחום ההגדרה של הפונקציה הוא:

0 < x < 3

נבדוק בעזרת טבלה האם יש אסימפטוטה ב – x = 0:

נמלא את הטבלה:

x = 0.00001:

f(x) = ln(-x² + 3x)
f(0.00001) = ln(-(0.00001)² + 3*0.00001) = -10.41

x = 0.0001:

f(x) = ln(-x² + 3x)
f(0.0001) = ln(-(0.0001)² + 3*0.0001) = -8.11

x = 0.01:

f(x) = ln(-x² + 3x)
f(0.001) = ln(-(0.001)² + 3*0.001) = -5.8

ניתן לראות כי ככל ש – x מתקרב לאפס הפונקציה מתקרבת למינוס אינסוף, לכן יש ב – x = 0 אסימפטוטה אנכית.

נבדוק בעזרת טבלה האם יש אסימפטוטה אנכית ב – x = 3:

נמלא את הטבלה:

x = 2.999:

f(x) = ln(-x² + 3x)
f(2.999) = ln(-(2.999)² + 3*2.999) = -5.8

x = 2.9999:

f(x) = ln(-x² + 3x)
f(2.9999) = ln(-(2.9999)² + 3*2.9999) = -8.11

x = 2.99999:

f(x) = ln(-x² + 3x)
f(2.99999) = ln(-(2.99999)² + 3*2.99999) = -5.8

ניתן לראות כי ככל ש – x מתקרב לשלוש הפונקציה מתקרבת למינוס אינסוף, לכן יש ב – x = 3 אסימפטוטה אנכית.

תשובה:
x = 0
x = 3

שיקולים לגרף:

תחום הגדרה:

0 < x < 3

נקודות חיתוך עם ציר x:

(2.61,0)
(0.38,0)

נקודת מקסימום:

max(1.5,ln(2.25))

אסימפטוטות:

x = 0
x = 3