בגרות במתמטיקה 4 יחידות שאלון 482 מועד קיץ 2016

סעיף א

1/x²

סעיף ב

x=2

סעיף ג

סכום ריבועי המקומות הזוגיים הוא 0.234

נחלק את a₃ ב a₁

נוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית היא:

נציב בנוסחה:

x²=4
x=2,-2
שימו לב כי בנתונים כתוב x>1 ולכן x=2.

עלינו למצוא את האיבר הראשון ומנת הסדרה.
האיבר הראשון הוא:
0.25 = ²(0.5)

מנת הסדרה שווה למנת סדרת המקומות האי זוגיים בריבוע. כלומר:

תשובה: סכום ריבועי המקומות הזוגיים הוא 0.234

סעיף א

∠CAS=55º

סעיף ב

נפח הפירמידה הוא 94.952.

סעיף ג

זווית ASB שווה ל 46.55 מעלות.

 

משולש ASC הוא משולש שווה שוקיים. לכן
CAS=(180-70):2=55

עלינו למצוא את צלעות המלבן וגובה הפירמידה.
במשולש ABC

Cb= 6* tg 50=7.15
(צלע המלבן)

AO =AC:2 = 9.33:2=4.65
במשולש AOS

SO=tg 55 * 4.65=6.64
(גובה הפירמידה).

נפח הפירמידה שווה לשטח הבסיס כפול הגובה לחלק ב 3.

תשובה: נפח הפירמידה הוא 94.952.

במשולש ASO

אנו יודעים את שלושת הצלעות במשולש ASO אז ניתן להשתמש במשפט הקוסינוסים על מנת למצוא את הזווית או להוריד גובה שהוא גם תיכון ולהשתמש בפונקציית ה sin.
אשתמש במשפט הקוסינוסים:

תשובה: זווית ASB שווה ל 46.55 מעלות.

סעיף א1

( 0 , 0.33₶)
(0 , 0.66₶)

סעיף א2

הנקודות 0,3 ו 180,3 הן נקודות מקסימום.
הנקודה 1-, 90 היא נקודת מינימום.

סעיף א3

סעיף ב

(F'(x)=g(x
g(x) = 1+2cos 2x

נקודות החיתוך מתקבלות כאשר g(x) =0
1+2cos 2x= 0
2cos 2x=-1
cos 2x=-0.5
2x = 120 +360k
x=60 +180k
x=0.33₶  – בתחום ההגדרה.
או
2x=-120 + 360k
x=-60+180k
x=0.66₶  – בתחום ההגדרה.

g(x) = 1+2cos 2x
g'(x)=-4sin2x
-4sin2x=0
sin 2x=0
2x = 0 +180k
x=0 + 90k
בתחום המבוקש ערכי ה X החשודים כקיצון הם:
x= 0, 90, 180

נמצא את ערכי הפונקציה בנקודות הללו:
g(0) = 1 +2cos 0=3
g(90) = 1 +2cos 180=-1
g(180) = 1 +2cos 360=3
תשובה: הנקודות 0,3 ו 180,3 הן נקודות מקסימום.
הנקודה 1-, 90 היא נקודת מינימום.

זו סקיצת הפונקציה

על פי גרף הפונקציה ניתן לראות כי ערך הנגזרת שלילי כאשר

וזה בדיוק התחום שבו שיפוע המשיק שלילי.

סעיף א1

()

סעיף א2

() min

סעיף א3 

סעיף ב

k=10

 

F(x) = e^2x +e^4-2x +2
F(0) = e^2*0 +e^4-2*0 +2
=e^2*0 +e^4-2*0 +2=e⁰ + e⁴ +2
e⁴ +3

נקודת החיתוך עם ציר ה y היא:

F'(x) = 2e^2x -2e^4-2x
2e^2x *-2e^4-2x =0
2e^2x =2e^4-2x
2x=4-2x
4x=4
x=1

נבדוק אם זה מינימום או מקסימום בעזרת הנגזרת השנייה:
F”(x) = 4e^2x +4e^4-2x
e בחזקת מספר כלשהו נותן תוצאה חיובית לכן ערך הנגזרת השנייה הוא חיובי וזו נקודת מינימום.

נמצא את ערך ה y כאשר x=1
F(1) = e² +e^4-2 + 2 = 2e² +2
נקודת מינימום של הפונקציה היא:

סקיצה של הפונקציה

תשובה: k=10.

סעיף א

x≠0

סעיף ב

x=0

סעיף ג

(- 1, – 2) min (1 ,- 2) min

סעיף ד1

f(5) = 18.78

סעיף ד2

סעיף ה

2 נקודות חיתוך עם ציר הX

F(x)= x² – ln (x²)-3

תחום ההגדרה: x² צריך להיות חיובי על מנת שהפונקציה תהיה מוגדרת. לכן x≠0 הוא תחום ההגדרה.

אסימפטוטה מתקבלת בנקודת אי ההגדרה והיא x=0.

נגזור את הפונקציה.

2x²=2
x²=1
x=1 או x=-1
נמצא את סוג הקיצון בעזרת הנגזרת השנייה.

ביטוי זה חיובי לכל X לכן אלו נקודות מינימום.
נמצא את ערכי הפונקציה בנקודת הקיצון.
F(1) =-2
f(-1)=-2

f(5) = x² – ln (x²)-3=18.78

סקיצה של הפונקציה היא:

מכוון שבנקודות המינימום f(x)=-2 כאשר נוסיף 2 לפונקציה נקודות המינימום ישיקו לציר ה X וכל שאר הפונקציה תהיה מעל ציר ה X.
לכן לפונקציה (g(x יהיו 2 נקודות השקה עם ציר הX.