בגרות 4 יחידות 482 קיץ 2021

ניתן למצוא את t על סמך התכונה של סדרה חשבונית שבה הפרש של איברים סמוכים הוא שווה בין כל שני איברים

a_k+1 – a_k = a_k+2 – a_k+1

דרך הפתרון היא להציב את הנתונים בנוסחת האיבר הכללי
a_n = a₁ + (n – 1)d
על מנת למצוא את מיקום האיברים.

נתון כי a_n היא סדרה יורדת לכן הפרש הסדרה צריך להיות שלילי.
לכן הפתרון הראשון הוא הפתרון המתאים.

דרך הפתרון היא שימוש בעבודה שמספר האיברים לפני האיבר האמצעי שווה למספר האיברים אחרי האיבר האמצעי.

עלינו לזהות בסדרת המספרים האי זוגיים את :

• האיבר הראשון
• הפרש הסדרה.
• מספר האיברים.

ולהציב בנוסחה.

מידע נוסף בדף סכום סדרת המקומות האי זוגיים.

סעיף א

אפשרות ראשונה:
a_k = 1
a_k+1 = -1
a_k+2 = -3
d = -2

אפשרות שנייה:
a_k = 36
a_k+1 = 48
a_k+2 = 60
d = 12

סעיף ב

מיקום האיברים הוא:
95,96,97

סעיף ג1

בסדרה 191 איברים.

סעיף ג2

סכום האיברים האי זוגיים הוא  96-

נגדיר את שלושת האיברים:
a_k = 5t + 6
a_k+1 = 2t + t²
a_k+2 = 4t + t²

על מנת למצוא את שלושת האיברים הנ”ל ואת הפרש הסדרה נשתמש בכך שהפרשי כל שני איברים עוקבים בסדרה חשבונית שווים זה לזה:

a_k+1 – a_k = a_k+2 – a_k+1
2t + t² – (5t + 6) = 4t + t² – (2t + t²)
t² – 3t – 6 = 2t
t² -5t – 6 =0
(t + 1)(t – 6) = 0

נקבל שתי פתרונות:
t = -1, t = 6

פתרון ראשון t = -1

נציב t = -1 באיברים הנתונים:

a_k = 5t + 6
a_k = 5*-1 + 6
a_k = 1

a_k+1 = 2t + t²
a_k+1 = 2*-1 + (-1)²
a_k+1 = -1

a_k+2 = 4t + t²
a_k+2 = 4*-1 + (-1)²
a_k+2 = -3

נמצא את הפרש הסדרה:
d = a_k+1 – a_k
d = -1 – 1
d = -2

פתרון שני t = 6

נציב t = 6 באיברים הנתונים:

a_k = 5t + 6
a_k = 5*6 + 6
a_k = 36

a_k+1 = 2t + t²
a_k+1 = 2*6 + 6²
a_k+1 = 48

a_k+2 = 4t + t²
a_k+2 = 4*6 + 6²
a_k+2 = 60

נמצא את הפרש הסדרה:
d = a_k+1 – a_k
d = 48 – 36
d = 12

תשובה:
אפשרות ראשונה:
a_k = 1
a_k+1 = -1
a_k+2 = -3
d = -2

אפשרות שנייה:
a_k = 36
a_k+1 = 48
a_k+2 = 60
d = 12

דרך הפתרון היא להציב את הנתונים בנוסחת האיבר הכללי
a_n = a₁ + (n – 1)d
על מנת למצוא את מיקום האיברים.

נתון כי a_n היא סדרה יורדת לכן הפרש הסדרה צריך להיות שלילי.
לכן הפתרון הראשון הוא הפתרון המתאים.

אלו נתוני הסדרה שלנו (מהפתרון הראשון):
a_k = 1
a_k+1 = -1
a_k+2 = -3
d = -2

נמצא את המיקום של a_k = 1

נציב – a_k = 1 ו – d = -2  ו -a₁ = 189 בנוסחת האיבר הכללי:

a_n = a₁ + (n – 1)d

1 = 189 -2(k – 1)
2(k – 1) = 188
k – 1 = 94
k = 95

לכן מיקום האיברים הנתונים הוא:
95,96,97

תשובה:
מיקום האיברים הוא:
95,96,97

דרך הפתרון היא שימוש בעבודה שמספר האיברים לפני האיבר האמצעי שווה למספר האיברים אחרי האיבר האמצעי.

95,96,97
אלו האיברים הנתונים.
איבר 96 הוא האיבר האמצעי בסדרה כולה.
לפני איבר זה יש 95 איברים, לכן גם אחריו יש 95 איברים.

לכן מספר האיברים בסדרה הוא:
n = 95 + 1 + 95
n = 191

תשובה:
בסדרה 191 איברים.

דרך הפתרון היא שימוש בנוסחה:

הקושי העיקרי הוא זיהוי נכון של מספר האיברים שאנו סוכמים וההפרש המתאים לסדרת האי זוגיים.

נמצא את סכום האיברים האי זוגיים בסדרה.
נתוני סדרת האיברים האי זוגיים:

a₁ = 189 האיבר הראשון.
2d = -4
n = 96 מספר האיברים.

ומספר האיברים בה הוא  96.
נשתמש בנוסחה לחישוב סכום סדרה חשבונית:

S = 48(378 – 380)
S = 48*-2
S = -96

תשובה:
סכום האיברים האי זוגיים הוא  96-

דרך הפתרון:

1. נמצא את אלכסון הבסיס AC.
2. נמצא את משולש הכולל את הזווית הידועה, אלכסון הבסיס והגובה ובעזרת פונקציה טריגונומטרית נמצא את הגובה.

• עלינו לחשב את סכום שטחי 4 המלבנים העוטפים את התיבה.
• נשתמש בכך שכל זוג מלבנים נגדיים שווים זה לזה.
• בכל אחד מהמלבנים הללו אנו יודעים שתי צלעות.

דרך הפתרון היא מציאת ‘AC, ולאחר מכן בידוד המשולש ‘AC’D ומציאת הזווית המבוקשת על ידי שימוש בפונקצית הסינוס.

כך נראה המלבן שאנו צריכים לחשב את שטחו.

על מנת למצוא את שטחו צריך לדעת את ‘AD.

נחשב את שטח ‘AD:

נשתמש במשפט פיתגורס במשולש ‘AD’C:

סעיף א

h = √(15)*a

סעיף ב

a = √5

סעיף ג

α = 26.56

סעיף ד

שטח המרובע הוא 40 יחידות שטח.

דרך הפתרון:

1. נמצא את אלכסון הבסיס AC.
2. נמצא את משולש הכולל את הזווית הידועה, אלכסון הבסיס והגובה ובעזרת פונקציה טריגונומטרית נמצא את הגובה.

נמצא את אלכסון הבסיס AC:
נשתמש במשפט פיתגורס במשולש ABC:

AB² + BC² = AC²
(2a)² + a² = AC²
AC² = 5a²
AC = √(5)*a

נתבונן במשולש AC’C:

מדובר במשולש ישר זווית לכן:

CC’ = √(15)*a

‘CC הוא גובה התיבה לכן גובה התיבה הוא:

h = √(15)*a

• עלינו לחשב את סכום שטחי 4 המלבנים העוטפים את התיבה.
• נשתמש בכך שכל זוג מלבנים נגדיים שווים זה לזה.
• בכל אחד מהמלבנים הללו אנו יודעים שתי צלעות.

כך נראים שני מלבנים שאינם שווים:

נסמן את שטח המעטפת ב – S:

מכוון שאלו שני זוגות של מלבנים חופפים ניתן לכתוב:

_‘S = 2S_ABB’B’ + 2S_BCC’B

מהשרטוט ניתן לראות שהשטח של 4 המלבנים הוא:

[S = 2 * [ 2a*√(15)*a] + 2 * [a*√(15)*a
S = 4√(15)*a² + 2√(15)*a²
S = 6√(15)*a²

נתון כי השטח שווה ל: S = 30√(15)

נבנה את המשוואה:

30√(15) = 6√(15)*a²
a² = 5
a = √5

תשובה:
a = √5

דרך הפתרון היא מציאת ‘AC, ולאחר מכן בידוד המשולש ‘AC’D ומציאת הזווית המבוקשת על ידי שימוש בפונקצית הסינוס.

נסמן את הזווית ש – ‘AD יוצר עם – ‘AC כ -α.

נמצא את אורך האלכסון ‘AC:

0.5AC’ = AC
AC’ = 2*√(5)*a
AC’ = 2*√5*√5
AC’ = 10

מציאת הזווית בין האלכסון לבין ‘AD

נשרטט את המשולש הכולל את ‘AD ואת אלכסון התיבה AC.

הזווית המבוקשת היא הזווית a המסומנת מטה.

נתבונן במשולש ‘AC’D:

מדובר במשולש ישר זווית מכיוון שהזוויות בתיבה גודלן 90 מעלות.

α = 26.56

תשובה:
α = 26.56

כך נראה המלבן שאנו צריכים לחשב את שטחו.

על מנת למצוא את שטחו צריך לדעת את ‘AD.

נחשב את שטח ‘AD:

נשתמש במשפט פיתגורס במשולש ‘AD’C:

AD’² + D’C’² = AC’²
AD’² = AC’² – D’C’²
AD’² = 10² – (2√5)²
AD’² = 100 – 20 = 80
AD’ = 4√5

נחשב את שטח המלבן:

S = AD’*AB
S = 4√5*2√5
S = 40

תשובה:
שטח המרובע הוא 40 יחידות שטח.

דרך הפתרון היא לגזור את הפונקציה ולהשוותה לאפס, וכך למצוא את הנקודות החשודות לקיצון.

שיקולים לגרף:
תחום ההגדרה:

0 ≤ x ≤ π/2

נקודות הקיצון:
min(0,2)

על פי סעיף א, מכיוון שנקודות החיתוך של הנגזרת עם ציר ה – x הן x = π/12 ו – x = 5π/12, ובינהן על פי הטבלה שמצאנו בסעיף ב הנגזרת שלילית, לכן תחום השליליות הוא:

π/12 < x < 5π/12

שיקולים לגרף:
הנגזרת מתאפסת ב:
x = π/12
x = 5π/12
שלילית בתחום:

π/12 < x < 5π/12

אנו מעוניינים לחשב את השטח המוגבל על ידי הנגזרת ברביע הרביעי.

ברביע הרביעי ערך ה x חיובי וערך ה y שלילי.

לכן תחום האינטגרציה הוא תחום השליליות שמצאנו בסעיף הקודם:

π/12 < x < 5π/12

סעיף א

min(0,2)

סעיף ב

סעיף ג

תחום שליליות: π/12 < x < 5π/12

סעיף ד

סעיף ה

יחידות שטח.

דרך הפתרון היא לגזור את הפונקציה ולהשוותה לאפס, וכך למצוא את הנקודות החשודות לקיצון.

נגזור ונשווה את הנגזרת לאפס:

f(x) = 4x + 4cos(2x) – 2
f ‘ (x) = 4 – 8sin(2x) = 0
sin(2x) = 0.5

נקבל שני פתרונות הנובעים מהזהות:
sin a = sin (180 – a)

2x = π/6 + 2πk
2x = π – π/6 + 2πk =  5π/6 + 2πk

נתבונן בפתרון הראשון:
2x = π/6 + 2πk
x = π/12 + πk

נציב  k = 0:

x = π/12 + πk
x = π/12

נתבונן בפתרון השני:
2x = 5π/6 + 2πk
x = 5π/12 + πk

נציב  k = 0:

x = 5π/12 + πk
x = 5π/12

עבור ערכי k גדולים מאפס או קטנים ממנו נקבל ערכי x שאינם נמצאים בתחום ההגדרה של הפונקציה:

0 ≤ x ≤ π/2

לכן הנקודות החשודות כקיצון הן:
x = π/12
x = 5π/12

נבדוק האם מדובר בנקודות קיצון על ידי הצבה בסביבת הערכים שמצאנו

נבדוק מהו סימן הנגזרת בין הערכים שמצאנו:

:0 < x < π/12

נציב – x = π/24:
f ‘ (x) = 4 – 8sin(2x)
f ‘ (π/24) = 4 – 8sin(2*π/24)
f ‘ (π/24) = 1.92 > 0

לכן בתחום זה הנגזרת חיובית והפונקציה עולה.

לכן יש ב- x = 0 נקודת מינימום.
נציב בפונקציה x = 0 על מנת למצוא את ערך ה-y בנקודה:
f(x) = 4x + 4cos(2x) – 2
f(0) = 4*0 + 4cos(2*0) – 2
f(0) = 4 – 2
f(0) = 2

לכן יש נקודת מינימום:
min(0,2)

:π/12 < x < 5π/12

נציב – x = π/3:
f ‘ (x) = 4 – 8sin(2x)
f ‘ (π/3) = 4 – 8sin(2*π/3)
f ‘ (π/3) = -2.92 < 0

לכן בתחום זה הנגזרת שלילית והפונקציה יורדת.

מכיוון שמימין ל – x = π/12 הפונקציה עולה ומשמאל ל – x = π/12 הפונקציה יורדת, יש לפונקציה בנקודה זו נקודת מקסימום.

נציב בפונקציה x = π/12 על מנת למצוא את ערך ה-y בנקודה:
f(x) = 4x + 4cos(2x) – 2

לכן יש נקודת מקסימום:

:5π/12 < x < π/2

נציב – x = 11π/24:
f ‘ (x) = 4 – 8sin(2x)
f ‘ (11π/24) = 4 – 8sin(11π/24)
f ‘ (11π/24) = 1.92 > 0

לכן בתחום זה הנגזרת חיובית והפונקציה עולה.

מכיוון שמשמאל ל – x = 5π/12 הפונקציה יורדת ומימין ל – x = 5π/12 הפונקציה עולה, יש לפונקציה בנקודה זו נקודת מינימום.

נציב בפונקציה x = 5π/12 על מנת למצוא את ערך ה-y בנקודה:
f(x) = 4x + 4cos(2x) – 2

לכן יש נקודת מינימום:

בנוסף מכיוון ש – x = π/2 הוא סוף תחום ההגדרה ומשמאל אליו הפונקציה עולה, מדובר בנקודת מקסימום.

נציב בפונקציה x = π/2 על מנת למצוא את ערך ה-y בנקודה:
f(x) = 4x + 4cos(2x) – 2

f(π/2) = 2π – 4 -2
f(π/2) = 2π – 6

לכן יש נקודת מקסימום:
max(π/2,2π – 6)

π/2	< x <	5π/12	< x <	π/12	< x <	0
		0	–	0	+		f ‘ (x)
2π – 6	עליה		ירידה		עליה	2	f(x)
max		min		max		min	1

תשובה:
min(0,2)

שיקולים לגרף:
תחום ההגדרה:

0 ≤ x ≤ π/2

נקודות הקיצון:
min(0,2)

על פי סעיף א, מכיוון שנקודות החיתוך של הנגזרת עם ציר ה – x הן x = π/12 ו – x = 5π/12, ובינהן על פי הטבלה שמצאנו בסעיף ב הנגזרת שלילית, לכן תחום השליליות הוא:

π/12 < x < 5π/12

שיקולים לגרף:
הנגזרת מתאפסת ב:
x = π/12
x = 5π/12
שלילית בתחום:

π/12 < x < 5π/12

אנו מעוניינים לחשב את השטח המוגבל על ידי הנגזרת ברביע הרביעי.

ברביע הרביעי ערך ה x חיובי וערך ה y שלילי.

לכן תחום האינטגרציה הוא תחום השליליות שמצאנו בסעיף הקודם:

π/12 < x < 5π/12

נזכור כי :

נסמן את השטח ב – S:
(ומכוון שהשטח מתחת לציר ה x נשים מינוס לפניו).

S = -(f(5π/12) – f(π/12))

על מנת להיפתר מהמינוס נכתוב:
S = f(π/12) – f(5π/12)

כפי שמצאנו בסעיפים קודמים:

נציב:

S = f(π/12) – f(5π/12)

תשובה:
השטח המוגבל הוא:

יחידות שטח.

מוצאים על פי גזירה.

עבור כל נקודה מתקיים כי המרחק שלה מציר ה x הוא הערך המוחלט של ערך ה y של הנקודה.

שיקולים לגרף:
מוגדרת לכל x.
מינימום ב:

(1,4e³ + 2)

דרך הפתרון היא להתבונן בגרף של f(x) ולהסיק ממנו מסקנות לגבי g(x)

זה השטח המבוקש:

סעיף א

שיעור ה – x של נקודת המינימום הוא  x = 1.

סעיף ב

a = 2

סעיף ג

סעיף ד1

max(1,-(4e³ + 2))

סעיף ד2

סעיף ה

S = 6e⁴ – 16/3*e³ + 10/3 יחידות שטח

דרך הפתרון היא לגזור את הפונקציה ולהשוותה לאפס על מנת למצוא את הנקודות החשודות כקיצון.

על מנת למצוא את נקודת הקיצון  נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת לאפס:

f(x) = e^3x + 3e^{4 – x} + a
f ‘ (x) = 3e^3x – 3e^{4 – x} = 0
e^3x = e^{4 – x}
3x = 4 – x
4x = 4
x = 1

לכן נקודת הקיצון נמצאת ב  x = 1.

על מנת לקבוע את סוג נקודת הקיצון נבדוק מהו סימן הנגזרת משמאל ומימין לנקודה:
נציב x = 0 בנגזרת על מנת לקבוע את הסימן משמאל לנקודה ו – x = 2 על מנת לקבוע את הסימן מימין לנקודה:

x = 0:

f ‘ (x) = 3e^3x – 3e^{4 – x}
f ‘ (0) = 3e^3*0 – 3e^{4 – 0}
f ‘ (0) = 3 – 3e⁴ < 0

לכן הנגזרת משמאל לנקודה שלילית והפונקציה יורדת.

x = 2:

f ‘ (x) = 3e^3x – 3e^{4 – x}
f ‘ (2) = 3e^3*2 – 3e^{4 – 2}
f ‘ (2) = 3e⁶ – 3e² > 0

לכן הנגזרת מימין לנקודה חיובית והפונקציה עולה.

מכיוון שמשמאל לנקודה הפונקציה יורדת ומימין אליה עולה מדובר בנקודת מינימום.

x >1	1	1 > x
+	0	–	f ‘ (x)
עולה		יורדת	f(x)
	min

תשובה:
שיעור ה – x של נקודת המינימום הוא  x = 1.

דרך הפתרון היא השוואה של ערך הפונקציה בנקודת המינימום למרחק של נקודת המינימום מציר ה – x.

בקיצון x =1, נביע באמצעות a את ערך y של נקודת הקיצון של הפונקציה.

f(x) = e^3x + 3e^{4 – x} + a
f(1) = e³ + 3e^{4 – 1} + a
f(1) = 4e³ + a

כמו כן, מכוון ש a > 0 ערך ה y חיובי והנקודת הקיצון נמצאת ברביע הראשון

נתון כי המרחק מציר x הוא:

4e³ + 2

עבור כל נקודה מתקיים כי המרחק שלה מציר ה x הוא הערך המוחלט של ערך ה y של הנקודה.
השרטוט
מכוון שערך ה y של הקיצון חיובי ניתן לכתוב:

4e³ + a = 4e³ + 2
a = 2

תשובה:
a = 2

שיקולים לגרף:
מוגדרת לכל x.
מינימום ב:

(1,4e³ + 2)

דרך הפתרון היא להתבונן בגרף של f(x) ולהסיק ממנו מסקנות לגבי g(x)

מכיוון ש – g(x) = – f(x) הפונקציה g(x) היא בעצם תמונות ראי של f(x) סביב ציר x.
עבור כל ערך x הפונקציה g(x) מקבלת ערך y הפוך מהפונקציה f(x).

לכן על פי הגרף שיעורי נקודת הקיצון של g(x) הם:

(1,-(4e³ + 2))

וסוגה של נקודת הקיצון הוא מקסימום.

תשובה:
max(1,-(4e³ + 2))

שיקולים לגרף:
g(x) היא שיקוף של f(x) סביב ציר ה-x.

דרך הפתרון היא שימוש באינטגרציה על מנת לחשב את השטח המבוקש.
הקושי העיקרי הוא להבין כי השטח המבוקש סימטרי סביב ציר ה – x

מכיוון ש – g(x) היא שיקף של f(x) סביב ציר ה -x, ציר ה -x הוא גם ציר הסימטריה של השטח המבוקש.
לכן השטח המבוקש שווה לפעמיים השטח המוגבל על ידי f(x) ציר y, ציר x והישר x = 1.
נסמן את השטח ב -S:

S = 2(3e⁴ – 8/3*e³ + 5/3)
S = 6e⁴ – 16/3*e³ + 10/3

תשובה:
S = 6e⁴ – 16/3*e³ + 10/3 יחידות שטח

דרך הפתרון היא לדרוש שמכנה הפונקציה יהיה שונה מאפס, וכי הביטוי בתוך ה – ln יהיה גדול מאפס.

דרך הפתרון היא לגזור את הפונקציה ולהשוות את הנגזרת לאפס על מנת למצוא את הנקודה החשודה, ולהשתמש בטבלה על מנת לקבוע את סוג הנקודה.

דרך הפתרון היא שימוש בעובדה כי שיפוע הישר המשיק הוא 0 ולכן הוא בהכרח משיק בנקודת המינימום.
נקודת המינימום היא:

(1,b)

דרך הפתרון היא יצירת גרף חדש בעזרת הורדה כל נקודה בגרף של f(x) ב – 4 יחידות

סעיף א

x > 0
x ≠ e^-1

סעיף ב

min(1,b)

סעיף ג

תחומי עליה:

x > 1

תחומי ירידה:

0 < x < e^-1
e^-1 < x < 1

סעיף ד1

b = 3

סעיף ד2

סעיף ה1

min(1,-1)

סעיף ה2

גרף III

סעיף א:

דרך הפתרון היא לדרוש שמכנה הפונקציה יהיה שונה מאפס, וכי הביטוי בתוך ה – ln יהיה גדול מאפס.

נדרוש שהמכנה יהיה שונה מאפס:

1 + ln(x) ≠ 0
ln(x) ≠ -1
x ≠ e^-1

נדרוש שהביטוי שבתוך ה- ln יהיה גדול מאפס:

x > 0

תשובה:
תחום ההגדרה הוא:
x > 0
x ≠ e^-1

סעיף ב:

דרך הפתרון היא לגזור את הפונקציה ולהשוות את הנגזרת לאפס על מנת למצוא את הנקודה החשודה, ולהשתמש בטבלה על מנת לקבוע את סוג הנקודה.

נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת לאפס:

bln(x) = 0

נתון b > 0 ולכן:
ln(x) = 0
x = 1

על מנת למצוא את ערך ה y של הקיצון נציב x = 1 בפונקציה:

(הערה: השתמשנו בכך ש ln 1 = 0).

על מנת לבדוק האם מדובר בנקודת קיצון ולקבוע את סוגה נציב בנגזרת הפונקציה ערכיי ה – x הנמצאים בין נקודת אי ההגדרה של הפונקציה ובין הנקודה בה הנגזרת מתאפסת:

:0 < x < e^-1

נציב x = e^-2 בנגזרת:

מכיוון שנתון כי b גדול מאפס ערך זה שלילי, ולכן הנגזרת שלילית בתחום זה והפונקציה יורדת.

:e^-1 < x < 1

נציב x = 2e^-1

מכיוון שנתון כי b גדול מאפס ערך זה שלילי, ולכן הנגזרת שלילית בתחום זה והפונקציה יורדת.
לכן הנקודה שמצאנו היא נקודת מינימום (מכיוון שמשמאל לה הפונקציה יורדת, ומימין לה הפונקציה עולה.)

x >	1	> x >	e-1	> x >	0
+	0	–	לא מוגדר	–	לא מוגדר
עליה	b	ירידה	לא מוגדר	ירידה	לא מוגדר
	max

תשובה:
שיעורי נקודת המינימום הם:
min(1,b)

תשובה(על פי הסעיף הקודם):
תחומי עליה:

x > 1

תחומי ירידה:

0 < x < e^-1
e^-1 < x < 1

דרך הפתרון היא שימוש בעובדה כי שיפוע הישר המשיק הוא 0 ולכן הוא בהכרח משיק בנקודת המינימום.
נקודת המינימום היא:

(1,b)

הישר y = 3 משיק לגרף לנקודת המינימום.
לכן:
b = 3

תשובה:
b = 3

שיקולים לגרף:
תחום ההגדרה:
x > 0
x ≠ e^-1
נקודת המינימום:
min(1,3)
תחומי ירידה:

0 < x < e^-1
e^-1 < x < 1

תחומי עליה:

x > 1

כאשר מתקרבים ל – x = 0 הפונקציה שואפת לאפס:
נציב שלושה ערכי x המתקרבים לאפס:

0.0003	0.0002	0.0001	0	x
0.000126	0.0000798	0.0000365	לא מוגדר	y

לכן, מכיוון שכאשר ערכי ה – x הולכים ומתקרבים לאפס, ערך ה – y הולך ומתקרב לאפס, יש בראשית נקודת אי הגדרה לפונקציה.

כאשר מתקרבים ל – x = e^-1 משמאל הפונקציה מתקרבת למינוס אינסוף:

e-1	e-1.0001	e-1.0002	e-1.0003	x
לא מוגדר	11035.27-	5517.08-	3677.69-	y

כאשר מתקרבים ל – x = e^-1 מימין הפונקציה מתקרבת לאינסוף:

e-0.9997	e-0.9998	e-0.9999	e-1	x
3679.89	5519.29	11037.48	לא מוגדר	y

לכן – x = e^-1 היא אסימפטוטה אנכית.

דרך הפתרון היא יצירת גרף חדש בעזרת הורדה כל נקודה בגרף של f(x) ב – 4 יחידות

נתון כי:
g(x) = f(x) – 4
לכן g(x) היא הורדה של כל נקודה של f(x) ב – 4 יחידות תוך שמירה על ערכי x זהים.

לכן שיעורי נקודת הקיצון של g(x) הם:

(1,3 – 4)
(1,-1)

סוג נקודת הקיצון הוא מינימום מכיוון שמדובר בהזזה כלפי מטה של נקודת המינימום של f(x).

תשובה:
min(1,-1)

גרף 3 מתאר את g(x) מכיוון שניתן לראות כי הוא הזזה כלפי מטה של f(x), ובנוסף ערך ה – y  בנקודת המינימום הוא שלילי כפי שמצאנו בחלק הקודם.