בגרות במתמטיקה 4 יחידות חורף 2019 שאלון 481

סעיף א

נרכשו 18 פיצות אישיות ו45 פיצות משפחתיות במחיר הנחה.

סעיף ב

ניתן לקנות 66 פיצות.

נתון: המחיר של פיצה משפחתית גבוה פי 3 מן המחיר של הפיצה האישית.

1.נבטא את מחיר הפיצות לפני ואחרי ההנחה.
נגדיר:
x – מחיר בשקלים של פיצה אישית לפני ההנחה.
לכן:
3x – מחיר בשקלים של פיצה משפחתית לפני ההנחה

לאחר ההנחה:
0.9x – מחיר פיצה אישית

נחשב את מחיר הפיצה המשפחתית (20% הנחה).
3x * 0.8 = 2.4x

2.4x – מחיר פיצה משפחתית

2.נמצא את מספר הפיצות המשפחתיות והאישיות שנקנו
תלמידי השכבה קנו 63 פיצות במבצע.
נתון כי מספר הפיצות המשפחתיות היה גדול פי 2.5 ממספר הפיצות האישיות.

y – מספר הפיצות האישיות שנקנו
2.5y – מספר הפיצות המשפחתיות שנקנו

סה”כ נקנו 63 פיצות, לכן:
y + 2.5y=63
3.5y = 63
18 = y
נרכשו 18 פיצות אישיות ו45 פיצות משפחתיות במחיר הנחה.

3.נמצא את המחיר ששולם עבור כל סוג פיצה ונבנה משוואות

תשלום עבור פיצה אישית
0.9x  מחיר.
18 יחידות.

לכן העלות:
0.9x * 18 = 16.2x

16.2x שקלים הוא מחיר סך הפיצות האישיות

תשלום עבור פיצות משפחתיות
2.4x מחיר.
45 יחידות.

לכן עלות:
2.4x *45 = 108x

108x שקלים הוא מחיר סך הפיצות המשפחתיות

תשלום עבור כל הפיצות
נתון כי התלמידים שילמו סה”כ 3,477.6 שקלים, לכן
108x + 16.2x = 3477.6
124.2x = 3477.6
x = 28

מחירה המקורי של פיצה אישית – 28 שקלים
מחירה המקורי של פיצה משפחתית – 84 שקלים (28 * 3)

המחיר המקורי של שתי פיצות אישיות
28 × 2 = 56

נתון כי מי שקונה במחיר של שתי פיצות אישיות, יקבל את השלישית חינם.
כלומר ב 56 שקלים נקבל שלוש פיצות אישיות.

נחשב כמה שלשות של פיצות אנו יכולים לקנות עבור 1,232 שקלים, כאשר מחיר של שלשה הוא 56 שקלים (חישבנו בתחילת הסעיף).
22 = 56 ÷ 1232
אנו יכולים לקנות 22 שלשות של פיצות. כלומר סה”כ
22 * 3 פיצות
66 = 22 * 3
ניתן לקנות 66 פיצות אישיות במבצע הזה.

דרך פתרון שנייה
3 פיצות עולות 56 שקלים.
לכן פיצה אחת עולה:

56 :3 = 18.667

נחשב כמה פיצות ניתן לקנות ב 1232 שקלים.

1232 : 18.667 = 66

תשובה: ניתן לקנות 66 פיצות.

סעיף א

y = -0.75 + 6.25

סעיף ב

25 =² (y-1) +x-7) ²)

סעיף ג

שטח המשולש OBC הוא 25 יח”ר.

סעיף ד

בתוך המעגל

דרך הפתרון:

1. נמצא את שיפוע BM על ידי שיפוע המשיק המאונך לו (BO).
2. כמו כן BM עובר דרך הנקודה (3,4) B.

פתרון
 1.נמצא את שיפוע הישר BM

נמצא את שיפוע  OB.
(0,0) O
(3,4) B

OB ⊥ BM מכיוון שרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.

מכפלת שיפועי ישרים מאונכים היא 1-.
לכן:

m_BM * (4/3) = -1
m_BM = -0.75

לכן, שיפוע הישר BM הוא 0.75 –

2.נמצא את משוואת הישר BM

m_BM = -0.75
(3,4) B

נציב בנוסחה למשוואת ישר:

y – y₁ = m(x – x₁)

y – 4 = -0.75(x – 3)
y – 4 = -0.75x + 2.25
y = -0.75 + 6.25

זו משוואת BM.

דרך הפתרון

1. את מרכז המעגל M ניתן למצוא על ידי חיתוך הישרים
2. את רדיוס המעגל על ידי מציאת המרחק של הנקודה B מהנקודה M.

פתרון

1.נמצא את שיעורי הנקודה M

אנו יודעים כי נקודה M היא נקודת החיתוך של הישרים

BM
y = -0.75 + 6.25

OM

נקודת החיתוך תתקבל כך:

נכפיל את המשוואה במכנה המשותף 28 ונקבל:

4x = -7 * 3x + 7 * 25
25x = 7 * 25
x = 7

אנו יודעים ש x  = 7  בנקודה M.
משוואת OM היא:

נציב:

y = (1/7) * 7 = 1
1 = y
(7,1) M מרכז המעגל

2.נמצא את רדיוס המעגל

את רדיוס המעגל נמצא באמצעות נוסחת מרחק בין שתי נקודות.

נציב בנוסחה את הנקודות M וB, מכיוון שהמרחק בין M לB הוא הרדיוס.
(3,4) B
(7,1) M

5 = d
לסיכום, משוואת המעגל היא
25 =² (y-1) +x-7) ²)

הזווית OBM היא זווית ישרה כי רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה.

לכן שטח משולש OBC מתקבל על ידי הנוסחה:

1.נמצא את אורך הקטע OB

נעשה זאת בעזרת הנוסחה למרחק בין שתי נקודות בה השתמשנו בסעיף הקודם, נציב את שיעורי הנקודות
(3,4) B
(O(0,0

5 = OB

2.נמצא את אורך הקטע BC

BC הוא קוטר במעגל כי מיתר במעגל העובר דרך מרכז המעגל הוא קוטר.

R = 5  מצאנו קודם.
לכן:
BC = 10

3.נחשב את שטח המשולש

5 = OB
BC = 10

שטח המשולש OBC הוא 25 יח”ר.

דרך הפתרון:

1. מרכז המעגל החדש הוא אמצע הקטע OM.
2. אם מרחק נקודת המרכז המעגל החדש ממרכז המעגל המקורי קטנה מהרדיוס אז מרכז המעגל החדש נמצא בתוך המעגל המקורי.

פתרון

1.נמצא את נקודת מרכז המעגל החדש

נסמן את מרכז המעגל הנוסף כנקודה (x,y)D.

נתון כי OM הוא קוטר המעגל לכן מרכז המעגל הנוסף (D) יהיה באמצע הקטע OM.
נמצא את שיעורי הנקודה (x,y)D באמצעות הנוסחה לאמצע קטע.

3.5 = x(D)

נציב:

0.5 = y(D)

(3.5,0.5)D

2.נבדוק את מיקום הנקודה D ביחס למעגל המקורי

על מנת לדעת האם הנקודה D נמצאת בתוך המעגל, עליו או מחוצה לו נמצא את המרחק שבין הנקודה D לנקודה M (מרכז המעגל הגדול).

נחשב את המרחק באמצעות הנוסחה לחישוב מרחק.

נציב בה את הנקודות
(3.5,0.5)D
(7,1) M

3.53 = d

כלומר, המרחק בין הנקודה D לנקודה M קטן מרדיוס המעגל המקורי.
לכן, המרכז של המעגל הנוסף (נקודה D) נמצא בתוך המעגל.

סעיף א1

0.0688 = p

סעיף א2

0.6064 = p

סעיף ב

0.02 = P(A∩B¯)

סעיף ג

0.025  = P(A/B¯)

שלב ראשון – נסמן הסתברויות

A – לחבר מועדון יש חגורה שחורה
Ā המאורע המשלים – לחבר מועדון אין חגורה שחורה

נתון כי ל8% בדיוק מחברי מועדון הג’ודו יש חגורה שחורה.

0.08 = P(A)
P(Ā) = 1- P(A) = 0.92

שלב שני – נחשב את ההסתברות באמצעות נוסחת ברנולי

כאשר:
n = 6 הוא מספר הנסיונות
k = 2 הוא מספר ההצלחות
p = 0.08 הוא ההסתברות להצלחה.

0.0688 = p

0.92 זו ההסתברות לבחור אדם ללא חגורה.
ההסתברות לבחור 6 ללא חגורה היא:

p = 0.92⁶ = 0.6064

הערה
פתרון מסורבל יותר יהיה בעזרת נוסחת ברנולי בצורה הזו:

k = 0
n = 6

0.6064 = p

זו שאלת טבלה:

נסמן:
B – מדריך
¯B – המאורע המשלים, החבר אינו מדריך (החבר החניך)

0.2 = P(B)
P(B¯) = 1 – P(B) = 0.8

עכשיו הטבלה נראית כך:

בנוסף יש נתון של הסתברות מותנה

נתון כי 75% מחברי המועדון שיש להם חגורה שחורה הם מדריכים, לכן
P(B/A) = 0.75

0.06 = P(A∩B)
נציג את הנתונים בטבלת הסתברויות.

אנו מחפשים “לא מדריך (חניך) עם חגורה שחורה”.
על פי נתוני הטבלה,
0.02 = P(A∩B¯)

עלינו לחשב את ההסתברות של חגורה שחורה (A) אם ידוע חניך (B¯)

0.025  = P(A/B¯)

סעיף א

הוכחה

סעיף ב

AB = 15

סעיף ג

שטח המשולש AFC הוא 96 יחידות שטח.

סעיף ד

כן

סעיף א

לפי יחס הדמיון מתקיים:

CB = FB + FC = 16 + 9 = 25

נציב את הגדלים הידועים לנו במשוואה:

AB² = FB * CB = 9 * 25 = 225
AB = 15

אנו יודעים כי ΔFCA הוא ישר זווית.

נתון לנו כי FC = 16. נשאר למצוא את AF

נמצא את AF בעזרת משפט פיתגורס במשולש ΔAFB שהוכחנו שהוא ישר זווית בסעיף א(זווית היקפית הנשענת על הקוטר)

AB² = AF² + FB²  / – FB²

AF² = AB² – FB² = 15² – 9² = 225 – 81 = 144

AF = 12

כעת נחשבת את שטח המשולש ΔAFC:

S_ΔAFC = 0.5 * AF * FC = 0.5 * 12 * 16 = 96

שטח המשולש AFC הוא 96 יחידות שטח.

כן, המשולשים דומים.

סעיף א

BD = 11.94

סעיף ב

S_ΔADC =  27.19

סעיף ג

לא

נתונים לנו גדלי DC , BC והזווית DBC.

למציאת BD נשתמש במשפט הקוסינוסים במשולש ΔDCB:

BD² = DC² + BC² – 2 * DC * BC * cos∠BCD

BD² = 10² + 12² – 2 * 10 * 12 * cos65 = 142.57

BD = 11.94

נמצא את AD ואת הזווית ADC ונציב את הגדלים בנוסחת שטח משולש.

מכיוון שידועות לנו שלוש צלעות במשולש ΔBDC וזווית אחת, למציאת הזווית BDC אפשר להשתמש גם במשפט הקוסינוסים וגם במשפט הסינוסים.

משפט הקוסינוסים:

BC² = BD² + DC² – 2 * BD * CD * cos∠BDC

12² = 11.94² + 10² – 2 * 11.94 * 10 * cos∠BDC

144 = 242.57 – 238.8cos∠BDC  / + 238.8cos∠BDC – 144

238.8cos∠BDC = 98.57  / : 238.8

cos∠BDC = 0.412

∠BDC = 65.62

משפט הסינוסים:

∠BDC = 65.62

לפי סכום זוויות צמודות 180°:

∠ADC + ∠BDC = 180°

∠ADC = 180 – ∠BDC = 180 – 65.62 =  114.38°

מציאת AD

נתון כי BD = 2AD

AD = 0.5BD = 0.5 * 11.94 = 5.97

S_ΔADC = 0.5 * AD * DC * sin∠ADC = 0.5 * 5.97 * 10 * sin114.38 = 27.19

לא.

אם M הייתה מרכז המעגל החוסם את ΔBDC, אז צלע BC הייתה קוטר במעגל.

  BC היא זווית היקפית הנשענת על ∠BDC

הוכחתי בסעיף ב כי:

∠BDC = 65.62

לכן היא לא נשענת על הקוטר(כי זווית היקפית הנשענת על הקוטר היא ישרה), לכן M לא מרכז המעגל.

סעיף א

0 ≤ x ≤ 5

סעיף ב

(0 , 4) , (0 , 1)

סעיף ג

מקסימום: (0.5 , 2.5)

מינימום: (2- , 0) , (2- , 5)

סעיף ד

תחומי עלייה:

0 < x < 2.5

תחומי ירידה:

2.5 < x < 5

סעיף ה

סעיף ו

עבור c > 2 מתקיים שכל הפונקציה g(x) חיובית בתחום הגדרתה.

בתחום ההגדרה, הביטוי בתוך השורש צריך להיות אי שלילי.

לכן למציאת תחום ההגדרה נפתור את אי השוויון:

-x² + 5x ≥ 0

-x² + 5x = 0

-x(x – 5) = 0

x₁ = 0 , x₂ = 5

סקיצת הפונקציה נראית כך:

לכן פתרון אי השוויון הוא:

0 ≤ x ≤ 5

לכן תחום ההגדרה של הפונקציה הוא:

0 ≤ x ≤ 5

למציאת נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר x נציב בפונקציה: y = 0

 4 = -x² + 5x  / + x² – 5x

x² – 5x + 4 = 0

(x – 4)(x – 1) = 0

x₁ = 4 , x₂ = 1

לכן נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר x הן: (0 , 4) , (0 , 1)

למציאת נקודות הקיצון הפנימיות של הפונקציה נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל-0:

-2x + 5 = 0   / + 2x

2x = 5  / : 2

x = 2.5

חשודה לנקודת קיצון פנימית היא x = 2.5.

נשים לב כי תחום ההגדרה כולל את הקצוות, לכן גם הקצוות הם נקודות קיצון חיצוניות:

נציב בנגזרת x עבור כל אחד מהתחומים לבדיקת חיוביות/שליליות הנגזרת:

עבור

   :  0 < x < 2.5

עבור

:  2.5 < x < 5

למציאת שיעור y של הנקודות נציב את ערכי x הרלוונטים בפונקציה:

לכן נקודות הקיצון של הפונקציה הן:

מקסימום: (0.5 , 2.5)

מינימום: (2- , 0) , (2- , 5)

את תחומי העלייה והירידה מצאנו בסעיף הקודם.

תחומי עלייה:

0 < x < 2.5

תחומי ירידה:

2.5 < x < 5

נאסוף את הנתונים שאספנו עד כה:

תחום ההגדרה של הפונקציה הוא:

0 ≤ x ≤ 5

נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר x הן: (0 , 4) , (0 , 1)

תחומי עלייה:

0 < x < 2.5

תחומי ירידה:

2.5 < x < 5

מקסימום: (0.5 , 2.5)

מינימום: (2- , 0) , (2- , 5)

בנקודות x = 0 , x = 5 הפונקציה מקבלת מינימום מוחלט.

לכן כאשר ב- x = 0 , x = 5 יתקיים g(x) > 0 כל הפונקציה תהיה חיובית בתחום הגדרתה.

g(0) = f(0) + c = -2 + c > 0  / + 2

c > 2

תשובה סופית:

עבור c > 2 מתקיים שכל הפונקציה g(x) חיובית בתחום הגדרתה.

סעיף א

ב- x = -2 לפונקציה יש מקסימום

ב- x = 2 לפונקציה יש מינימום

סעיף ב

a = 0.25

סעיף ג1

סעיף ג2

נקודת קיצון קורות בפונקציה כאשר הנגזרת מחליפה סימן.

הנגזרת מחליפה סימן בשתי נקודות: x = -2 , x = 2

לכן בשני ערכי x האלה יש נקודות קיצון.

נבדוק את סוגן:

עבור x = -2:

כאשר x < -2 הנגזרת חיובית לכן הפונקציה עולה

כאשר

-2 < x < 0

הנגזרת שלילית לכן הפונקציה יורדת

לכן ב- x = -2 יש מקסימום

עבור x = 2:

כאשר

0 < x < 2

הנגזרת שלילית, לכן הפונקציה יורדת

כאשר x > 2 הנגזרת חיובית, לכן הפונקציה עולה

לכן ב- x = 2 לפונקציה יש מינימום

תשובה סופית:

ב- x = -2 לפונקציה יש מקסימום

ב- x = 2 לפונקציה יש מינימום

למציאת הפרמטר a נציב בפונקציה את הנקודה (0 , 2)

-0.25 + a = 0  / + 0.25

a = 0.25

 מצאנו ביטוי אלגברי לנגזרת. למציאת הפונקציה נבצע אינטגרל על הפונקציה.

ראשית צריך לפשט קצת את הפונקציה:

= f(x) = ∫-x^-2 + 0.25 dx = x^-1 + 0.25x + c

נתון לנו כי שיעור ה-y של נק’ המינימום הוא 10.

בסעיף א מצאנו כי לפונקציה יש נק’ מינימום ב- x = 2

לכן נתונה לנו נקודה על הפונקציה: (10 , 2)

למציאת הקבוע c נציב בפונקציה את הנקודה (10 , 2)

10 = 0.5 + 0.25 * 2 + c

10 = 0.5 + 0.5 + c

10 = 1 + c  / – 1

c = 9

לכן הפונקציה שהנגזרת שלה נתונה היא:

ידוע לנו מהסעיפים הקודמים(בתחום הנתון) רק שיש לפונקציה נקודה מינימום ב-(10 , 2)

לכן סקיצת הפונקציה תיראה כך:

סעיף א

DE = FG = 6 – 2k

EG = FD = -k² + 6k

סעיף ב

עבור k = 3 – √3 שטח המלבן מקסימלי.

נתחיל עם מציאת DE ו- FG.

ראשית, נצטרך למצוא את הנקודות A ו- B.

למציאת הנקודות A ו-B נציב בפונקציה f(x) = 0

f(x) = -x² + 6x = 0

-x(x – 6) = 0

x₁ = 0 , x₂ = 6

לפי השרטוט, x_A < x_B, לכן הנקודות הן:

A(0 , 0) , B(6 , 0)

AB נמצא על ציר x, לכן אורכו הוא הפרש ערכי x של שתי הנקודות.

AB = x_B – x_A = 6 – 0 = 6

בנוסף, נתון: AD = EB = k

DE = FG = AB – (AD + EB)

DE = FG = 6 – (k + k) = 6 – 2k

מציאת FD:

FD מאונך לציר x, לכן אורכו הוא ערך y של הנקודה F.

ערך x של הנקודה F הוא k(נתון), לכן:

f(x) = -x² + 6x = 0

EG = FD = f(k) = -k² + 6k

תשובה סופית:

DE = FG = 6 – 2k

EG = FD = -k² + 6k

שטח המלבן הוא מכפלת אורכי הצלעות.

S_EDFG = ED * FD

נגדיר פונקציה לשטח המלבן:

= g(k) = S_EDFG = (6 – 2k) (-k² + 6k)

= -6k² + 36k + 2k³ – 12k² =

= 2k³ – 18k² + 36k

g(k) = 2k³ – 18k² + 36k

למציאת שטח המלבן המקסימלי נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל-0.

g ‘ (k) = 6k² – 36k + 36 = 0  / :6

k² – 6k + 6 = 0

נפתור את השוויון בעזרת נוסחת השורשים:

k₁ = 0.5(6 + √12) = 3 + √3

k₂ = 0.5(6 – √12) = 3 – √3

נציב בנגזרת k עבור כל תחום לבדיקת חיוביות/שליליות:

g ‘ (k) = 6k² – 36k + 36

עבור k < 3 – √3

g ‘ (1) = 6 * 1² – 36 * 1 + 36 = 6 > 0

עבור

3 – √3 < k < 3 + √3

g ‘ (3) = 6 * 3² – 36 * 3 + 36 = -18 < 0

עבור k > 3 + √3

g ‘ (5) = 6 * 5² – 36 * 5 + 36 = 6 > 0

עבור k = 3 – √3 שטח המלבן מקסימלי.