בגרות במתמטיקה 4 יחידות שאלון 481 קיץ 2020

סעיף א

v = 4

סעיף ב

זמן הצעידה ביום השני הוא 6.25 שעות.

השאלה מבקשת את המהירות שבה החלה הקבוצה לצעוד ביום ראשון לכן נגדיר:

v המהירות ההתחלתית של קבוצת הצועדים ביום הראשון בקמ”ש.

נכתוב טבלה של מהירות, זמן ודרך לפי כל חלק ובה נכניס את כל הנתונים שלנו מתוך השאלה.

כמו כן נסמן באדום את המסקנות שלנו מהנתונים:

קטע	מהירות (קמ”ש)	זמן (שעות)	דרך (ק”מ)
יום ראשון חלק 1	V	3	3V
יום ראשון חלק 2	0	1/4	0
יום ראשון חלק 3	V + 3		40 – 3V
יום שני	1.6 V	40 / 1.6v	40

הסבר לשורה האחרונה:

1.6v המהירות – כי הקבוצה הלכה במהירות הגבוהה ב 60%.

בניית משוואה

ביום השני נתון גם שהקבוצה סיימה שעה לפני היום הראשון לכן ביום השני הלכו שעה פחות.

המשוואה תהיה:
הזמן ביום השני + 1 = לזמן סיום הראשון.

בשלב האחרון כינסנו איברים וגם צמצמנו את השבר מימין על שלא נכפיל בשבר 1.6

נכפיל במכנה המשותף  4v * (v + 3)

9v (v + 3) + 4v(40 – 3v) = 100 * (v + 3)
9v² + 27v + 160v -12v² = 100v + 300
-3v² + 87v -300 = 0
v² – 29v + 100 = 0

ניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים.
כאן נפתור בעזרת טרינום:

v² – 25v – 4v + 100 = 0
v(v – 25) – 4(v – 25) = 0
(v – 4) * (v – 25) = 0

הפתרונות הם:
v = 4 או  v = 25

נשים לב שבחלק הראשון ביום הראשון הלכו 3v.
ואם v = 25 אז בחלק זה הלכו 75 קילומטרים, שזה יותר מהדרך כולה.
לכן פתרון זה נפסל.

תשובה: v = 4.

על פי הטבלה זמן הצעידה ביום השני הוא:

40 / 1.6v

נציב v = 4.

תשובה: זמן הצעידה ביום השני הוא 6.25 שעות.

סעיף א

M( 0, 2a )

(a , 3a)A

סעיף ב

a = 4

סעיף ג

B( – 4 , 4)

סעיף ד1

שטח המשולש הוא 96 יחידות ריבועיות.

סעיף ד2

S_ABOC = 128

1.הנקודה M

בנקודה M מתקיים x = 0.

הנקודה M נמצאת על הישר.

y = x + 2a

נציב x = 0 במשוואת הישר:

y = 0 + 2a.
y = 2a.

לכן:

M( 0, 2a )

2.הנקודה A

הנקודה A נמצאת על שני הישרים:

y = 3x.
y = x + 2a

נמצא את החיתוך בין הישרים:

x + 2a = 3x
2a = 2x
a = x

מצאנו את שיעור האיקס של הנקודה A.

נציב x = a באחת ממשוואת הישר ונמצא את ערך ה y של A.

y = 3x.
y = 3a.

מצאנו: (a , 3a)A

נתון
r = √32

זהו גם המרחק בין נקודה A לנקודה M, מכיוון ש M היא במרכז המעגל וA נמצאת על המעגל.

נשתמש בנוסחה של מרחק בין שתי נקודות:

נציב בנוסחה זו:
d = √32
(a , 3a)A
M( 0, 2a )

נעלה את שני צידי המשוואה בריבוע ונקבל:

32 = a² + a² = 2a²
32 = 2a²
16 = a²

a = 4  או  a = -4.

נתון a > 0.
לכן:
a = 4

מיתר המעגל AB עובר דרך מרכז המעגל M, ולכן AB הוא קוטר.

לכן M היא אמצע AB.

נמצא את A,M

מצאנו כי a = 4.

לכן:

(a , 3a)A
A(4,12)

M( 0, 2a )
M(0,8)

בנוסף נגדיר:

B(x_b, y_b)

נציב בנוסחת אמצע קטע את הנקודות:
(M(0,8
(12, 4)A
B(x_b, y_b)

הנוסחה:

x_M = (x_A + x_B) / 2

y_M = (y_A + y_B) /  2

נציב:

x_M = (x_A + x_B) / 2

0 = (4 + x_B) / 2

0 = 4 + X_B

X_B = – 4

למציאת ערך y נציב:

y_M = (y_A + y_B) /  2

8 = (12 + y_B) /  2

16 = 12 + y_B

4 = y_B

לכן:

B( – 4 , 4)

נשרטט את המשיק למעגל בנקודה A:

משפט: משיק (AC) מאונך לרדיוס (AM) בנקודת ההשקה ולכן המשולש ABC הוא ישר זווית.

לכן שטח המשולש הוא:

S_ABC = 0.5AB * AC

על מנת לחשב את שטח המשולש עלינו למצוא את AB, AC.

נמצא את אורך AB

AB הוא קוטר ולכן שווה לפעמיים הרדיוס:

AB = 2 * √32

נמצא את אורך AC

על מנת לעשות זאת עלינו למצוא את משוואת AC.

נתון שיפוע AM הוא 1.

לכן השיפוע של הישר המאונך AC היא:

m * 1 = -1
m = -1

AC עובר דרך (12, 4)A

נמצא את משוואת AC:

y = mx + b
12 = -1 * 4 + b
16 = b

y = -x + 16

נקודת החיתוך של ישר זה עם ציר ה x היא:

0 = -x + 16
x = 16

ולכן נקודה C היא ב:

C(16 , 0)

נמצא את אורך AC

נציב את הנקודות:

C(16 , 0)
(12, 4)A

:

חישוב שטח המשולש

שטח המשולש הוא:
S_ABC = 0.5AB * AC

נציב:
AC = √288
AB = 2√32

תשובה: שטח המשולש הוא 96 יחידות ריבועיות.

צריך לחשב את שטח המרובע ABOC. נסתכל שוב על השרטוט:

שטח המרובע מורכב מסכום השטחים של שני משולשים:

S_ABC + S_BOC

נחשב את שטח BOC.

גובה המשולש

גובה המשולש הוא ערך ה y של הנקודה B( – 4 , 4)

h = 4

אורך CO

צלע OC נמצאת על ציר איקס, לכן האורך שלה הוא חיסור שיעורי איקס של נקודות C ו- O.

d_oc = x_c – x_o = 16 – 0 = 16

ולכן שטח המשולש BOC הוא:

S_BOC = (16 * 4) / 2 = 16 * 2 = 32.

חישוב שטח המרובע

S_ABOC = S_ABC + S_BOC

סה”כ שטח המרובע:

S_ABOC = 96 + 32 = 128.

סעיף א

ההסתברות שלתלמיד בבית הספר יש מחשב נייד היא 0.8

סעיף ב

ההסתברות שנבחר בן שיש לו מחשב נייד היא 0.3.

סעיף ג

0.833 זו ההסתברות שנבחר מישהי שיש לה מחשב נייד בהנחה שנבחרה בת.

סעיף ד

0.96 זו ההסתברות שלשניים אין מחשב נייד.

נסמן:

p- ההסתברות שלתלמיד שנבחר יש מחשב נייד

לכן ההסתברות שלשלושה תלמידים שנבחרו יש מחשב נייד היא p³.

נשתמש בנתון כי ההסתברות שלשלושה תלמידים שנבחרו יש מחשב נייד היא 0.512 ונבנה את המשוואה הבאה:

p³ = 0.512

p = 0.8

ההסתברות שלתלמיד בבית הספר יש מחשב נייד היא 0.8

נתון כי מספר הבנות בבית הספר גדול פי 1.5 ממספר הבנים, לכן נסמן:

x – ההסתברות לבחור בן.

1.5x – ההסתברות לבחור בת.

סכום ההסתברויות שווה ל 1 ולכן:

1.5x + x = 1

2.5x = 1   / : 2.5

x = 0.4  ההסתברות לבן

1.5x = 1.5 * 0.4 = 0.6
ההסתברות לבת.

נסמן את הנתונים הידועים בטבלה.

בנוסף, נתון כי מחצית מן התלמידים שאין להם מחשב נייד הם בנים.

סך הכול 0.2 בם ללא מחשב נייד.
לכן מתוכם 0.1 בנים ו 0.1 בנות.

כעת נשלים את שני המלבנים החסרים.

לכן, מהטבלה, ההסתברות שנבחר בן שיש לו מחשב נייד היא 0.3.

השאלה היא שאלת הסתברות מותנית.
מה ההסתברות שנבחר בת שיש לה מחשב נייד, אם ידוע שנבחרה בת.

P(בת/יש מחשב נייד) = ?

0.6 זו ההסתברות לבחור בת.

0.5 זו ההסתברות לבחור בת עם מחשב נייד.

0.833 זו ההסתברות שנבחר מישהי שיש לה מחשב נייד בהנחה שנבחרה בת.

לסעיף זה יש שתי דרכים:

1. חישוב בעזרת הסתברות משלימה.
2. חישוב ישיר.

דרך 1: (הסתברות משלימה)

כאשר בוחרים 2 תלמידים יש 3 אפשרויות:

1. לאף אחד אין מחשב נייד.
2. לתלמיד אחד יש מחשב נייד.
3. לשני תלמידים יש מחשב נייד.

ההסתברות שלפחות ל 1 יש מחשב נייד אלו שתי ההסתברויות האחרונות.
במקום לחשב את שתי ההסתברויות הללו שמתוכם הסתברות שלתלמיד אחד יש מחשב נייד היא הסתברות שכוללת שתי תתי הסתברויות ניתן לחשב את ההסתברות הראשונה – שהיא ההסתברות המשלימה.

חישוב ההסתברות שלשני התלמידים שנבחרו אין מחשב נייד:

0.2 זו ההסתברות שלתלמיד אחד אין מחשב נייד.

ההסתברות שלשניים אין מחשב נייד היא:

P₁ = P(A¯)² = 0.2² = 0.04

ההסתברות המבוקשת היא ההסתברות המשלימה:

P = 1 – P₁ = 1 – 0.04 = 0.96

תשובה: 0.96 זו ההסתברות שלשניים אין מחשב נייד.

דרך 2 (חישוב ישר).

צריך לחשב “ההסתברות שללפחות אחד יש מחשב”.

יש שני אירועים המקיימים תנאי זה:

1. נבחר תלמיד אחד(בן או בת) שיש לו מחשב נייד,
2. או שנבחרו שניים שיש להם מחשב נייד.

נחשב את ההסתברות לכל אירוע בנפרד ונסכום את שתי ההסתברויות.

נסמן:

P(A) = 0.8 – לתלמיד/ה שנבחר/ה יש מחשב נייד

P(A¯) = 0.2 – לתלמיד/ה שנבחר/ה אין מחשב נייד

חישוב ההסתברות שנבחרו שניים שיש להם מחשב נייד:

P₁ = P(A)² = 0.8² = 0.64

חישוב ההסתברות שנבחר אחד שיש לו מחשב נייד ואחד שאין לו:

הסתברות זו מורכבת משתי הסתברויות:

1.לראשון יש מחשב נייד ולשני אין

P₂ = P(A) * P(A¯) = 0.8 * 0.2 = 0.16

2.לראשון יש מחשב נייד ולשני אין

P = 0.2 * 0.8 = 0.16

סך הכל 0.32 זו ההסתברות לבחור אחד עם מחשב נייד.

ההסתברות המבוקשת

נחבר את שתי ההסתברויות שחישבנו:

P_total = P₁ + 2P₂ = 0.64 + 0.32 = 0.96

תשובה: 0.96 זו ההסתברות שלפחות ל 1 יש מחשב נייד אם בוחרים 2 תלמידים.

סעיף א

הוכחה

סעיף ב

הוכחה

סעיף ג

הוכחה

סעיף ד

הוכחה

רצוי שתנסו לזהות מספר דברים מצפייה בשרטוט בלבד.
במידה ואתם לא מצליחים מצליחים לזהות מומלץ להמשיך לפתרון, יתכן ותצליחו לזהות במהלך הפתרון.

לא כדאי להציץ לפני הניסיון לפתור, כי ההצצה תקל עליכם מאוד בפתרון.

1. למשיק יש נקודת מפגש עם מיתר במעגל (הנקודה C) לכן המשפט “הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני”.
2. ED הוא מיתר העובר דרך מרכז המעדל ולכן הוא קוטר.
3. MD, ME הם שני רדיוסים ולכן שווים זה לזה.
4. כמו כן בכל השאלות הכוללת מעגל צריך לסרוק את קצה המעגל ולחפש זוויות היקפיות או מרכזיות הנשענות על אותה קשת.

רמז לפתרון הסעיף:

כאשר מופיעה בשאלה המילה “משיק” נחפש להשתמש באחד ממשפטי המשיק.

כמו כן נחפש מיתר הפוגש את המשיק בנקודה ההשקה (הנקודה C) וכך המיתר והמשיק מאפשרים להשתמש במשפט “הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני”.

פתרון

נוכיח את הדמיון הנדרש בעזרת משפט דמיון זווית זווית

שרטוט פתרון סעיף א

רמז לפתרון

1. עלינו להתרגל לזהות רדיוסים שווים במעגל (MC = ME).
2. הסעיף הקודם עוזר: נשים לב שאחת הזוויות הנדרשות בסעיף זה שייכת לאחד מהמשולשים הדומים שמצאנו בסעיף הקודם, לכן נשתמש בשוויון זוויות בין שני משולשים דומים ACD = ∠MEC

פתרון

שרטוט הפתרון

רמז לפתרון

1. נשים לב שלשתי הזוויות יש חלק משותף.
2. לכן נותר להוכיח כי החלק שאינו משותף שווה.

פתרון

ישנה דרך נוספת לפתור סעיף זה:

רמז לפתרון

1. תמיד שיש קוטר במעגל נחפש זווית היקפית הנשענת על הקוטר הזה.
2. כשיש משיק נחפש רדיוס המגיע אל נקודת ההשקה, כך נוצרת זווית של 90 מעלות.

פתרון

ניתן להוכיח בדרך הבאה כי שתי הזוויות המבוקשות שוות 90.

שרטוט הפתרון

רמז לפתרון

DA = DM הוא דבר בעל שתי משמעויות:

1. DA שווה לכל רדיוס במעגל.
2. CD הוא תיכון.

פתרון

ראשית נוכיח כי הזווית MCA היא ישרה (למי שפתר בדרך השנייה חלק זה הוא מיותר, ויש רק לציין זאת בנימוק שהוכחנו בסעיף קודם)

כעת נשתמש במשפט שהתיכון ליתר שווה למחצית היתר ונמשיך להוכחת משולש שווה צלעות

סעיף א

DB = 2.66

סעיף ב

∠DBA = 43.11°

סעיף ג

DC = 4.1

לפתרון סעיף זה נשתמש בנוסחת שטח משולש על משולש ADB, ונשווה לשטח הנתון לנו 5.

S_ΔADB = 0.5 * AD * DB * sin∠ADB =
0.5 * 4 * DB * sin110 = 5

1.88DB = 5   / : 1.88

DB = 2.66

אנו לא יכולים להשתמש במשפט הסינוסים כי אנו לא יודעים זווית וצלע הנמצאים אחד מול השני.

ראשית, נמצא את גודל הצלע AB בעזרת משפט הקוסינוסים:

AB² = AD² + DB² -2AD * AB * cos∠ADB

AB² = 4² + 2.66² – 2 * 4 * 2.66 * cos110 = 30.35

AB = 5.5

כעת נשתמש במשפט הסינוסים במשולש MCE:

sin∠DBA = 0.68

∠DBA = 43.11°

תחילה, נמצא את הזווית DBC בעזרת סכום זוויות צמודות 180°:

∠DBA + ∠DBC = 180°

∠DBC = 180 – ∠DBA = 180 – 43.11 = 136.89°

כעת נשתמש במשפט הסינוסים על המשולש BDC(כאשר R הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש):

DC = 2R * sin∠DBC = 2 * 3 * sin136.89 = 4.1

סעיף א

a = 5

סעיף ב1

x ≠ 5 , x ≠ -1

סעיף ב2

אסימפטוטה אופקית: y = 0

אסימפטוטה אנכית: x₁ = 5 , x₂ = -1

סעיף ב3

תחומי עלייה: אין

תחומי ירידה: כל תחום ההגדרה x ≠ 5 , x ≠ -1

סעיף ב4

נק’ חיתוך עם ציר y היא: (0.2 , 0)

נק’ חיתוך עם ציר x היא: (0 , 1)

סעיף ב5

סעיף ג

אסימפטוטה אופקית היא y = 0

אסימפטוטות אנכיות הן x₁ = 5 , x₂ = -1

סעיף ד

גרף IV

סעיף ה

גודל השטח הדרוש הוא 0.8

נתון כי x = -1 הוא אסימפטוטה אנכית, לכן הוא מאפס את המכנה.

לכן כאשר נציב x = -1 בביטוי במכנה המכנה צריך להתאפס.

x² – 4x – a = 0
(-1)² – 4 * (-1) – a = 0   / + a

a = 1 + 4 = 5

פתרון: a = 5

ההגבלה על תחום ההגדרה היא שהמכנה לא יתאפס, לכן נבדוק מתי הוא מתאפס (יתכן ויש מספרים נוספים חוץ מ x = -1 המאפסים את המכנה).

x² – 4x – 5 = 0

(x – 5) (x + 1) = 0

x₁ = 5 , x₂ = -1

לכן תחום ההגדרה של הפונקציה הוא:

x ≠ 5 , x ≠ -1

נבדוק את האסימפטוטה האופקית. נשאיף את x לאינסוף ולמינוס אינסוף:

כאשר x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף:
במונה 1- זניח ביחס ל x.
במכנה 4x – 5  זניח ביחס ל x².

לכן כאשר x שואף לאינסוף נקבל:

כאשר x שואף למינוס אינסוף:

לכן איסמפטוטה אופקית היא y = 0.

נמצא את האסימפטוטות האנכיות:

מצאנו בסעיף א כי הערכים המאפסים את המכנה הם x₁ = 5 , x₂ = -1

נתון לנו כבר כי x = -1 זו אסימפטוטה אנכית, לכן יש רק לבדוק אם x = 5 מאפס את המונה.
המונה הוא:

x – 1

0 ≠ 4 = 1 – 5

x = 5 לא מאפס את המונה, לכן גם בו יש אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטות אנכיות: x₁ = 5 , x₂ = -1

תשובה סופית:

אסימפטוטה אופקית: y = 0

אסימפטוטה אנכית: x₁ = 5 , x₂ = -1

למציאת תחומי עלייה וירידה נגזור את הפונקציה.

נגזרת הפונקציה היא נגזרת מנה:

כעת נשווה את הנגזרת לאפס למציאת התחומים בהם הפונקציה רק שלילית או רק חיובית:

שבר שווה 0 כאשר המונה שווה 0 (והפתרונות נמצאים בתחום ההגדרה):

-x² + 2x – 9 = 0

נשתמש בנוסחת השורשים כדי לפתרון את המשוואה:

הדיסקרימיננטה שלילית, למשווא הריבועית אין פתרון.
הנגזרת לא מתאפסת ולפונקציה אין קיצון.

נבדוק תחומי עלייה וירידה כאשר החלוקה היחידה היא האסימפטוטות האנכיות:

נציב בנגזרת x עבור כל אחד מהתחומים כדי לבדוק חיוביות/שליליות הנגזרת, ובהתאמה תחומי עלייה/ירידה של הפונקציה:

עבור התחום:
x < -1

עבור התחום:

-1 < x < 5

עבור התחום:
x > 5

נסכם את הנתונים בטבלה:

לכן, תשובה סופית:

תחומי עלייה: אין

תחומי ירידה: כל תחום ההגדרה x ≠ 5 , x ≠ -1

חיתוך עם ציר y.

נציב בפונקציה x = 0:

לכן נק’ חיתוך עם ציר y היא: (0.2 , 0)

חיתוך עם ציר x.

נשווה את הפונקציה לאפס:

x – 1 = 0   / + 1

x = 1

לכן נק’ חיתוך עם ציר x היא: (0 , 1)

תשובה סופית:

נק’ חיתוך עם ציר y היא: (0.2 , 0)

נק’ חיתוך עם ציר x היא: (0 , 1)

נאסוף את הנתונים שיש לנו עד כה על f(x):

תחום הגדרה: x ≠ 5 , x ≠ -1

אסימפטוטה אופקית: y = 0

אסימפטוטה אנכית: x₁ = 5 , x₂ = -1

נק’ חיתוך עם ציר y היא: (0.2 , 0)

נק’ חיתוך עם ציר x היא: (0 , 1)

תחומי עלייה: אין

תחומי ירידה: x ≠ 5 , x ≠ -1

מצאנו כי הנגזרת היא:

אסימפטוטה אופקית

החזקה הגדולה ביותר במכנה היא:
x²)² = x⁴)

החזקה הגדולה ביותר במונה היא:
x²

באינסוף ובמינוס אינסוף x² זניח ביחס ל x⁴.

לכן גם באינסוף וגם במינוס אינסוף הפונקציה שואפת ל 0.

y = 0 אסימפטוטה אופקית.

אסימפטוטה אנכית

נמצא אילו ערכים מאפסים את המכנה:

(x² – 4x – 5)² = 0   / √

x² – 4x – 5 = 0

(x – 5) (x + 1) = 0

x₁ = 5 , x₂ = -1

נבדוק אם ערכים אלה מאפסים את המונה. נציב x = -1:

-(-1)² + 2 * (-1) – 9 = -12

נציב x = 5:

-5² + 2 * 5 – 9 = -25 + 10 -9 = -24

שני הערכים מאפסים את המכנה אבל לא את המונה.
לכן יש בהם אסימפטוטות אנכיות.

תשובה:

אסימפטוטה אופקית היא y = 0

אסימפטוטות אנכיות הן x₁ = 5 , x₂ = -1

בסעיף ב 3 מצאנו כי הנגזרת שלילית עבור כל x ≠ 5 , x ≠ -1

בסעיף ג מצאנו:

אסימפטוטה אופקית היא y = 0

אסימפטוטות אנכיות הן x₁ = 5 , x₂ = -1

לכן הגרף היחיד המתאים לפרטים אלה הוא גרף IV:

השטח אותו אנחנו צריכים למצוא הוא השטח הירוק, כאשר הקווים המקווקווים הם x = 0 , x = 4:

נשים לב שהשטח כולו מתחת לציר x, לכן האינטגרל יצא שלילי וגודל השטח יהיה הערך המוחלט של האינטגרל.

הערה: את f(0) = 0.2 חישבנו כבר בסעיף ב 4, לכן הצבנו ישר את הערך.

S = |-0.8| = 0.8

גודל השטח הדרוש הוא 0.8

סעיף א1

מקסימום: (2√5 , 2) , (2√5 , 2-)

מינימום: (2√3 , 0) , (0 , 3) , (0 , 3-)

סעיף א2

עלייה:

-3 < x < -2 , 0 < x < 2

ירידה:

-2 < x < 0 , 2 < x < 3

סעיף ב

סעיף ג

הישר y = 5 יחתוך את גרף הפונקציה 4 פעמים

סעיף ד

הערה: למציאת נקודות הקיצון יש למצוא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה, לכן אנו בעצם פותרים את סעיפים א1 ו-א2 ביחד.

למציאת נק’ הקיצון נגזור את הפונקציה ונשווה לאפס:

שבר שווה ל 0 כאשר מונה השבר שווה ל 0 (והפתרונות בתחום ההגדרה).

-4x³ + 16x = 0

-4x(x² – 4) = 0

-4x(x – 2)(x + 2) = 0

x₁ = 0 , x₂ = 2 , x₃ = -2

הפתרונות הללו נמצאים בתחום ההגדרה.

נשים לב כי תחום ההגדרה כולל את הקצוות.
לכן  הם גם נקודות קיצון וצריך לבדוק את סוגן.

נציב ערך x מתאים עבור כל תחום:

עבור התחום

0 < x < 2

עבור התחום

-2 < x < 0

עבור התחום

0 < x < 2

עבור התחום

2 < x < 3

כעת נשלים את הטבלה לפי הערכים שמצאנו:

נציב את ערכי x של הנקודות שמצאנו כדי למצוא את שיעורי נקודות הקיצון:

x = -3

x = -2

x = 0

x = 2

x = 3

לכן נק’ הקיצון הן:

מקסימום: (2√5 , 2) , (2√5 , 2-)

מינימום: (2√3 , 0) , (0 , 3) , (0 , 3-)

ותחומי העלייה/ירידה הם:

עלייה:

-3 < x < -2 , 0 < x < 2

ירידה:

-2 < x < 0 , 2 < x < 3

נאסוף את הפרטים הידועים לנו:

תחום הגדרה:

-3 ≤ x ≤ 3

נק’ קיצון:

מקסימום: (2√5 , 2) , (2√5 , 2-)

מינימום: (2√3 , 0) , (0 , 3) , (0 , 3-)

תחומי עלייה/ירידה:

עלייה:

-3 < x < -2 , 0 < x < 2

ירידה:

-2 < x < 0 , 2 < x < 3

לכן סקיצה של גרף הפונקציה היא:

3√2 = 4.24 < 5 < 5√2 = 7.07

לכן הישר y = 5 הוא בתחום שבין הישרים המקווקווים:

בתחום זה גרף הפונקציה “מופיע” 4 פעמים, לכן הישר y = 5 יחתוך את גרף הפונקציה 4 פעמים

גרף הפונקציה של f(x)- יהיה סימטרי ביחס לציר x לעומת f(x)

או במילים אחרות: יראה כמו f(x), רק הפוך ומתחת לציר ה x.

לכן גרף הפונקציה f(x)- יראה כך:

סעיף א

סעיף ב

עבור x = 3 הערך של AB² הוא מינימלי

משולש ABC

שטח המשולש ABC הוא 9.

AD הוא הגובה החיצוני למשולש ABC.
(כי ADC הוא משולש ישר זווית).

לכן AD הוא גם הגודל שאנחנו מחפשים.

נציב בנוסחת שטח משולש ABC את הנתונים הבאים:

S_ΔABC = 9
BC = x

S_ΔABC = 0.5 * AD * BC = 9

0.5 * AD * x = 9   / : 0.5x

AD = 18X^-1

בסעיף הקודם הגדרנו את AD בעזרת x.
בסעיף זה נשתמש בהגדרה זו על מנת להגדיר את AB.

1.בניית פונקציה המתארת את AB

לפי משפט פיתגורס במשולש ABD:

AD² + DB² = AB²

נציב את הגודל הנתון של DB ואת גודל AD שמצאנו בסעיף קודם. בנוסף, נגדיר גודל זה בתור f(x):

f(x) = AB² = (18x^-1)² + (2x)² = 324x^-2 + 4x²

2.מציאת נקודת המינימום של AB

למציאת הגודל המינימלי של AB² נגזור את f(x) ונשווה את הנגזרת לאפס:

f(x) = 324x^-2 + 4x²

f ‘ (x) = -2 * 324x^-3 + 8x = -648x^-3 + 8x = 0   / + 648x^-3

8x = 648x^-3     / : 8 * x³

x⁴ = 81

x₁ = -3 , x₂ = 3

מכיוון ש-x הוא גודל של צלע, הערך השלילי נפסל והערך החשוד לקיצון הרלוונטי הוא רק x = 3.

כזכור:

f ‘ (x) = -648x^-3 + 8x

נציב ערך x בכל תחום כדי למצוא את סוג הקיצון:

f ‘ (1) = -648 * 1^-3 + 8 * 1 = -640 < 0

f ‘ (4) = -648 * 4^-3 + 8 * 4 = 21.875 > 0

לכן עבור x = 3 הערך של AB² הוא מינימלי