פתרון בגרות במתמטיקה קיץ 2019 שאלון 481 (לשעבר 804)

סעיף א

מהירות הרכב בבוקר הייתה 90 קמ”ש

סעיף ב

בשעה 9 ו-8 דקות המכונית הייתה במרחק 20 ק”מ מעיר א.

1.תנועת המכונית בבוקר

נגדיר משתנה:

v – מהירות הנסיעה בבוקר בקמ”ש.

נשלים את הטבלה:

2.תנועת המכונית בערב / בדרך חזור

• המכונית התחילה את תנועתה במשך שעה באותו מהירות בבוקר(v),
• לאחר מכן עצרה למשך שתי דקות
• ואת שאר הדרך עשתה במהירות גבוהה מהמהירות בבוקר ב-10 קמ”ש.

מכיוון שנתוני המהירות נתונים בקמ”ש, צריך להמיר את נתון שתי הדקות לשעות על ידי חלוקה ב 60.

עבור 3 המהירויות צריך 3 שורות.

נשלים את השורה הראשונה בעזרת הנוסחה S = TV

לגבי השורה השלישית

120 ק”מ  הוא המרחק בין הערים.
לכן לאחר ההפסקה הוא נסע 120 ק”מ פחות הדרך שעשה בשורה הראשונה.
לכן הדרך שנעשתה בשורה השלישית היא:

120 – v

לאחר מיכן נשלים את הזמן של השורה השלישית.

T	V	S
1	v	v
30 / 1	0	0
	v + 10	120 – v

ידוע כי זמן הנסיעה בערב(כולל העצירה) היה שווה לזמן הנסיעה בבוקר, לכן נבנה משוואת זמנים:
(משמאל זמן הנסיעה בבוקר, מימין זמן הנסיעה בערב)

120 * 30(v + 10) = 30v(v + 10) + v(v + 10) + 30v(120 – v)

3600(v + 10) = 30v² + 300v + v² + 10v + 3600v – 30v²

3600v + 36,000 = v² + 310v + 3600v  / -3600v – 36,000

v² + 310v – 36,000 = 0

כעת נשתמש בנוסחת השורשים:

גודל מהירות לא יכול להיות שלילי, לכן הפתרון הרלוונטי הוא v = 90.

מהירות הרכב בבוקר הייתה 90 קמ”ש

דגשים לפתרון

1. המכונית יוצאת בערב מעיר ב, אך מקשים את המרחק מעיר א.
2. בדרך מעיר ב המכונית משנה מהירויות.
3. צריך לכתוב את הדקות בצורה של שעות.

המכונית יצאה ב 8:00.
עד 9:08 נסעה 1 שעה ו- 8 דקות.

במשך השעה הראשונה המכונית נסעה במהירות v = 90.
והדרך שעברה:
S₁ = 1 * 90 = 90

לאחר מכן עצרה 2 דקות (לא התקדמה).
S₂ = 0 * 2 = 0

לאחר מכן נשארו לה 6 דקות לנסוע במהירות:
v + 10 = 90 + 10 = 100.
6 דקות הן עשירית שעה:

0.1 = 60 / 6

S₃ = 0.1 * 100 = 10

סכום המרחקים שהמכונית עברה מהנקודה ב הם:

S_Total = S₁ + S₂ + S₃ =
90 + 0 + 10 = 100

בערב המכונית נסעה 100 ק”מ מהעיר ב עד השעה 9 ו-8 דקות.

נבדוק את המרחק מעיר א (נחסיר את הדרך שעברה מ-120):

20 = 100 – 120

לכן בשעה 9 ו-8 דקות המכונית הייתה במרחק 20 ק”מ מעיר א.

סעיף א

(x – 7)² + (y – 6)² = 25

סעיף ב

משוואת המשיק:

y = 0.75x + 7

סעיף ג

9.375

סעיף ד

לכן הנקודה E היא (1.5 , 1)

סעיף ה

הראנו ש D היא מרכז המעגל החוסם.

למשוואת מעגל נחוצים לנו מרכז המעגל ואורך הרדיוס שלו.

מרכז המעגל כבר נתון(נקודה M).

ידוע כי MC = CB = 0.5MB

לכן רדיוס המעגל שווה לחצי MB.

נמצא את אורך MB ונחלק ב-2

נשתמש בנוסחת המרחק בין נקודות:

מרכז המעגל: (6 , 7)M

רדיוס המעגל: 5

לכן משוואת המעגל היא:

(x – 7)² + (y – 6)² = 25

דרך פתרון נוספת:

1. למצוא את הנקודה C על ידי הנוסחה לאמצע קטע. (דבר שממלא נצטרך לעשות בהמשך).
2. המרחק בין M ל C הוא רדיוס המעגל.

דרך הפתרון:

על מנת למצוא משוואת משיק צריך שיפוע ונקודה.

• את השיפוע נקבל מכך שהמשיק מאונך לרדיוס MC (כי רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה).
• הנקודה דרכה עובר המשיק היא C.

פתרון

ידוע כי המשיק מאונך לרדיוס בנק’ ההשקה, לכן מכפלת שיפועיהם היא 1-.

1.נמצא את שיפוע הרדיוס MC

מכיוון ש-B נמצאת על המשך הרדיוס, נמצא את השיפוע בעזרת הנקודות הנתונות B ו-M.

נסמן: a – שיפוע הרדיוס

a₂ – שיפוע המשיק

על פי הנוסחה לשיפוע בין שתי נקודות:
(6 , 7)M
(B(1,14

מכפלת השיפועים של הרדיוס ושל המשיק DC היא:

a₂ = 0.75

כרגע משוואת המשיק היא:

y = 0.75x + b

יש להציב נקודה על המשיק DC למציאת הפרמטר b.
נציב את הנקודה C.

2.מציאת נקודה C:

נתון כי MC = CB, לכן C היא אמצע קטע MB. נשתמש בנוסחת אמצע קטע:

x_mid = 0.5 * (x_B + x_M) =
0.5 * (1 + 7) =
0.5 * 8 = 4

y_mid = 0.5 * (y_M + y_B) =
0.5 * (14 + 6) =
0.5 * 20 = 10

לכן נק’ C היא (10 , 4)

3.מציאת משוואת הישר:

נציב את הנקודה (C(4,10 במשוואת הישר החלקית שמצאנו קודם:

y = 0.75x + b

10 = 0.75 * 4 + b

10 = 3 + b  / – 3

 b = 7

משוואת המשיק:

y = 0.75x + 7

דרך הפתרון

1. המרחק BD (בסיס המשולש) הוא הפרשי ערכי ה y של הנקודות הללו (מכוון שהן נמצאות על ישר המקביל לציר ה y).
2. הגובה במשולש הוא הפרש ערכי x של הנקודה C והישר BD (מכוון שהגובה מקביל לציר ה x).

פתרון

נשתמש בנוסחת שטח משולש:

S = 0.5 * BD * h

1.מציאת אורך BD:

מכיוון שBD אנך לציר x, ערך x של כל הנקודות עליו קבוע.

זה אומר שאורך BD הוא: y_B – y_D

נמצא את הנקודה D.
ידוע כי ערך x של הנקודה B הוא 1, לכן זהו גם ערך x של נקודה D.

נציב x = 1 במשוואת המשיק DC
y = 0.75x + 7

y_D = 0.75 * 1 + 7 = 7.75

D(1 , 7.75)

נחשב את המרחק BD:
BD = 14 – 7.75 = 6.25

מציאת h:

BD מאונך לציר x
ו-h מאונך ל-BD.
לכן מתקיים ש-BD מקביל ציר x

לכן אורכו של BD הוא: x_C – x_BD

(10 , 4)C
D(1 , 7.75)

x_C – x_BD = 4 – 1 = 3

נחשב את שטח המשולש המבוקש:

S = 0.5 * BD * h =
0.5 * 6.25 * 3 = 9.375

דרך הפתרון:

1. נמצא את משוואת ME על ידי הנקודה M ותכונת המקבילות ל CD.
2. הנקודה E היא חיתוך של ME והישר BD.

פתרון

1.נמצא את משוואת הישר ME:

נתון כי ME || CD, לכן שיפועיהם שווים.

שיפוע CD הוא 0.75 (מצאנו בסעיף קודם), לכן זה גם שיפוע ME.

משוואת ME כרגע:

y = 0.75x + b

הישר ME עובר בנקודה (6 , 7)M.
נציב את הנקודה:

6 = 0.75 * 7 + b

6 = 5.25 + b  / – 5.25

b = 0.75

משוואת הישר ME:

y = 0.75x + 0.75

נמצא את נקודה E:

הנקודה נמצאת על הישר BD, לכן ערך x שלה הוא 1. נציב ערך זה במשוואת ME:

y = 0.75x + 0.75
y = 0.75 * 1 + 0.75 = 1.5

לכן הנקודה E היא (1.5 , 1)

דרך הפתרון

1. הרבה פעמים כאשר אנו צריכים להוכיח שנקודה היא מרכז המעגל אז ידועות עוד לפני שתי נקודות (B,E) שניתן להוכיח שהן קוטר על ידי מציאת זווית היקפית בת 90 מעלות הנשענת עליהן (EMB∠)
2. נמצא כי הנקודה D היא אמצע BE.

פתרון

1.הוכחה ש BE הוא קוטר

משוואת ME היא:
y = 0.75x + 0.75

שיפוע BM הוא 4/3-.

לכן מכפלת השיפועים של BM ו ME שווה ל 1-.

0.75 * (-4/3) = -1

לכן  EMB = 90
לכן EB קוטר (זוויות היקפית בת 90 מעלות נשענת על קוטר).

דרך הוכחה נוספת ש  EMB = 90

בסעיף ב מצאתי כי DC ⊥ MB.

נתון כי ME || DC

לכן גם ME ⊥ MB.

נמצא את אמצע הקטע BE:

כעת ידוע שהנקודה D היא על קוטר המעגל. כדי להוכיח שהיא מרכז המעגל, נוכיח שהיא אמצע הקטע.

ניתן להבין שאם כל הנקודות על הישר BE הן בעלות ערך x = 1, אז גם ערך x של נקודה D הוא 1. אם לא הבנו זאת, נציב בנוסחת מרכז קטע:

x_mid = 0.5 * (x_B + x_E) =
0.5 * (1 + 1 ) =
0.5 * 2 = 1

y_mid = 0.5 * (14 + 1.5) =
0.5 * 15.5 = 7.75

מרכז הקטע EB הוא : (7.75 , 1)

בסעיף ג מצאתי כי נקודה D היא:

D(1 , 7.75)

שתי הנקודות זהות, לכן D היא מרכז המעגל החוסם.

סעיף א

ההסתברות לזכות בסיבוב הראשון היא 0.75

סעיף ב1

ההסתברות לזכות בדיוק בסיבוב אחד היא 0.3.

סעיף ב2

ההסתברות לזכות בסיבוב הראשון אם ידוע שהמשתתף זכה בדיוק בסיבוב אחד היא 0.5

סעיף ג1

ההסתברות לנצח במשחק כולו היא 0.6.

סעיף ג2

ההסתברות ש-4 משתתפים ישתתפו במשחק וכולם ינצחו היא 0.13.

דרך הפתרון

נגדיר בעזרת משתנה שתי הסתברויות שסכומם הוא 1.

פתרון

נגדיר משתנים:

x – ההסתברות להפסיד בסיבוב הראשון

ידוע כי ההסתברות לזכות בסיבוב הראשון גדולה פי 3 מההסתברות להפסיד בו, לכן ההסתברות לזכות בסיבוב הראשון היא 3x.

סכום ההסתברויות הללו הוא 1.

x + 3x = 1

4x = 1  / : 4

x = 0.25

3x = 3 * 0.25 = 0.75

ההסתברות לזכות בסיבוב הראשון היא 0.75

דרך פתרון

1. כאשר יש לנו שאלה שבה כתוב אם …. אז …. אז הרבה פעמים זו שאלה שנוח לתאר אותה בעזרת עץ.
2. ניתן לזכות בדיוק בסיבוב אחד בשתי דרכים. נמצא את שתי הדרכים הללו ונחשב את סכום ההסתברויות הללו.

פתרון

1.נבנה עץ

נתחיל להשלים עץ הסתברויות לפי הנתונים:

נשלים את העץ:

ההסתברות לזכות ואז להפסיד היא: 0.2 = 0.8 – 1

ההסתברות להפסיד פעמיים היא: 0.4 = 0.6 – 1

2.נחשב את ההסתברות לזכות בסיבוב אחד בדיוק

שואלים על ההסתברות לזכות בדיוק בסיבוב אחד מתוך שניים. יש שתי דרכים לעשות זאת:

1. לזכות ואז להפסיד
2. להפסיד ואז לזכות

נחשב את ההסתברות לכל אחד מהאירועים, ואז נסכום את ההסתברויות:

ההסתברות לזכות בראשון ולהפסיד בשני
P₁ = 0.75 * 0.2 = 0.15

ההסתברות להפסיד בראשון ולזכות בשני:
P₂ = 0.25 * 0.6 = 0.15

ההסתברות לזכות בדיוק פעם אחת:
P_Total = P₁ + P₂ = 0.15 + 0.15 = 0.3

ההסתברות לזכות בדיוק בסיבוב אחד היא 0.3.

הסעיף הוא שאלה בהסתברות מותנית.

בסעיף הקודם מצאנו:

0.3 – ההסתברות לזכות בדיוק בסיבוב אחד מתוך שני סיבובים.

0.15 – ההסתברות לזכות בראשון ולזכות בשני.

לכן ההסתברות לזכות בסיבוב הראשון אם ידוע שזכו בסיבוב אחד היא:

דרך פתרון נוספת:

נגדיר:

A –  ההסתברות לזכות בסיבוב הראשון

B – ההסתברות לזכות בדיוק בסיבוב אחד (0.3)

אנו רוצים למצוא את:

P(A / B)

והנוסחה:

P(A∩B)
זו בעצם ההסתברות לזכות בראשון ולהפסיד בשני.

P(A∩B) = 0.75 * 0.2 = 0.15

נציב בנוסחה:

ידוע כי כדי לנצח במשחק כולו יש לזכות בשני הסיבובים. נחשב את ההסתברות לאירוע זה:
0.75 – ההסתברות לזכות בראשון.
0.8 – לזכות במשחק אם ניצחנו בקודם.

P = 0.75 * 0.8 = 0.6

את ההסתברות לנצח במשחק כולו חישבנו בסעיף קודם והיא 0.6.

ההסתברות ש-4 משתתפים ישתתפו במשחק וכולם ינצחו היא:

P = 0.6⁴ = 0.13

1. המשיק פוגש רדיוס בנקודת ההשקה ולכן נוצרת זווית של 90 מעלות (OEA).
2. מכוון שנתונה עוד זווית של 90 מעלות אז: AC || EO.
3. מכוון ש BC הוא קוטר אז אם נצור מהנקודה E זווית הנשענת על הקוטר אז גודל זווית זו יהיה 90 מעלות.
4. OE = OB = OC = R

סעיף א

הוכחה

סעיף ב

הוכחה

סעיף ג

הוכחה

סעיף ד1

EC = 8

סעיף ד2

EO = 5

נבנה את המיתר EC כדי לראות את הזוויות הדרושות.

ACE = ∠OEC∠  זוויות מתחלפות בין מקבילים.

OEC = ∠ OCE∠  מכוון ש OE = OC = R.

לכן:
OCE = ∠ACE∠

דרך הפתרון

1. נשתמש בתוצאת הסעיף הקודם ΔECB ∼ ΔACE על מנת לפתור את הסעיף הזה.
2. נשים לב ש EC שייך לשני המשולשים הדומים.
   לכן נבנה משוואה הכוללת אותו ונמצא את הצלע המתאימה לו בכל משולש.

פתרון
ΔECB ∼ ΔACE

לפי יחס הדמיון מתקיים:

EC² = AC * BC

נתון: AC * BC = 64

נציב נתון זה במשוואה למעלה:

EC² = 64

EC₁ = 8 , EC₂ = -8

אורך צלע לא יכול להיות שלילי, לכן: EC = 8

דרך הפתרון

נשתמש בסעיפים קודמים בהם מצאנו כי:

1. EC = 8
2. משולש ECB הוא משולש ישר זווית.

פתרון

בסעיף קודם מצאנו כי זווית BEC היא ישרה, לכן לפי משפט פיתגורס במשולש ECB:

BC² = EB² + EC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100  / – 100

BC² – 100 = 0

(BC + 10) (BC – 10) = 0

BC₁ = -10 , BC₂ = 10

לכן BC = 10

EO הוא רדיוס במעגל ורדיוס שווה למחצית הקוטר, לכן:

EO = 0.5 * 10 = 5

סעיף א

AC = 15.32

סעיף ב

S = 27.36

סעיף ג

EB = 3.94

נסמן: R – רדיוס המעגל החוסם את המשולש

בעזרת משפט הסינוסים במשולש ABC נמצא:

AC = 2R * sin ∠ABC =

2 * 10 * sin130 = 15.32

נשתמש בנוסחת שטח משולש:

S = 0.5 * AB * BC * sin∠ABC

מציאת AB , BC:

נשתמש במשפט הקוסינוסים במשולש ABC:

AC² = AB² + BC² – 2AB * AC * cos∠ABC

נשתמש בגודל הנתון ובגודל AC שמצאנו בסעיף קודם

 ∠ABC = 130° , AC = 15.32

בנוסף, נשתמש בנתון כי AB = BC ונציב במשוואה למעלה:

15.32² = 2AB² – 2AB² * cos130

234.7024 = 3.28AB²  / : 3.28

AB² = 71.43

AB = 8.45

כעת נציב גודל זה בנוסחת שטח משולש:

S = 0.5 * AB * BC * sin∠ABC =
0.5 * 8.45 * 8.45 * sin130 = 27.36

מציאת הזווית BAC

נתון כי AB = AC , לכן בגלל שמול צלעות שוות במשולש מונחות זוויות שוות:

∠BAC = ∠ACB

∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°

2 * ∠BAC = 180 – 130 = 50  /  : 2

∠BAC = 25°

מציאת הזווית ABE

נתון כי GC הוא קוטר, לכן הזווית GBC היא ישרה(זווית היקפית הנשענת על הקוטר היא ישרה), לכן:

∠ABE = ∠ABC = ∠ GBC = 130 – 90 = 40

מציאת אורך הצלע BE

למציאת אורך הצלע BE נשתמש במשפט הסינוסים על המשולש ABE:

סעיף א1

תחום ההגדרה הוא: x ≠ 1 , x ≠ -2

סעיף א2

אסימפטוטה אופקית:  y = 3

אסימפטוטות אנכיות: x₁ = 1 , x₂ = -2

סעיף א3

נק’ חיתוך עם הצירים: (0 , 0)

סעיף א4

מינימום: (3 / 8 , 4)

מקסימום: (0 , 0)

סעיף א5

תחומי עלייה:

x < -2 , -2 < x < 0 , x > 4

תחומי ירידה:

0 < x < 1 , 1 < x < 4

סעיף ב

סעיף ג

לכן נק’ החיתוך של הפונקציה את האסימפטוטה האופקית היא (3 , 2)

סעיף ד

c = 2

תחום ההגדרה הוא שאסור שהמכנה מתאפס.

נבדוק מתי המכנה יתאפס:

x² + x – 2 = 0

(x – 1) (x + 2) = 0

x₁ = 1 , x₂ = -2

לכן תחום ההגדרה הוא: x ≠ 1 , x ≠ -2

מציאת האסימפטוטות האופקיות:

נשאיף לאינסוף:

באינסוף x – 2 זניח ביחס ל- x² , לכן:

כעת נשאיף למינוס אינסוף:

במינוס אינסוף x – 2 זניח ביחס – x², לכן:

אסימפטוטה אופקית:  y = 3

מציאת אסימפטוטות אנכיות:

מצאנו כי x₁ = 1 , x₂ = -2 מאפסים את המכנה. נבדוק אם הם מאפסים את המונה:

3 * 1² = 3 ≠ 0

3 * (-2²) = 3 * 4 = 12 ≠ 0

לכן אסימפטוטות אנכיות: x₁ = 1 , x₂ = -2

תשובה סופית:

אסימפטוטה אופקית:  y = 3

אסימפטוטות אנכיות: x₁ = 1 , x₂ = -2

חיתוך עם ציר x:

3x² = 0

x = 0

נק’ החיתוך: (0 , 0)

חיתוך עם ציר y:

נק’ החיתוך: (0 , 0)

תשובה סופית:

נק’ חיתוך עם הצירים: (0 , 0)

לצורך מציאת נקודות קיצון יש למצוא תחומי עלייה וירידה, לכן לפתור את השני הסעיפים ביחד.

נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל-0. הנגזרת היא נגזרת של מנה:

3x(x – 4) = 0

x₁ = 0 , x₂ = 4

מכיוון שלפני ואחרי אסימפטוטה אנכית הנגזרת יכולה להיות שונת סימן, יש להפריד את תחומי הבדיקה לא רק לפי ערכי ה-x בהם הנגזרת מתאפסת, אלא גם לפי האסימפטוטות האנכיות שמצאנו בסעיף א 2(x₁ = -1 , x₂ = 2)

לכן ב- x = 0 ו – x = 4 יש נק’ קיצון.

f(0) = 0 חישבנו בסעיף א 3

נק’ קיצון:

מינימום: (3 / 8 , 4)

מקסימום: (0 , 0)

תחומי עלייה:

x < -2 , -2 < x < 0 , x > 4

תחומי ירידה:

0 < x < 1 , 1 < x < 4

נרכז את הנתונים שאספנו עד כה:

תחום ההגדרה הוא: x ≠ 1 , x ≠ -2

אסימפטוטה אופקית:  y = 3

אסימפטוטות אנכיות: x₁ = 1 , x₂ = -2

נק’ חיתוך עם הצירים: (0 , 0)

מינימום: (3 / 8 , 4)

מקסימום: (0 , 0)

תחומי עלייה:

x < -2 , -2 < x < 0 , x > 4

תחומי ירידה:

0 < x < 1 , 1 < x < 4

לכן סקיצה של הגרף תיראה כך:

לפי סקיצת הפונקציה, ניתן לראות שגרף הפונקציה חותך את האסימפטוטה האופקית.

כדי לבדוק מהי נקודת החיתוך נציב בביטוי הפונקציה y = 3:

3x² = 3x² + 3x – 6  / – 3x²

3x – 6 = 0  / + 6

3x = 6  / : 3

x = 2

לכן נק’ החיתוך של הפונקציה את האסימפטוטה האופקית היא (3 , 2)

נתון כי g(x) = f(x) + c

כמו כן, נתון כי ל-g(x) יש אסימפטוטה אופקית ב- y = 5, לכן:

נציב g(x) = f(x) + c:

3 + c = 5

c = 2

סעיף א

(0 , a)

סעיף ב

מינימום:

(-3 , a – 18)

מקסימום:

(3, a + 18)

סעיף ג

a = 18

סעיף ד

מינימום: (0 , 3-)

מקסימום: (36 , 3)

סעיף ה

סעיף ו1

השטח ברביע השני המוגבל ע”י הפונקציה וצירי x ו-y הוא 20.25

סעיף ו2

הראנו

למציאת נק’ החיתוך עם ציר y נציב x = 0:

נק’ החיתוך עם ציר y היא:

(0 , a)

למציאת נק’ הקיצון של הפונקציה נגזור אותה ונשווה את הנגזרת לאפס

f ‘ (x) = -x² + 9 =  9 – x² = 0

(3 – x)(3 + x) = 0

x₁ = 3 , x₂ = -3

נציב בנגזרת ערך x עבור כל אחד מהתחומים

f ‘ (x) = 9 – x²

f ‘ (-4) = 9 – (-4)² – 9 – 16 = -7 < 0

f ‘ (0) = 9 – 0² = 9 > 0

f ‘ (4) = 9 – 4² = 9 – 16 = -7 < 0

נציב את ערכי ה-x של נק’ הקיצון בפונקציה:

לכן נק’ הקיצון הן:

מינימום:

(-3 , a – 18)

מקסימום:

(3, a + 18)

כדי שנק’ המינימום של הפונקציה תהיה על ציר ה-x, ערך ה-y שלה צריך להיות אפס. נשווה את ערך y שמצאנו ל-0:

a – 18 = 0  / + 18

a = 18

בסעיף ב מצאנו:

מינימום:

(-3 , a – 18)

מקסימום:

(3, a + 18)

נציב בשני הביטויים a = 18:

מינימום: (0 , 3-)

מקסימום: (36 , 3)

בסעיף א מצאנו כי נק’ החיתוך עם ציר y היא:

(0 , a)

נציב a = 18:

נק’ החיתוך עם ציר y היא (18 , 0)

בנוסף, מסעיף ד נמצא:

מינימום: (0 , 3-)

מקסימום: (36 , 3)

השטח הדרוש הוא השטח הירוק:

לחישוב השטח נצטרך לחשב:

= 0 – (-6.75 + 40.5 – 54) = 0 – (-20.25) = 20.25

השטח ברביע השני המוגבל ע”י הפונקציה וצירי x ו-y הוא 20.25

בסעיף זה דורשים מאיתנו להוכיח שהיחס בין השטחים הירוק והכחול הוא 3 : 1.

את השטח הירוק חישבנו בסעיף קודם – גודלו 20.25.

לחישוב השטח הכחול נחשב את שטח המשולש ABO ונחסר ממנו את השטח הירוק.

S_ΔABO = 0.5 * AB * BO

מכיוון ש-OB על ציר x, אורכו הוא |x_B – x_O|

מצאנו בסעיף ב: x_B = -3

OB = |x_B – x_O| = | -3 – 0| = 3

מכיוון ש-AO על ציר y, אורכו הוא |y_A – y_O|

מצאנו בסעיף ה: y_A = 18

|y_A – y_O| = | 18 – 0| = 18

S_ΔABO = 0.5 * 18 * 3 = 27

גודל השטח הכחול:

6.75 = 20.25 – 27

1 : 3 = 6.75 : 20.25

סעיף א1

הנקודה B היא:

סעיף א2

S

סעיף ב

לכן עבור t = √12.5 מתקבל משולש בעל שטח מקסימלי 

נתון כי הישר AB מקביל לציר x, לכן ערכי y של שתי הנקודות שווים. נמצא את ערך y של נקודה A:

זהו גם ערך y של הנקודה B. למציאת ערך x של הנקודה נשווה את הפונקציה לערך זה:

25 – t² = 25 – x²  / – 25

t² = x²

x₁ = t , x₂ = -t

אנו יודעים כי ערך x של A הוא t, לכן ערך x של B הוא t-.

הנקודה B היא:

בגלל ש-AB מקביל לציר x, אז:

AB = x_A - x_B = t - (-t) = 2t

מכיוון ש-AB מקביל לציר x , הגובה לצלע זו מאונך לציר x, ולכן אורכו:

לכן שטח המשולש הוא:

נגדיר פונקציה g(t) שהיא שטח המשולש כתלות ב-t:

למציאת השטח המקסימלי נגזור את הפונקציה(נגזרת מכפלה) ונשווה לאפס:

2(25 – t²) – 2t² = 0

50 – 2t² – 2t² = 0

50 – 4t² = 0  / : 4

12.5 – t² = 0

(√12.5 – t²)(√12.5 + t²) = 0

t₁ = √12.5 , t₂ = -√12.5

הנקודה A מוגדרת לרביע הראשון, לכן הפתרון הרלוונטי הוא t = √12.5

נוודא שאכן בנקודה זו מתקבל מקסימום:

נציב ערך x בנגזרת עבור כל אחד מהתחומים כדי לבדוק חיוביות/שליליות הנגזרת.

תחילה נפשט את הנגזרת כדי שיהיה לנו יותר נוח להציב:

כעת נציב את ערכי x הרלוונטיים:

לכן עבור t = √12.5 מתקבל משולש בעל שטח מקסימלי