פתרון בגרות 371 חורף 2023

סעיף א

597,026 ∼ בקבוקים

סעיף ב1

480,000 בקבוקים

סעיף ב2

555,660 בקבוקים

סעיף ג

5%

סעיף ד

מפעל א’ לא יקבל את המענק.

מפעל ב’ יקבל את המענק.

נתון שמספר הבקבוקים שממחזרים במפעל א’ גדל בכל שנה ב־ 3% .

נחשב את ה-q:

q = 1 + 3/100 = 1.03

ובשאלה נתון:

M₀ = 500,000

וצריך לחשב את M₆

נציב בנוסחת גדילה ודעיכה:

M_t = M₀ • q^t

M₆ = 500,000 • 1.03⁶

M₆ ≈ 597,026

ולכן מחזרו כ-597,026 בקבוקים במפעל בשנת 2006.

לפי הגרף מחזרו 480,000 בקבוקים בשנת 2000 במפעל ב’.

לפי הגרף מחזרו 555,660 בקבוקים בשנת 2003 במפעל ב’.

על מנת לחשב בכמה אחוזים גדל מספר הבקבוקים שממחזרים במפעל ב’ בכל שנה נמצא את q

על ידי הצבת הנתונים בנוסחת הגדילה ודעיכה:

M₀ = 480,000

M₃ = 555,660

t = 3

M_t = M₀ • q^t

555,660 = 480,000 • q³ / :480,000

q³ = 1.157625 / ³√

q = 1.05

על מנת לחשב את האחוז נחסיר 1 מ-q ונכפיל ב-100:

 (1.05 – 1) •  100 = 5%

ולכן ב-5% גדל מספר הבקבוקים שממחזרים במפעל ב’ בכל שנה.

בסעיף א’ מצאנו שמחזרו כ-597,026 בקבוקים במפעל א’ בשנת 2006 ולכן מפעל א’ לא יקבל את המענק.

נחשב לפי נוסחת גדילה ודעיכה כמה בקבוקים מחזרו במפעל ב’ בשנת 2006:

M₀ = 480,000

t = 6

q = 1.05

M_t = M₀ • q^t

M₆ = 480,000 • 1.05⁶

M₆ = 643,245.9075

מצאנו שמפעל ב’ מחזר בשנת 2006 יותר מ-600,000 בקבוקים ולכן מפעל ב’ יקבל את המענק.

סעיף א

5/6

סעיף ב

25/36

סעיף ג

5/18

סעיף ד

13/18

לקובייה יש שש פאות, על חמש מתוכן מופיע המספר 4 ועל אחת מתוכן מופיע המספר 4- .

לכן 5 מתוך 6 האפשרויות טובות.

P (לקבל 4) = 5/6

ההסתברות לקבל 4 היא 5/6.

על מנת לקבל סכום 8 צריך לקבל פעמיים 4 ולכן:

P (סכום 8) = 25/36 = 5/6 • 5/6

P (לקבל 4) = 5/6

P (-לקבל 4) = 1/6

על מנת לקבל סכום 0 צריך לקבל בפעם הראשונה 4 ובשנייה 4-

P (-בראשונה 4 ובשנייה 4) = 5/36 = 1/6 • 5/6

או בפעם הראשונה 4- ובשנייה 4 ולכן:

P (בראשונה 4- ובשנייה 4) = 5/36 = 5/6 • 1/6

ההסתברות המבוקשת היא סכום ההסתברויות:

P (סכום 0) = 5/18 = 5/36 + 5/36

על מנת לקבל מכפלה 16 צריך לקבל פעמיים 4 או פעמיים 4- ולכן:

P (פעמיים 4) = 25/36 = 5/6 • 5/6

P (-פעמיים 4) = 1/36 = 1/6 • 1/6

P (מכפלה 16) = 13/18 = 25/36 + 1/36

סעיף א1

הוכחה

סעיף א2

140

סעיף ב

224 מטרים

סעיף ג

28 שניות

נתון:

∠ABD = ∠CBE

ובנוסף נתון שהקטע EC מאונך לקטע BC והקטע AD מאונך לקטע AB ולכן:

∠A = ∠C = 90°

ולכן:

  ΔABD ∼ ΔCBE

לפי משפט דמיון ז.ז

ΔABD ∼ ΔCBE

על מנת לחשב את יחס הדמיון עלינו לדעת שתי צלעות מתאימות.

שתי הצלעות היחידות שאנו יודעים הן:

AB = 2

BC = 280

ואלו צלעות מתאימות, לכן יחס הדמיון הוא:

AD, CE הן צלעות מתאימות.

מצאנו שיחס הדמיון הוא 140 ולכן:

על מנת למצוא בכמה זמן המעלית עולה מקומת הקרקע לגג הבניין נחלק את הגובה CE במהירות הנתונה:

ולכן המעלית עולה מקומת הקרקע לגג הבניין ב-28 שניות.

סעיף א

6.1 מטרים

סעיף ב

7.78 מטרים

סעיף ג1

9.46 מטרים

סעיף ג2

23.65 מטרים

סעיף ד

3,498.7 מטרים

נמצא את AB לפי משפט פיתגורס:

5² + 3.5² = AB²

√ / AB² = 37.25

AB = – 6.1 נפסל כי AB חיובי

מטרים AB = 6.1

נמצא את BC לפי סינוס במשולש BCD:

על מנת למצוא את אורך הצלע AC נחשב תחילה את DC לפי משפט פיתגורס במשולש BDC:

5² + DC² = 7.78²

DC² = 35.5284 / √

.חיובי DC נפסל כי DC = – 5.96

DC = 5.96 מטרים

על מנת למצוא את AC נחבר את AD ל-DC:

מטרים AC = 3.5 + 5.96 = 9.46

נחשב את שטח המשולש לפי גובה כפול צלע חלקי 2:

ולכן דרושים 23.65 מ”ר של רשת על מנת לכסות את שטח המשולש ABC.

נתון שעלות 1 מ”ר של רשת טיפוס היא 38 שקלים, נוסף על כך שילמה העירייה

לפועלים שהתקינו את הרשת סכום של 2,600 שקלים בעבור העבודה.

נחשב תחילה את עלות הרשת הנדרשת:

23.65 • 38 = 898.7 שקלים

נחבר יחד עם הסכום של 2,600 לפועלים עבור העבודה:

2,600 + 898.7 = 3498.7

ולכן הסכום הכולל הוא 3498.7 שקלים.

סעיף א

אפשרות א’ – ישר III

אפשרות ב’ – ישר II

אפשרות ג’ – ישר I

סעיף ב

ישר I :

y = 200x

ישר II:

y = 1,280 + 160x

ישר III:

y = 7,350

סעיף ג

אפשרות ג’

סעיף ד

32 שיעורים

באפשרות א’ משלמים סכום קבוע של 7,350 ש”ח ולכן מדובר בישר קבוע שהוא ישר III.

באפשרות ב’ בהתחלה יש תשלום חד פעמי של 1,280 ש”ח ולכן הישר לא יתחיל מראשית הצירים ולכן יתאים ישר II

באפשרות ג’ משלמים 200 ש”ח לשיעור ולכן יתחיל מראשית הצירים ולכן יתאים ישר III.

בישר I משלמים 200 ש”ח עבור כל שיעור ולכן המשוואה y = 200x מתארת אותו.

בישר II משלמים באופן חד פעמי 1,280 ש”ח ובנוסף  160 ש”ח עבור כל שיעור

ולכן המשוואה y = 1,280 + 160x מתארת אותו.

בישר III משלמים באופן קבוע 7,350 ש”ח ללא תלות בכמות השיעורים ולכן המשוואה y = 7,350 מתארת אותו.

יובל חושבת שתצליח לעבור את המבחן לאחר שתלמד 28 שיעורים ולכן על מנת לבדוק איזה אפשרות תשלום היא הזולה ביותר

נציב x = 28 במשוואות של ישר I וישר II ונבדוק איזה משלושת האפשרויות היא הזולה ביותר.

ישר I – אפשרות ג’:

ש”ח y = 200 • 28 = 5,600

ישר II – אפשרות ב’:

ש”ח y = 1,280 + 160 • 28 = 5,760

ישר III – אפשרות א’:

תשלום קבוע של 7,350 ש”ח

ולכן אפשרות ג’ היא הזולה ביותר.

על מנת לחשב כמה שיעורים צריך ללמוד כדי שסכום התשלום לפי אפשרות ב’ יהיה שווה בדיוק

לסכום התשלום לפי אפשרות ג’ נשווה בין I המתאים לאפשרות ג’ לישר II המתאים לאפשרות ב’:

1,280 + 160x = 200x

40x = 1,280 /:40

x = 32

לכן צריך ללמוד 32 שיעורים כדי שסכום התשלום לפי אפשרות ב’

יהיה שווה בדיוק לסכום התשלום לפי אפשרות ג’.

סעיף א

150

סעיף ב

25

סעיף ג

סעיף ד

31.83 ש”ח

סעיף ה

קטן

על מנת למצוא את המספר הכולל של המשתתפים נחבר את כל המשתתפים לפי הגרף:

15 + 30 + 40 + 55 + 10 = 150

ולכן המספר הכולל של המשתתפים שהזמינו כרטיסים מראש הוא 150.

נתון שלילדים עד גיל 3 ולמבוגרים בני יותר מ־ 70 הכרטיסים חינם.

ולכן על מנת לחשב כמה משתתפים הזמינו כרטיס חינם נחבר את מספר המשתתפים עד גיל 3 ואת מספר המשתתפים בני יותר מ-70:

15 + 10 = 25

25 משתתפים הזמינו כרטיס חינם.

נשלים את הטבלה לפי הגרף ולפי החישוב בסעיף הקודם:

נחשב את המחיר הממוצע של הכרטיסים שהוזמנו מראש:

\

המחיר הממוצע של הכרטיסים שהוזמנו מראש הוא 31.83 ש”ח.

דנה בת 16 ולכן משלמת 40 ש”ח על כרטיס, סבא של בן 74 ולכן לא משלם על כרטיס.

לכן המחיר הממוצע לכרטיס לכל אחד מהם הוא:

ש”ח 20 = 2 : (40 + 0)

המחיר הממוצע לכל אחד מהם נמוך מהממוצע הכללי ולכן לאחר הצטרפותם למסיבה מחיר כרטיס הכניסה הממוצע קטן.