הוצאה והחזרה 3 יחידות שאלון 381

בדף זה נלמד לפתור בעיות הוצאה והחזרה עבור שאלון 381.

נשתמש בדיאגרמת עץ על מנת לפתור את התרגילים.

החלקים של דף זה הם:

1. בניית דיאגרמת עץ.
2. הוצאה ללא החזרה.
3. איך מבצעים חישוב הסתברות של ענף?
4. סוגי שאלות.
5. ניסוחים מתחכמים.
6. תרגילים מסכמים.
7. תרגילי הוצאה ללא החזרה.

1.בניית דיאגרמת עץ

בעיות הוצאה והחזרה ניתן לפתור עם בניית עץ וללא בניית עץ.
כאן אנו נסביר את הדרך עם בניית עץ כי כך יותר קל להבין ולהסביר.

בקופסה 10 כדורים.
8 כדורים אדומים ו 2 צהובים.
מוצאים כדור אחד ומחזירים אותו לקופסה.
מוצאים כדור שני.
בנו דיאגרמת עץ המתאימה לשאלה.

מדוע דיאגרמת העץ נראית כך?
כי גם בהוצאה הראשונה וגם בהוצאה השנייה יש בקופסה 10 כדורים שמתוכם 8 אדומים ו 2 צהובים.
לכן ההסתברות לאדום  בגל מצב היא:
0.8 = 8/10
וההסתברות לצהוב בכל מצב היא
0.2 = 2/10

2.הוצאה ללא החזרה

ההבדל בין הוצאה עם החזרה להוצאה ללא החזרה הוא שכאשר מוצאים את הכדור השני המצב הוא לא כמו לפני ההוצאה הראשונה.
לכן ההסתברויות בחלק השני של העץ שונה מההסתברות בתחילת העץ.

בקופסה 10 כדורים.
8 כדורים אדומים ו 2 צהובים.
מוצאים כדור אחד ואז מוצאים כדור שני (מבלי להחזיר את הכדור הראשון) .
בנו דיאגרמת עץ המתאימה לבעיה.

ההבדל בין הוצאה עם החזרה להוצאה ללא החזרה הוא שכל פעם שמוצאים כדור המצב משתנה.
למשל, אחרי שיצא צהוב אחד נשארו 9 כדורים בקופסה, מתוכם 1 צהוב ו 8 אדומים.
ועל כן ההסתברות לאחר הוצאת כדור צהוב ההסתברויות הן לא כמו לפני הוצאת הכדור.

3.איך מבצעים חישוב הסתברות של ענף?

על מנת לחשב הסתברות של ענף אנו מחשבים את ההסתברויות שנמצאות לאורך הענף.
למשל על מנת לחשב את ההסתברות של צהוב בהוצאה הראשונה וגם צהוב בהוצאה השנייה נבצע את החישוב:

4.סוגי שאלות

יכולים לשאול אותכם את השאלות הבאות:

1. מה ההסתברות של ענף אחד – ואז מכפילים את ההסתברויות לאורך הענף.
2. מה ההסתברות של שני ענפים – מחשבים הסתברות של כל ענף בנפרד ומחברים את ההסתברויות.

את כל השאלות נסביר על השאלה המופיעה למעלה שזו דיאגרמת העץ שלה.

דוגמאות לשאלות של ענף אחד

1.מה ההסתברות להוציא שני צהובים?

פתרון
זה ענף 1 שהסתברותו.

2.מה ההסתברות להוציא שני אדומים?

פתרון
זה ענף 4 שהסתברותו:

3.מה ההסתברות שלא יצא אף אדום?

פתרון
אף אדום זה במילים אחרות אומר שנוציא שני צהובים (ענף 1).
חישבנו את ההסתברות הזו למעלה בתרגיל 1 והיא 1/45.

4.מה ההסתברות שבראשון נקבל צהוב ובשני אדום?

פתרון
זה ענף 2.

5.מה ההסתברות שבראשון נקבל אדום ובשני צהוב

פתרון
זה ענף 3.

דוגמאות לשאלות על שני ענפים

1.מה ההסתברות לקבל שני כדורים באותו צבע?

פתרון
אותו צבע זה אומר שני צהובים (ענף 1) או שני אדומים (ענף 2).
נחבר את ההסתברויות של שני הענפים הללו.

2.מה ההסתברות לקבל שני כדורים שאינם באותו צבע?

פתרון
המקרים המתאימים הם:
בראשון צהוב ובשני אדום (ענף 2).
בראשון אדום ובשני צהוב (ענף 3).
נחבר את ההסתברויות הללו:

3.מה ההסתברות שהכדור השני שיצא יהיה צהוב?

פתרון
אלו ענפים 1,3. נחשב את סכומם

5.ניסוחים מתחכמים

ניסוחים מתחכמים אלו שאלות שבהם ההסתברויות ישתנו בצורה שאנו לא רגילים אליה.
כאן יש דוגמה אחת.
בקישור תמצאו דוגמאות נוספות (בסוף הדף).

תרגיל 1
בשק יש 3 כדורים אדומים. 4 צהובים ו 8 ירוקים.
מוצאים כדור אחד, אם יוצא ירוק מפסיקים להוציא. אם יוצא אדום או צהוב מוציאים כדור שני.

1. מה ההסתברות שיוציאו שני כדורים ושהכדור השני יהיה אדום?

פתרון
סך הכל יש 15 כדורים בשק.
15 = 8 + 4 + 3
ההסתברות להוציא בשני אדום שווה להסתברות להוציא בפעם הראשונה אדום ובפעם השנייה אדום או להוציא בפעם הראשונה צהוב ובפעם השנייה אדום.
בחישוב ההסתברויות נשים לב לכך שההוצאות הן ללא החזרה.
ההסתברות להוציא בפעם הראשונה אדום ובפעם השנייה אדום היא:
210 / 6 = (14 / 2) * (15 / 3)
ההסתברות להוציא בפעם הראשונה צהוב ובפעם השנייה אדום היא:
210 / 12 = (14 / 3) * (15 / 4)

סכום ההסתברויות הוא:
35 / 3 = 210 / 18 = (210 / 6) + (210 / 12)
תשובה: ההסתברות לקבל אדום בפעם השנייה היא 35 / 3.

אם נרצה להציג את ההסתברויות בדיאגרמת עץ כך זה יראה:

6.תרגילים מסכמים

בעיות הוצאה עם החזרה

תרגיל 1
בכד 5 כדורים לבנים ו 3 כדורים צהובים.
מוציאים שני כדורים (עם החזרה).

1. מה ההסתברות ששני הכדורים שהוצאו הם בצבעים שונים?
2. מה ההסתברות שני הכדורים באותו הצבע?

תרגיל 2
בקופסה שבה 12 כדורים, מתוכם 7 צהובים ו 5 לבנים מוצאים כדור, מחזירים אותו ומוציאים כדור נוסף.

1. מה ההסתברות ששני הכדורים שיוצאו יהיו בצבעים שונים?
2. מה ההסברות ששני הכדורים יהיו לבנים?
3. מה ההסתברות ששני הכדורים יהיו צהובים?

7.תרגילי הוצאה ללא החזרה

תרגיל 1 (שני צבעים)
בקופסה 4 כדורים צהובים ו 5 אדומים.
מוצאים כדור אחד ומשאירים אותו בחוץ. מוצאים כדור נוסף.

1. מה ההסתברות שלשני הכדורים יש את אותו הצבע?
2. מה ההסתברות שלשני הכדורים צבע שונה?

תרגיל 2
בחדר 7 אנשים.
מתוכם ל 2 יש חולצה לבנה.
מוציאים אדם ולאחריו עוד אדם (ללא החזרה).

1. מה ההסתברות שלשני האנשים יש חולצה לבנה?
2. מה ההסתברות שלפחות לאחד האנשים יש חולצה לבנה?