חוקי חזקות שאלון 381

חוקי חזקות וחוקי שורשים הם החוקים שבעזרתם אנו מבצעים את פעולות החשבון של חיבור, חיסור, כפל, חילוק וחזקה בתרגילים הכוללים חזקות.
למשל את התרגיל:
= 2⁶ * 2³
לא היינו פותרים בקלות בלי חוקי חזקות.

בדף זה:

1. הקדמה לחוקי חזקות.
2. מה הם חוקי החזקות + דוגמאות.
3. תרגילים.

1.סרטוני הסבר

הסרטון הראשון הוא הקדמה.

סרטונים 2-3 מסבירים את חוקי החזקות.

בסרטון הבא חוק מספר 6 אינו נדרש בשאלון 381.

 

2.הקדמה לחוקי חזקות

מבין הנושאים המוזכרים בסרטון שני הנושאים המשמעותיים ביותר הם:

1. סדר פעולות עם חזקות.
2. חזקה על מינוס בתוך סוגריים לעומת חזקה כשהמינוס מחוץ לסוגריים.

סדר פעולות חשבון עם חזקות

מבחינת סדר פעולות חשבון חזקה קודמת לארבעת פעולות חשבון אך לא קודמת לסוגריים. למשל:

דוגמה 1 
= 2+4²
= 2+16
18

בתרגיל זה ביצענו את פעולת החזקה לפני פעולת החיבור.

דוגמה 2
= 3²*2
= 9*2
18

בתרגיל זה ביצענו את פעולת החזקה לפני פעולת הכפל.

דוגמה 3
= ²(2+3) + 4
= 5² + 4
29 = 25 + 4

בתרגיל זה ביצענו את פעולת הסוגריים לפני פעולת החזקה.

דוגמה 4 (סוגריים קודמים לחזקה)
= (8 + 2) * 3²
= 10 * 3²
90 = 10 * 9

בתרגיל זה ביצענו את פעולת הסוגריים לפני פעולת החזקה.

האם יש הבדל בין מינוס מחוץ לסוגריים למינוס בתוך הסוגריים

האם יש הבדל בין התרגילים:
²(3-)
3²-

יש הבדל.
כאשר המינוס בתוך הסוגריים אנו מעלים את המספר ואת המינוס בחזקה:
9 = (3-) * (3-) = ²(3-)

לעומת זאת כאשר המינוס מחוץ לסוגריים המינוס נשאר מחוץ לפעולת החזקה ומצטרף רק לתוצאה הסופית.
כלומר תוצאה של תרגיל כזה היא תמיד שלילית.
9- = (3 * 3) – = 3²-

דוגמאות נוספות למינוס בתוך הסוגריים:
25 = (5-) * (5-) = ²(5-)
100 = (10-) * (10-) = ²(10-)

8-  =(2-) * (2-) * (2-) = ³(2-)
1000-  =(10-) * (10-) * (10-) = ³(10-)

דוגמאות נוספות למינוס מחוץ לסוגריים:
25- = (5 * 5) – = 5²-
100- = (10 * 10) – = 10²-

8- = (2* 2 * 2) – = 2²-
100 – = (  10 * 10) – = 10²-

דוגמאות נוספות

-4² * 10 = -16 * 10 = -160

(-2)² * -3² = 4 * -9 = -36

3.הסבר לחוקי החזקות

בסרטון הבא חוק מספר 6 אינו נדרש בשאלון 381.

חוקי החזקות השימושיים ביותר הם:

יש 6 חוקי חזקות שהם היותר שימושיים:

1.כפל של חזקות עם בסיס זהה
a^m * aⁿ = a^{m + n}
דוגמאות:
2⁷ = 2³⁺⁴ = 2⁴ * 2³
x⁵ * x² = x²⁺⁵ = x⁷

2.חזקה של חזקה
a^m)ⁿ = a^{m * n})
דוגמה:

(2³)⁷= 2^{3 * 7} = 2²¹
(x⁴)⁵ = x^{4 * 5} = x²⁰

3.פתיחת סוגריים / חזקה על מספר איברים
a*b)^m = a^m * b^m)
דוגמאות

(6x)³ = 6³ * x³
(3 * 12)⁷ = 3⁷ * 12⁷

4.חילוק חזקות

דוגמאות:

5.כל מספר בחזקת 0 שווה ל 1

a⁰ = 1

דוגמאות:

7⁰ = 1
(-4)⁰ = 1

6.כל מספר בחזקת 1 שווה לעצמו

a¹ = a

דוגמאות

12¹ = 12
(-6)¹ = -6

7. המספר 1 בכל חזקה שווה ל 1

1^x = 1

דוגמאות

1⁷ = 1
1^-4 = 1
1⁰ = 1

חוקי חזקות שימושיים פחות

8.חזקה שלילית
כאשר יש לנו חזקה שלילית במונה אנו יכולים להפוך אותה לחזקה חיובית במכנה

כאשר יש לנו חזקה במכנה אנו יכולים להפוך אותה לחזקה שלילית במונה.

דוגמאות

9.חזקה על שבר

דוגמה:

ריכוז חוקי החזקות

1. a^m * aⁿ = a^m+n
2. aⁿ)^m = a^{n * m})
3. a*b)ⁿ = aⁿ*bⁿ)
7. כל מספר בחזקת 0 שווה ל- 1.
   1=5⁰=100⁰.
8. 0 בחזקת כל מספר שווה ל 0. מלבד 0⁰ שהוא לא מוגדר.
   0 = 0^x.
9. 1 בחזקת כל מספר שווה ל 1.
   1 = 1^x

4.תרגילים