בדף זה הצעה לפתרון בגרות במתמטיקה ברמת 3 יחידות שאלון 381 (לשעבר 802) חורף 2021.
טופס הבגרות עם השאלון לא מופיע כאן ויש להוריד את השאלון מהאינטרנט.
שאלה 1
סעיף א:
דרך הפתרון היא הצבה של y = 0 במשוואת הפרבולה ופתרון המשוואה הריבועית המתקבלת בעזרת נוסחת השורשים.
נתון כי הנקודות A ו – B הן נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה – x, לכן שיעור ה – y שלהן הוא אפס.
על מנת למצוא את שיעורי ה – x שלהן נציב y = 0 במשוואת הפרבולה:
y = -x² + x + 6
0 = -x² + x + 6
x² – x – 6 = 0
נשתמש בנוסחת השורשים עלמנת לפתור את המשוואה הריבועית שהתקבלה:
x² – x – 6 = 0
לכן קיבלנו את הנקודות:
(3,0)
(-2,0)
נתבונן בגרף הנתון:
על פי הגרף הנקודה A נמצאת על החלק השלילי של ציר x והנקודה B על החלק החיובי לכן:
A(-2,0)
B(3,0)
תשובה:
A(-2,0)
B(3,0)
סעיף ב:
דרך הפתרון היא שימוש בנוסחה למציאת שיעור ה – x של קודקוד הפרבולה:
נמצא את שיעור ה – x של הקודקוד C בעזרת הנוסחה:
כאשר:
b – המקדם של x.
a – המקדם של x².
לכן שיעור ה – x של הנקודה C הוא 0.5.
נציב x = 0.5 במשוואת הפרבולה על מנת למצוא את שיעור ה – y של הנקודה C:
y = -x² + x + 6
yC = -(0.5)² + 0.5 + 6
yC = -0.25 + 0.5 + 6
yC = 6.25
לכן הנוקדה C היא:
C(0.5,6.25)
תשובה:
C(0.5,6.25)
סעיף ג:
דרך הפתרון היא הצבה של x = 2 במשוואת הפרבולה.
נתון כי הנקודה D היא נקודת החיתוך בין הישר x = 2 והפרבולה, לכן שיעור ה – x של הנקודה D הוא 2.
נציב x = 2 במשוואת הפרבולה על מנת למצוא את שיעור ה – y:
y = -x² + x + 6
yD = -2² + 2 + 6
yD = -4 + 8
yD = 4
לכן הנקודה D היא:
D(2,4)
תשובה:
D(2,4)
סעיף ד:
דרך הפתרון היא חישוב שטח המשולש בעזרת הנוסחה:
נחשב את שטח המשולש בעזרת הנוסחה:
על פי הגרף גובה המשלוש הוא שיעור ה – y של הנקודה D:
h = yD = 4
נחשב את הבסיס AB, מכיוון שהנקודות A ו – B נמצאות על ציר ה – x, אורך הקטע AB הוא הפרש שיעורי ה – x:
AB = xB – xA
AB = 3 – (-2)
AB = 3 + 2
AB = 5
כעת נחשב את שטח המשולש:
תשובה:
שטח המשולוש ABD הוא 10 יח”ש.
שאלה 2
סעיף א 1:
דרך הפתרון היא שימוש בנוסחת הגידול והדעיכה:
Mt = M0*qt
מדובר בשאלת גידול ודעיכה.
אנו מעוניינים למצואת את מקדם הגידול – q.
נתון כי בשנת 2010 הפקיד מר ישראלי 250000 ש”ח לכן נגדיר:
M0 = 250000
נתון כי בשנת 2020 היו בתוכנית החיסכון של מר ישראלי 370061 ש”ח לכן נגדיר:
M10 = 370061
נשתמש בנוסחת הגידול והדעיכה:
Mt = M0*qt
נציב:
t = 10
M0 = 250000
M10 = 370061
Mt = M0*qt
370061 = 250000*q10
q10 = 1.480244
q = ±1.04
מכיוון שמקדם הגידול חייב להיות חיובי נבחר בפתרון החיובי:
q = 1.04
תשובה:
הסכום בתוכנית החיסון גדל בכל שנה פי 1.04.
סעיף א 2:
נשתמש בנוסחה המקשרת בין מקדם הגידול לאחוז הגידול:
104 = 100 + p
p = 4
תשובה:
הסכום בתוכנית החיסון גדל כל שנה ב – 4 אחוזים.
סעיף ב:
אנו מעוניינים למצוא את הסכום בשנת 2015, כלומר את M5, נשתמש בנוסחת הגידול והעיכה ונציב:
M0 = 250000
q = 1.04
t = 5
Mt = M0*qt
M5 = 250000*(1.04)5
M5 = 304163.2256
תשובה:
בתחילת שנת 2015 הסכום בתוכנית החיסכון היה 304163.2256 ש”ח.
שאלה 3
סעיף א:
נתון כי התשלומים מהווים סדרה חשבונית לכן נגדיר את התשלום בחודש ה – n כ:
an
נתון כי בחודשים השני והשלישי יניב שילם סה”כ 512 שקלים לכן:
a2 + a3 = 512
נשתמש בנוסחת הנסיגה של סדרה חשבונית:
an = a1 + (n – 1)d
a2 + a3 = 512
a1 + (2 – 1)d + a1 + (3 – 1)d = 512
2a1 + 3d = 512
נתון כי בחודש הרביעי שילם יניב 400 שקלים לכן:
a4 = 400
a1 + (4 – 1)d = 400
a1 + 3d = 400
קיבלנו שתי משוואות:
2a1 + 3d = 512
a1 + 3d = 400
נחסר את המשוואה השניה מהראשונה ונקבל:
a1 = 112
תשובה:
יניב שילם בחודש הראשון 112 שקלים.
סעיף ב:
דרך הפתרון היא מציאת הפרש הסדרה d בעזרת אחת המשוואות מהסעיף הקודם, ומציאת n בעזרת נוסחת הנסיגה של סדרה חשבונית.
נמצא את ההפרש בעזרת המשוואה השניה מהסעיף הקודם:
a1 + 3d = 400
נציב a1 = 112:
a1 + 3d = 400
112 + 3d = 400
3d = 288
d = 96
נתון כי התשלום האחרון היה 592 שקלים לכן נגדיר:
an = 592
נשתמש בנוסחת הנסיגה של סדרה חשבונית על מנת למצוא את n:
an = a1 + (n – 1)d
נציב:
an = 592
d = 96
a1 = 112
an = a1 + (n – 1)d
592 = 112 + (n – 1)*96
480 = 96n – 96
96n = 576
n = 6
תשובה:
יניב שילם על המחשב ב – 6 תשלומים.
שאלה 4
סעיף א:
דרך הפתרון היא שימוש במשפט פיתגורס במשולש ABC.
נתבונן במשולש ABC:
אנו מעוניינים למצוא את אלכסון הבסיס, כלומר את AC.
נשתמש במשפט פיתגורס:
AC² = AB² + BC²
AC² = 20² + 13²
AC² = 400 + 169
AC² = 569
AC = ± √569 = ±23.85
מכיוון ש – AC הוא קטע נבחר בפתרון החיובי:
AC = 23.85
תשובה:
אורך אלכסון הבסיס הוא 23.85 ס”מ.
סעיף ב:
דרך הפתרון היא שימוש במשפט פיתגורס במשולש SHE.
נתבונן שוב במשולש ABC:
אלכסון הבסיס AC בהכרח עובר בנקודה H מכיוון שמדובר בפרמידה ישרה, לכן הגובה שלה פוגש את הבסיס בנקודת מפגש האלכסונים, לכן H היא אמצע הקטע AC.
הנקודה E היא אמצע הקטע BC מכיוון שנתון כי SE הוא הגובה ל BC במשולש SBC, ו – SBC שווה שוקיים מכיוון שהוא פאה של פרמידה ישרה.
לכן הקטע HE הוא קטע אמצעים.
לכן HE שווה לחצי AB:
HE = 0.5AB = 0.5*20 = 10
נתבונן כעת במשולש SHE:
נשתמש במשפט פיתגורס:
SE² = SH² + HE²
17² = SH² + 10²
289 = SH² + 100
SH² = 189
SH = ±√189 = ±3√21
מכיוון ש – SH הוא גובה הפרמידה נבחר בפתרון החיובי:
SH = 3√21
תשובה:
גובה הפרמידה הוא:
SH = 3√21
סעיף ג:
דרך הפתרון היא שימוש בפונקציית הטנגנס במשולש SHC.
נתבונן במשולש SHC:
כפי שכבר הראנו הנקודה H היא אמצע הקטע AC לכן:
HC = 0.5*AC
נזכור כי:
AC = 23.85
HC = 0.5*AC
HC = 0.5*23.85
HC = 11.925
הזווית אותה אנו מעוניינים למצוא היא:
∠SCH
נשתמש בפונקציית הטנגנס על מנת למצוא אותה:
תשובה:
הזווית בין מקצוע צדי בפרמידה לבסיסה היא 49.06.
שאלה 5
דרך הפתרון היא שימוש בדיאגרמת עץ.
נבנה דיאגרמת עץ על מנת לענות על סעיפי השאלה:
נשלים את דיאגרמת העץ:
ההסתברות שאורי לא יקלע היא האירוע המשלים לכך שהוא יקלע לכן:
p(אורי לא יקלע) = 1 – p(אורי יקלע)
p(אורי לא יקלע) = 0.9 – 1
p(אורי לא יקלע) = 0.1
ההסתברות שדני לא יקלע היא האירוע המשלים לכך שהוא יקלע לכן:
p(דני לא יקלע) = 1 – p(דני יקלע)
p(דני לא יקלע) = 0.8 – 1
p(דני לא יקלע) = 0.2
ההסתברות שאורי לא יקלע היא האירוע המשלים לכך שהוא יקלע לכן:
p(יוסי לא יקלע) = 1 – p(יוסי יקלע)
p(יוסי לא יקלע) = 0.7 – 1
p(יוסי לא יקלע) = 0.3
כעת נענה על סעיפי השאלה:
סעיף א:
אנו מעוניינים למצוא את ההסתברות ששלושתם יקלעו לסל, המסלול המתאים הוא – קלע,קלע,קלע:
p(שלושתם יקלע) = p(אורי יקלע)*p(דני יקלע)*p(יוסי יקלע)
p(שלושתם יקלע) = 0.7*0.8*0.9
p(שלושתם יקלע) = 0.504
תשובה:
ההסתברות ששלושתם יקלעו לסל היא 0.504.
סעיף ב:
אנו מעוניינים למצוא את ההסתברות ששלושתם לא יקלעו לסל, המסלול המתאים הוא – לא קלע,לא קלע,לא קלע:
p(שלושתם לא יקלעו) = p(אורי לא יקלע)*p(דני לא יקלע)*p(יוסי לא יקלע)
p(שלושתם לא יקלעו) = 0.3*0.2*0.1
p(שלושתם לא יקלעו) = 0.006
תשובה:
ההסתברות ששלושתם לא יקלעו היא 0.006.
סעיף ג:
אנו מעוניים למצוא את ההסתברות שאורי לא יקלע ודני ויוסי יקלעו, המסלול המתאים הוא – לא קלע,קלע,קלע:
p(רק אורי לא יקלע) = p(אורי לא יקלע)*p(דני יקלע)*p(יוסי יקלע)
p(רק אורי לא יקלע) = 0.7*0.8*0.1
p(רק אורי לא יקלע) = 0.056
תשובה:
ההסתברות שאורי לא יקלע ויוסי ודני יקלעו היא 0.056.
סעיף ד:
אנו מעוניינים למצוא את ההסתברות שבדיוק שניים מהם יקלעו.
ישנם שלושה אפשריים מסלולים אפשריים למקרה זה:
- רק אורי לא יקלע – לא יקלע,קלע,קלע – כבר חישבנו בסעיף הקודם.
- רק דני לא יקלע – קלע,לא יקלע,קלע
- רק יוסי לא יקלע – קלע,קלע,לא יקלע
p(בדיוק שניים יקלעו) = p(רק אורי לא יקלע) + p(רק דני לא יקלע) + p(רק יוסי לא יקלע)
p(בדיוק שניים יקלעו) = 0.056 + p(אורי יקלע)*p(דני לא יקלע)*p(יוסי יקלע) + p(אורי יקלע)*p(דני יקלע)*p(יוסי לא יקלע)
p(בדיוק שניים יקלעו) = 0.3*0.8*0.9 + 0.7*0.2*0.9 + 0.056
p(בדיוק שניים יקלעו) = 0.398
תשובה:
ההסתברות שבדיוק שניים יקלעו היא 0.398.
שאלה 6
סעיף א 1:
מכיוון שגרף ההתפלגות הנורמלית הוא סימטרי הממוצע של אורך חיי סוללה הוא הממוצע בין שני הערכים הנתונים בגרף:
x = 189
תשובה:
אורך החיים הממוצע של סוללה הוא 189 שעות.
סעיף א 2:
נשתמש בגרף ההתפלגות הנורמלית:
על פי הגרף הנתון ל – 31% מהסוללות אורך חיים של מעל 195 שעות.
לכן אורך חיים של 195 שעות מתאים לחצי סטיית תקן:
31% = 15% + 9% + 5% + 1.5% + 0.5%
לכן:
x + 0.5s = 195
נציב – x = 189:
x + 0.5s = 195
189 + 0.5s = 195
0.5s = 6
s = 12
תשובה:
סטיית התקן היא 12 שעות.
סעיף ב 1:
אורך חיי סוללה של 171 שעות מתאים לאחת וחצי סטיות תקן כלפי מטה:
171 = 189 – 12 – 6 = x – s – 0.5s = x – 1.5s
כעת נסמן בגרף ההתפלגות הנורמלית את האזור המתאים:
נסכום את האחוזים:
9% + 15% + 19% + 19% + 15% + 9% + 5% + 1.5% + 0.5% = 93%
תשובה:
ל – 93% מהסוללות אורך חיים מעל 171 שעות.
סעיף ב 2:
נתון כי המפעל קנה 1000 סוללות.
אנו מעוניינים למצוא לכמה מהם אורך חיים מעל 171 שעות.
בסעיף הקודם מצאנו כי ל – 93% מהסוללות אורך חיים מעל 171 שעות.
לכן בעצם אנו צריכים למצוא כמה הם 93% מ – 1000:
1000*0.93 = 930
תשובה:
ל – 930 מהסוללות שקנה הפעל אורך חיים מעל 171 שעות.