פתרון בגרות במתמטיקה 3 יחידות חורף 2020 שאלון 381

בדף זה הצעה לפתרון בגרות במתמטיקה ברמת 3 יחידות שאלון 381  חורף 2020.

טופס הבגרות עם השאלון לא מופיע כאן ויש להוריד את השאלון מהאינטרנט.

שאלה 1

סעיף א:

דרך הפתרון היא הצבה של y = 0 בפונקציה ופתרון המשוואה הריבועית המתקבלת על יד טרינום.

על פי הגרף הנתון הנקודות A ו – B הן נקודות החיתוך עם ציר x.
בנקודות החיתוך עם ציר x מתקיים y = 0, לכן על מנת למצוא את הנקודות A ו – B נציב בפונקציה y = 0:

y = -x² – 2x + 3
0 = -x² – 2x + 3
x² + 2x – 3 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית שהתקבלה בעזרת טרינום:

x² + 2x – 3 = 0
x² – x + 3x – 3 = 0

נוציא גורמים משותפים:

x² – x + 3x – 3 = 0
x(x – 1) + 3(x – 1) = 0

נוציא שוב גורם משותף:

(x – 1)(x + 3) = 0

נקבל שני פתרונות:

x – 1 = 0
או:
x + 3 = 0

פתרון 1:

x – 1 = 0
x = 1

נקבל את הנקודה:

(1,0)

פתרון 2:

x + 3 = 0
x = -3

נקבל את הנקודה:

(-3,0)

נתבונן בגרף הנתון:

מהגרף נסיק:

A(-3,0)
B(1,0)

תשובה:
A(-3,0)
B(1,0)

סעיף ב:

דרך הפתרון היא שימוש בגרף הנתון.

ניעזר בגרף הנתון על מנת למצוא את תחומי השליליות של הפרבולה:

על פי הגרף תחום השליליות הוא:
x < -3
x > 1

תשובה:
תחום השליליות הוא:
x < -3
x > 1

סעיף ג:

דרך הפתרון היא שימוש בנוסחה:

למציאת שיעור ה – x של הקודקוד והצבה של התוצאה במשוואת הפרבולה על מנת למצוא את שיעור ה – y של הקודקוד.

הנקודה C היא קודקוד הפרבולה.
נמצא את שיעור ה – x של הקודקוד בעזרת הנוסחה:

כאשר:
a – המקדם של x².
b – המקדם של x.

לכן שיעור ה – x של הנקודה C הוא 1-.

על מנת למצוא את שיעור ה – y הנקודה C נציב x = -1 במשוואת הפרבולה:

y = -x² – 2x + 3
y_C = -(-1)² – 2*(-1) + 3
y_C = -1 + 2 + 3
y_C = 4

לכן הנקודה C היא:
C(-1,4)

תשובה:
C(-1,4)

סעיף ד:

דרך הפתרון היא חישוב שטח המשולש AOC בעזרת הנוסחה:

נחשב את שטח המשולש בעזרת הנוסחה:

נוריד מהקודקוד C גובה לבסיס AO.
מכיוון שהגובה מקביל לציר y אורכו הוא שיעור ה – y של הנקודה C.
נסמן את הגובה כ – h:

h = y_C = 4

נמצא את אורכו של הבסיס AO.
נתון כי הנקודה O היא ראשית הצירים.
ידוע לנו כי הנקודה A היא:
A(-3,0)
מכיוון ששתי הנקודות נמצאות על ציר ה – x אורך הקטע AO שווה להפרש שיעורי ה – x של הנקודות A ו – O:

AO = x_O – x_A
AO = 0 – (-3)
AO = 3

כעת נחשב את שטח המשולש:

תשובה:
שטח המשולש AOC הוא 6 יח”ש.

 

שאלה 2

סעיף א 1:

על פי הגרף:

a₁ = 11
a₂ = 8
a₃ = 5

סעיף א 2:

הפרש הסדרה שווה להפרש בין כל שני איברים צמודים לכן:

d = a₂ – a₁

נציב:
a₁ = 11
a₂ = 8

d = a₂ – a₁
d = 8 – 11
d = -3

תשובה:
הפרש הסדרה הוא:
d = -3

סעיף ב:

דרך הפתרון היא שימוש בנוסחת הנסיגה של סדרה חשבונית:
a_n = a₁ + (n – 1)d

אנו מעוניינים למצוא את מיקומו בסדרה של האיבר הנתון, כלומר את n.
נשתמש בנוסחת הנסיגה של סדרה חשבונית:

a_n = a₁ + (n – 1)d

נציב בנוסחה:
a₁ = 11
d = -3
a_n = -13
ונמצא את n:

a_n = a₁ + (n – 1)d
-13 = 11 + (n – 1)*(-3)
-13 = 11 -3n + 3
-13 = 14 – 3n
3n = 27
n = 9

תשובה:
האיבר הנתון הוא האיבר התשיעי בסדרה.

סעיף ג:

דרך הפתרון היא שימוש בנוסחת הסכום של סדרה חשבונית:

נסמן את מספר האיברים הראשונים בסדרה שסכומם הוא 66-  כ – k.
נשתמש בנוסחת הסכום של סדרה חשבונית על מנת למצוא את k:

נציב:
S_k = -66
a₁ = 11
d = -3

-132 = k(22 – 3k + 3)
-132 = k(25 – 3k)
-132 = 25k -3k²
3k² – 25k -132 = 0

נשתמש בנוסחת השורשים על מנת לפתור את המשוואה הריבועית שהתקבלה:

מכיוון ש – k מיצג מספר של איברים הוא לא יכול להיות שלילי או לא שלם, לכן נבחר בפתרון הראשון:
k = 12

תשובה:
הסכום של 12 האיברים הראשונים בסדרה הוא 66-.

 

שאלה 3

סעיף א 1:

דרך הפתרון היא שימוש בנוסחה:
M_t = M₀*q^t

מדובר בבעיה של גידול ודעיכה.
נתון כי המשכורת ההתחלתית של יעל הייתה 8000 ש”ח, לכן נגדיר:
M₀ = 8000

נתון כי משכורתה של יעל עולה בכל שנה ב – 3% לכן נסמן את אחוז הגידול כ:
p = 3

נמצא את מקדם הגידול – q בעזרת הנוסחה המקשרת בין מקדם הגידול לאחוז הגידול:

אנו מעוניינים למצוא את משכורתה של יעל כעבור שנתיים מחתימת ההסכם כלומר את M₂, נשתמש בנוסחת הגידול והדעיכה:

M_t = M₀*q^t

על מנת למצוא את M₂ נציב בנוסחה:
M₀ = 8000
q = 1.03
t = 2

M_t = M₀*q^t
M₂ = 8000*(1.03)²
M₂ = 8487.2

תשובה:
משכורתה של יעל לאחר שנתיים תהייה 8487.2 ש”ח.

סעיף א 2:

דרך הפתרון היא הצבה של M_t = 9000 בנוסחת הגידול והדעיכה.

נציב בנוסחת הגידול והדעיכה M_t = 9000 ונמצא את t:

M_t = M₀*q^t
9000 = 8000*(1.03)^t
1.125 = 1.03^t

נציב ערכי t ונראה עבור איזה ערך של t נקבל כי:

1.03^t > 1.125

t = 1:
1.03^t = 1.03 < 1.125

t = 2
1.03^t = 1.03² = 1.0609 < 1.125

t = 3
1.03^t = 1.03³ = 1.0927 < 1.125

t = 4
1.03^t = 1.03⁴ = 1.1255 > 1.125

לכן לאחר 4 שנים לראשונה משכורתה של יעל תהייה גדולה מ – 9000 ש”ח, כלומר בשנת 2023

תשובה:
בשנת 2023 לראשונה משכורתה של יעל תהייה גדולה מ – 9000 ש”ח.

סעיף ג:

נתון כי משכורתו ההתחלתית של אלעד היא 6000 ש”ח לכן נגדיר:
N₀ = 6000

נתון כי לאחר שנתיים משכורתו של אלעד תהיה 6615 ש”ח לכן נגדיר:
N₂ = 6615

נסמן את מקדם הגידול של המשכורת של אלעד כ – r.

נשתמש בנוסחת הגידול והדעיכה על מנת למצוא את r:

M_t = M₀*q^t
N_t = N₀*r^t

נציב:
t = 2
N₀ = 6000
N₂ = 6615

N_t = N₀*r^t
6615 = 6000*r²
r² = 1.1025
r = ±1.05

מקדם הגידול חייב להיות חיובי לכן נבחר בפתרון החיובי:
r = 1.05

על מנת למצוא את אחוז הגידול נשתמש בנוסחה המקשרת בין מקדם הגידול לאחוז הגידול:

105 = 100 + p
p = 5

לכן בכל שנה משכורתו של אלעד עולה ב – 5%.

תשובה:
בכל שנה משכורתו של אלעד עולה ב – 5%.

 

שאלה 4

סעיף א:

דרך הפתרון היא למצוא את אורך הקטע EO בעזרת שימוש בתכונות קטע אמצעים במשולש ABC, ולאחר מכן מציאת הגובה SO בעזרת שימוש בפונקציית הטנגנס במשולש SEO.

נתבונן במשולש ABC:

נראה כי הקטע AC  עובר בנקודה O:
הפרמידה הנתונה היא פרמידה ישרה ולכן הגובה שלה פוגש את מישור הבסיס בנקודת מפגש האלכסונים.
לכן הנקודה O היא נקודת מפגש האלכסונים.
AC הוא אלכסון במלבן הבסיס לכן הוא עובר גם בנקודה O.
מכיוון שהאלכסונים במלבן מתקיים:
AO = OC

נתון כי E היא אמצע הקטע AB.

מכיוון שהקטע יוצא מאמצע קטע אחד לאמצע קטע שני במשולש ABC הוא קטע אמצעים במשולש.
לכן הוא שווה לחצי מהבסיס BC:

EO = 0.5BC
EO = 0.5*14
EO = 7

נתבונן במשולש SEO:

ניעזר בפונקצית הטנגנס על מנת למצוא את SO – גובה הפרמידה:

7*tan(52) = SO
SO = 8.96

תשובה:
גובה הפרמידה הוא 8.96 ס”מ.

סעיף ב:

דרך הפתרון היא שימוש בפונקציית הקוסינוס במשולוש SEO:

עלינו למצוא את הגובה לצלע AB בפאה SAB, מכיוון שהפרמידה ישרה הפאות הן משולש שווי שוקיים, לכן הגובה הוא SE מכיוון ש – E היא אמצע קטע לכן SE תיכון ובמשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס הוא גם הגובה.

נתבונן שוב במשולש SEO:

נשתמש בפונקציית הקוסינוס על מנת למצוא את SE:

SE*cos(52) = 7

SE = 11.37

תשובה:
אורך הגובה לצלע AB בפאה SAB הוא 11.37 ס”מ.

סעיף ג:

דרך הפתרון היא שימוש בנוסחה לחישוב שטח משולש:

נתבונן במשולש SAB:

נחשב את שטח המשולש בעזרת הנוסחה:

S_SAB = 34.11

תשובה:
שטח המשולש SAB הוא 34.11 סמ”ר

 

שאלה 5

סעיף א:

דרך הפתרון היא שימוש בנוסחה:

נסדר את הנתונים בטבלה:

הציון	60	70	80
שכיחות (מספר התלמידים)	3	8	5

נחשב את הממוצע באמצעות הנוסחה לחישוב ממוצע משוקלל:

תשובה:
הממצוע בכיתה הוא 71.25.

סעיף ב:

בכיתה יש מספר זוגי של תלמידים:

3 + 8 + 5 = 16

לכן החציון הוא ממוצע של האיברים במיקומים:

מכיוון שאצלנו 16 איברים בסדרה מדובר באיבר השמיני והתשיעי.
בקבוצה הנתונה שני האיברים הנ”ל הם 70.
לכן החציון הוא 70.

תשובה:
החציון הוא 70.

סעיף ג:

ממוצע הציונים גדל מכיוון שמצאנו כי הממוצע של 16 התלמידים בכיתה היה 71.25, לקבוצה זו אנו מוסיפים עוד 6 תלמידים שקיבלו 80  – ציון גבוה מהממוצע לכן הם מעלים את הממוצע.

 

סעיף 6

סעיף א:

ניעזר בגרף ההתפלגות הנורמלית:

סטיית התקן הנתונה היא 6, והממוצע 74.
לכן הסטייה המתאימה לציון 68 היא סטיית תקן אחת כלפי מטה:
x – s

נקיף את החלק בגרף שמייצג ציונים נמוכים מ – 68:

נסכום את האחוזים של הנבחנים שקיבלו ציון נמוך מ – 68:

0.5% + 1.5% + 5% + 9% = 16%

לכן ל – 16 אחוזים מהנבחנים קיבלו ציון נמוך מ – 68.

תשובה:
16 אחוזים מהנבחנים קיבלו ציון נמוך מ – 68.

סעיף ב:

הציון 86 נמצא שתי סטיות תקן מעל הממוצע:

86 = 74 + 12 = 74 +2*6 = x + 2s

נקיף את החלק בגרף שמייצג ציונים גבוהים מ – 86:

נסכום את האחוזים המתאימים:

1.5% + 0.5% = 2%

לכן ל – 2 אחוזים מהנבחנים יש ציון מעל 86 ולכן הם זכאים למלגה.

תשובה:
2 אחוזים מהנבחנים זכאים למלגה.

סעיף ג:

נראה לכמה סטיות תקן מתאים הציון 65.
הציון 65 מתאים ל – 1.5 סטיות תקן כלפי מטה:

65 = 74 – 9 = 74 – 6 – 3 = x – s – 0.5s = x -1.5s

נקיף את החלק המתאים בגרף:

נסכום את האחוזים המתאימים:

0.5% + 1.5% + 5% = 7%

כלומר ל – 7 אחוזים מהנבחנים ציון נמוך מ – 65.

נתון כי 420 נבחנים קיבלו ציון נמוך מ – 65, נסמן ב- y את המספר הכולל של הנבחנים ונמצא אותו בעזרת הנתון:

7y = 42000
y = 6000

תשובה:
בבחינה נבחנו 6000 נבחנים.