פתרון בגרות במתמטיקה 3 יחידות חורף 2017 שאלון 381 (802)

בדף זה הצעה לפתרון בגרות במתמטיקה ברמת 3 יחידות שאלון 802 (כיום 381) חורף 2017

טופס הבגרות עם השאלון לא מופיע כאן ויש להוריד את השאלון מהאינטרנט.

שאלה 1

סעיף א:

דרך הפתרון היא הצבת y = 0 במשוואת הפרבולה ופתרון המשוואה הריבועית המתקבלת בעזרת נוסחת השורשים.

נתון כי הנקודות A ו – B נמצאות על ציר ה – x לכן שיעור ה – y שלהן הוא 0.
על מנת למצוא את שיעורי ה – x שלהן נציב y = 0 במשוואת הפרבולה:

y = -x² + 3x + 4
0 = -x² + 3x + 4
x² – 3x – 4 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית שהתקבלה בעזרת נוסחת השורשים:

קיבלנו את שתי נקודות החיתוך:

(4,0)
(-1,0)

נתבונן בגרף הנתון:

על פי הגרף שיעור ה – x של הנקודה A שלילי לכן הנקודות הן:

A(-1,0)
B(4,0)

תשובה:
A(-1,0)
B(4,0)

סעיף ב:

נתבונן שוב בגרף:

התחום בו הפרבולה חיובית הוא התחום בו היא נמצאת מעל ציר ה – x, לכן הפרבולה חיובית בתחום:

-1 < x < 4

תשובה:
תחום החיוביות של הפרבולה הוא:

-1 < x < 4

סעיף ג:

נתון כי הנקודה C היא נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר y לכן שיעור ה – x שלה הוא 0.
על מנת למצוא את שיעור ה – y שלה נציב x = 0 במשוואת הפרבולה:

y = -x² + 3x + 4
y_C = -0² + 3*0 + 4
y_C = 4

לכן הנקודה C היא:
C(0,4)

תשובה:
C(0,4)

סעיף ד:

מכיוון ששתיים מצלעותיו של המשולש BCO – הצלעות CO ו – BO, מונחות על הצירים מדובר במשולש ישר זווית לכן שטח המשולש הוא:

נחשב את אורך הצלע CO, מכיוון שהצלע CO מונחת על ציר y אורכה שווה להפרש בין שיעורי ה – y של הנקודות:

CO = x_C – x_O
CO = 4 – 0 = 4

נחשב את את אורך הצלע BO, מכיוון שהצלע BO מונחת על ציר x אורכה שווה להפרש בין שיעורי ה – x של הנקודות:

BO = x_B – x_O
BO = 4 – 0 = 4

כעת נחשב את השטח:

תשובה:
שטח המשולש BCO הוא 8 יח”ש.

שאלה 2

סעיף א:

דרך הפתרון היא שימוש בגרף ובכך שהפרש הסדרה שווה להפרש בין כל שני איברים צמודים.

על פי הגרף הנתון נגדיר:

a₁ = 10
a₂ = 6

נתון כי הגרף מגדיר סדרה חשבונית.
הפרש סדרה חשבונית שווה להפרש בין כל שני איברים צמודים לכן:

d = a₂ – a₁
d = 6 – 10
d = -4

תשובה:
a₂ = 6
d = -4

סעיף ב:

דרך הפתרון היא שימוש בנוסחת הסכום של סדרה חשבונית:

אנו מעוניינים למצוא את סכם עשרת האיברים הראשונים בסדרה.
נשתמש בנוסחת הסכום של סדרה חשבונית:

נציב בנוסחה:
a₁ = 10
d = -4
n = 10

S₁₀ = 5(20 – 9*4)
S₁₀ = 5(20 – 36)
S₁₀ = 5(-16)
S₁₀ = -80

תשובה:
סכום עשרה האיברים הראשונים בסדרה הוא:
S₁₀ = -80

סעיף ג:

דרך הפתרון היא שימוש בנוסחת האיבר הכללי.

נשתמש בנוסחת האיבר הכללי של סדרה חשבונית:

a_n = a₁ + (n – 1)d

נציב:
a_n = -18
a₁ = 10
d = -4
נמצא את n:

a_n = a₁ + (n – 1)d
-18 = 10 + (n – 1)*(-4)
-28 = -4n + 4
4n = 32
n = 8

תשובה:
האיבר השמיני בסדרה הוא 18-.

סעיף ד:

דרך הפתרון היא שימוש בנוסחת האיבר הכללי.

נציב a_n = -36 בנוסחת האיבר הכללי על מנת לקבוע האם מדובר באיבר בסדרה:

a_n = a₁ + (n – 1)d
-36 = 10 + (n – 1)*(-4)
-46 = -4n + 4
4n = 50
n = 12.5

קיבלנו כי n הוא מספר לא שלם, אך זה לא יכול להיות מכיוון ש – n הוא האינדקס (המיקום) של האיבר בסדרה.
לכן 36- אינו איבר בסדרה.

שאלה 3

סעיף א:

דרך הפתרון היא שימוש בנוסחת הגידול והדעיכה ובנוסחת הנסיגה של סדרה חשבונית.

נחשב את הסכום כעבור שנה בתוכנית א:

על פי הנתון נגדיר:
M₀ = 35000

נתון כי אחוז הגידול הוא 7% על מנת למצוא את מקדם הגידול נשתמש בנוסחה המקשרת בין אחוז הגידול למקדם הגידול:

q = 1.07

כעת נשתמש בנוסחת הגידול והדעיכה על מנת למצוא את הסכום כעבור שנה:

M_t = M₀*q^t

נציב:
M₀ = 35000
q = 1.07
t = 1

M_t = M₀*q^t
M₁ = 35000*1.07¹
M₁ = 37450

כלומר הסכום כעבור שנה בתוכנית א יהיה 37450 שקלים.

כעת נחשב את הסכום בתוכנית ב:

נתון כי בתוכנית ב כל שנה מתווסף סכום של 2500 שקלים.
כלומר מדובר בסדרה חשבונית.
נגדיר:
a₀ = 35000
d = 2500

נשתמש בנוסחת הנסיגה של סדרה חשבונית:

a_n = a₀ + n*d

נציב:
a₀ = 35000
d = 2500
n = 1

a_n = a₀ + n*d
a₁ = 35000 + 1*2500
a₁ = 37500

כלומר בתוכנית ב הסכום כעבור שנה יהיה 37500 שקלים.

תשובה:
בתוכנית א הסכום כעבור שנה יהיה 37450 שקלים.
בתוכנית ב הסכום כעבור שנה יהיה 37500 שקלים.

סעיף ב:

דרך הפתרון היא שימוש בנוסחת הגידול והדעיכה ובנוסחת הנסיגה של סדרה חשבונית.

על מנת למצוא את הסכום כעבור שנתיים בתוכנית א נשתמש שוב בנוסחת הגידול והדעיכה:

M_t = M₀*q^t

נציב:
M₀ = 35000
q = 1.07
t = 2

M_t = M₀*q^t
M₂ = 35000*1.07²
M₂ = 40071.5

כלומר בתוכנית א הסכום כעבור שנתיים  40071.5 שקלים.

על מנת למצוא את הסכום כעבור שנתיים בתוכנית ב נשתמש בנוסחת הנסיגה לסדרה חשבונית:

a_n = a₀ + n*d

נציב:
a₀ = 35000
d = 2500
n = 2

a_n = a₀ + n*d
a₂ = 35000 + 2*2500
a₂ = 40000

כלומר בתוכנית ב הסכום כעבור שנתיים יהיה 40000 שקלים.

תשובה:
בתוכנית א הסכום כעבור שנתיים יהיה 40071.5 שקלים.
בתוכנית ב הסכום כעבור שנתיים יהיה 40000 שקלים.

סעיף ג 1:

דרך הפתרון היא שימוש בנוסחת הנסיגה של סדרה חשבונית.

נשתמש שוב בנוסחת הנסיגה של סדרה חשבונית:

a_n = a₀ + n*d

נציב:
a₀ = 35000
d = 2500
n = 4

a_n = a₀ + n*d
a₄ = 35000 + 4*2500
a₄ = 45000

תשובה:
הסכום כעבור 4 שנים יהיה 45000.

סעיף ג 2:

נחלק את הסכום כעובר 4 שנים בסכום ההתחלתי ונכפיל את התוצאה ב – 100:

נחסר 100 מהתוצאה שקיבלנו על מנת לקבוע בכמה אחוז גדל הסכום:

128.57 – 100 = 28.57

תשובה:
הסכום גדל ב – 28.57%.

שאלה 4

סעיף א:

דרך הפתרון היא שימוש בנתון על שטח המשולש BFC.

נתבונן במשולש BFC:

אנו מעוניינים למצוא את צלע הריבוע כלומר את BC.

נתון כי שטח המשולש BFC הוא 45 סמ”ר
מדובר במשולש ישר זווית מכיוון שהזווית C ישרה (ABCD ריבוע).
לכן שטחו שווה לחצי המכפלה בין FC ל – BC:

6*BC = 90
BC = 15

תשובה:
אורך צלע הריבוע הוא 15 ס”מ.

סעיף ב:

דרך הפתרון היא שימוש במשפט פיתגורס.

נתבונן במשולש ABD:

הצלעות AB ו – AD הן צלעות של הריבוע ולכן אורכן הוא 15 ס”מ.

אנו מעוניינים למצוא את אורך אלכסון הריבוע כלומר את BD.
נשתמש במשפט פיתגורס על מנת למצוא אותו:

BD² = AB² + AD²
BD² = 15² + 15²
BD² = 2*15²
BD = ±15√2

מכיוון ש – BD הוא אלכסון בריבוע נבחר בפתרון חיובי:
BD = 15√2

תשובה:
ס”מ BD = 15√2

סעיף ג:

דרך הפתרון היא שימוש בפונקציית הטנגנס ובכך שסכום הזוויות בכל משולש הוא 180 מעלות.

נתבונן שוב במשולש BFC:

הזווית C היא זווית ישרה (90 מעלות) מכיוון שהיא אחת מזוויותיו של הריבוע.

נמצא את הזווית:

∠BFC

נשתמש בפונקציית הטנגנס:

∠BFC = tan^-1(2.5)
∠BFC = 68.19

כעת נמצא את הזווית:

∠FBC

סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות לכן:

∠BFC + ∠FBC + ∠C = 180
68.19 + ∠FBC + 90 = 180
∠FBC = 21.81

תשובה:

∠C = 90
∠BFC = 68.19
∠FBC = 21.81

סעיף ד:

דרך הפתרון היא שימוש בנוסחה לחישוב שטח משולש:

נתבונן שוב בריבוע:

השלם שווה לסכום חלקיו לכן:

DC = DF + FC
15 = DF + 6
DF = 9

מכיוון שהצלע DF במשולש BDF נמצאת על צלע הריבוע ABCD הגובה שלה הוא BC.
לכן נחשב את שטח המשולש BDF בעזרת הנוסחה:

תשובה:
שטח המשולש BDF הוא 67.5 סמ”ר.

שאלה 5

סעיף א:

דרך הפתרון היא שימוש בהתסברות לאירוע משלים.

האירוע בו מוציאים מהקופסה כדור אדום היא האירוע המשלים להוצאת כדור צהוב או כחול לכן:

p(אדום) = 1 – p(כחול) – p(צהוב)
p(אדום) = 0.3 – 0.6 – 1
p(אדום) = 0.1

תשובה:
ההסתברות להוציא כדור אדום היא 0.1.

סעיף ב:

נתון כי בקופסה 1800 כדורים.
בנוסף ידועות לנו ההסתברויות להוצאת כדור מכל צבע:

p(אדום) = 0.1
p(כחול) = 0.6
p(צהוב) = 0.3

לכן מספר הכדורים האדומים הוא:

1800*0.1 = 180

מספר הכדורים הכחולים הוא:

1800*0.6 = 1080

מספר הכדורים הצהובים הוא:

1800*0.3 = 540

תשובה:
כדורים אדומים – 180
כדורים כחולים – 1080
כדורים צהובים – 540

סעיף ג:

נשתמש בדיאגרמת עץ:

אנו מעוניינים למצוא את את ההסתברות ששני הכדורים שיוצאו יהיו צהובים.
קיים רק מסלול אחד אפשרי – צהוב,צהוב:

p(שניים צהובים) = p(צהוב)*p(צהוב)
p(שניים צהובים) = 0.3*0.3
p(שניים צהובים) = 0.09

תשובה:
ההסתברות ששני הכדורים שיוציאו יהיו צהובים היא 0.09.

סעיף ד:

אנו מעוניינים למצוא את ההסתברות לכך שהכדור הראשון שיוציאו יהיה כחול והכדור השני שיוציאו יהיה אדום.
המסלול הוא כחול,אדום:

p(כחול,אדום) = p(כחול)*p(אדום)
p(כחול,אדום) = 0.1*0.6
p(כחול,אדום) = 0.06

תשובה:
ההסתברות שהכדור הראשון שיוציאו יהיה כחול והשני אדום היא 0.06.

סעיף ה:

קיימים שני מסלולים אפשריים:
כחול,אדום
אדום כחול

לכן ההסתברות היא:

p = p(כחול)*p(אדום) + p(אדום)*p(כחול)
p = 0.6*0.1 + 0.1*0.6
p = 0.06 + 0.06
p = 0.12

תשובה:
ההסתברות שאחד הכדורים יהיה כחול והשני אדום היא 0.12.

 

שאלה 6

סעיף א 1:

דרך הפתרון היא שימוש בגרף הנתון.

משיקולי סימטריה אורך החיים הממוצע של סוללה הוא הממוצע של שני הערכים הנתונים בגרף הנתון:

תשובה:
אורך החיים הממוצע של הסוללה הוא 250 שעות.

סעיף א 2:

ניעזר בגרף ההתפלגות הנורמלית:

נבדוק לכמה סטיות תקן מתאים אורך חיים של 280 שעות:

7% = 5% + 1.5% + 0.5%

לכן אורך חיים של 280 שעות מתאים ל – 1.5 סטיות תקן כלפי מעלה:

280 = x + 1.5s
280 = 250 + 1.5s
1.5s = 30
s = 20

תשובה:
סטיית התקן היא 20 שעות.

סעיף ב:

נבדוק לכמה סטיות תקן מתאים אורך חיים של 290 שעות:

290 = 250 + 2*20 = x + 2s

אורך חיים של 290 שעות מתאים לשתי סטיות תקן כלפי מעלה.
אנו מעוניינים למצוא לכמה אחוזים יש אורך חיים גבוה מ – 290 שעות, נסמן בגרף ההתפלגות הנורמלית את האזור המתאים:

נסכום את האחוזים:

1.5% + 0.5% = 2%

תשובה:
ל – 2% מהסוללות אורך חיים גבוה מ – 290 שעות.

סעיף ג:

נתון כי המפעל קנה 2000 סוללות.
אנו מעוניינים למצוא לכמה מהן אורך חיים של מעל 290 שעות.
בסעיף הקודם מצאנו כי ל – 2% מהסוללות אורך חיים גבוה מ – 290 שעות.
כלומר בעצם אנו צריכים למצוא כמה הם 2% מ – 2000:

2000*0.02 = 40

כלומר ל – 40 מתוך 2000 הסוללות שרכש המפעל יש אורך חיים של מעל ל – 290 שעות.

תשובה:
ל – 40 מתוך 2000 הסוללות שרכש המפעל יש אורך חיים של מעל ל – 290 שעות.