בדף זה הצעה לפתרון בגרות במתמטיקה ברמת 3 יחידות שאלון 381 (לשעבר 802) קיץ 2021.
טופס הבגרות עם השאלון לא מופיע כאן ויש להוריד את השאלון מהאינטרנט.
שאלה 1
סעיף א:
המקדם של x² בפונקציה g(x) חיובי, לכן מדובר בפרבולת מינימום, לכן הגרף המתאים עבורה הוא גרף 1.
המקדם של x² בפונקציה f(x) שלילי, לכן מדובר בפרבולת מקסימום, לכן הגרף המתאים עבורה הוא גרף 2.
תשובה:
g(x) – גרף 1
f(x) – גרף 2
סעיף ב:
דרך הפתרון היא הצבה של f(x) = 0 במשוואת הפרבולה f(x) ופתרון המשוואה הריבועית המתקבלת בעזרת נוסחת השורשים.
גרף 2 חותך את ציר x בנקודות A ו – B, כלומר f(x) חותכת את ציר x בנקודות A ו – B.
בנקודות החיתוך עם ציר ה – x שיעור ה – y הוא 0.
לכן על מנת למצוא את שיעורי ה – x של הנקודות A ו – B נציב בפונקציה – f(x) = 0:
f(x) = -x² + 4x – 3
0 = -x² + 4x – 3
x² – 4x + 3 = 0
נפתור את המשוואה הריבועית שהתקבלה בעזרת נוסחת השורשים:
לכן קיבלנו את הנקודות:
(3,0)
(1,0)
נתבונן בשרטוט הנתון:
על פי השרטוט שיעור ה – x של הנקודה B גדול משיעור ה – x של הנקודה A לכן:
A(1,0)
B(3,0)
תשובה:
A(1,0)
B(3,0)
סעיף ג:
דרך הפתרון היא שימוש בנוסחה:
נמצא את הקודקודים של שתי הפרבולות בעזרת הנוסחה:
כאשר:
b – המקדם של x.
a – המקדם של x².
נמצא את שיעור ה – x של הנקודה E בעזרת הנוסחה:
נזכור כי E היא הקודקוד של g(x) לכן נציב בנוסחה:
a = 1
b = -4
נמצא את שיעור ה – x של הנקודה K בעזרת הנוסחה:
נזכור כי K היא הקודקוד של f(x) לכן נציב בנוסחה:
a = -1
b = 4
קיבלנו אם כן כי שיעורי ה – x של הקודקודים זהים זה לזה:
xE = xK = 2
סעיף ד:
דרך הפתרון היא מציאת הגובה והבסיס של המשולש AEB ושימוש בנוסחה לחישוב שטח משולש:
נציב x = 2 ב – g(x) על מנת למצוא את שיעור ה – y של הנקודה E:
g(x) = x² – 4x + 10
g(2) = 2² – 4*2 + 10
g(2) = 4 – 8 + 10
g(2) = 6
לכן הנקודה E היא:
E(2,6)
נתבונן בשרטוט הנתון:
על מנת לחשב את שטח המשולש נשתמש בנוסחה לחישוב שטח משולש:
על פי השרטוט הגובה הוא שיעור ה – y של הנקודה E:
h = g(2) = 6
הבסיס הוא AB, מכיוון שהנקודות A ו – B נמצאות על ציר ה- x אורך הקטע AB הוא הפרש שיעורי ה – x:
AB = xB – xA
AB = 3 – 1
AB = 2
נחשב כעת את שטח המשולש:
תשובה:
שטח המשולש ABE הוא 6 יח”ש.
שאלה 2
סעיף א:
נתון כי אורך הצלע של הריבוע הראשון בסדרת הריבועים הוא 2 יחידות אורך.
אנו מעוניינים למצוא את ההיקף של הריבוע הראשון – נסמנו ב – a1.
היקפו של ריבוע הוא 4 פעמים אורך הצלע לכן:
a1 = 4*2 = 8
תשובה:
היקף הריבוע הראשון בסדרת הריבועים הוא 8 יחידות אורך.
סעיף ב:
דרך הפתרון היא מציאת הפרש הסדרה ושימוש בנוסחת הנסיגה של סדרה חשבונית על מנת למצוא את האיבר החמישי בסדרה.
נתון כי היקף הריבוע השני בסדרה הוא 20 לכן נגדיר:
a2 = 20
נמצא את הפרש הסדרה, נזכור כי הפרש של סדרה חשבונית שווה להפרש של כל שני איברים צמודים בסדרה:
d = a2 – a1
d = 20 – 8
d = 12
אנו מעוניינים למצוא את היקף הריבוע החמישי בסדרה נשתמש בנוסחת הנסיגה של סדרה חשבונית על מנת למצוא אותו:
an = a1 + (n – 1)d
נציב:
n = 5
a1 = 8
d = 12
an = a1 + (n – 1)d
a5 = 8 + (5 – 1)*12
a5 = 8 + 4*12
a5 = 8 + 48
a5 = 56
תשובה:
היקף הריבוע החמישי בסדרה הוא 56 יחידות אורך.
סעיף ג:
דרך הפתרון היא שימוש בנוסחת הנסיגה של סדרה חשבונית.
נתון כי היקף הריבוע האחרון בסדרה הוא 140.
אנו מעוניינים למצוא את מספר האיברים בסדרה כלומר את n.
נציב an = 140 בנוסחת הנסיגה של סדרה חשבונית:
an = a1 + (n – 1)d
140 = 8 + (n – 1)12
132 = 12n – 12
144 = 12n
n = 12
תשובה:
יש בסדרה 12 ריבועים.
שאלה 3
סעיף א:
דרך הפתרון היא מציאת מקדם הדעיכה באמצעות הנוסחה:
ושימוש בנוסחת הגידול והדעיכה למציאת המחיר בעוד 3 שנים.
נתון כי אחוז הדעיכה של מחיר המכונית הוא 9%.
נמצא את מקדם הדעיכה של מחיר המכונית בעזרת הנוסחה המקשרת בין אחוז הדעיכה ומקדם הדעיכה:
נתון כי מחיר המכונית כיום הוא 52750 שקלים לכן נגדיר:
M0 = 52750
אנו מעוניינים למצוא את המחיר בעוד שלוש שנים.
נשתמש בנוסחת הגידול והדעיכה:
Mt = M0*qt
נציב בנוסחה:
t = 3
M0 = 52750
q = 0.91
Mt = M0*qt
M3 = 52750*0.91³
M3 = 39750.87
תשובה:
מחיר המכונית בעוד 3 שנים יהיה 39750.87.
סעיף ב:
דרך הפתרון היא שימוש בנוסחת הגידול והדעיכה.
אנו מעוניינים למצוא את המחיר בה נקנתה המכונית כלומר המחיר לפני 3 שנים.
נשתמש שוב בנוסחת הגידול והדעיכה, נתון כי המחיר כיום הוא 52750 לכן נגדיר:
M3 = 52750
נשתמש בנוסחת הגידול והדעיכה:
Mt = M0*qt
נציב:
M3 = 52750
q = 0.91
t = 3
Mt = M0*qt
52750 = M0*0.91³
M0 = 70000
תשובה:
המחיר בו נקנתה המכונית לפני 3 שנים היה 70000 שקלים.
סעיף ג:
נמצא את מחיר המכונית בעוד 10 שנים בעזרת נוסחת הגידול והדעיכה:
Mt = M0*qt
נציב בנוסחה על פי הסעיפים הקודמים:
M0 = 70000
q = 0.91
t = 10
Mt = M0*qt
M10 = 70000*0.9110
M10 = 27259.12
כעת נמצא את ההפרש בין מחיר הקניה למחיר המכירה:
M0 – M10 = 70000 – 27259.12 = 42740.88
תשובה:
ההפרש בין מחיר הקניה למחיר המכירה הוא 42740.88 שקלים.
שאלה 4
סעיף א 1:
נתון כי AE ו – BF הם גבהים של הטרפז לכן המרובע ABEF הוא מלבן מכיוון שהוא מרובע שכל הזוויות הישרות.
לכן מכיוון שהצלעות הנגדיות במלבן שוות זו לזו:
EF = AB = 12
כעת נראה כי המשולשים ADE ו – BCF חופפים זה לזה:
AE = BF (שניהם גבהים בטרפז שווה שוקיים ולכן הם שווים זה לזה)
∠DAE = ∠CBF
(מכיוון שמדובר בטרפז שווה שוקיים)
AD = BC = 10 (נתון)
לכן המשולשים חופפים על פי משפט חפיפה צ.ז.צ.
מכיוון שהמשולשים חופפים זה לזה מתקיים:
DE = FC
השלם שווה לסכום חלקיו לכן:
CD = DE + FC + EF
18 = FC + FC + 12
6 = 2FC
FC = 3
תשובה:
אורך הקטע FC הוא 3 יחידות אורך.
סעיף א 2:
דרך הפתרון היא שימוש במשפט פיתגורס.
נתבונן במשולש BFC:
אנו מעוניינים למצוא את גובה הטרפז כלומר את BF.
נשתמש במשפט פיתגורס:
BC² = FC² + BF²
10² = 3² + BF²
100 = 9 + BF²
BF² = 91
BF = ±√91
מכיוון ש – BF הוא גובה הטרפז נבחר בפתרון החיובי:
BF = √91
תשובה:
BF = √91
סעיף ב:
דרך הפתרון הוא שימוש בפונקציית הקוסינוס.
נתבונן שוב במשולש BFC:
אנו מעוניינים למצוא את הזווית החדה של הטרפז כלומר את הזווית:
∠BCF
נשתמש בפונקציית הקוסינוס על מנת למצוא זווית זו:
∠BCF = cos-1(0.3)
∠BCF = 72.54
תשובה:
גודל הזווית החדה של הטרפז הוא 72.54 מעלות.
סעיף ג:
דרך הפתרון היא שימוש במשפט פיתגורס.
השלם שווה לסכום חלקיו לכן:
DF = DE + EF = 3 + 12 = 15
נתבונן במשולש BDF:
נשתמש במשפט פיתגורס:
BD² = DF² + BF²
BD² = 15² + (√91)²
BD² = 225 + 91
BD² = 316
BD = ±2√79
מכיוון ש – BD הוא אלכסון בטרפז נבחר בפתרון החיובי:
BD = 2√79
תשובה:
BD = 2√79
סעיף ד:
דרך הפתרון היא שימוש בפונקציית הטנגנס.
נתבונן שוב במשולש BDF:
אנו מעוניינים למצוא את הזווית:
∠BDF
נשתמש בפונקציית הטנגנס על מנת למצוא אותה:
∠BDF = 32.45
תשובה:
גודל הזווית שבין האלכסון BD והבסיס DC הוא 32.45 מעלות.
שאלה 5
נארגן את התוצאות האפשריות בהטלת שתי קוביות באמצעות טבלה:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 1,1 | 2,1 | 3,1 | 4,1 | 5,1 | 6,1 |
| 2 | 1,2 | 2,2 | 3,2 | 4,2 | 5,2 | 6,2 |
| 3 | 1,3 | 2,3 | 3,3 | 4,3 | 5,3 | 6,3 |
| 4 | 1,4 | 2,4 | 3,4 | 4,4 | 5,4 | 6,4 |
| 5 | 1,5 | 2,5 | 3,5 | 4,5 | 5,5 | 6,5 |
| 6 | 1,6 | 2,6 | 3,6 | 4,6 | 5,6 | 6,6 |
כעת נענה על סעיפי השאלה:
סעיף א:
על פי הטבלה ישנן 36 תוצאות אפשריות בהטלת שתי קוביות.
ישנן 6 תוצאות בהן הקוביות נופלות על אותו המספר:
1,1
2,2
3,3
4,4
5,5
6,6
לכן ההסתברות ששתי הקוביות יפלו על אותו המספר היא:
תשובה:
ההסתברות ששתי הקוביות יפלו על אותו המספר היא:
סעיף ב:
קיימות חמש אפשרויות להטלה בה סכום שתי הקוביות יהיה 6:
1,5
2,4
3,3
4,2
5,1
לכן ההסתברות שסכום הטלת שתי הקוביות יהיה 6 היא:
תשובה:
ההסתברות שסכום המספרים ששתי הקוביות יפלו עליהם יהיה 6 היא:
סעיף ג:
נשתמש בטבלה, נסמן בה את המקרים בהם הסכום הוא 6:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 1,1 | 2,1 | 3,1 | 4,1 | 5,1 | 6,1 |
| 2 | 1,2 | 2,2 | 3,2 | 4,2 | 5,2 | 6,2 |
| 3 | 1,3 | 2,3 | 3,3 | 4,3 | 5,3 | 6,3 |
| 4 | 1,4 | 2,4 | 3,4 | 4,4 | 5,4 | 6,4 |
| 5 | 1,5 | 2,5 | 3,5 | 4,5 | 5,5 | 6,5 |
| 6 | 1,6 | 2,6 | 3,6 | 4,6 | 5,6 | 6,6 |
כל האירועים בטבלה שנמצאים מעל המקרים המסומנים הם מקרים בהם הסכום יהיה קטן מ – 6.
ניתן לראות כי ישנן עשרה מקרים כאלו.
לכן ההסתברות שהסכום יהיה קטן מ – 6 היא:
תשובה:
ההסתברות שהסכום יהיה קטן מ – 6 היא:
סעיף ד:
על פי הטבלה ישנם 10 מקרים בהם רק קוביה אחת נופלת על הספרה 5:
5,1
5,2
5,3
5,4
5,6
1,5
2,5
3,5
4,5
6,5
לכן ההסתברות שבהם רק קוביה אחת תיפול על הספרה 5 היא:
תשובה:
ההסתברות שרק קוביה אחת תיפול על הספרה 5 היא:
שאלה 6
סעיף א:
נתון כי הממוצע הוא 76 וסטיית התקן היא 8.
לכן הסטייה המתאימה עבור הציון 64 היא אחת וחצי סטיות תקן כלפי מטה:
64 = 76 – 8 – 4 = x – s – 0.5s = x – 1.5s
נסמן את האזור בגרף המייצג ציונים בין 76 ל – 64:
נסכום את האחוזים:
9% + 15% + 19% = 43%
תשובה:
אחוז הנבחנים שלהם ציון בין 64 ל – 76 הוא 43%.
סעיף ב:
הציון 80 מתאים לחצי סטיית תקן כלפי מעלה:
80 = 76 + 4 = x + 0.5s
נסמן את האזור בגרף המייצג ציונים גבוהים מ – 80:
נסכום את האחוזים:
15% + 9% + 5% + 1.5% + 0.5% = 31%
תשובה:
אחוז הנבחנים שלהם ציון גבוה מ – 80 הוא 31%.
סעיף ג:
נתון כי המכללה תקבל 15% מהנבחנים להם הציונים הגבוהים ביותר.
נתון כי יעל קיבלה 84.
הציון 84 מתאים לסטיית תקן אחת כלפי מעלה:
84 = 76 + 8 = x + s
נסמן את האזורים בגרף המייצגים ציונים גבוהים מ – 84:
נסכום את האחוזים:
9% + 5% + 1.5% + 0.5% = 16%
כלומר ל – 16% מהנבחנים יש ציון גבוה מ – 84.
לכן יעל לא תתקבל למכללה.
תשובה:
יעל לא תתקבל למכללה.