פתרון בגרות במתמטיקה 3 יחידות קיץ 2020 שאלון 381

בדף זה הצעה לפתרון בגרות במתמטיקה ברמת 3 יחידות שאלון 381  קיץ 2020.

טופס הבגרות עם השאלון לא מופיע כאן ויש להוריד את השאלון מהאינטרנט.

שאלה 1

סעיף א:

דרך הפתרון היא הצבה של y = 0 במשוואת הפרבולה ופתרון המשוואה הריבועית המתקבלת.

נתון כי הקודקוד – הנקודה C נמצאת על ציר x, לכן על מנת למצוא נקודה זו נציב y = 0 במשוואת הפרבולה:

y = x² – 8x + 16
0 = x² – 8x + 16

נזהה כי מדובר בתבנית של כפל מקוצר:

0 = x² – 8x + 16
0 = (x – 4)²

למשוואה ריבועית זו פתרון יחיד והוא:

x – 4 = 0
x = 4

לכן הנקודה C היא:
C(4,0)

תשובה:
C(4,0)

סעיף ב 1:

דרך הפתרון היא הצבה של y = 9 במשוואת הפרבולה ופתרון המשוואה הריבועית המתקבלת.

נתון כי הישר y = 9 חותך את הפרבולה בנקודות A ו – B, לכן שיעור ה – y של הנקודות A ו – B הוא 9.
לכן על מנת למצוא את שיעור ה – x של הנקודות הנ”ל נציב y = 9 במשוואת הפרבולה:

y = x² – 8x + 16
9 = x² – 8x + 16
0 = x² – 8x + 7

נפתור את המשוואה הריבועית שהתקבלה בעזרת נוסחת השורשים:

לכן הנקודות שהתקבלו הן:

(7,9)
(1,9)

נתבונן בגרף הנתון:

מהגרף נסיק כי:
A(1,9)
B(7,9)

תשובה:
A(1,9)
B(7,9)

סעיף ב 2:

מכיוון ששיעורי ה – y של הנקודות A ו – B זהים אורך הקטע AB הוא הפרש שיעורי ה – x שלהן:

AB = x_B – x_A
AB = 7 – 1
AB = 6

תשובה:
אורך הקטע AB הוא 6 יחידות אורך.

סעיף ג 1:

הקטע AB מקביל לציר x.
לכן הגובה שלו CD מאונך לציר x כלומר שיעור x קבוע.
לכן אורך הקטע CD הוא הפרש שיעורי ה – y של הנקודות:

CD = x_D – x_C
CD = 9 – 0
CD = 9

תשובה:
אורך הגובה CD הוא 9 יחידות אורך.

סעיף ג 2:

דרך הפתרון היא חישוב שטח המשולש ABC בעזרת הנוסחה לחישוב שטח משולש:

נחשב את שטח המשולש בעזרת הנוסחה:

נזכור כי מצאנו בסעיפים קודמים:
CD = 9
AB = 6

תשובה:
שטח המשולש ABC הוא 27 יח”ש.

 

שאלה 2

סעיף א:

נמלא את הטבלה:

טור 4	טור 3	טור 2	טור 1
5	3.5	2	0.5	שורה 1
	4	2.5	1	שורה 2
6		3	1.5	שורה 3
6.5	5	3.5	2	שורה 4
7	5.5	4	2.5	שורה 5

נתון כי כל שורה וכל טור בטבלה הם סדרה חשבונית.
אנו מעוניינים למצוא את האיבר הרביעי בשורה 2, ואת האיבר השלישי בשורה 3.

נתבונן בשורה 2:

נתון כי שורה 2 היא סדרה חשבונית.

נגדיר:
a₁ = 1
a₂ = 2.5

הפרש הסדרה שווה להפרש בין כל שני איברים צמודים לכן:

d = a₂ – a₁
d = 2.5 – 1
d = 1.5

כעת נחשב את האיבר הרביעי בשורה הרביעית בעזרת הנוסחה:

a_n = a₁ + (n – 1)d

נציב n = 4:

a_n = a₁ + (n – 1)d
a₄ = 1 + (4 – 1)1.5
a₄ = 1 + 3*1.5
a₄ = 1 + 4.5
a₄ = 5.5

לכן בשורה 2 טור 4 נמצא המספר 5.5

נתבונן בשורה 3:

נתון כי שורה 3 היא סדרה חשבונית.

נגדיר:
b₁ = 1.5
b₂ = 3

הפרש הסדרה שווה להפרש בין כל שני איברים צמודים לכן:

d = b₂ – b₁
d = 3 – 1.5
d = 1.5

כעת נחשב את האיבר השלישי בשורה הרביעית בעזרת הנוסחה:

a_n = a₁ + (n – 1)d

נציב n = 4:

a_n = a₁ + (n – 1)d
b₃ = 1.5 + (3 – 1)1.5
b₃ = 1.5 + 2*1.5
b₃ = 1.5 + 3
b₃ = 4.5

לכן בשורה 3 טור 3 נמצא המספר 4.5

טור 4	טור 3	טור 2	טור 1
5	3.5	2	0.5	שורה 1
5.5	4	2.5	1	שורה 2
6	4.5	3	1.5	שורה 3
6.5	5	3.5	2	שורה 4
7	5.5	4	2.5	שורה 5

סעיף ב:

דרך הפתרון היא מציאת ההפרש של טור 4 ולאחר מכן שימוש בנוסחת הנסיגה של סדרה חשבונית למציאת האיבר ה – 13.

נתבונן בטור 4:

נתון כי טור 4 היא סדרה חשבונית.

נגדיר:
c₁ = 5
c₂ = 5.5

נמצא את הפרש הסדרה:

d = c₂ – c₁
d = 5.5 – 5
d = 0.5

כעת נמצא את האיבר ה – 13 בסדרה בעזרת נוסחת הנסיגה של סדרה חשבונית:

c_n = c₁ + (n – 1)d
c₁₃ = 5 + (13 -1)*0.5
c₁₃ = 5 + 12*0.5
c₁₃ = 5 + 6
c₁₃ = 11

תשובה:
האיבר בשורה 13 בטור 4 הוא 11.

סעיף ג:

דרך הפתרון היא מציאת ההפרש של טור 1, ולאחר מכן מציאת n – המיקום של המספר 6 בטור בעזרת נוסחת הנסיגה של סדרה חשבונית.

נתבונן בטור 1:

נתון כי טור 1 היא סדרה חשבונית.

נגדיר:
m₁ = 0.5
m₂ = 1

נמצא את הפרש הסדרה:

d = m₂ – m₁
d = 1 – 0.5
d = 0.5

נשווה את האיבר הכללי בטור 1 ל – 6 על מנת למצוא את מיקומו של האיבר 6 בסדרה:

m_n = m₁ + (n – 1)d
m_n = 0.5 + (n – 1)0.5
6 = 0.5 + (n – 1)0.5
6 = 0.5 + 0.5n – 0.5
6 = 0.5n
n = 12

תשובה:
המספר 6 יופיע בטור 1 בשורה 12.

 

שאלה 3

סעיף א:

נתון כי נפח הבצק גדל מערכית לכן מדובר בשאלה בנושא גידול ודעיכה.

נתון כי בשעה 7 נפח הבצק היה 2000 סמ”ק לכן נגדיר:
M₀ = 2000

נתון כי בשעה 10 – שלוש שעות לאחר השעה 7, נפח הבצק היה 3500 סמ”ק לכן נגדיר:
M₃ = 3500

אנו מעוניינים למצוא את מקדם הדעיכה – q, נשתמש בנוסחת הגידול והדעיכה על מנת למצוא אותו:

M_t = M₀*q^t

נציב:
t = 3
M₃ = 3500
M₀ = 2000

M_t = M₀*q^t
3500 = 2000*q³
1.75 = q³
q = 1.205

תשובה:
הבצק גדל פי 1.205 בכל שעה של התפחה.

סעיף ב:

דרך הפתרון היא שימוש בנוסחת הגידול והדעיכה.

נשתמש שוב בנוסחת הגידול והדעיכה:

M_t = M₀*q^t

השעה 12 היא 5 שעות לאחר השעה 7 לכן נציב:
t = 5
M₀ = 2000
q = 1.205

M_t = M₀*q^t
M₅ = 2000*(1.205)⁵
M₅ = 5081.187

תשובה:
נפח הבצק בשעה 12 היה 5081.187 סמ”ק.

סעיף ג:

נציב M_t = 2410 בנוסחת הגידול והדעיכה:

M_t = M₀*q^t
2410 = 2000*1.205^t
1.205^t = 1.205
t = 1

כלומר לאחר שעה של התפחה נפח הבצק היה 2410 סמ”ק – כלומר בשעה 8.

תשובה:
בשעה 8 נפח הבצק היה 2410 סמ”ק.

שאלה 4

סעיף א:

דרך הפתרון היא שימוש במשפט פיתגורס.

אנו מעוניינים למצוא את אלכסון הבסיס כלומר את BD.
נתבונן במשולש ABD:

על מנצ למצוא את BD נשתמש במשפט פיתגורס:

BD² = AB² + AD²
BD² = 8² + 6²
BD² = 64 + 36
BD² = 100
BD = ±10

מכיוון ש – BD היא צלע נבחר בפתרון החיובי:

BD = 10

תשובה:
אורך אלכסון הבסיס הוא 10 ס”מ.

סעיף ב:

דרך הפתרון היא שימוש במשפט פיתגורס במשולש SDH.

מכיוון שמדובר בפרמידה ישרה הנקודה H היא נקודת מפגש האלכסונים בבסיס ABCD, לכן מכיוון שהאלכסונים במלבן חוצים זה את זה:

DH = 0.5BD = 0.5*10 = 5

נתבונן במשולש SDH:

אנו מעוניינים למצוא את גובה הפרמידה כלומר את SH נשתמש לשם כך במשפט פיתגורס:

DS² = DH² + SH²
15² = 5² + SH²
225 = 25 + SH²
SH² = 200
SH = ±10√2

מכיוון ש – SH הוא גובה הפרמידה נבחר בפתרון החיובי:

SH = 10√2

תשובה:
אורך גובה הפרמידה הוא:
SH = 10√2

סעיף ג:

דרךהפתרון היא שימוש בפונקצית הקוסינוס במשולש SDH.

נתבונן שוב במשולש SDH:

הזווית אותה אנו מעוניינים למצוא היא :

∠SDH

נשתמש בפונקציית הקוסינוס לשם כך:

∠SDH = 70.528

תשובה:
הזווית בין מקצוע צדדי לבסיס היא 70.528.

סעיף ד:

דרך הפתרון היא שימוש בנוסחה לחישוב שטח פרמידה:

נשתמש בנוסחה לחישוב נפח פרמידה:

כאשר:
B – שטח הבסיס
h – גובה הפרמידה

גובה הפרמידה כבר ידוע לנו מסעיף ב:
h = SH = 10√2

נחשב את שטח הבסיס:

B = AB*AD
B = 8*6
B = 48

כעת נחשב את הנפח:

V = 16*10√2
V = 160√2

תשובה:
נפח הפרמידה הוא:

V = 160√2 סמ”ק

שאלה 5

נבנה דיאגרמת עץ על מנת לענות על סעיפי השאלה:

נמלא את הדיאגרמה:

האירוע בו התלמיד יכשל במבחן במטמתיקה הוא האירוע המשלים לכך שיצליח במבחן לכן:

p(נכשל במתמטיקה) = 1 – p(הצליח במתמטיקה)
p(נכשל במתמטיקה) = 0.75 – 1
p(נכשל במתמטיקה) = 0.25

האירוע בו התלמיד יכשל במבחן באנגלית הוא האירוע המשלים לכך שיצליח במבחן לכן:

p(נכשל באנגלית) = 1 – p(הצליח במתמטיקה)
p(נכשל באנגלית) = 0.65 – 1
p(נכשל באנגלית) = 0.35

נענה כעת על סעיפי השאלה:

סעיף א:

ההסתברות שהתלמיד יצליח בשני המבחנים מתאימה למסלול הצליח,הצליח:

p(יצליח בשניהם) = p(יצליח במתמטיקה)*p(יצליח באנגלית)
p(יצליח בשניהם) = 0.65*0.75
p(יצליח בשניהם) = 0.4875

תשובה:
ההסתברות שהתלמיד יצליח בשני המבחנים היא 0.4875

סעיף ב 1:

ההסתברות שהתלמיד יצליח במתמטיקה ולא יצליח באנגלית מתאימה למסלול הצליח,נכשל:

p(יצליח במתמטיקה יכשל באנגלית) = p(יצליח במתמטיקה)*p(יכשל באנגלית)
p(יצליח במתמטיקה יכשל באנגלית) = 0.35*0.75
p(יצליח במתמטיקה יכשל באנגלית) = 0.2625

תשובה:
ההסתברות שהתלמיד יצליח במתמטיקה ולא יצליח באנגלית היא 0.2625

סעיף ב 2:

ההסתברות שהתלמיד יצליח רק באחד משני המבחנים מתאימה לשני מסלולים – הצליח,נכשל ו – נכשל,הצליח:

p(יצליח רק באחד) = p(יצליח במתמטיקה)*p(יכשל באנגלית) + p(יכשל במתמטיקה)*p(יצליח באנגלית)
p(יצליח רק באחד) = 0.65*0.25 + 0.35*0.75
p(יצליח רק באחד) = 0.425

תשובה:
ההסתברות שהתלמיד יצליח רק באחד משני המבחנים היא 0.425

סעיף ג:

אנו מעוניינים למצוא את ההסתברות שהתלמיד יצליח בלפחות אחד מהמבחנים כלומר או באחד מהם או בשתיהם לכן:

p(יצליח בלפחות אחד) = p(יצליח רק באחד) + p(יצליח בשניהם)

נציב מה שמצאנו בסעיפים הקודמים:

p(יצליח רק באחד) = 0.425
p(יצליח בשניהם) = 0.4875

p(יצליח בלפחות אחד) = p(יצליח רק באחד) + p(יצליח בשניהם)
p(יצליח בלפחות אחד) = 0.4875 + 0.425
p(יצליח בלפחות אחד) = 0.9125

תשובה:
ההסתברות שהתלמיד יצליח בלפחות אחד מהמבחנים היא 0.9125

 

שאלה 6

סעיף א:

דרך הפתרון היא שימוש בגרף ההתפלגות הנורמלית

נתון כי הגובה הממוצע הוא 160 ס”מ וסטיית התקן היא 6 ס”מ.
לכן הסטייה המתאימה לגובה של 157 ס”מ היא חצי סטיית תקן כלפי מטה:

157 = 160 – 3 = x – 0.5s

נסמן את האזור המתאים בגרף ההתפלגות הנורמלית לגובה נמוך מ – 157 ס”מ:

נסכום את האחוזים המתאימים:

0.5% + 1.5% + 5% + 9% + 15% = 31%

תשובה:
31 אחוזים מהתלמידים בבית הספר נמוכים מ – 157 ס”מ.

סעיף ב:

בסעיף הקודם מצאנו כי הגובה 157 ס”מ מתאים לחצי סטיית תקן כלפי מטה.
הגובה 172 ס”מ מתאים לשתי סטיות תקן כלפי מעלה:

172 = 160 + 6 + 6 = 160 + 2*6 = x + 2s

נסמן בגרף ההתפלגות הנורמלית את האזור המתאים לגובה בין 157 ס”מ ל – 172 ס”מ:

נסכום את האחוזים המתאימים:

19% + 19% + 15% + 9% + 5% = 67%

תשובה:
גובהם של 67 אחוזים מן התלמידים הוא בין 157 ס”מ ל – 172 ס”מ.

סעיף ג:

נתון כי בבית הספר יש 536 תלמידים שגובהם הוא בין 157 ס”מ ל – 172 ס”מ.
מצאנו בסעיף הקודם כי גובהם של 67 אחוזים מן התלמידים הוא בין 157 ס”מ ל – 172 ס”מ.
כלומר 67 אחוזים מסך התלמידים בבית הספר הם 536, נסמן את סך כל הצלמידים ב – y:

0.67y = 536
y = 800

תשובה:
בבית הספר 800 תלמידים.