בדף זה הצעה לפתרון בגרות במתמטיקה ברמת 3 יחידות שאלון 381 קיץ 2019.
טופס הבגרות עם השאלון לא מופיע כאן ויש להוריד את השאלון מהאינטרנט.
שאלה 1
סעיף א 1:
דרך הפתרון היא השוואת הפונקציה לאפס ופתרון המשוואה הריבועית המתקבלת בעזרת נוסחת השורשים.
בנקודות החיתוך עם ציר x מתקיים y = 0 לכן נציב f(x) = 0 בפונקציה על מנת למצוא את הנקודות A ו – B:
f(x) = -x² – 4x + 5
0 = -x² – 4x + 5
x² + 4x – 5 =0
נשתמש בנוסחת השורשים על מנת לפתור את המשוואה שהתקבלה:
לכן נקודות החיתוך שקיבלנו הן:
(-5,0)
(1,0)
נתבונן בגרף הנתון:
על פי הגרף נוכל להסיק כי:
B(1,0)
A(-5,0)
תשובה:
B(1,0)
A(-5,0)
סעיף א 2:
על פי הגרף הנתון הנקודות A ו – B נמצאות שתיהן על ציר ה – x לכן אורך הקטע AB הוא הפרש שיעורי ה – x של הנקודות:
AB = xB – xA
AB = 1 – (-5)
AB = 1 + 5
AB = 6
תשובה:
אורך הקטע AB הוא 6 יחידות אורך.
סעיף ב:
דרך הפתרון היא שימוש בנוסחה:
נמצא את שיעור ה – x של קודקוד הפרובלה באמצעות הנוסחה:
כאשר:
b – המקדם של x.
a – המקדם של x².
על מנת למצוא את שיעור ה – y של קודקוד הפרבולה נציב x = -2 בפונקציה:
f(x) = -x² – 4x + 5
f(-2) = -(-2)² – 4*(-2) + 5
f(-2) = -4 + 8 + 5
f(-2) = 9
תשובה:
C(-2,9)
סעיף ג:
דרך הפתרון היא חישוב שטח המשולש בעזרת הנוסחה האומרת כי שטח משולש שווה לחצי המכפלה בין הצלע לגובה שלה.
על פי הגרף הגובה מנקודה C לצלע AB הוא שיעור ה – y של הנקודה C שמצאנו בסעיף הקודם:
f(-2) = 9
נסמן את הגובה כ – h:
h = f(-2) = 9
AB גם ידוע לנו מסעיפים קודמים:
AB = 6
נחשב את שטח המשולש:
תשובה:
שטח המשולש הוא 27 יחידות שטח.
סעיף ד:
מדובר בפרבולה “בוכה” לכן תחום העליה שלה הוא ממינוס אינסוף עד הקודקוד כלומר:
x < -2
תשובה:
תחום העליה הוא:
x < -2
שאלה 2
סעיף א:
דרך הפתרון היא הצבה בנוסחה:
an = a1 + (n – 1)d
נתון כי כל מוט ארוך מן המוט שלפניו ב – 8 ס”מ.
לכן מדובר בסדרה חשבונית עם ההפרש:
d = 8
נתון כי אורך המוט הראשון בגדר הוא 144 ס”מ לכן נגדיר:
a1 = 144
נשתמש בנוסחת הנסיגה של סדרה חשבונית:
an = a1 + (n – 1)d
אנו מעוניינים למצוא את אורך המוט השני והשלישי כלומר את a2 ואת a3.
לכן נציב n = 2 ו – n = 3 בנוסחה, נזכור כי:
a1 = 144
d = 8
n = 2:
an = a1 + (n – 1)d
a2 = 144 + (2 – 1)8
a2 = 144 + 8
a2 = 152
לכן אורך המוט השני הוא 152 ס”מ.
n = 3:
an = a1 + (n – 1)d
a3 = 144 + (3 – 1)8
a3 = 144 + 2*8
a3 = 144 + 16
a3 = 160
לכן אורך המוט השלישי הוא 160 ס”מ.
תשובה:
אורך המוט השני הוא 152 ס”מ ואורך המוט השלישי הוא 160 ס”מ.
סעיף ב:
דרך הפתרון היא שימוש בנוסחה:
an = a1 + (n – 1)d
נתון כי אורך המוט האחרון בגדר הוא 200 ס”מ, לכן נגדיר:
an = 200
אנו מעוניינים למצוא את מספר המוטות בגדר – כלומר את n.
נשתמש שוב בנוסחה:
an = a1 + (n – 1)d
נציב:
an = 200
a1 = 144
d = 8
an = a1 + (n – 1)d
200 = 144 + (n – 1)*8
200 = 144 + 8n – 8
200 = 136 + 8n
64 = 8n
n = 8
תשובה:
בגדר 8 מוטות.
סעיף ג:
דרך הפתרון היא הצבה בנוסחה:
אנו מעוניינים למצוא את האורך הכולל של המוטות המרכיבים את הגדר, כלומר את סכום אורכי המוטות.
מצאנו כי בגדר 8 מוטות לכן נגדיר את סכום אורכי המוטות כ – S8.
נשתמש בנוסחת הסכום של סדרה חשבונית:
S8 = 4(a1 + a8)
S8 = 4(144 + 200)
S8 = 4*344
S8 = 1376
תשובה:
האורך הכולל של המוטות המרכיבים את הגדר הוא 1376 ס”מ.
סעיף ד:
דרך הפתרון היא העברת האורך הכולל של המוטות ליחידות של מטרים, והכפלת האורך (ביחידות של מטרים) במחיר הנתון למטר.
מצאנו בסעיף הקודם כי האורך הכולל של המוטות המרכיבים את הגדר הוא 1376 ס”מ.
נחלק ב – 100 את האורך הכולל על מנת להעביר ליחידות של מטרים:
S8 = 1376 cm = 13.76 m
נתון כי המחיר למטר מוט הוא 25 ש”ח, לכן על מנת למצוא את המחיר הכולל של הגדר נכפיל את האורך הכולל (ביחידות של מטרים) ב – 25, נסמן את המחיר ב- x:
x = S8*25
x = 13.76*25
x = 344
תשובה:
מחירה הכולל של הגדר הוא 344 ש”ח.
שאלה 3
סעיף א:
נתון כי המשכורת של דני עולה בכל שנה באחוז קבוע לכן הגרף המתאים עבורה הוא גרף 1 מכיוון שבו המשכורת נמצאת בעליה.
נתון כי המשכורת של יובל קבועה לכן הגרף המתאים עבורה הוא גרף 2 מכיוון שבו במשכורת קבועה.
תשובה:
דני – גרף 1
יובל – גרף 2
סעיף ב 1:
המשכורת ההתחלתית של דני היא המשכורת בשנה האפס, כלומר בחיתוך עם ציר y, לכן המשכורת ההתחלתית של דני היא 8000 ש”ח.
תשובה:
המשכורת ההתחלתית של דני היא 8000 ש”ח.
סעיף ב 2:
על פי הגרף ניתן לראות כי כעבור 3 שנים משכורתו של דני הייתה 9261 ש”ח.
תשובה:
משכורתו של דני לאחר 3 שנים הייתה 9261 ש”ח.
סעיף ג:
דרך הפתרון היא הצבה בנוסחה:
Mt = M0*qt
על מנת למצוא את מקדם הגידול ולאחר מכן הצבה בנוסחה:
על מנת למצוא את אחוז הגידול.
נשתמש בנוסחה לגידול ודעיכה:
Mt = M0*qt
כאשר:
Mt – המשכורת של דני בשנה ה – t.
M0 – המשכורת ההתחלתית של דני.
q – מקדם הדעיכה.
על פי סעיפים קודמים:
M3 = 9261
M0 = 8000
נציב בנוסחה:
Mt = M0*qt
M3 = M0*q³
9261 = 8000*q³
q = 1.05
מצאנו כי מקדם הדעיכה הוא 1.05
נמצא את אחוז הגדילה – p בעזרת הנוסחה:
נציב q = 1.05:
105 = 100 + p
p = 5
לכן בכל שנה משכורתו של דני גדלה ב – 5 אחוזים.
תשובה:
בכל שנה משכורתו של דני עולה ב – 5 אחוזים.
סעיף ד:
דרך הפתרון היא הצבה בנוסחה:
Mt = M0*qt
על מנת למצוא את המשכרות כעבור 4 שנים נציב t = 4 בנוסחת הגידול והדעיכה:
Mt = M0*qt
נזכור כי:
M0 = 8000
q = 1.05
Mt = M0*qt
M4 = 8000*1.054
M4 = 9724.05
תשובה:
משכורתו של דני כעבור 4 שנים הייתה 9724.05 ש”ח.
שאלה 4
סעיף א:
דרך הפתרון היא שימוש במשפט פיתגורס במשולש ADC.
נתבונן במשולש ADC:
מדובר במשולש ישר זווית מכיוון שבסיס התיבה הוא מלבן.
נשתמש במשפט פיתגורס:
AC² = AD² + DC²
AC² = 14² + 10²
AC² = 196 + 100
AC² = 296
AC = ± 2√74
מכיוון ש – AC היא צלע במשולש נבחר בפתרון החיובי:
AC = 2√74
תשובה:
AC = 2√74 ס”מ
סעיף ב:
דרך הפתרון היא שימוש בפונקציית הטנגנס במשולש ‘ACC.
נתבונן במשולש ‘ACC:
מדובר במשולש ישר זווית מכיוון ש – ‘CC מאונך למישור הבסיס של התיבה ולכן הוא מאונך ל – AC.
הזווית המבוקשת היא:
∠C’AC
נשתמש בפונקצית הטנגנס על מנת למצוא אותה:
∠C’AC = 42.92
תשובה:
הזווית בין אלכסון התיבה ‘AC לבסיסה ABCD היא 42.92.
סעיף ג:
הנוסחה לחישוב נפח תיבה היא:
V = B*h
B – שטח הבסיס
h – גובה התיבה
נחשב את שטח הבסיס:
B = AD*DC
B = 14*10
B = 140
גובה התיבה הוא:
CC’ =16
נציב בנוסחה לחישוב הנפח:
V = B*h
V = 140*16
V = 2240
תשובה:
נפח התיבה הוא 2240 סמ”ק.
שאלה 5
נשתמש בדיאגרמת עץ על מנת לענות על השאלה:
נשלים את דיאגרמת העץ:
ההסתברות שדני יחטיא את היריה הראשונה היא האירוע המשלים לכך שדני יפגע ביריה הראשונה לכן:
p(יחטיא 1) = 1 – p(יפגע 1)
p(יחטיא 1) = 0.8 – 1
p(יחטיא 1) = 0.2
ההסתברות שדני יחטיא את היריה השניה היא האירוע המשלים לכך שדני יפגע ביריה השניה לכן:
p(יחטיא 2) = 1 – p(יפגע 2)
p(יחטיא 1) = 0.75 – 1
p(יחטיא 1) = 0.25
נענה כעת על סעיפי השאלה:
סעיף א:
המסלול המתאים הוא פגע, פגע
p(יפגע פעמיים) = p(יפגע 1)*p(יפגע 2)
p(יפגע פעמיים) = 0.75*0.8
p(יפגע פעמיים) = 0.6
תשובה:
ההסתברות שדני יפגע פעמיים היא 0.6.
סעיף ב:
יש שני מסלולים מתאימים:
פגע, החטיא
החטיא, פגע
p(יפגע פעם 1) = p(יפגע רק בראשונה) + p(יפגע רק בשניה)
p(יפגע פעם 1) = p(יפגע 1)*p(יחטיא 2) + p(יחטיא 1)*p(יפגע 2)
p(יפגע פעם 1) = 0.75*0.2 + 0.25*0.8
p(יפגע פעם 1) = 0.35
תשובה:
ההסתברות שדני יפגע בדיוק פעם 1 היא 0.35.
סעיף ג:
אנו מעוניינים למצוא את ההסתברות שדני יפגע פעם אחת לפחות, כלומר שיפגע או פעם אחת או פעמיים, נזכור כי בסעיפים קודמים מצאנו:
p(יפגע פעמיים) = 0.6
p(יפגע פעם 1) = 0.35
לכן ההסתברות שדני יפגע לפחות פעם אחת היא:
p(יפגע לפחות פעם אחת) = p(יפגע פעם 1) + p(יפגע פעמיים)
p(יפגע לפחות פעם אחת) = 0.6 + 0.35
p(יפגע לפחות פעם אחת) = 0.95
תשובה:
ההסתברות שדני יפגע לפחות פעם אחת במטרה היא 0.95.
שאלה 6
סעיף א 1:
ניעזר בגרף ההתפלגות הנורמלית על מנת לקבוע לאיזו סטיה מתאימים אורכי החיים של 225 שעות ו – 195 שעות:
16% = 9% + 5% + 1.5% + 0.5%
לכן על פי הגרף אורך החיים של 225 שעות מתאים ל:
x + s
ואורך החיים של 195 שעות מתאים ל:
x – s
לכן משיקולי סימטריה אורך החיים הממוצע הוא הממוצע של 195 ו – 225:
תשובה:
אורך החיים הממוצע לסוללה הוא 210 שעות.
סעיף א 2:
מצאנו בסעיף הקודם כי אורך החיים של 225 שעות מתאים ל:
x + s
וכי אורך החיים הממו
לכן:
x + s = 225
210 + s =225
s = 15
תשובה:
סטיית התקן היא 15 שעות
סעיף ב 1:
דרך הפתרון היא מציאת סטיית התקן המתאימה לאורך חיים של 240 שעות והיעזרות בגרף ההתפלגות הנורמלית.
נבדוק לכמה סטיות תקן מתאים אורך חיים של 240 שעות.
אורך החיים הממוצע שמצאנו הוא 210 שעות, והסטיה שמצאנו היא 15 שעות.
ההפרש בין אורך חיים של 240 שעות לאורך החיים הממוצע 210 שעות הוא 30 שעות, כלומר 2 סטיות תקן
לכן אורך חיים של 240 שעות מתאים ל – 2 סטיות תקן.
ניעזר בגרף:
נסכום את האחוזים הנמוכים מ – 2 סטיות תקן:
0.5% + 1.5% + 5% + 9% + 15% + 19% + 19% + 15% + 9% + 5% = 98%
תשובה:
אורך החיים של 98 אחוז מהסוללות נמוך מ – 240 שעות.
סעיף ב 2:
דרך הפתרון היא שימוש בגרף של ההתפלגות הנורמלית.
אנו יודעים כבר כי אורך חיים של 195 שעות מתאים לסטיית תקן אחת.
בסעיף הקודם מצאנו כי אורך חיים של 240 שעות מתאים ל – 2 סטיות תקן.
ניעזר שוב בגרף על מנת לקבוע לכמה אחוזים מהסוללות יש אורך חיים בין 240 ל – 195 שעות:
נסכום את האחוזים המתאימים:
15% + 19% + 19% + 15% + 9% + 5% = 82%
תשובה:
ל – 82% מהסוללות יש אורך חיים בין 210 שעות ל – 240 שעות.
סעיף ג:
נתון כי המפעל קנה 1000 סוללות.
אנו מעוניינים למצוא לכמה מהן אורך חיים של בין 210 שעות ל – 240 שעות.
בסעיף הקודם מצאנו כי ל – 82% מהסוללות יש אורך חיים בין 210 שעות ל – 240 שעות.
נסמן את מספר הסוללות שיש להן אורך חיים בין 210 שעות ל – 240 שעות כ – y:
תשובה:
ל – 820 סוללות יש אורך חיים בין 210 שעות ל – 240 שעות.