משוואות טריגונומטריות

משוואות טריגונומטריות הן משוואות בהן יש פונקציה טריגונומטרית עם נעלם.

כאשר אנו פותרים משוואה טריגונומטרית אנו צריכים להתחשב גם בתכונות הפונקציה הטריגונומטרית על מנת להגיע לכל הפתרונות. כפי שיודגם בהמשך.

בדף זה:

  1. משוואות טריגונומטריות מהצורה sinx = a.
  2. משוואות טריגונומטריות מהצורה cosx = a.
  3. משוואות טריגונומטריות מהצורה sin bx=a ו- cos bx=a.

1. משוואות טריגונומטריות מהצורה sinx = a

נניח ויש לנו משוואה sin x= 0.5. האם יש לה רק פתרון אחד?
לא. למעשה יש לה אינסוף פתרונות.

שלב ראשון: מציאת פתרונות המשוואה בתוך 360 מעלות

בעזרת המחשבון נמצא כי x=30 מעלות.
אבל: sin x = sin 180-x
לכן גם x=150 מעלות הוא פתרון.

שלב שני נרחיב/ נצמצם את הפתרונות לכל תחום ההגדרה

פונקציית הסינוס חוזרת על עצמה כל 360 מעלות. לכן אם תחום ההגדרה אינו מוגבל אז כאשר 30 מעלות זה פתרון גם 390 ו- 750  …. מעלות הם פתרונות.

הפתרונות הללו הם פתרונות מחזוריים ונהוג לכתוב אותם כך:
x1=30 +- 360k.  x2=150 +- 360k

כך נראה פתרון כללי:

x1=a+360k ו- x2= (180-a)+360k

פתרונות מחזוריים מיוחדים של פונקציית הסינוס

המשוואה הפתרונות המידיים הפתרון הכללי הערה
sinx =0 x=0,180 x=0 +-180k הפתרונות 0+360k ו- 180+360k יכולים להתלכד תחת הנוסחה x=0 +-180k
sinx =1 x=90 x=90 +- 360k כאשר x=90 המספרים 90 ו- 180-90 מתלכדים ולכן יש רק פתרון אחד בתוך 360 המעלות.
sin x=-1 x=270 x=270 +- 360k

ערכי sin x שכדאי להכיר בעל פה

  1. sin 0 = 0
  2. sin 30 =0.5
  3. sin 45 = √2 / 2 = 0.707
  4. sin 60 = √3  / 2  = 0.866
  5. sin 90 =1

2.משוואות מהצורה cosx = a

שלב ראשון: מציאת הפתרונות היסודיים

הפתרון היסודי הנוסף של פונקציית הקוסינוס הוא -a והוא נובע מהזהות (cos(a)=cos (-a.
כלומר אם x=30 הוא פתרון אז גם x=-30 הוא פתרון (ובלבד שהוא בתחום ההגדרה).

שלב שני: הוספה של הפתרונות המחזוריים

מוסיפים 360k לכל אחד מהפתרונות.

x1=a+360k ו- x2=-a+360k.

פתרונות מחזוריים מיוחדים של פונקציית הקוסינוס

המשוואה הפתרונות המידיים הפתרון הכללי הערות
cos x=0 x=90, 270 x=90+180k
cos x=1 x=0 x=0+- 360k cos x=1 מתקיים רק פעם אחת במהלך 360 המעלות.
cos x=-1 x=180 x=180+- 360k cos x=1 מתקיים רק פעם אחת במהלך 360 המעלות.

ערכי cos x שכדאי להכיר בעל פה

  1. cos 0 = 1
  2. cos 30 =√3  / 2  = 0.866
  3. cos 45 = √2 / 2 = 0.707
  4. cos 60 = 0.5
  5. cos 90 =0

3.משוואות טריגונומטריות מהצורה sin bx=a ו- cos bx=a

הכוונה היא למשוואות מהצורה sin 3x=0.5 או cos 0.5x=0.8.

בקצרה: על מנת לפתור מהשוואות מסוג זה מצאו את הפתרון הכללי כפי שמצאתם עבור המשוואות הקודמות וחלקו את הפתרון כולו ב- b.

דוגמאות:

פתרו את המשוואה sin 2x=0.5

  1. הפתרון הפשוט:
    2x1=30, 2x2=150.
  2. הפתרון הכללי:
    2x1=30 +360k, 2x2150+360k
  3. מחלקים ב b :
    במקרה זה b הוא 2.
    x1=15+180k, x2=75+180k.

תרגיל נוסף: cos 0.5x=0.7

  1. הפתרון הפשוט:
    x1=45.57, x2=-45.57
  2. הפתרון הכללי:
    0.5x1=45.57+360k, 0.5x2=-45.57+360k
  3. מחלקים ב b:
    במקרה זה b הוא 0.5.
    x1=91.14+720k, 0.5x2=-91.14+720k

משוואות טריגונומטריות תרגילים

  1. cos² x=0.25
  2. sin (x+20)=0.5
  3. cos 2x = cos 50
  4. sin²x+1=cos x

פתרונות

1- cos² x=0.25
cos x =0.5 או cos x=-0.5
x=60, x=-60, x=120, x=-120
תשובות סופיות:
x=60+360k
x=-60+360k
x=120+360k
x=-120+360k

2 – sin (x+20)=0.5
x+20=30
x=10
תשובות סופיות:
x=10+360k
x=170+360k

3 – cos 2x = cos 50
2x=50 + 360k או 2x=-50+360k
x=25+180k או x=-25+180k

פתרון תרגיל 4 + תרגיל מספר 5 נמצאים בקובץ

עוד באתר בנושא טריגונומטריה:

  1. טריגונומטריה – הדף המרכזי בתחום עם קישורים לדפים אחרים.
  2. זהויות טריגונומטריות – רשימת זהויות מכל הסוגים.
שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.