משוואות טריגונומטריות

משוואות טריגונומטריות הן משוואות בהן יש בתוך הפונקציה הטריגונומטרית נעלם.
יש מספר רמות קושי לפתרון משוואות טריגונומטריות ובאתר זה הן מחולקות למספר חלקים:

  1. משוואות טריגונומטריות מהסוג sin (bx + c) = a – נלמדות בדף זה.
  2. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות מאותו הסוג.
  3. משוואות טריגונומטריות עם הכנסת מינוס.
  4. משוואות טריגונומטריות עם הוצאת שורש.
  5. משוואות טריגונומטריות עם גורם משותף.
  6. משוואות טריגונומטריות עם פתרון משוואה ריבועית.
  7. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות שונות.

בדף זהויות טריגונומטריות תמצאו סיכום של כל דרכי הפתרון.

בדף זה נלמד את היסודות של משוואות טריגונומטריות:

  1. התכונות של הפונקציות הטריגונומטריות שעל פיהם פותרים משוואות.
  2. משוואות מהסוג sin bx = a.
  3. משוואות מהסוג sin (bx + c) = a
  4. תרגילים מסכמים.
  5. רשימת הזהויות הטריגונומטריות השימושיות.

1.התכונות של הפונקציות הטריגונומטריות שצריך להתחשב בהם

אנו רגילים שלמשוואה עם נעלם אחד יש פתרון אחד.
אבל במשוואות טריגונומטריות זה לא כך.

sin x= 0.5.
כמה פתרונות יש למשוואה זו?

אינסוף.
את הפתרון הראשון נקבל מהמחשבון. והוא:
x = 30

בנוסף אנו יודעים שעבור פונקציית הסינוס:
(sin x = sin (180 – x
לכן
sin 30 = sin 150
אז הפתרון השני הוא
x = 150

אלו הן שתי הפתרונות שבתחום שבין 0 ל 360.
אבל מה עם הפתרונות שיותר גדולים מ 360 או יותר קטנים מ 0?
למשל x = 390 או x = -150
לכן נוסיף 360k± לכל פתרון.

התשובה הסופית תהיה:
x1 = 30 ± 360k,  x2 = 150 ± 360k

שלבים בפתרון משוואות טריגונומטריות של סינוס:

  1. מוצאים את הפתרונות בתחום 0-360 מעלות בעזרת מחשבון ובעזרת ההשלמה ל 180.
  2. מוצאים את הפתרון הכללי על ידי הוספת 360k± לכל אחד מהפתרונות

עבור פונקציית הקוסינוס

התכונה של פונקציית הקוסינוס היא ש:
(cos(x)=cos (-x.
לכן אם
x= 40  הוא פתרון
אז
x = -40 גם הוא פתרון.

ומכוון שגם בפונקציות הקוסינוס המחזוריות היא כל 360 מעלות.
הפתרון המלא יהיה
x1 = 30 ± 360k,  x2 = 150 ± 360k

עבור פונקציית הטנגס

התכונה של פונקציית הטנגס היא שהמחזוריות שלה היא כל 180 מעלות.
לכן אם:
x = 50 הוא פתרון.
אז גם
x = 230  הוא פתרון.

את הפתרון הכללי כותבים כך:
x = 50 ± 180k

תרגילים

בחלק זה נפתור תרגילים מהצורה
sin x = a
cos x = a
tg x = a

  1.   sin x = 0.342
  2.   cos x = 0.5
  3.   tg x = 2.747
  4.   sin x = 1
  5.   cos x = 1

פתרונות
sin x = 0.342
בעזת המחשבון נמצא
x = 20

על פי תכונת פונקציית הסינוס:
(sin 20 = sin (180 – 20

לכן בתחום של 0-360 המעלות הפתרונות הם:
x1 = 20,   x2 = 160
והפתרונות הכלליים הם:
x1 = 20 ± 360k,    x2 = 60 ± 360k

cos x = 0.5
בעזרת המחשבון נמצא
x = 60

על פי תכונת הקוסינוס:
(cos 60 = cos (-60

לכן בתחום של  360 – 360- המעלות הפתרונות הם:
x1 = 60 ,   x2 = – 60
והפתרונות הכלליים הם:
x1 = 60 ± 360k,    x2 = – 60 ± 360k

tg x = 2.747
בעזרת המחשבון נקבל:
x = 70

המחזוריות של הפונקציה טנגנס היא כל 180 מעלות ולכן הפתרון הוא:
x = 70 ± 180k

הערה
למה לא מצאנו את הפתרון השני של המשוואה בתחום 0-360 מעלות?
כי הפונקציה tg היא במחזוריות של 180 מעלות והפתרון הכללי x = 70 ± 180k מוצא גם את הפתרון השני בתחום 0-360 מעלות. (זה הפתרון x = 250).

sin x = 1
בעזרת המחשבון נמצא
x = 90
על פי תכונת הסינוס
(sin 90 = sin (180-90
ומכוון ש:
90 – 180 = 90
אנו נשארים עם פתרון יחיד, למשוואה זו יש רק פתרון יחיד בתחום 0-360

הפתרון הכללי:
x = 90 ± 360k

cos x = 1
בעזרת המחשבון נמצא
x = 0
על פי תכונת הקוסינוס
(cos 0 = cos (-0
מכוון שזה בדיוק אותו הפתרון יש לנו פתרון יחיד.

הפתרון הכללי:
x = 0 ± 360k

2.משוואות מהסוג sin bx = a

בחלק זה נלמד לפתור משוואות מהסוג
sin bx = a
cos bx = a
tg bx = a

בקצרה: על מנת לפתור מהשוואות מסוג זה מצאו את הפתרון הכללי כפי שמצאתם עבור המשוואות הקודמות וחלקו את הפתרון כולו ב- b.

דוגמה 1
sin 2x=0.5

פתרון
כאשר נשתמש במחשבון ובזווית המשלימה ל 180 נקבל:
2x1=30,   2x2=150.

הפתרון הכללי:
2x1 = 30 ± 360k,    2x2 = 150 ± 360k

רק לאחר שמצאנו את הפתרון הכללי אנחנו מחלקים ב b :
במקרה זה b הוא 2.
x1=15 ± 180k,  x2=75 ± 180k.
וזו התשובה הסופית

דוגמה 2
cos 0.5x=0.7

פתרון
בעזרת מחשבון והזווית השלילית נקבל:
x1=45.57,   x2=-45.57

הפתרון הכללי:
0.5x1=45.57+360k,
0.5x2=-45.57+360k

רק לאחר שמצאנו את הפתרון הכללי אנחנו מחלקים ב b :
במקרה זה b הוא 0.5.
x1=91.14+720k,
x2=-91.14+720k
וזו התשובה הסופית.

דוגמה 3
tg 6x = -1.732
בעזרת המחשבון נמצא:
6x = -60

הפתרון הכללי הוא:
6x = -60 + 180k
x = -10 + 30k

3.משוואות מהסוג sin (bx +c) = a

אלו הן משוואות דומות מאוד למשוואת הקודמות

דוגמה 1
sin (4x – 20) = 0.866

בעזרת המחשבון נקבל:
4x -20 = 60
4x = 80
ובגלל תכונת ה sin התשובה הנוספת היא:
4x -20 = 120
4x = 140

הפתרונות הכללים הם:
4x1=80 ± 360k,   4x2=140 ± 360k.

נחלק את הפתרון הכלל ב 4 ונקבל:
x1=20 ± 90k,   x2=35 ± 90k.

דוגמה 2
cos (2x -10) = -0.17364

בעזרת המחשבון נמצא
2x – 10 = 100
2x – 10 = 100 ± 360k
2x = 110 ± 360k
x = 55 ± 180k

אפשרות שנייה על פי (cos a = cos(-a
2x – 10 = -100 ± 360k
2x = -90 ± 360k
x = -45 ± 180k

הפתרונות הם:
x1 = 55 ± 180k,   x2 = -45 ± 180k.

4.תרגילים מסכמים

  1. sin (2x – 50) = – 0.5
  2. tg (2x + 40) = 2.747
  3. cos (6x -20) =0.766

תרגיל 1
sin (2x – 50) = – 0.5

פתרון
בעזרת המחשבון נקבל
2x – 50 = -30
2x – 50 = 330
2x – 50 = 330 ± 360k
2x = 380 ± 360k
x = 190 ± 180k

אפשרות שנייה
נשתמש בנוסחה:
(sin x = sin (180 – x
sin (-30) = sin (180 – (-30 ) = sin 210

2x – 50 = 210
2x – 50 = 210 ± 360k
2x = 260 ± 360k
x = 130 ± 180k

הפתרונות הם:
x1 = x = 190 ± 180k,   x2 = 130 ± 180k

תרגיל 2
tg (2x + 40) = 2.747

פתרון
בעזרת המחשבון נקבל
2x + 40 = 70
2x + 40 = 70 ± 180k
2x = 30 ± 180k
x = 15 ± 90k

תרגיל 3
cos (6x -20) =0.766

פתרון
בעזרת המחשבון נקבל
6x – 20 = 40
6x – 20 = 40 ± 360k
6x = 60 ± 360k
x = 10 ± 60k

אפשרות שנייה
6x – 20 = -40
6x – 20 = -40 ± 360k
6x = – 20 ± 360k
x = -3.66 ± 60k

הפתרונות הם:
x1 = 10 ± 60k,   x2 = -3.66 ± 60k.

5.נספח: זהויות טריגונומטריות שימושיות

פונקציית הסינוס
(sin x = sin (x + 360k
(sin x = sin (180-x
sin (-x) = – sin x

פונקציית הקוסינוס
(cos x = cos (x + 360k
(cos x = cos (-x
cos (180-x) = – cos x

פונקציית הטנגנס
(tg x = tg (x + 180k
tg(180-x) = – tgx
(tg (-x) = – tg (x

מעברים הפונקציות הטריגונומטריות השונות
(sin x = cos (90-x
(cos x = sin (90-x
tg x = sin x / cos x

מעברים נוספים:
sin²x + cos²x = 1
כאשר נחלק נוסחה זו ב cos ²x נקבל:
tg²x + 1 = 1/cos²x
כאשר נחלק את הנוסחה הראשונה ב sin²x נקבל:
cot ²x + +1 = 1/sin²x

מעברים הקשורים לנוסחה
cos2x = cos² – sin²x

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.