משוואות טריגונומטריות

משוואות טריגונומטריות הן משוואות בהן יש בתוך הפונקציה הטריגונומטרית נעלם.

כאשר אנו פותרים משוואה טריגונומטרית אנו צריכים להתחשב בתכונות הפונקציה הטריגונומטרית על מנת להגיע לכל הפתרונות.

בדף זה נלמד את המשוואות הטריגונומטריות הפשוטות:

  1. משוואות טריגונומטריות מהצורה sinx = a.
  2. משוואות טריגונומטריות מהצורה cosx = a.
  3. משוואות טריגונומטריות מהצורה sin bx=a ו- cos bx=a.

בדפים נוספים באתר נלמד משוואות טריגונומטריות נוספות:

  1. משוואות בהם יש את אותה פונקציה פעמיים.
  2. משוואות עם שתי פונקציות טריגונומטריות שונות.
  3. משוואות הנפתרות על ידי הוצאת גורם משותף או משוואה ריבועית.

1. משוואות טריגונומטריות מהצורה sinx = a

נניח ויש לנו משוואה sin x= 0.5. האם יש לה רק פתרון אחד?
לא. יש לה אינסוף פתרונות.
אם נשתמש במחשבון נקבל
x = 30
אבל בגלל תכונות הפונקציה הטריגונומטרית גם הזווית המשלימה ל 180 מעלות תתן תשובה נכונה.
150 = 30 – 180

x = 30,  x = 150

אלו הן שתי הפתרונות שבתחום שבין 0 ל 360.
אבל מה עם הפתרונות שיותר גדולים מ 360 או יותר קטנים מ 0?
לכן נוסיף 360k± לכל פתרון.

התשובה הסופית תהיה:
x = 30 ± 360k,  x = 150 ± 360k

שלבים בפתרון משוואות טריגונומטריות של סינוס:

  1. מוצאים את הפתרונות בתחום 0-360 מעלות בעזרת מחשבון ובעזרת ההשלמה ל 180.
  2. מוצאים את הפתרון הכללי על ידי הוספת 360k± לכל אחד מהפתרונות

פתרונות מחזוריים מיוחדים של פונקציית הסינוס

הכללים שנכתבו תופסים בכול המשוואות, אבל יש כמה ערכים שיכולים לבלבל וכדאי לפחות לראות אותם פעם אחת.

המשוואה הפתרונות המידיים הפתרון הכללי הערה
sinx =0 x=0,180 x=0 ±180k הפתרונות 0+360k ו- 180+360k יכולים להתלכד תחת הנוסחה x=0 +-180k
sinx =1 x=90 x=90 ± 360k כאשר x=90 המספרים 90 ו- 180-90 מתלכדים ולכן יש רק פתרון אחד בתוך 360 המעלות.
sin x=-1 x=270 x=270 ± 360k

ערכי sin x שכדאי להכיר בעל פה
1,2,5 ידועים וקלים לזכירה.
3,4 נחוצים פחות.

  1. sin 0 = 0
  2. sin 30 =0.5
  3. sin 45 = √2 / 2 = 0.707
  4. sin 60 = √3  / 2  = 0.866
  5. sin 90 =1

2.משוואות מהצורה cosx = a

שלב ראשון: מציאת הפתרונות היסודיים
אם a הוא פתרון של משוואה הכוללת קוסינוס אז הפתרון היסודי הנוסף הוא a.
הפתרון נובע מהזהות (cos(a)=cos (-a.

כלומר אם x=30 הוא פתרון אז גם x= -30 הוא פתרון (ובלבד שהוא בתחום ההגדרה).

שלב שני: הוספה של הפתרונות המחזוריים
מוסיפים 360k לכל אחד מהפתרונות.
x1= a+360k ו- x2= -a+360k.

פתרונות מחזוריים מיוחדים של פונקציית הקוסינוס

המשוואה הפתרונות המידיים הפתרון הכללי הערות
cos x=0 x=90, 270 x=90+180k
cos x=1 x=0 x=0 ± 360k cos x=1 מתקיים רק פעם אחת במהלך 360 המעלות.
cos x= -1 x=180 x=180 ± 360k cos x=1 מתקיים רק פעם אחת במהלך 360 המעלות.

ערכי cos x שכדאי להכיר בעל פה
ערכים 1,4,5 ידועים יותר מהשניים האחרים.

  1. cos 0 = 1
  2. cos 30 =√3  / 2  = 0.866
  3. cos 45 = √2 / 2 = 0.707
  4. cos 60 = 0.5
  5. cos 90 =0

3.משוואות טריגונומטריות מהצורה sin bx=a ו- cos bx=a

הכוונה היא למשוואות מהצורה sin 3x=0.5 או cos 0.5x=0.8.

בקצרה: על מנת לפתור מהשוואות מסוג זה מצאו את הפתרון הכללי כפי שמצאתם עבור המשוואות הקודמות וחלקו את הפתרון כולו ב- b.

דוגמאות:
פתרו את המשוואה sin 2x=0.5

פתרון
כאשר נשתמש במחשבון ובזווית המשלימה ל 180 נקבל:
2x1=30, 2x2=150.

הפתרון הכללי:
2x1=30 +360k,  2x2 = 150+360k

רק לאחר שמצאנו את הפתרון הכללי אנחנו מחלקים ב b :
במקרה זה b הוא 2.
x1=15+180k,  x2=75+180k.
וזו התשובה הסופית

תרגיל 2
cos 0.5x=0.7

פתרון
בעזרת מחשבון והזווית השלילית נקבל:
x1=45.57, x2=-45.57

הפתרון הכללי:
0.5x1=45.57+360k,
0.5x2=-45.57+360k

רק לאחר שמצאנו את הפתרון הכללי אנחנו מחלקים ב b :
במקרה זה b הוא 0.5.
x1=91.14+720k,
x2=-91.14+720k
וזו התשובה הסופית.

תרגילים

  1. cos² x=0.25
  2. sin (x+20)=0.5
  3. cos 2x = cos 50
  4. sin²x+1=cos x
  5.  2sin x +2 cos x = 0√

פתרונות

תרגיל 1
cos² x=0.25
נזכור שלמשוואה מסוג זה יש שתי פתרונות.
cos x =0.5 או cos x= -0.5

עבור cos x =0.5
נקבל את הפתרונות המידיים
x=60, x=-60,

עבור cos x= -0.5
נקבל את הפתרונות המידיים
x=120, x=-120

תשובות סופיות:
x=60+360k
x=-60+360k
x=120+360k
x=-120+360k

תרגיל 2
sin (x+20)=0.5
x+20=30
x=10
או x = 180

תשובות סופיות:
x=10+360k
x=170+360k

תרגיל 3
cos 2x = cos 50
שני הפתרונות המידיים הם:
2x = 50 + 360k
או 2x = -50+360k

הפתרונות הכללים הם:
x=25+180k או x=-25+180k

תרגיל 4
sin²x+1=cos x
נשתמש בזהות
sin²x = 1- cos²x
ונקבל:

המבנה הזה הוא של משוואה ריבועית.
נגדיר:
cos x = t
נציב במשוואה ונקבל:
t² -t + 2 = 0-
ניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים או טרינום.

אני אראה כאן טרינום.
t² +t – 2t + 2 = 0-
t (1-t)+ 2(1-t) = 0
t + 2) (1-t) = 0)
t = -2,  t = 1

נציב בחזרה cos x = t.
cos x = -2
זה לא פתרון אפשרי.

cos x = 1
x = 0 ± 360k

תרגיל 5
2sin x +2 cos x = 0√
2sin x +2 cos x = 0  /:√2 cos x√
tan x + √2 = 0
tan x= -√2
x=-54.655
X= =-54.655 +180k

עוד באתר בנושא טריגונומטריה:

  1. טריגונומטריה – הדף המרכזי בתחום עם קישורים לדפים אחרים.
  2. זהויות טריגונומטריות – רשימת זהויות מכל הסוגים.

זהויות טריגונומטריות שימושיות

פונקציית הסינוס
sin x = sin x + 360k
(sin x = sin (180-x
sin (-x) = – sin x

פונקציית הקוסינוס
cos x = cos x + 360k
(cos x = cos (-x
cos (180-x) = – cos x

פונקציית הטנגנס
(tg x = tg (x + 180k
tg(180-x) = – tgx
(tg (-x) = – tg (x

מעברים הפונקציות הטריגונומטריות השונות
(sin x = cos (90-x
(cos x = sin (90-x
tg x = sin x / cos x

מעברים נוספים:
sin²x + cos²x = 1
כאשר נחלק נוסחה זו ב cos ²x נקבל:
tg²x + 1 = 1/cos²x
כאשר נחלק את הנוסחה הראשונה ב sin²x נקבל:
cot ²x + +1 = 1/sin²x

מעברים הקשורים לנוסחה
cos2x = cos² – sin²x

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו אותה במערכת התגובות או פנו אלי בצאט.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.