משוואות וזהויות טריגונומטריות עם חזקה ריבועית

2 דרכים לפתור תרגילים מסוג זה

בדף זה נלמד כיצד פותרים משוואות טריגונומטריות הנראות כך:
sin² x = 0.25

שימו לב שלהרבה מהמשוואות הללו יש 4 פתרונות בתוך התחום של 0-360 מעלות.

דרך ראשונה וקלה מבחינת ההבנה שלה היא להוציא שורש לשני צדדי המשוואה.
אבל זו דרך ארוכה יחסית.

עבור הפונקציות sin²x,  cos²x יש אפשרות להשתמש בזהויות

ולהפוך את המשוואות למשוואות ללא חזקה.
דרך זו קצרה יותר.
עבור הפונקציה tg² x אין את האפשרות הזאת וחייבים להוציא שורש.

דוגמאות

דוגמה 1
sin² x = 0.25

דרך ראשונה: הוצאת שורש
sin² x = 0.25
כאשר נוציא שורש לשני צדדי המשוואה נקבל
sin x = 0.5
או
sin x = -0.5

לכל אחת מהמשוואות הללו יש 2 פתרונות בתחום 0-360.
נתחיל ב:
sin x = 0.5
בעזרת המחשבון נקבל כי:
x = 30 ± 360k

על פי הזהות הטריגונומטרית (sin x = sin (180 – x נקבל גם:
x = 150 ± 360k

עבור המשוואה:
sin x = -0.5
נקבל:
x = 330 ± 360k
או
x = 210 ± 360k

הפתרונות הם:
x1 = 30 ± 360k,  x2  = 150 ± 360k
x3  = 330 ± 360k ,  x4  = 210 ± 360k

דרך שנייה לפתור : שימוש בזהות:

sin² x = 0.25
לאחר השימוש בזהות נקבל:

cos 2x + 1 = 0.5-
cos 2x = -0.5-
cos 2x = 0.5

אפשרות ראשונה
2x = 60 ± 360k
x = 30 ± 180k

אפשרות שנייה על פי הנוסחה
2x = -60 ± 360k
x = -30 ± 180k

הפתרונות הם:
x1 = 30 ± 180k,  x2  = -30 ± 180k

דוגמה 2
cos² x =0.75

דרך פתרון ראשונה: נוציא שורש
cos² x =0.75
cos x = 0.866
או
cos x = -0.866

עבור
cos x = 0.866
x = 30 ± 360k

אפשרות שנייה על פי הזהות (cos x = cos (-x
x = -30 ± 360k

עבור
cos x = -0.866
x = 150 ± 360k

אפשרות שנייה על פי הזהות (cos x = cos (-x
x = -150 ± 360k

הפתרונות הם:
x1 = 30 ± 360k,  x2  = x = -30 ± 360k
x3  = 150 ± 360k ,  x4  = -150 ± 360k

דרך פתרון שנייה: בעזרת זהות טריגונומטרית

cos² x =0.75
לאחר השימוש בזהות נקבל:

cos 2x + 1 = 1.5
cos 2x = 0.5

אפשרות ראשונה
2x = 60 ± 360k
x = 30 ± 180k

אפשרות שנייה על פי הזהות (cos x = cos (-x
2x = – 60 ± 360k
x = – 30 ± 180k

הפתרונות הם:
x1 = 30 ± 180k,  x2  = -30 ± 180k

דוגמה 3
tg ² x = 1

פתרון
עבור פונקציית ה tg אין לנו זהות שניתן להשתמש בה.
אנו חייבים להוציא שורש.

לאחר הוצאת השורש נקבל:
tg x = 1
או
tg x = -1

עבור tg x = 1
הפתרון הוא
x = 45 ± 180k

עבור tg x = -1
הפתרון הוא:
x = 335 ± 180k

הפתרונות הם:
x1 = 45 ± 180k,  x2  = -30 ± 180k

עוד בנושא משוואות וזהויות טריגונומטריות:

  1. משוואות טריגונומטריות – הדף הראשון בנושא.
  2. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות מאותו הסוג.
  3. משוואות טריגונומטריות עם הכנסת מינוס.
  4. משוואות טריגונומטריות עם הוצאת שורש (בדף זה).
  5. משוואות טריגונומטריות עם גורם משותף.
  6. משוואות טריגונומטריות עם פתרון משוואה ריבועית.
  7. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות שונות.
  8. זהויות טריגונומטריות.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.